湖北省楚天协作体2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题 含解析

学年度下学期高二期中考试高二数学试卷命题学校：云梦一中命题救师：孙小锋审题学校：安陆中考试时间：年4月日下午：：试卷满分：分注意事项：题卡上的指定位置选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.答题卡上的非答题区域均无效.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求.【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且，所以直线的斜率为，又因为线段的中点为，所以直线的方程为，整理可得.故选：C.2.若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为（）第1页/共19页A.B.9C.D.12【答案】B【解析】【分析】由离心率的定义即可求解.【详解】由题意可知：，所以，解得：，故选：B3.已知为等差数列的前n项和，若，，则的值为（）A.21B.20C.19D.18【答案】A【解析】【分析】根据等差数列项的性质结合求和公式及通项公式计算求解.【详解】因为为等差数列的前n项和，设公差为，所以，，即得，所以，所以，则.故选：A.4.点P是曲线上任意一点，则点P处切线倾斜角的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求导，确定导函数值域，结合倾斜角与斜率的变化关系进而可求解.第2页/共19页【详解】由，可得：，即，结合倾斜角与斜率的变化关系可知取值范围为，故选：B5.若双曲线的两渐近线的夹角为，实轴长为6且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（）A.B.或C.D.或【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的渐近线的对称性，求出渐近线的倾斜角，建立方程求解即得.【详解】因两渐近线的夹角为，由双曲线渐近线的对称性可知双曲线的一条渐近线的倾斜角为或，即得或，解得或..故选：D.6.已知m，且，则下列结论错误的是（）A.B.C.D.若，则【答案】A【解析】【分析】由组合数、阶乘的计算公式逐个判断即可.【详解】，，，A错误；第3页/共19页，B正确；，，C正确，由，可得，即，又，解得：，D正确；故选：A7.已知数列的前n项和为，前n项的积为，若，当取最小值时，（）A.10B.C.12D.12或13【答案】C【解析】【分析】根据给定的递推公式求出，再由单调性求得答案.【详解】，，当时，，两式相减得，而，解得，因此数列是等比数列，，数列是递增正项数列，，因此，所以当取最小值时，.故选：C8.设，，，则a、b、c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分别化为，第4页/共19页利用导数判断函数的单调性即可.【详解】，，，令，则，令，则，所以在单调递减，所以，即，所以在单调递减，因为，所以，即，所以.故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，圆，则下列命题正确的有（）A.直线l过定点B.若直线l过C点，则C.存在实数t，使得直线l与圆C相切D.若直线l与圆C相交于A，B两点，则A，B两点间的最短距离为【答案】AB【解析】【分析】对于A，根据直线方程特点易得；对于B，将点代入，计算即得；对于C，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程，由方程的根的情况判断；对于D，根据直线过圆内的定点时弦长第5页/共19页而排除.【详解】对于A，直线显然经过点，故A正确；对于B，直线l过点，则有，则，故B正确；对于C，由圆心到直线的距离，可得，显然的值不存在，故C错误；对于D，由垂径定理，要使弦长最短，需使圆心到直线的距离最长，而直线l过定点，当且仅当时，，此时，，但是，此时轴，直线的斜率不存在，显然不合题意，故D错误.故选：AB.10.对任意实数x，有.则下列结论正确是（）A.B.（，1，，9）的最大值为C.D.【答案】BCD【解析】【分析】利用赋值法可判断A；由，可判断为负，为正，计算可判断B；令，计算可判断C；结合B计算可判断D.【详解】对于A，令，得，故A错误；对于B，由，则展开式的通项公式为，第6页/共19页所以为负，为正，当时，计算可得，，，，，所以（，1，，9）的最大值为，故B正确；对于C，令，可得，令，可得，所以，又，可得，故C正确；对于D，由B可知，故D正确.故选：BCD.已知函数（）存在两个极值点，（，.设的零点个数为m，方程的实根个数为n，则（）A.B.n的取值为2、3、4C.D.mn的取值为3、6、9【答案】AD【解析】，.【详解】由，可得为二次函数，（）为的零点，由，得或，因为，令，解得或；令，解得，所以在和内单调递增，在内单调递减，则为极大值点，为极小值点，第7页/共19页所以，又，，即，若，则，此时，与矛盾，故A正确；因为，所以有2个解，有1个解，所以有3个解，故B错误；当时，如图所示，零点个数为，所以，，故，当时，如图所示，的零点个数为，所以，，故，当时，如图所示，的零点个数为，所以，，故，故C错误，D正确.故选：AD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.第8页/共19页12.已知圆和圆，则两圆的公共弦长为__________.【答案】【解析】【分析】先求出相交两圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心到公共弦直线的距离，根据弦长公式即可求得公共弦长.