中考专题之勾画隐圆,破解最值教学设计 2023-2024学年北师大版数学九年级下册

中考专题之勾画隐圆,破解最值教学设计2023-2024学年北师大版数学九年级下册授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间课程基本信息1.课程名称：中考专题之勾画隐圆，破解最值

2.教学年级和班级：九年级（1）班

3.授课时间：2023年11月15日，星期三，第3节课

4.教学时数：1课时

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同学们，咱们今天来点不一样的数学游戏——勾画隐圆，破解最值！这可是中考数学中的一大亮点，咱们得好好研究研究。别急，咱一步步来，先从课本出发，再结合实际，让数学变得更有趣！🌟📚🎯核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算等核心素养。通过勾画隐圆，学生能够提升空间想象力和几何直观能力；破解最值问题则锻炼了学生的逻辑推理和数学建模能力。同时，通过实际操作和问题解决，学生将增强数学运算的灵活性和准确性。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

同学们在之前的几何学习中已经接触过圆的相关知识，对圆的半径、直径、周长和面积等基本概念有所了解。此外，我们之前也学过如何利用坐标系来表示点和图形，这对于理解隐圆的概念是必要的。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

大部分学生对数学持有一定的好奇心和兴趣，尤其是对解决几何问题。他们在解决问题时表现出较强的逻辑思维能力和空间想象能力。学生的学习风格多样，有的学生偏好通过直观图形来理解问题，有的则更擅长通过公式和代数方法进行计算。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

部分学生在理解和应用隐圆的概念时可能会遇到困难，因为他们可能难以在脑海中形成隐圆的直观形象。此外，对于破解最值问题，学生可能会在构建数学模型和解方程方面感到挑战。一些学生可能对数学运算不够熟练，这也可能会影响他们在解决问题时的表现。因此，教学过程中需要特别关注这些潜在问题，提供足够的指导和练习机会。教学方法与策略1.教学方法：我将采用讲授与讨论相结合的教学方法，确保学生对基本概念有清晰的理解。同时，通过小组合作，鼓励学生参与讨论，培养他们的合作精神和批判性思维。

2.教学活动：设计“隐圆寻宝”游戏，让学生通过实际操作找到隐圆的位置，加深对隐圆概念的理解。此外，通过案例研究，让学生分析实际问题，提升解决问题的能力。

3.教学媒体：利用多媒体课件展示几何图形，通过动态演示隐圆的形成过程，帮助学生直观理解。同时，结合实物模型和教具，让学生在实际操作中感受几何知识的魅力。教学过程【导入】

（老师）同学们，今天我们要一起探索一个有趣的数学世界——勾画隐圆，破解最值。在开始之前，请大家回忆一下我们之前学习的圆的性质，比如半径、直径、周长和面积，这些都是我们今天学习的基础。

【新课导入】

（老师）好，现在让我们进入今天的主题。首先，我要请大家看一个简单的图形，这是一个圆，它的中心点是O，半径是r。那么，如果我问你们，这个圆的周长是多少？面积又是多少？你们能迅速回答出来吗？

（学生）周长是2πr，面积是πr²。

（老师）很好！接下来，我想问大家一个问题：如果这个圆被一个完全覆盖它的正方形所包围，那么这个正方形的边长会是多少呢？你们能通过圆的半径来计算这个正方形的边长吗？

（学生）可以通过勾股定理来计算，正方形的对角线长度等于圆的直径，即2r，所以对角线的一半就是r√2，因此正方形的边长是r√2。

（老师）太棒了！那么，如果这个圆不是明明白白地画出来的，而是隐藏在某个图形中，我们该如何找到它呢？这就是我们今天要学习的“勾画隐圆”。

【活动一：隐圆寻宝】

（老师）现在，请大家拿出你们的几何工具，我会在黑板上画一个复杂的图形，其中包含一个隐圆。你们的任务是找到这个隐圆，并画出它的轮廓。

（学生）（分组讨论，动手操作）

（老师）好，现在请每组派一个代表上来展示你们找到的隐圆。

（学生）展示自己的发现，老师给予点评和指导。

【活动二：破解最值】

（老师）接下来，我们来破解一个最值问题。假设有一个长方形，它的长是圆的直径，宽是圆的半径。我们要找出这个长方形的面积最大是多少。

（学生）通过计算和讨论，得出面积最大值。

（老师）很好，你们使用了什么方法来解决这个问题？

（学生）我们通过建立函数关系，然后求导找到函数的最大值。

【教学演示】

（老师）现在，我会在黑板上演示如何通过数学建模来解决这个问题。首先，我们设长方形的长为2r，宽为r，那么面积S就是2r乘以r，即2r²。接下来，我们要找到S的最大值。

