高考数学理科二轮复习资料

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一、集合与常用逻辑用语(理科数学)

1.集合

(1)集合的运算性质：①②NC5=505=4；③力=5=[匕/

(2)子集、真子集个数计算公式：

对于含有"个元素的有限集合其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2"，2"—1,2"

-1,2"-2.

(3)数轴和Venn图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘记集合本身和空集这两种特殊

情况.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.

2.四种命题及其相互关系

(1)

(2)互为逆否命题的两命题同真同假.

3.含有逻辑联结词的命题的真假

(1)命题若p、q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真.

(2)命题pAq：若p、夕中至少有一个为假，则命题为假命题，p、g同为真时，命题才为真命题，简记为：

一假则假，同真则真.

(3)命题^P与命题P真假相反.

4.全称命题、特称命题及其否定

⑴全称命题p：VxGM,p(x),其否定为特称命题^p：3x0G;W,^p(xo).

⑵特称命题p：HxoSAf,p(x0),其否定为全称命题i^p：VxG",㈱p(x).

5.充分条件和必要条件

⑴若p=q且q#p,则p是g的充分不必要条件；

(2)若p》q且q=p,则称p是q的必要不充分条件；

(3)若pOg,则称p是g的充要条件；

(4)若p#g且#>p,则称p是夕的既不充分也不必要条件.

I易错提醒____________________________

1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：｛x[p=lgx｝——函数的定义

域；｛j4r=lgx｝-----函数的值域；｛(x,y)|y=lgx｝-------函数图象上的点集.

2.易混淆0,。，｛0｝：0是一个实数；。是一个集合，它含有0个元素；｛0｝是以0为元素的单元素集合，但

是0阵0,而。£｛0｝.

3.集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.

4.空集是任何集合的子集.由条件N£5,AC\B=A,ZU5=3求解集合N时，务必分析研究4=。的情况.

5.区分命题的否定与否命题，已知命题为''若p,则夕”，则该命题的否定为“若p,则^夕”，其否命题为

“若㈱P，则睇g”.

6.在对全称命题和特称命题进行否定时，不要忽视对量词的改变.

7.对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论.

I回归训练__________________________________

1.已知集合/={1,3,洞,B={\,nt},AUB=A,则/”等于（）

A.0或小B.0或3C.1或小D.1或3

答案B

解析：AUB=A,：.B^A,

3,yfiti},

'.m—1或/H=3或

由集合中元素的互异性易知/«—0或,"=3.

2.设集合N={x|la<2},B={x\x<a},若NU8,则“的取值范围是（）

A.{a|a^2}B.{a|aWl}C.{a|a》l}D.{a|aW2}

答案A

解析若NU3,则a22,故选A.

3.已知集合"={x|-3aW5},N={4r<-5或x>5},则WUN等于（）

A.{x|-3<r<5}B.{x|-5<v<5}

C.{x|x<—5或x>—3}D.{x|x<—3或x>5}

答案c

解析在数轴上表示集合M、N,则MUN={x[x<-5或x>-3},故选C.

-5-305

4.满足条件{a}UZ£{a,b,c}的所有集合力的个数是()

A.lB.2C.3D.4

答案D

解析满足题意的集合N可以为{a},{*b},{a,c},{a,h,c},共4个.

5.已知集合U=R(R是实数集)，N={x|-IWXWI},5={x|f_2/0},则NU&£)等于()

o]B.[i,2]C,[o,1]D.(-8,1|U|2,+8)

答案D

解析J?={X|X2-2X<0}=(0,2),

NU(Cu5)=[—1,1]U(—8,0]U[2,+oo)=(—co,)]U[2,+8),故选D.

6.下列命题正确的是()

(1)命题“VxGR,2A>0w的否定是“mxoGR,2%<0"；

(2)/为直线，a,4为两个不同的平面，若/_1_夕，al.p,贝(!/〃〃；

(3)给定命题p,心若"p/\夕为真命题”，则是假命题；

1jr

(4)«sina=|w是％=表的充分不必要条件.

A.⑴⑷B.(2)⑶C.(l)(3)D.⑶(4)

答案C

解析命题“VxGR,2、>0”的否定是“mx°GR,2%WO”;/为直线，a,Z?为两个不同的平面，若I邛,

a邛,则/〃a或/Ua；给定命题p,4,若“p/\g为真命题”；则p且g是真命题，㈱〃且㈱夕是假命题；

“sina=；”是的必要不充分条件，因此(1)(3)为真，选C.