【详解】如图，由圆与圆相减，整理可得两圆的公共弦所在直线方程为：，由圆的圆心到直线的距离为，由弦长公式，可得两圆的公共弦长为.故答案为：.13.某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”“舞动青春”“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为__________.（用数字作答）【答案】360【解析】0人参加“舞动青春”社团和分别计算方法数，根据分类加法计数原理，结合排列组合公式计算即得方法数.【详解】(1)计算0人参加“舞动青春”社团的方法数：将第9页/共19页可先将人分成，，三组，有种，再将这三组在三个社团上全排列，可得，故方法数为种；(2)计算人参加“舞动青春”社团的方法数：先从人中选人参加“舞动青春”社团，有种.然后将剩下的可将人按照，或，，分组①若按照，分组，则有种，再将分好的两组全排列，安排到三个社团中的两个，则有种，故方法数为种；②若按照，，分组，则有种，再将这三组在三个社团上全排列，则有，故方法数为种.故有人参加“舞动青春”社团的方法数为种.综上(1)，(2)，这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为：种.故答案为：360.14.已知且，集合和集合，若，则实数a的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】分和两种情况讨论集合，进而可求解.【详解】或，当，对于等价于，若，则，故此时不等式不成立，即此时一定落在的内部，满足，第10页/共19页若，要满足，需满足对于在恒成立，即，即，构造函数，求导可得：，由，可得，由，可得，所以在单调递增，在单调递减，最大值为，所以，即，综上可知：实数a的取值范围为四、解答题：本题共5小题，共分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.已知的展开式中的第项、第项和第项的二项式系数成等差数列.（1）求的值.（2）记，求被除的余数.【答案】（1）（2）【解析】1）根据题意可得出，可得出关于的方程，由题意得出，可解出的值；（2）由题意得出，结合二项展开式可求出除余数.【小问1详解】的展开式的第项、第项和第项的二项式系数依次为、和，第11页/共19页由题意有，即，整理得，因为，解得.【小问2详解】因为，所以，，所以能被整除因此，被除的余数为.16.已知数列满足，（）.（1）证明：数列是等比数列.（2）设，求.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）对取倒数，整理得，然后利用等比数列定义即可证明；（2）先利用等比数列通项公式求得，然后利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】第12页/共19页数列满足，（则，∴，又∵，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）知，则（∴，∴.17.已知函数，（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数有最小值，且的最小值大于，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】第13页/共19页1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程即可求得切线方程；（2）将函数求导后分类讨论推得，且有最小值，依题意，需使，即，构造函数确定a的取值范围.【小问1详解】当时，，∴，故∴曲线在处的切线方程为：，即.【小问2详解】因的定义域为，当时，，则在上单调递增，无最小值；故.由得，由得，∴在上单调递增，在上单调递减，∴当时，有最小值，依题意，，即，∵，∴，设，因，则在上单调递增，又，故由可得，即，解得，故实数a的取值范围是.18.已知以为焦点的抛物线C的顶点为原点，点P是抛物线C的准线上任意一点，过点P作抛物第14页/共19页线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，设直线PA，PB的斜率分别是和.（1）求抛物线C的标准方程及其准线方程.（2）求证：为定值.（3）求面积的最小值.【答案】（1）标准方程为，准线方程为（2）证明见解析（3）16【解析】1）根据焦点坐标求解即可；（2）设切线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可；（3）直线AB的方程为，将其与抛物线方程联立，利用得到且，再利用弦长公式和两点间距离公式求解即可.【小问1详解】由题意知抛物线C的标准方程为（）且，∴，∴抛物线C的标准方程为，准线方程为；【小问2详解】证明：设点P的坐标为，，由题意知过点P与抛物线C相切的直线的斜率存在且不为0，设切线的斜率为k，则切线的方程为，联立方程组，消去x，得，第15页/共19页∴得（*又∵、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值；【小问3详解】由题知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，，联立方程组整理得，，∴，，∵，∴，整理得，代入有，∴，∴且，∴AB：，故直线AB过定点.∴，，∴，点P到直线AB的距离为，∴，因函数在单调递增，而，∴当时，，所以面积的最小值为.19.已知函数.第16页/共19页（1）证明：当时，.（2）设，令.（ⅰ）讨论的单调性.（ⅱ）若存在两个极值点，（.【答案】（1）证明见解析（2【解析】1）当，，通过分析函数单调性，求得即可得证.（21）求导，再分和两种情况讨论求解.存在两个极值点和的两个极值点满足，化简转化为，令，用导数证明即可.【小问1详解】在定义域内