高考数学培优微专题《函数的周期性》解析版

么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做f(x)的最小正周期.(1)通过双f等式出周期：①若函数y=f(x)有两条对称轴x=a，x=b(a<b)②若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；③若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4(b-a).EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(1),2)2.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=3x-1,则f(2022)+f(2023)=__【解析】答案-13.(2018·江苏·高考真题)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R)，且在区间(-2,2]上，f(x)=函数解析式求结果.详解：由f(x+4)=f(x)得函数f(x(的周期为4，所以f=|-1+4.设f(x)为定义在R上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=【解析】思路：由f(x+2)=-f(x)可得：f(x(的周期T=4，∴考虑将f(7.5)用0≤x≤1中的函数值进行表示：f(7.5)=f(3.5(=f(-0.5(，此时周期性已经无法再进行调整，考虑利用奇偶性进行微调：f(-0.5(=-f(0.5(=-所以5.已知定义在R上的函数满足f=-1,则ff(3)=7.定义在R上的函数f(x(对任意x∈R，都有f(x+2(=,f(2(=，则f(2024(等于8.(2024·金华调研)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)，当-3≤x<-1时，f(x)=-(x+2)2，当-1≤x<3时，f(x)=x，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2025)=.解析：因为f(x+6)=f(x)，所以f(x)的周期T=6，于是f(1)=1，f(2)=2，f(3)=f(-3)=-(-3+2)2=-1，f(4)=f(-2)=-(-2+2)2=0，f(5)=f(-1)=-1，f(6)=f(0)=0，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1，而2025=6×337+3，所以f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(29.已知f(x(是定义在R上的函数，满足f(x(+f(-x(=0,f(x-1(=f(x+1(，当x∈(0,1(时，f(x(=-x2【解析】思路：由f(x-1(=f(x+1(可得f(x(是周期为2的周期函数，所以只需要求出一个周期内的最-(x-所以f(x(max=f(而由于f(x(为奇函数，所以在x∈(-1,0(时，f(x(min=f(-(=-f(，所以f(-(即为f(x(在(-1,1(的最小值，从而也是f(x(在R上的最小值10.定义在R上的函数f(x(满足f(x(=(x-2(,，则f(2024(的值为【解析】思路：所给f(x(的特点为x<0才有解析式能够求值，而x>0只能通过f(x(=f(x-1(-f(x-2(减少自变量的取值，由所求f(2009(可联想到判断f(x(是否具有周期性，x>0时，f(x(=f(x-1(-f(x-2(，则有f(x-1(=f(x-2(-f(x-3(，两式相加可得：f(x(=-f(x-3(，则f(x(=-f(x-3(=f(x-6(，即f(x(在x>0时周期是6，故f(2(=f(1(-f(0(=f(0(-f(-1(-f(0(=f(-1(=111.定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-2,则下列是周期函数的是()A.y=f(x)-xB.y=f(x)+xC.y=f(x)-2xD.y=f(x)+2x思路：由f(x+2(=2f(x(⇒f(x(=f(x+2(，可类比函数的周期性，f(-已知可得f(4(=所以f(2016(=解析：由f(x+π(=f(x(+sinx可知f((=f((+sin(+sin(=f((+sin所以可得：f(x(=x2-2x，所以f(x+4(=(x+4(2-2(x+4(=x2+6x+8,因为函数f(x(满足f(x+2(=3f(x(，所以f(x+4(=3f(x+2(=9f(x(，所以f(x(=f(x+4(=(x2+6x+8(，x∈[-4,-2[，解不等式可得t≥3或-1≤t<0.因为f(x+y(+f(x-y(=f(x(f(y(，令x=1,y=0可得，2f(1(=f(1(f(0(，所以f(0(=2，令x=0可得，f(y(+f(-y(=2f(y(，即f(y(=f(-y(，所以函数f(x(为偶函数，令y=1得，f(x+1(+f(x-1(=f(x(f(1(=f(x(，即有f(x+2(+f(x(=f(x+1(，从而可知f(x+2(=-f(x-1(，f(x-1(=-f(x-4(，故f(x+2(=f(x-4(，即f(x(=f(x+6(，所以函数f(x(的一个周期为6．因为f(2(=f(1(-f(0(=1-2=-1，f(3(=f(2(-f(1(=-1-1=-2，f(4(=f(-2(=f(2(=-1，f(5(=f(-1(=f(1(=1，f(6(=f(0(=2，所以一个周期内的f(1(+f(2(+⋯+f(6(=0．由于22除以6余4，所以f(k(=f(1(+f(2(+f(3(+f(4(=1-1-2-1=-3．故选：A.由f(x+y(+f(x-y(=f(x(f(y(，联想到余弦函数和差化积公式cos(x+y(+cos(x-y(=2cosxcosy，可设f(x(=acosωx，则由方法一中所以f(x(=2cos则f(x+y(+f(x-y(=2cos(y(+2cos(y(=4cosxcosy=f(x(f(y(，所以-2,f(4(=-1,f(5(=1,f(6(=2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，所以f(k(=f(1(+f(2(+f(3(+f(4(=1-1-2-1=-3．故选：A.16.(2021全国甲文)设f(x)是定义域为R的奇则f(-x)=-f(x)，则f(x)=-f(-x)=-f(6+x)=f(x+12)，则f(x)的最小正周期是12，故f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2.19.