7.设命题p：3x#eR,使xj+2xo+a=O(aGR),则使得p为真命题的一^充分不必要条件是()

A.a>—2B.a<2C.〃<1D.a<0

答案D

解析设外)=/+入+*则p为真命题o/(x)在R内有零点c/20OaWl.

8.已知命题p：在△/8C中，AB<BC,贝ljsinCvsin/；命题/已知“GR,则“a>l”是“!<1”的必

要不充分条件.在命题pAg,pVq,(^p)Vq,(睇p)八q中,真命题的个数为()

A.lB.2C.3D.4

答案A

解析由题意得，在△ZBC中，AB<BC,即c<a,由正弦定理可得sinC<sinA,所以p真，又已知a

GR,则是“卜1”的充分不必要条件，所以"假，只有pVq为真命题，故选A.

9.已知命题p：V/nG[o,1],x+^2'",则^?为()

A.V，"G[o,i],x+~<2m

B.3/M0e[o,1],X+!22"M

C.B/H0G(-O°,O)U(1,+8),x+92"?

D.3/n0e[o,1],x+[v2""

答案D

解析根据全称命题与特称命题的关系，可知命题p：V/WG[o,1],x+122"',则为“m,”oG[o,1],

x+&2%”,故选D.

10.下列结论正确的是.

(1孙)=/7+2(g0,且aWl)的图象经过定点(1,3)；

Q

(2)已知x=log23,4，=§,则x+2y的值为3；

(3)若火》)=*3+奴-6,且人-2)=6,则{2)=18；

(4"(x)=x(j与一J为偶函数；

(5)已知集合4={-1,1},8={x|,"x=l},且8G/,则，”的值为1或一1.

答案(1)(2)⑷

解析(1)当x=l时，_/U)=J+2=l+2=3,则函数的图象经过定点(1,3),故(1)正确；

88888

(2)已知x=log23,4，=§,则22>=丞2y=log2§,则x+2j=k)g23+log2j=log2qX3)=k>g28=3,故Q)正确;

(3)若/仇)=/+依一6,且八一2)=6,贝U(-2)3-2“-6=6,即°=一10,则/(2)=23-2X10—6=—18,

故(3)错误；

(4)函数的定义域为{x|x#0},关于原点对称，

[11+2*

/幻=*(]_2、-，)=x'2(l—2xy

l+2~x2x+ll+2x

则/(-x)=-x-2(1_2-^=-X.布五=x.nE=/(x)，

即有益)为偶函数，则/(x)=K占为偶函数，故(4)正确；

(5)已知集合4={-1,1},J»={X|/MX=1},且6U4,

当,”=0时，B=0,也满足条件，故(5)错误，故正确的是(1)(2)(4).

11.已知M是不等式空堞近0的解集且5阵M,则“的取值范围是

答案(一8,-2)U[5,+°0)

解析若5GM,则;£氏0,；.(a+2)5—5)W0且aW5,：.-2^a<5,二5由M时，0<一2或

12.若三个非零且互不相等的实数小b,c满足％则称a,力，c,是调和的；若满足a+c=26,则称

a,h,c是等差的.若集合尸中元素a,从c既是调和的，又是等差的，则称集合户为“好集”，若集合M

={x||x|W2014,xGZ},集合P={a,b,c}UM,贝U(l)“好集"尸中的元素最大值为;(2)“好集”

P的个数为.

答案20121006

112

解析因为a=-2b,c=4b,若集合尸中元素%b、c既是调和的，又是等差的，贝哈+户(且。+。=2瓦

故满足条件的“好集”为形如{一2仇h,4〃}(〃#0)的形式，则一2014/4〃42014,解得一503464503,

且P中元素的最大值为48=4X503=2012.符合条件的b值可取1006个，故“好集”P的个数为1

006.

13.设命题p：实数x满足f—4O¥+3Q2<0,其中”V0；命题饮实数x满足f+2x—8>0,若夕是p的必要

不充分条件，则实数〃的取值范围是.

