特殊三角形问题（二次函数综合）专项练 2025年中考数学二轮复习备考

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页特殊三角形问题（二次函数综合）专项练2025年中考数学二轮复习备考1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点，与轴交于点．(1)求二次函数的解析式；(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在第一象限时，过点作轴于点，与线段交于点，是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．2．综合与探究如图，抛物线过点，和，连接，为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)当点在直线上方，且，时，求点的坐标；(3)当为等腰三角形时，求m的值为______；(4)是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线经过两点，与轴的另一个交点为，顶点为．(1)求该抛物线的函数解析式．(2)若为该抛物线上一动点（与点不重合）．①当点在直线的下方运动时，求面积的最大值；②在①的条件下，连接，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为是抛物线对称轴上的点，要使，求满足条件的点的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线．(1)求该抛物线对应的函数解析式．(2)在轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若是直线下方抛物线上一动点，则当点的坐标为_______时，面积最大．5．如图，已知抛物线与x轴交于点，B，与y轴交于点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点K是抛物线的对称轴直线l上一动点，点在直线l左侧的抛物线上，点N在点M的左侧，已知为等腰直角三角形，且，设点的横坐标分别为，探究的值是否为定值，若是，求的值；若不是，请说明理由；(3)如图2，点P是y轴左侧抛物线上一点（不与点A重合），过点P作轴，垂足为点D，直线与直线交于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，求点P的坐标．6．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过两点，与x轴交于点B．(1)若直线经过B，C两点，求直线解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标；(3)设P为对称轴上的一个动点，直接写出为直角三角形的点P的坐标．7．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值；(3)如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．8．在平面直角坐标系中，规定：抛物线的“伴随直线”为．例如：抛物线的“伴随直线”为，即．(1)在上面规定下，抛物线的顶点坐标为__________，“伴随直线”为__________．(2)如图，顶点在第一象限的抛物线与其“伴随直线”相交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，．若为等腰三角形时，求的值．9．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)当时，抛物线的对称轴为；当时，抛物线的对称轴为；当a为任意负实数时，抛物线的对称轴为．(2)求证：无论a取什么值，抛物线恒过两个定点，并求出这两个定点的坐标．(3)当时，如图2，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．Q是抛物线上的一个动点，且在第二象限内，过点Q作直线轴，交于点M，P是y轴上一点，当时，求出点M的坐标．10．如图，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．

(1)求点和点的坐标；(2)求线段的最大值及此时点的坐标；(3)当最大时，在二次函数的图象上是否存在点，使以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线L：与x轴交于A、两点（A在B的左侧），与y轴交于点，已知对称轴.

(1)求抛物线L的解析式；(2)将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围；(3)设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：上，能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，请说明理由．12．如图，点，，均在抛物线上，点在轴上，且，绕点顺时针旋转后两边与轴、轴分别相交于点，．

(1)求抛物线的解析式；(2)能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点的坐标；若不能，请说明理由；(3)若是等腰三角形，求点的坐标．13．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求该抛物线的表达式；(2)点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，求点的坐标及的最大值；(3)在（2）的条件下，过点作轴的垂线，在上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，B点坐标为．与y轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点．当是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．15．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．