定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x)，且当-1≤x<0时，f(x)=2x-1，则f(log220)=【解析】解析：B依题意，知f(2+x)=f(-x)=-f(x)，则f(4+x)=f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为4.又2<log25<3，则-1<2-log25<0，所以f(log220)=f(2+log25)=f(log25-2)=+f(1)+f(2)+⋯+f(2022)的值为21.已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，且满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=【解析】(1)法一∵f(x)在R上是奇函数，且f(1-x)=f(1+x).∴f(x+1)=-f(x-1)，即f(x+2)=-f(x).因此f(x+4)=f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1-x)=f(1+x)，f(1)=2，故令x=1，得f(0)=f(2)=0，令x=2，得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2，令x=3，得f(4)=f(-2)=-f(2)=0，故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0，∴f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2.期为4，∴f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2.22.已知定义在R上的函数f(x)满足①f(x+2)=f(x),②f(x-2)为奇函数,③当x∈[0,1)时,恒成立,则f(-的大小关系正确的是答案f(-A．B．f(-1(=0C．f(2(=0D．f(4(=0【详解】因为函数f(x+2(为偶函数，则f(2+x(=f(2-x(，可得f(x+3(=f(1-x(，因为函数f(2x+1(为奇函数，则f(1-2x(=-f(2x+1(，所以，f(1-x(=-f(x+1(，所以，f(x+3(=-f(x+1(=f(x-1(，即f(x(=f(x+4(，因为函数F(x(=f(2x+1(为奇函数，则F(0(=f(1(=0，故f(-1(=-f(1(=0，其它三个选项未知.24.(2021·全国甲卷·高考真题)设函数f(x(的定义域为R，ff=ax2+b．若f(0(+f(3(=6，则f(【分析】通过f(x+1(是奇函数和f(x+2(是偶函数条件，可以确定出函数解析式f(x(=-2x2+因为f(x+1(是奇函数，所以f(-x+1(=-f(x+1(①;因为f(x+2(是偶函数，所以f(x+2(=f(-x+2(②.因为f(0(+f(3(=6，所以-(4a+b(+a+b=6⇒a=-2，f(-=f(-+1(=-f+1(=-f所以(=-f(因为f(x+1(是奇函数，所以f(-x+1(=-f(x+1(①;因为f(x+2(是偶函数，所以f(x+2(=f(-x+2(②.因为f(0(+f(3(=6，所以-(4a+b(+a+b=6⇒a=-2，所以(=f((=-f(A．B．f(x+7)为奇函数A.曲线y=f(x)关于直线x=1轴对称B.f(x)是以4为周期的周期函数C.f(1)+f(2)+⋯+f(2023)=0D.曲线y=f(x)关于点(3,0)对称27.已知定义域为R的函数y=f(x(在[0,7[上只有1和3两个零点，且y=f(x+2(与y=f(x+7(都是偶f(x+2(,f(x+7(为偶函数可得f(x(关于x=2,x=7轴对称，从而判断出f(x(是周期函数，且f(x+7(为偶函数∴f(x+2(=f(-x+2(,f(x+7(=f(-x+7(∴f(x(关于x=2,x=7轴对称∵f(x(关于x=2,x=7轴对称∴f(x(=f(4-x(,f(x(=f(14-x(∵f(1(=f(6(=0f(8(=f(14-8(=f(6(=0f(3(=f(4-3(=f(1(=0f(2011(=f(1(=0,f(2013(=f(3(=0共两个答案ABC【解析】由题设f(-x-1)=-f(x-1)，则f(x)关于(-1,0)对称，即f(x)=-f(-x-2)，f(x+1)=f(-x+1)，则f(x)关于x=1对称，即f(x)=f(2-x)，所以f(2-x)=-f(-x-2)，则f(2+x)=-f(x-2)，故f(x)=-f(x-4)，所以f(x-4)=-f(x-8)，即f(x)=f(x-8)，故f(x)=f(x+8)，f(x)+lgx=0的根等价于f(x)与y=-lgx交点横坐标，28.(多选)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x)=f(x+4)+f(2),若函数y=f(x+3)的图象关于直线x=2-x1)(f(x2)-f(x1))>0,则下列结论正确的是()A.f(2)=0B.f(x)是奇函数C.f(x)是周期为4的周期函数D.f(3)<f(-4)29.(多选题)(2024·山东烟台·统考二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(4+x)=0，f(2+2x)是偶函A.f(x(是奇函数B.f(2023(=-1C.f(x(的图象关于直线x=1对称D.=-100∴函数f(x)关于直线x=2对称，∴f(-x(=f(4+x(，∵f(x)+f(4+x)=0，∴f(-x(=-f(x(，∴f(x(是奇函数，则A正确；对于选项B，∵f(4+x)=-f(x)，∴f(8+x)=-f(4+x)，∴f(8+x)=f(x),:f(x(的周期为8，:f(2023(=f(253×8-1(=f(-1(=-f(1(=-1，则B正确；对于选项C，若f(x(的图象关于直线x=1对称，则f(3(=f(-1(，但是f(-1(=-f(1(=-1，f(3(=f(1(=1，即f(3(≠f(-1(对于选项D，将x=代入f，得f(3(=f(1(=1，将x=1，代入f(x)+f(4+x)=0，得f(5(=-f(1(=-1，同理可知f(7(=-f(3(=-1，又“f(x(的周期为8，:f(x(正奇数项的周期为4，30.(多选题)(2024·山东滨州·统考二模)函数y=f(x(在区间(-∞,+∞(上的图象是一条连续不断的曲线，且满足f(3+x(-f(3-x(+6x=0，函数f(1-2x(的图象关于点(0,1(对称，则()A．f(x(的图象关于点(1,1(对称B．8是f(x(的一个周期C．f(x(一定存在零点D．f(101(=-299【解析】对于A,由于f