答案(一8,-4]

解析由命题夕：实数x满足f+2x-8>0,得x<—4或x>2,由命题p：实数x满足f—4ar+3JvO,其

中«<0,得(x—3a)(x—a)v0,V^<0,,\3a<x<a,

■:q是P的必要不充分条件，

4,，。《(一8,—4j.

14.已知命题p：^~~2~〈1'命题]：X2—2x+1—/H2<0(/H>0),若"是夕的充分不必要条件，则实数〃1

的取值范围是.

答案(2,+oo)

解析V—；.p：—1WXW3；

Vx2—2x+1—/H2<0(/H>0)<=>|x—(1—/«)]|x—(1+m)l<04*1—m<x<l+m,:.q：1—»»<x<l+m.

,；p是q的充分不必要条件，.,.[-1,3]是(1-"?,1+,”)的真子集，

1—m<—1,

l+»z>3,

解得m＞2.

二、函数与导数

1.函数的定义域和值域

(1)求函数定义域的类型和相应方法

①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；

②若已知於)的定义域为⑶何，贝!)/卜(初的定义域为不等式aWg(x)WZ＞的解集；反之，已知/以(切的定义

域为[a,句，则外)的定义域为函数j，=g(x)(xG[a,何)的值域；

③在实际问题中应使实际问题有意义.

(2)常见函数的值域

①一次函数)，=履+以〃。0)的值域为R；

②二次函数U二仆之+以+仪〃#：。)：。＞0时，值域为-五一,+8〉q〈0时，值域为(一8,———；

③反比例函数y=((AWO)的值域为WGR[prO}.

2.函数的奇偶性、周期性

(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有/(一x)=

一府)成立，则外)为奇函数(都有/(一尤)=/(x)成立，则兀0为偶函数).

(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数儿回，如果对于定义域内的任意一个x的值:

若/3+7)=/(尤)(7。0),则於)是周期函数，7是它的一个周期.

3.关于函数周期性'对称性的结论

(1)函数的周期性

①若函数府)满足/(x+a)=/(x—a),则於)为周期函数，2〃是它的一个周期.

②设於)是R上的偶函数，且图象关于直线x=a(aWO)对称，则9)是周期函数，2〃是它的一个周期.

③设/(x)是R上的奇函数，且图象关于直线x=a(a#O)对称，则府)是周期函数，4a是它的一个周期.

(2)函数图象的对称性

①若函数j=/(x)满足大a+x)=/3—x),

即/W=A2a—X)，

则的图象关于直线x=a对称.

②若函数J=/(K)满足+2=--X),

即/(r)=-/(2a—x)，

则於)的图象关于点(4,0)对称.

③若函数y=/(*)满足/(a+x)=/3—x),

则函数於)的图象关于直线*=皇对称.

4.函数的单调性

函数的单调性是函数在定义域上的局部性质.

①单调性的定义的等价形式：设*”X2G|«,b\,

那么8-必)仪方)一/2)]>0=/8)-**)>00")在加上是增函数；

X\一X2

8—X2)师1)一/2)]<0=整三等<oo“v)在M，加上是减函数.

②若函数於)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，_/(x)+g(x)是减函数；若函数作)和g(x)都是增函数,

则在公共定义域内，/(x)+g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y=/|g(x)]的单调性.

5.函数图象的基本变换

⑴平移变换：

//>0,右移

^=尺)/荷曰=及一〃)’

尸/出：*力=/")+队

(2)伸缩变换：

“、0<31,伸“、

产/出,石尸"困'

尸

(3)对称变换：

y=Ax)-^y=-fix),

尸/)-^尸/(一*),

y=Ax)-^*丁=-/(-x).

6.准确记忆指数函数与对数函数的基本性质

⑴定点：y=ax(a>0,且。#1)恒过(0,1)点；

y=lo婚(”>0,且“W1)恒过(1,0)点.

(2)单调性：当。>1时，y=/在R上单调递增；j=l0glx在(0,+8)上单调递增；

当0<«<1时，j=a、在R上单调递减；)=10堂在(0,+8)上单调递减.

7.函数与方程

(1)零点定义：X。为函数/(x)的零点3/(Xo)=00(Xo,0)为/(x)的图象与无轴的交点.

(2)确定函数零点的三种常用方法

①解方程判定法：即解方程/(x)=0.

②零点定理法：根据连续函数j，=/(x)满足/5成6)<0,判断函数在区间(a,6)内存在零点.

③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解.