(1)抛物线过定点，直接写出定点的坐标（_______，_______）；(2)如图1，当时，把过点的直线向下平移个单位后，交抛物线于，（点在对称轴的右边），交抛物线对称轴于，交轴于，若，求的值；(3)如图2，抛物线与轴交于点，过作轴与抛物线交于点，在直线上是否存在唯一一点，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《特殊三角形问题（二次函数综合）专项练2025年中考数学二轮复习备考》参考答案1．(1)(2)存在点，使得与相似点坐标为或【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，相似三角形的判定和性质是关键．（1）运用待定系数法求解即可；（2）根据题意得到直线的解析式为，是等腰直角三角形，分类讨论：第一种情况，如图所示，第二种情况，如图所示，，作点作与点；根据等腰直角三角形的性质列式求解即可．【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和点，与轴交于点，∴设二次函数解析式为，∴，解得，，∴二次函数解析式为；（2）解：∵，∴，且，∴是等腰直角三角形，设直线的解析式为，∴，解得，，∴直线的解析式为，第一种情况，如图所示，，∴是等腰直角三角形，，点是二次函数图象上的一个动点，点在第一象限，过点作轴于点，与线段交于点，∴设，则，，∴，∴，解得，（舍去），，∴，∴；第二种情况，如图所示，，作点作与点，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，解得，（舍去），，∴，∴；综上所述，存在点，使得与相似点坐标为或．2．(1)(2)(3)或或(4)存在，或【分析】（1）利用待定系数法求出即可得；（2）先根据直线的解析式求出点的坐标，进而表示出，根据三角形的面积公式，列出方程，解方程，即可求解；（3）利用两点之间的距离公式分别求出，和的值，然后分三种情况：①，②，③，建立方程，解方程即可得；（4）先求得，当在的上方时，过点作轴的平行线，过点作，延长交于点，则，轴，得出，根据正切的定义得出，求得点的坐标；当在的上方时，设与关于对称的对称点为，则另一个为射线与抛物线的交点，进而求得的坐标，求得直线与抛物线的交点，即可求解．【详解】（1）解：将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为；（2）设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为．，轴交直线于点，交轴于点，，∴∴∵∴解得：∴∴（3）解：，轴交直线于点，交轴于点，，，，，，①当时，为等腰三角形，则，即，解得或（不符合题意，舍去）；②当时，为等腰三角形，则，即，解得或（不符合题意，舍去）；③当时，为等腰三角形，则，即，解得，综上，或或．（4）解：由，当时，解得：∴当在的上方时，如图所示，过点作轴的平行线，过点作，延长交于点，则，轴，∵和，∴，又∵∴是等腰直角三角形，∴∵，∴又∵∴∵轴，∴∴，∴，，，∴∴解得：或（舍去）∴，∴当在的上方时，设与关于对称的对称点为，∴∴另一个为射线与抛物线的交点，如图所示，设，则在直线上，∴①又∵∴②联立①②并解得：或（舍去）∴设直线的解析式为，代入∴解得：∴直线的解析式为联立解得：（舍去）或综上，存在这样的点，此时点的坐标为或．【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、一次函数的几何应用、解直角三角形、等腰三角形等知识点，正确的作出辅助线以及分情况讨论是解题关键．3．(1)(2)①；②或【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，二次函数与面积，全等三角形的性质．（1）将两点分别代入列方程计算即可；（2）①过点作轴的平行线，交于点，连接，，先求出直线的函数解析式为，再设点，则点，根据求面积最大值即可；②由，得到，设点，则，或，再根据点在抛物线对称轴右侧或左侧时，列方程求出，的值即可．【详解】（1）解：将两点分别代入，得，解得，该抛物线的函数解析式为．（2）解：①如图，过点作轴的平行线，交于点，连接，．设直线的函数解析式为．将两点分别代入，得，解得，直线的函数解析式为．设点，则点，，，，且，当时，的面积有最大值，最大值为．②由（1）易知，抛物线的对称轴为，，∵，∴，设点，∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为是抛物线对称轴上的点，∴，或，当点在抛物线对称轴右侧时，，，，，，或．当点在抛物线对称轴左侧时，，，，，，或与点在直线的下方矛盾，应舍去．所以，点的坐标为或．4．(1)(2)存在，或(3)【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到面积的计算、直角三角形的性质，分类求解是解题的关键．（1）由待定系数法即可求解（2）当是斜边时，根据勾股定理列出等式即可求解∶当或为斜边时，同理可解；（3）由即可求解．【详解】（1）解：将点，代入，得即解得则该抛物线对应的函数解析式为．（2）答：存在．理由：由抛物线的函数解析式知，当时，点的坐标为．设点的坐标为，则，，．当是斜边时，则，解得，即点的坐标为或(舍去，此时点和点重合，不能构成三角形)．当或为斜边时，同理可得或，解得或，即点的坐标为或(舍去)．综上，点点的坐标为或．（3）解：如图，过点作轴交于点，连接，．设直线的表达式为，将点，代入，得解得．则直线的表达式为：．设点，则点，．，当时，面积最大，最大值为8．此时，点5．(1)(2)的值是定值，定值为(3)或【分析】（1）将代入，利用待定系数法求解即可；（2）设直线l与x轴交于点Q,过M作于H，过N作于G，先证，再得出，根据化简可得，即可得出结论；（3）当点P在第二象限和第三象限两种情况，设，求出直线的解析式，证明，列出等式，求出p值即可．