（学生）观察老师的演示，跟随老师的思路。

（老师）通过求导，我们得到S的导数为4r，令导数为0，解得r=0，这是不可能的，因为r代表半径，不能为0。所以，我们考虑r的正值，当r=1时，S达到最大值，即S=2。

【课堂练习】

（老师）现在，请大家完成以下几个练习题，巩固今天所学的知识。

（学生）独立完成练习题，老师巡视指导。

【总结】

（老师）今天我们学习了勾画隐圆和破解最值的问题。通过今天的活动，我相信大家已经对这两个概念有了更深的理解。记住，数学不仅是一门学科，更是一种解决问题的工具。希望大家在今后的学习中，能够将所学知识应用到实际生活中。

【课后作业】

（老师）请大家课后完成以下作业，下节课我们将进行讨论。

（学生）领取作业，准备回家完成。

【教学反思】

（老师）今天的课，我在引导学生通过实际操作和小组讨论来解决问题时，发现学生们的参与度很高，特别是在破解最值问题时，他们能够积极思考，提出不同的解决方法。在今后的教学中，我将继续鼓励学生动手实践，培养他们的创新思维。同时，我也意识到，对于一些抽象的概念，需要更多的直观演示和实例分析，以帮助学生更好地理解和记忆。拓展与延伸六、拓展与延伸

1.拓展阅读材料：

-《几何之美》：这本书以通俗易懂的语言介绍了几何学的基本概念和定理，对于对几何学感兴趣的学生来说，是一本很好的入门书籍。

-《数学家的故事》：通过阅读数学家们的生平故事，学生可以了解到数学的发展历程和数学家的智慧，激发他们对数学的热爱。

-《数学难题解析》：这本书收集了多个数学难题的解析，包括几何、代数、数论等多个领域，适合有一定数学基础的学生进行拓展阅读。

2.课后自主学习和探究：

-**隐圆的几何性质**：引导学生探究隐圆的对称性、圆心位置以及与正多边形的关系。可以让学生尝试画出一个隐圆，并探讨如何通过测量或计算来确定圆心和半径。

-**最值问题的应用**：鼓励学生思考最值问题在现实生活中的应用，如建筑设计、工程设计、经济管理等。学生可以尝试解决一些实际案例，如如何设计一个长方形容器，使其体积最大，但表面积最小。

-**圆的周长与面积的关系**：学生可以研究圆的周长和面积之间的关系，探索如何通过圆的周长来计算面积，或者通过面积来推测周长。

-**圆的方程**：介绍圆的方程及其解法，让学生尝试解一些关于圆的方程问题，如给定圆心和半径求圆的方程，或者给定方程求圆心和半径。

-**圆的内接多边形和外切多边形**：研究圆的内接多边形和外切多边形的特点，探讨如何通过这些多边形来估计圆的周长和面积。

3.实践活动建议：

-**制作几何模型**：学生可以尝试制作一些几何模型，如圆、正方形、长方形等，通过实际操作来加深对几何概念的理解。

-**数学游戏设计**：鼓励学生设计一些数学游戏，如“找隐圆”、“面积竞赛”等，这些游戏可以帮助学生在娱乐中学习数学。

-**数学小论文撰写**：学生可以选择一个与几何相关的主题，如“圆的性质在生活中的应用”，撰写一篇小论文，展示他们的研究过程和成果。重点题型整理1.**题型一：求隐圆的半径和圆心**

-**题目**：已知一个长方形的长是10cm，宽是6cm，且长方形的对角线是圆的直径。求这个隐圆的半径和圆心坐标。

-**答案**：根据勾股定理，长方形的对角线长度为√(10²+6²)=√136≈11.66cm。因此，圆的半径是11.66cm/2=5.83cm。圆心坐标为长方形中心点，即(5cm,3cm)。