8.导数的几何意义

(1/(X))的几何意义：曲线y=/(x)在点的，及0))处的切线的斜率，该切线的方程为7—/0)=/(x0)(x-

xo).

⑵切点的两大特征：①在曲线上；②在切线上.

9.利用导数研究函数的单调性

(1)求可导函数单调区间的一般步骤：①求函数/(x)的定义域；②求导函数，(x)；③由/'(x)>0的解集确

定函数加)的单调增区间，由，(x)〈0的解集确定函数外)的单调减区间.

⑵由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数/(x)在区间〃上单调递增，则/'(x)》0(xGM)恒成

立；若可导函数府)在区间〃上单调递减，则，(x)W0(xCM)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单

调递增(减)区间，/(无)>0(或，(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知外)在区间/上的单调性，区间/

中含有参数时，可先求出府)的单调区间，则/是其单调区间的子集.

10.利用导数研究函数的极值与最值

(1)求函数的极值的一般步骤：①确定函数的定义域；②解方程/(x)=0；③判断，(X)在方程，(2=0

的根X。两侧的符号变化：

若左正右负，则X。为极大值点；

若左负右正，则X。为极小值点；

若不变号，则xo不是极值点.

⑵求函数.")在区间［a,向上的最值的一般步骤：

①求函数j=/(x)在(a,8)内的极值；

②比较函数的各极值与端点处的函数值人/、/(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最

小值.

I易错提醒____________________________

1.解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则.

2.解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围.

3.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“U”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔

开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.

4.判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定

义域不受影响.

5.准确理解基本初等函数的定义和性质.如函数y=/(a>0,aWl)的单调性忽视字母。的取值讨论，忽

视。*>0;对数函数J=lo即x(a>0,。灯)忽视真数与底数的限制条件.

6.易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行

准确互化.

7.已知可导函数人幻在(a,Z0上单调递增(减)，则，(x)》0(W0)对VxG(a,b)恒成立，不能漏掉“=”号，

且需验证“=”不能恒成立；而已知可导函数人外的单调递增(减)区间为(a,b),则，(x)>0(<0)的解集

为(a，b).

8./(2=0的解不一定是函数Ax)的极值点.一定要检验在x=xo的两侧，(X)的符号是否发生变化，若

变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点.

|回归训练_______________________________

2x+2,xWO,

1.若函数外)=—则力3等于()

24,x>0,

A.-10B.10C.-2D.2

答案C

解析由/[/(i)]=/(2i_4)=/(_2)=2X(_2)+2=_2,故选C.

2.若函数/(k)=x)一据x+1在其定义域内的一个子区间(A—1,A+1)内不是单调函数,则实数左的取值

范围是()

3

A.|L+°°)B.[L

C.(1,2)D.2)

答案B

解析因为危)的定义域为(0,+°°),y'=2x一七

由f(x)=0,得*=亍利用图象可得，

IA—1<|<A+1,3

\2解得1WA《，故选B.

〔AT20,-

(3—G)X—3,x/7,

3,若函数/)=.6T单调递增，则实数〃的取值范围是()

a，x>7

99

A・(不3)B,[不3)

C.(1,3)D.(2,3)

答案D

解析因为函数形)=jd-6x>7单调递增，所以l<a<3且由人7)48)得，7(3-a)-3<a2,

得°<一9或心2,所以实数a的取值范围是(2,3),故选D.

4.函数)一；；的图象大致形状是()

下:-

ABCD

答案A

V

解析尸L[2,、x,>x0<,0,

y=2'在(0,+8)上单调递增，且y=2、>0,

排除B,D；

又y=-2•'在(-8,0)上单调递减，排除C.

5.(2016•课标全国甲)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10以的定义域和值域相同的是()

A.j=xB.j=lgxC.y=2'D.y=^j^

答案D

解析函数J，=io*'.的定义域为{坤。0},值域为w0>0},所以与其定义域和值域分别相同的函数为r=去,

故选D.

6.已知定义在R上的奇函数八丫)满足{r+2)=一加)，且/(-1)=2,则/(2017)的值是()

A.2B.0C.-1D.-2

答案D

解析由题意得了(*+4)=—/+2)=/(幻，所以函数是以7=4的周期函数，所以"2017)=/(1)=-/(一1)

——2,故选D.