【详解】（1）将代入，得，解得，∴抛物线的函数解析式为；（2）由（1）知抛物线的函数解析式为，∴对称轴l为直线，∵点的横坐标分别为，∴，设直线l与x轴交于点Q，过M作于H，过N作于G，则，∵为等腰直角三角形，,∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．∴的值是定值，定值为．（3）分两种情况，当点P在第二象限时，如图：设，则，∵，设直线的解析式为，则有，解得，∴直线的解析式为，∴，∵轴，∴轴，∴，∵点E关于直线的对称点落在y轴上，∴，∴，∴，∴，解得或0(舍去)，∴点P的坐标为，当点P在第三象限时，如图，同理可得，，解得或0(舍去)，∴点P的坐标为，综上可知，点P的坐标为或．【点睛】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求二次函数解析式，一次函数，两点间距离公式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．6．(1)，(2)(3)点P的坐标为或或或【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等；（1）用待定系数法即可求解；（2）设直线与对称轴的交点为M，根据轴对称性质可知，由此可知，即最小时的值最小，进而求解；（3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，∴，设抛物线的表达式为，将代入上式得：，解得，∴抛物线的解析式为：；把，代入得：，解得，∴直线的解析式为；（2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，把代入直线得，故，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为；（3）设，∵，，∴，若点B为直角顶点时，则，即，解得；若点C为直角顶点时，则，即解得，若P为直角顶点时，则，∴，解得，综上，点P的坐标为或或或．7．(1)(2)的周长的最小值，点M的坐标为(3)存在，或或【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）连接交于点M，此时最小，进而求解；（3）分、两种情况，然后分别求解即可．【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）解：如图，连接交于点M，此时最小，又因为是定值，所以此时的周长最小．令时，则有，即，∴，，同理，∴此时的周长；是抛物线的对称轴，抛物线与x轴交点和，，对称轴为，由，得，，又∵点M在第四象限，且在抛物线的对称轴上，；（3）解：存在这样的点P，使是以为腰的等腰三角形．设直线的解析式为，把点B、C坐标代入得：，解得：，∴直线的解析式为，∵点P的横坐标为m，∴点，点，则，，，当时，则，解得（舍去）或4；当时，则，解得（舍去）或；综上，或或．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．8．(1)，(2)【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，以及新定义，是解题的关键．（1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式；（2）联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点A、B的坐标，还可求得抛物线与x轴的交点C、D的坐标，从而可求得，根据图形可知为等腰三角形时，只能是，从而可求得a的值；【详解】（1）解：的顶点坐标为，“伴随直线”为；故答案为：，；（2）解：的伴随直线为，即，联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，，，在中，令可解得或，，，，，当为等腰三角形时，只存在一种可能为，如图所示，，即，解得（抛物线开口向下，正值舍去）若为等腰三角形时，a的值为．9．(1)直线；直线；直线(2)抛物线恒过两个定点，定点坐标为，；(3)点M的坐标为．【分析】（1）根据对称轴公式，代入数据求解即可；（2）二次函数整理得，当时，取值与无关，解方程即可证明；（3）设，则，由，结合平行线的性质推出，得到，利用两点之间的距离公式列式计算即可求解．【详解】（1）解：当时，抛物线为，对称轴为直线；当时，抛物线，对称轴为直线；当a为任意负实数时，抛物线的对称轴为直线；故答案为：直线；直线；直线；（2）证明：，当时，取值与无关，，解得，，∴抛物线恒过两个定点，定点坐标为，；（3）解：当时，抛物线的解析式为，令，则，令，则，解得或，∴，，设直线的解析式为，则，解得，∴直线的解析式为，设，则，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，整理得，解得（舍去），，∴点M的坐标为．【点睛】本题考查的是二次函数的综合问题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，全等三角形的性质，理解题意是解本题的关键．10．(1)(2)当时，线段的最大值为4，此时点的坐标为(3)存在，或或【分析】（1）令时，求解即可；（2）求出C点坐标，进而直线的解析式，设出P点，表示出，利用配方法即可求解；（3）设出点Q，分三种情况讨论，作出辅助线①如图1，当点A为直角顶点时，即，②如图2，当点P为直角顶点时，即，③如图3，当点Q为直角顶点时，即，构造相似三角形进行求解即可．【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于和两点，当时，即，解得：，；（2）解：当时，，，设直线的解析式为，则，解得：，直线的表达式为，设，则，，，当时，线段的最大值为4，此时点的坐标为；（3）解：存在．设，如图①，当点为直角顶点时，即，此时，点在第二象限，，过点作轴于点，过点作轴于点，

