矩阵理论 课件 第5章第3节函数矩阵

函数矩阵5.3函数矩阵函数矩阵的微分与积分定义5.14以变量的函数为元素的矩阵称为函数矩阵.若每个

在上连续、可微、可积,则称在上连续、可微、可积.当在上可微时,定义

当在上可积时,定义

可微的函数矩阵有以下简单的运算性质.定理5.15设与是适当阶的可微函数矩阵,与为可微的数量函数,与为常数,则有以下结论.(1)数字矩阵的导数为零矩阵.(2)

函数矩阵(3)

(4)(5)

(6)若可逆且可微,则证这里只证明性质(6).由于可逆,因此两端对求导,根据性质(4)可得

从而

例5.15设证明证因为

函数矩阵所以

对任意都收敛,从而可以逐项求导,于是有

从而

同理可证注(1)本例说明与乘积可交换.(2)同理可得

函数矩阵例5.16设求和解容易计算因此注本例说明,一般地,但可以证明

因此,虽然微积分中关于微分和积分的许多运算性质对函数矩阵仍然成立,但是,因为矩阵乘法一般不可交换,所以有些性质不可照搬.函数矩阵例5.17设数字矩阵求二次型对变量的导数.解

根据求导公式,有

因为为数字矩阵,所以又因为所以

因此,所求二次型的导数为

函数矩阵可积的函数矩阵有以下简单的运算性质.定理5.16设与是上适当阶的可积函数矩阵,与为数字矩阵,与为常数,则有以下结论.(1)

(2)

(3)当在上连续时,有(4)当在上的导数连续时,有(5)当和在上的导数连续时,有

(6)

函数矩阵数量函数对矩阵变量的导数

5.3.1节讨论的是函数矩阵对单变量的导数,实质上是把数量函数的求导运算推广到了函数矩阵.在很多具体应用中,还需要数量函数对矩阵变量的导数,以及函数矩阵对矩阵变量的导数.下面来研究这两个更一般的函数矩阵求导问题.在微积分的场论部分,数量函数的梯度定义为

可以理解为数量函数对向量变量的导数.现将这一概念推广到数量函数对矩阵变量的导数.函数矩阵定义5.15设为向量变量,为可微的数量函数,则称以为元素的维向量为数量函数对向量变量的导数,记为

即

而对向量变量的导数定义为

显然

函数矩阵将定义5.15进行推广,可得如下定义.定义5.16设为矩阵变量,为可微的数量函数,则以为元素的阶矩阵称为数量函数对矩阵变量的导数,记为即

函数矩阵例5.18设为数字向量,为向量变量,数量函数

计算解因为所以例5.19设求解

函数矩阵例5.20求二次型对的导数,其中,与无关.解因为所以

例5.21设是矩阵变量,且证明

证设的代数余子式为把按第行展开得

因此函数矩阵故

设为矩阵变量,与为数字矩阵,结合例5.17和例5.19,请读者证明以下几个有关矩阵的迹的导数公式.(1)

(2)

(3)

函数矩阵函数矩阵对矩阵变量的导数定义5.17设函数矩阵的每个元素都是矩阵变量的元素的函数,即

若为可微函数,则定义对的导数为

其中,

函数矩阵显然,是分块矩阵,且每块都是矩阵,因此是矩阵.为了表达方便,利用矩阵的Kronecker积定义算子矩阵：

则可简单记为函数矩阵对矩阵变量的导数满足如下运算法则.(1)(2)其中、分别为的行数和列数.函数矩阵规则(1)可由定义,以及矩阵的运算规则证明.现在证明规则(2)：

显然,当为数量函数时,便成为5.3.2节中的数量函数对矩阵变量的导数.例5.22求函数向量对向量变量的导数,其中

解记则根据定义5.17,有函数矩阵函数矩阵其中,矩阵称为Jacobi矩阵.特殊地,当时,Jacobi矩阵的行列式称为Jacobi行列式,这是我们所熟知的多元函数微分学中的行列式.根据题目的已知条件,请读者自行计算函数矩阵例5.23设求解

函数矩阵例5.24求对的导数,其中,和是常向量.解

由此可得

事实上

由例5.20可知

又因为故因此有上述结果.函数矩阵例5.25设