7.已知函数八x)=0'-logK，若X)是函数y=/(w)的零点，且OVxi<Xo,则月⑴的值()

A.恒为正值B.等于0

C.恒为负值D.不大于0

答案A

解析由题意知作)为(0,+8)上的减函数，

又Xl〈Xo，

•\Axi)>/(xo)=O,故选A-

8.设a=loga2,Z»=logs2,c=log23,贝！J()

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

答案D

解析易知log23>l,log32,log52e(0,l).在同一平面直角坐标系中画出函数y=logjX与y=k)g5X的图象,

观察可知logQlogsZ.所以c>a>b.比较a,b的其他解法：10832>10欧\/5=：,logsZvlogsM^：,得a>b；

0<log23<log25,所以结合换底公式得Iog32>log52,即

9.若函数及)定义域为[-2,2],则函数j=/(2x)-ln(x+l)的定义域为.

答案(一1,1]

一2W2xW2,

解析由题意可得|

[x+l>0,

即函数y=/(2x)-ln(x+l)的定义域为(-1,1].

10.(2016•天津)已知函数/(x)=(2x+l)e、，f(x)为外)的导函数，则/(0)的值为.

答案3

解析因为/(x)=(2x+1)e*,

所以，(x)=2e*+(2x+l)e*=(2x+3)e*,

所以，(0)=3e°=3.

11.设奇函数y=/(x)(xGR),满足对任意fGR都有大。=/(1一。，且xG[O,3时兀0=-*2,则大3)+/(一

|)的值等于.

答案一；

解析由于j=/(x)为奇函数，根据对任意/GR都有/⑺

可得八一。=/(1+/)，

所以函数y=/(x)的一个周期为2,

故人3)=/(1)=/(0+1)=-/(0)=0,

3)=#)=-；，

31

・\A3)+/(_5)=_不

12.函数在工=1处有极小值io,则〃+力的值为.

答案一7

2

解析•:f(x)=3x+2ax+b9

上己―(1)=3+2Q+5=0，

由已知可得<,

/(1)=1+〃+6+〃2=10,

解得4=4,〃=—11或a=—3,b=3,

经验证，。=4,8=—11符合题意，

故"+〃=—7・

丫+1

13.已知函数於)=『(e为自然对数的底数).

(1)求函数_Ax)的单调区间；

(2)设函数0(x)=M；x)+斤(*)+/，存在实数X”x2G[0,1],使得2MX1)<0(X2)成立，求实数f的取值范围.

解(1;•函数的定义域为R,f(x)=一5,

二当x<0时，/(x)>0,当x>0时，/(x)<0,

...人幻在(-8,0)上单调递增，

在(0,+8)上单调递减.

(2)存在X1,X2G[O,I],使得20(*1)<9(*2)成立，

则2[^W]min<[^W]max.

,.,„x2+(l_/)x+l

•(p(x)=xf(x)+tf(x)+e-=,

•,<、.(x-f)(x-l)

•*(P(x)-a*——-

①当必1时，/(x)WO,奴x)在［0,1］上单调递减,

.•.29>(1)<^(0),即/>3一11；

②当fWO时,“(2>0,Mx)在［0,1］上单调递增，

.,.29(0)3(1),SPZ<3-2c<0；

③当Oqvl时，若XW|O,t),“(x)<0,p(x)在［0,。上单调递减，

若“(x)>0,9(x)在《,1)上单调递增，

/.2^(0<max{^(0),

Du，+13—/

即2—<max{l,—}.(*)

由⑴知，g«)=2・平■在［o,i］上单调递减，

故*2•号<2,而*TV,

二不等式(*)无解.

综上所述，存在fG(-8,3-2e)U(3-f,+°°),使得命题成立.

三、三角函数、平面向量

1.准确记忆六组诱导公式

对于埠a,AGZ”的三角函数值，与«角的三角函数值的关系可按口诀记忆：奇变偶不变，符号看象

限.

2.同角三角函数的基本关系式

sin2a+cos2a=l,tan“=①々cosa#0).

coscc7

3,两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(l)§in((z3)=sinacos夕土cos以sin(L

(2)cos(a±y?)=cosacos伊sinasin夕.

tana±tan0

=

(3)tan(ai/0ITtanatan/?,

(4)〃sina+AcosQ=^/^TP§in(Q+e)(其中tan9=［).