2.**题型二：计算圆的面积和周长**

-**题目**：一个圆的直径是14cm，求这个圆的面积和周长。

-**答案**：圆的半径是14cm/2=7cm。面积是π*7²=49π≈153.94cm²。周长是2π*7=14π≈43.98cm。

3.**题型三：确定圆的方程**

-**题目**：已知圆上三点A(2,3)，B(4,7)，C(6,1)，求这个圆的方程。

-**答案**：设圆的方程为(x-h)²+(y-k)²=r²。将三个点代入方程，得到三个方程：

-(2-h)²+(3-k)²=r²

-(4-h)²+(7-k)²=r²

-(6-h)²+(1-k)²=r²

通过解这个方程组，可以找到圆心(h,k)和半径r，从而得到圆的方程。

4.**题型四：圆与直线的相交**

-**题目**：已知圆的方程是(x-3)²+(y+2)²=16，直线方程是y=2x+1。求圆与直线的交点。

-**答案**：将直线方程代入圆的方程，得到：

-(x-3)²+(2x+1+2)²=16

-(x-3)²+(2x+3)²=16

解这个方程，得到两个交点的x坐标，再代入直线方程得到对应的y坐标。

5.**题型五：圆内接四边形的性质**

-**题目**：已知一个圆内接四边形ABCD，且∠ABC=60°，AB=8cm，BC=6cm。求四边形ABCD的面积。

-**答案**：由于ABCD是圆内接四边形，对角互补，所以∠ADC=120°。利用余弦定理，可以求出AC的长度：

-AC²=AB²+BC²-2*AB*BC*cos(∠ABC)

-AC²=8²+6²-2*8*6*cos(60°)

-AC²=100-48

-AC=√52≈7.21cm

因为ABCD是圆内接四边形，所以对角线互相平分，即AC平分∠ADC。利用正弦定理，可以求出四边形ABCD的面积：

-面积=(1/2)*AB*BC*sin(∠ABC)

-面积=(1/2)*8*6*sin(60°)

-面积=24*(√3/2)≈20.78cm²教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生们在课堂上的参与度非常高，对于隐圆和最值问题的探讨表现出浓厚的兴趣。大部分学生能够积极回答问题，提出自己的见解，展现出良好的学习态度。

2.小组讨论成果展示：

-在小组讨论环节，学生们能够有效合作，共同解决问题。每个小组都展示了自己的解题思路和方法，其他同学也给予了积极的反馈和补充。这种互动式的学习方式不仅提高了学生的合作能力，也促进了知识的共享。

3.随堂测试：

-为了检验学生对本节课内容的掌握程度，我进行了一次随堂测试。测试结果显示，大部分学生能够正确解答与隐圆和最值问题相关的题目，但也有少数学生在理解和应用方面存在困难。

4.学生个体评价：

-在课堂表现和随堂测试的基础上，我对每位学生的表现进行了个体评价。对于表现优秀的学生，我给予了表扬和鼓励，同时提出了更高的期望。对于表现一般或较差的学生，我提出了针对性的建议，帮助他们找到学习上的不足，并提供了额外的辅导。

5.教师评价与反馈：

-针对课堂表现，我发现部分学生在面对复杂问题时，缺乏耐心和毅力。为了改善这一点，我将在今后的教学中增加更多实例分析，让学生在解决实际问题的过程中培养耐心和解决问题的能力。

-在小组讨论方面，我发现一些学生在表达自己的观点时不够自信，有时甚至不敢发言。为了提高学生的表达能力，我计划在下一节课中安排一些角色扮演的活动，让学生在模拟情境中练习表达和沟通。

-对于随堂测试中暴露出的问题，我将通过个别辅导和课后作业的方式，帮助学生巩固基础知识，提高解题技巧。

-在教学过程中，我也注意到了一些教学方法的不足，比如在某些环节讲解过于详细，导致学生缺乏独立思考的机会。在今后的教学中，我将更加注重启发式教学，鼓励学生主动探索和发现。

-最后，我将根据学生的反馈和教学效果，不断调整和优化教学策略，确保每位学生都能在数学学习的道路上稳步前进。内容逻辑关系①本文重点知识点：

-隐圆的定义和性质

-最值问题的基本概念

-圆的方程和解法