，，则，，，，又，，，即，解得：（舍去）；如图②，当点为直角顶点时，即，此时，点在第四象限，，

过点作轴于点，过点作轴于点，过点作垂足为点，，，由图②可知，，，，，，又，，即，解得：（舍去）；如图③当点为直角顶点时，即，过点作轴于点，过点作于点，

，由图③可知，，，，，，又，，即，解得：，即点与点重合；综上所述，点的坐标为或或．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质，二次函是与线段的综合应用，特殊三角形的存问题，三角形相似的判定与性质解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．11．(1)；(2)；(3)能，P的坐标是或或或．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）先求出直线解析式为，再求出抛物线顶点坐标，得出当时，；结合抛物线顶点坐标即可得出结果；（3）设，，由勾股定理得出，，，过P点作垂直于y轴，交y轴于M点，过B点作垂直于的延长线于N点，由AAS证明≌，得出，，则，，得出方程，解方程即可．【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，∴∵抛物线过点∴当时，．又∵抛物线过点，，∴，∴，∴抛物线的解析式为：；（2）解：∵，，∴直线解析式为，∵，∴顶点坐标为，对于直线：，当时，；将抛物线L向下平移h个单位长度，∴当时，抛物线顶点落在上；当时，抛物线顶点落在上，∴将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内(包括的边界)，∴；（3）解：设，，①当P点在x轴上方时，过P点作垂直于y轴，过B点作垂直于的延长线于N点，

∵，∵是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，∴，，则，，在和中，，∴≌，∴，∵，根据B点坐标可得，且，∴，解得：或，∴或．②当P点在x轴下方时，过P点作垂直于l于M点，过点作垂直于的延长线于；

同理可得，∴，∴，，则，解得或．∴P(，)或(，)．综上可得，符合条件的点P的坐标是或或或．【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了用待定系数法求出抛物线的解析式、抛物线的顶点式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，通过作辅助线构造三角形全等是解题的关键．12．(1)；(2)能，点的坐标为；(3)点的坐标为或或．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）作轴于点，轴于点，求得顶点坐标，求得直线即的解析式，得出点的坐标，证明，据此求解即可；（3）证明，求得，分三种情况讨论，即可求解．【详解】（1）解：由抛物线与轴的两个交点，的坐标，可以由两根式设抛物线解析式为，然后将点坐标代入得：，解得：，故抛物线解析式为；（2）解：作轴于点，轴于点，

，∴顶点坐标为，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线即的解析式为，点坐标为．∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴能经过抛物线的顶点，此时点的坐标为；（3）解：同理求得直线方程为，作轴于点，轴于点．

∵，∴四边形是正方形，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴，则是等腰三角形可以有三种情形：①．则，，则点坐标为；②，则点坐标为；③，设．∵，即，，∴，解得，∴，综上，点的坐标为或或．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，涉及到了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，用待定系数法求解析式等，充分考查学生的综合运用能力和数形结合的思想方法．13．(1)抛物线的表达式为(2)，的最大值是(3)存在，是直角三角形时，点的坐标为或或或，理由见详解【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）如图所示，过点作轴交于点，过点作轴交于点，设，根据平行线分线段成比例，将的值转换为，用含的一元二次方程表示的比值，根据关于的二次函数即可求解；（3）根据题意，分类讨论：①当时，是直角三角形；②当时，是直角三角形；③当时，是直角三角形；根据相似三角形的判定和性质，图形结合分析即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，∴，解得，，∴抛物线的表达式为．（2）解：如图所示，过点作轴交于点，过点作轴交于点，∴，∴，抛物线与轴的交点的坐标为，设直线所在直线的解析式为，且，∴，解得，，∴直线的解析式为，∵点在抛物线的图像上，且点在直线下方，∴设，∴点的横坐标为，且点在直线的图像上，∴，∴，∵点，∴点的横坐标为，且点在直线的图像上，∴，∴，∴，∴当，有最大值，且最大值为，∴，的最大值为．（3）解：存在，是直角三角形时，点的坐标为或或或，理由如下：由（2）可知，，过点作轴的垂线，点在直线上，∴点的横坐标为，①当时，是直角三角形，如图所示，过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，∵，是直角三角形，∴，，∴，∴，∵，，∴，，且，∴，即，∴，∴；②当时，是直角三角形，如图所示，过点作轴于点，∵，，∴，∴，且，点在过点的直线上，即点的横坐标为，∴,∴，即，∴，∴；③当时，是直角三角形，如图所示，在中，，∴线段，∵，，∴线段的中点的坐标横坐标为，纵坐标为，∴，∵点在过点的直线上，即点的横坐标为，∴点在直线上，设，在中，线段是斜边的中线，即，∴，解得，或，∴或；综上所述，是直角三角形时，点的坐标为或或或．【点睛】本题主要考查二次函数图像与几何图形综合，掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像的性质，几何图形的性质等知识的综合是解题的