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(l)sin2a=2sinacosa.

(2)cos2a=cos2a-7sina=2cos2a_1=1—2sin2a.

-、_2tana

(3)tan2a=~~~i~.

''1-tana

5.三种三角函数的性质

函数j=sinxp=co§xy=tanx

图象A冢J

在［―］+24兀，^+2kn］(kg

在［―兀+2履，2kn.］(kSZ)在(-/+AK,J+

单调性Z)上单调递增;在应+2A7T有上单调递增；在［2玩，7T

AJT)(AGZ)上单调递

沅］上单调递减

+2(RGZ)增

+2AR(AGZ)上单调递减

对称中心：C+ATT,0)(*

对称中心：(；对号,

An,())(AGZ)对称中心:0)(*

对称性

称轴：x=^+kn(AGZ)GZ)；对称轴：x=kn(k

GZ)

GZ)

6.函数j，=Zsin®x+9)®>0,4>0)的图象

(1)“五点法”作图：

设2="*+如令z=0,p兀，y,In,求出相应的x的值与j的值，描点、连线可得.

(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口.

(3)图象变换:

向左3>o)或向右3<0)

y=sinx平移勿个单位*y=sin(x+e)

横坐标变为原来的太“>0)倍

---------------卬-----^y=sin(cox+(o)

纵坐标不变了'邛'

纵坐标变为原来的44>0)倍

*^=Jsin(ryx+^).

横坐标不变

7.正弦定理及其变形

看=瘾=.=2/?(2尺为△NSC外接圆的直径).

变形：a=2Rs\nA,h=2Rs\nB9c=2Rs\nC.

・/a.b.cc

sm力=赤，smB=砺，sinC=赤.

a：b：c=sin4：sin6：sinC.

8,余弦定理及其推论、变形

a1=b2+c2—IbccosA,ft2=fl2+c2—laccosB,c2=a2+b2—labcosC.

22-2222222

田、人/>+caa+c-ba+/>—c

推论：cos^=~痂—,cos5=-玄—,cosC=—赤一".

222222222

变形：b-^c—a=IbccosA,a+c—b=2accosB9a+b—c=labcosC.

9.面积公式

S^ABC=~jb^\nA=^acs\n8=prbsinC.

10.解三角形

(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解.

(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一.

(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解.

(4)已知三边，利用余弦定理求解.

11.平面向量的数量积

⑴若“，6为非零向量，夹角为仇则”协=同例cos，.

(2)设“=(x”J。，6=(X2，㈤，贝！1。4=XM2+yij2・

12.两个非零向量平行、垂直的充要条件

若。=(*1，Jl)>b=(X2,J2)，贝U

m(3W0)QXU，2—x*i=0.

(2)a_L8C<rb=0。乂阳+yg=0.

13.利用数量积求长度

(1)若a=(x,y),则同=迎^=,*2+了.

(2)若N(x”弘)，5(x2，)2)，则

\AB\=7(X2-X1)2+&2171)2.

14.利用数量积求夹角

若。=(x”J1),6=(X2，力)，。为a与b的夹角,贝!jcos0=部|=耳煞;"臂+.中

15.三角形“四心”向量形式的充要条件

设。为△Z5C所在平面上一点，角4,B,C所对的边长分别为a,b,c,则

⑴。为△N8C的外心屈|=|油|=］沆尸前》

(2)0为AABC的重心e苏+油+注=0.

(3)。为△N5C的垂心"晶

(4)0为△NSC的内心O”晶+6加+c击=0.

I易错提醒____________________________

1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号.

2.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略比的取值范围.

3.求函数/(x)=/lsin(3x+o)的单调区间时，要注意4与3的符号，当。<0时，需把的符号化为正值后

求解.

4.三角函数图象变换中，注意由j=sinmx的图象变换得y=sin®x+°)时，平移量为J,而不是夕.

5.在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角“，避免增解.

6.要特别注意零向量带来的问题：0的模是0,方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行.

7。6>0是Q,b)为锐角的必要不充分条件；

〃协<0是<a,b)为钝角的必要不充分条件.

I回归训练__________________________________

1.2sin45°cos15°—sin30。的值等于()

A.1B.乎C坐D.l

答案C

解析2sin45°cos15°—sin30°=2sin45°cos15°—sin(45°—15°)=2sin45°cos15°—(sin45°cos15°—cos

45°sin15°)=sin45°cos150+cos45°sin15°=sin60°=乎.故选C.

2.要得到函数j，=sin2x的图象，可由函数j，=cos(2x-/)()

A.向左平移烹个单位长度得到

B.向右平移彦个单位长度得到

C.向左平移各个单位长度得到

D.向右平移:个单位长度得到

答案D

解析由于函数7=S皿2x=cos(j—2x)=cos(2x—=cos[2(x-yj)—j|,所以可由函数尸cos(2x—§向右

平移各个单位长度得到函数尸sin2x的图象，

故选D.

3.在NVIBC中，内角4B,C所对的边分别是a,b,c.若《2=("一方)2+6,C=p则△N5C的面积是()

A.3B.乎C.乎D.3小

答案C

解析c2=(a—力『+6,即，=/+力2—2/必+6,①

VC=j,由余弦定理得/=/+户一岫，②

由①和②得岫=6,

.„_1,.「3s

••S4ABe-2%加C—2X6X2一)，

故选C.

4.(1+tan18°)(1+tan27。)的值是()

A.巾B.1+V2C.2D.2(tan180+tan27°)

答案C

_,_.,tan180+tan27°

解析由题意得，tan(180+27°)=Ltanl80tan2k

„„tan180+tan27°

即----------------=1

rl-tan18°tan27°

所以tan180+tan270=1-tan18°tan27°,

所以(1+tan18°)(l+tan27°)=1+tan180+tan270+tan18°tan27°=2,故选C.

5.设△N5C的内角4B,C所对的边分别为a,b,c,若加osC+ccos8=asinN,则△/BC的形状为()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定

答案B

解析,.,bcosC+ccosB=a^\nA,

sinBcosC+cos8sinC=sin2/1,

.*.sin(B+Q=sin2/l,/.sin/I=1,三角形为直角三角形.

6.已知4B,C是锐角△/5C的三个内角，向量p=(sin/,1),q=(l,-cosB),则p与夕的夹角是()

A.锐角B.钝角C.直角D.不确定

答案A

解析♦.，/、B、C是锐角△NSC的三个内角，二4+皮彳，即N片一8>0,；.sinN>sing-5)=(：0§8,

，P，4=sinZ-cos8>0.再根据p,夕的坐标可得p,夕不共线，故,与g的夹角为锐角.

7./(x)=；sin(2x—鼻)+半cos(2x—§是()

A.最小正周期为27r的偶函数B.最小正周期为2兀的奇函数

C.最小正周期为rt的奇函数D.最小正周期为7T的偶函数

答案C

解析_/(x尸;sin(2x—*)+#cos(2xT)=sin(2xT+3=sin2x,是最小正周期为7r的奇函数，故选C.

8.已知a,6为同一平面内的两个向量，且”=(1,2),回=：同，若a+26与2“一/)垂直，则。与〃的夹角

为()

A.OC号D.n

答案D

解析|〃|=；|。|=坐，而(。+2妙(2〃-5)=0=2〃2—2/2+3b・a=0=5・q=—会从而cos⑸〃〉=,.谒=一

1,〈瓦a)=n,故选D.

9.在△Z5C中，内角4,B,。所对的边分别是a,b,c有下列命题：

①若A>B>Cf则sinA>sinB>sinC;

②若F1=一1=一工一，则△43C为等边二角形；

③若sin2/1=sinIB,则△/5C为等腰三角形；

④若(1+tan4)(1+tan5)=2,则△/5C为钝角三角形；

⑤存在4B,C使得tanNtanBtanC<tan/+tan5+tanC成立.

其中正确的命题为.(写出所有正确命题的序号).

答案①②④

解析若A>B>C9贝!]〃>〃>c=sin力,sinjB>sinC；

4cos力cosBcosCf]C0s力cosB.,,六、八,,ip—小匕一、)八，六八7g

右一^-=F-=~^,则而彳=而万=sm(N-5)=0=Z=5=〃=6,同理可得。=c,所以△力5c为等

边三角形；若$in2/=sin25,则24=28或24+26=冗，因此△/吕。为等腰或直角三角形；若(l+tanZ)(l

37r.

+tanB)=2,则tan力+tan3=1—tanNtanB,因此匕11(/4+4)=1=。=彳，A45c为钝角三角形；在^

ABC中，tan/4tanBtanC=tanN+tan5+tanC恒成立，

因此正确的命题为①②④.

10.若△45c的三边a,b,c及面积S满足5=/一(力一c)2,则§加力=.

fg8

答案17

解析由余弦定理得S=J一(A—c/=2)c—2bcco$/=，csin力，所以sin4+4cos4=4,由sin'+cos'

=1,解得sh?力+(1—普4『=1,sin4=*0舍去).

11.若tan6=3,贝!Jcos2^+sin仅o§0=.

答案5

解析Vtan0=39

.2.co§2，+sin夕cos81+tan81+32

==2=

,•cos'+sinecos0=tan^+l3+l5-

12.已知单位向量"，h,c,且alb,若，=勿+(1—。仇则实数，的值为.

答案1或()

解析C=s+(1—。〃=《2=/+(1—f)2=|c『=l=f=0或r=l.

13.在△/吕。中，角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足灰osZ=(2c+〃)cos(4+C).

(1)求角B的大小；

(2)求函数Hx)=2$in2x+sin(2x—8)(x£R)的最大值.

解(1)由已知，ftcosA=(2c+«)cos(n—B),

即sin5COST4=—(2sinC+sin/4)cosB,

即sin(/l+J?)=-2sinCeosB,

则sinC=_2sinCeosB,

cosB=-I，即5=竽・

27r27r

(2)/(x)=2sin2x+sin2xcoscos2xsin§

=jsin2x―乎cos2x=^/3sin(2x-,

即*=胃+4兀，时，./(x)取得最大值小.

14.已知函数/(x)=2cosx(sinx_cosx)+L

⑴求函数/a)的最小正周期和单调增区间;

(2)在△45C中，角4B,C的对边分别是〃，b,c,且锐角力满足加)=1,b=巾，c=3,求。的值.

解(1)f(x)=2sinxcosx—2cos2x+1

=sin2x-cos2x=^/2sin(2x-,

所以作)的最小正周期为兀

由一T+2ATTW2X—£W/+2ATT(A£Z),

得ATT—，WxWA?r+.(A£Z),

oo

所以/(x)的单调增区间为四一会Ak+小(AGZ).

(2)由题意知儿4)=也sin(2N-f)=l,

sin(24-£)=乎，

又：工是锐角，

由余弦定理得J=2+9-2XdiX3Xcos：=5,

.'.a=y[5.

四、数列

1.牢记概念与公式

等差数列、等比数列

等差数列等比数列

通项公式%=Qi+(〃-1)〃%=。1夕"।(夕W0)

,〃i(l一夕〃)a\—aq

⑴k1,S〃-；一：n

„"3+。").

前n项和nu\\—q1—q

Sn-2-\『2〃

(2)夕=1,Sn=n(i\

2.活用定理与结论

(1)等差、等比数列｛%｝的常用性质

等差数列等比数列

①若"1,〃，p,夕WN*,且〃i+〃=p+g,①若，"，",p,gGN*,且，〃+〃=p+q,

则一%+%贝！1a-a—aa

性mnpq

②%=4”+(〃一⑼〃②%

质

③，一品„，…仍成等比

③Sm，S2m—Sm9S3加一S2””…仍成等差数S"S2m-Sm,53",

列数列(S“#0)

(2)判断等差数列的常用方法

①定义法：

(常数)("GN*)=｛%｝是等差数列.

②通项公式法：

an=pn-\-q(p,夕为常数，〃GN*)<=>｛%｝是等差数列.

③中项公式法：

2an+i=a„+a„+2("eN*)o｛%｝是等差数列.

④前n项和公式法：

S^A^+Bn(A,8为常数，"GN*)=｛%｝是等差数列.

(3)判断等比数列的三种常用方法

①定义法：^是不为0的常数，"GN*)3｛%｝是等比数列.

②通项公式法：%=""(c,4均是不为0的常数，〃GN*)e｛%｝是等比数列.

③中项公式法：片+i=a,「a"+2(a"S+ra"+2W0，"GNj=｛%｝是等比数列.

3.数列求和的常用方法

⑴等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.

(2)形如｛%小,,｝(其中｛%｝为等差数列，｛瓦｝为等比数歹IJ)的数列，利用错位相减法求和.

通项公式形如%上0A、(其中用加