苏科版数学（2024）第二学期七年级数学期中复习卷 含解析

第二学期七年级数学期中复习卷（16）第Ⅰ卷选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）计算﹣0.1252025×[（﹣2）2025]3的结果是（）A．1 B．﹣1 C．2025 D．13．（2分）当a＞1时，比较两个代数式的大小关系：（a﹣1）2（）a2﹣1A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定4．（2分）如图所示的图形由一个大正方形ABEF、一个小正方形ADGH和一个长方形ABCD不重合无缝隙得拼接在一起，已知长方形ABCD的面积是6，正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为69，那么长方形ABCD的周长是（）A．12 B．18 C．16 D．145．（2分）若（y+3）（y﹣2）＝y2+my+n，则m，n的值分别为（）A．m＝1，n＝﹣6 B．m＝5，n＝6 C．m＝1，n＝6 D．m＝5，n＝﹣66．（2分）如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形ABO绕某点逆时针旋转到三角形DCO的位置，下列说法正确的是（）A．旋转中心是O，旋转角是90° B．旋转中心是O，旋转角是45° C．旋转中心是C，旋转角是90° D．旋转中心是C，旋转角是45°7．（2分）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为2的小正方形，若将图1中的阴影部分沿虚线剪拼成一个长方形如图2，上述操作能验证的等式是（）A．a2+4a＝a（a+4） B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16 C．a2﹣4＝（a+2）（a﹣2） D．（a+2）2＝a2+4a+48．（2分）已知9x＝a，3y＝b，27z＝ab那么x，y，z满足的等量关系是（）A．2x+y＝z B．xy＝3z C．2x+y＝3z D．2xy＝z9．（2分）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（）A．3 B．19 C．21 D．2810．（2分）如图，未拼完的木盘，现欲用平移方式移动拼木拼满木盘，应该选择的拼木是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）11．（2分）已知2×4x+1×16＝223，则x的值为．12．（2分）如图，大正方形与小正方形的面积之差是36，则阴影部分的面积是．13．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝50°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC（点D、E分别与点A、B对应），如果∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2，当旋转角大于0°且小于180°时，旋转角的度数为．14．（2分）如图，一副三角板（△ABC与△DBE）的直角顶点B重合，已知∠A＝60°，∠D＝45°，若△ABC固定不动，绕点B顺时针转动△DBE，旋转角的度数小于130度，则△DBE的三边依次与AC平行时，∠ABE的度数为．15．（2分）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为10，图2的阴影部分面积为4，则图1的阴影部分面积为．16．（2分）对于整数a，b，我们定义：a▲b＝10a×10b，a△b＝10a÷10b．例如：5▲3＝105×103＝108，5△3＝105÷103＝102，则（2▲1）﹣（6△3）的值为．17．（2分）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝，并说出第7排的第三个数是．18．（2分）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC与A′C边重合，∠BA'C＝45°，∠DAC＝30°．接着如图2保持三角板ACD不动，将三角板A′BC绕着点C按逆时针旋转90°后停止．在此旋转过程中，当A′B与三角板ACD的一条边恰好平行时，∠ACA′＝．三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）19．（6分）用简便方法计算：（1）9992+1999；（2）13142﹣1316×1312．20．（6分）幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am•an；am﹣n＝am÷an；amn＝（am）n等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．（1）若3m×9m×27m＝312，求m的值．（2）比较大小：若a＝255，b＝344，c＝533，则a，b，c的大小关系是什么？21．（8分）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．（1）画出△A′B′C′；（2）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是；（3）在AB的左侧确定格点Q，使△ABQ的面积和△ABC的面积相等，这样的Q点有个（不包括C点）．22．（8分）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用a、b的代数式表示出来）图1表示：；图2表示：；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（2）若x+y＝8，x2+y2＝40，则（x﹣y）2＝；xy＝；（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝16，求图中阴影部分面积．23．（8分）规定两数a、b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：①（4，64）＝，（﹣2，﹣32）＝；②若(x，116)=−4若（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，探究a、b、c之间的数量关系并说明理由．24．（8分）我们学完完全平方公式后，知道完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝5，x2+y2＝11，求xy的值；（2）若（2025﹣x）（2023﹣x）＝3，求（2025﹣x）2+（2023﹣x）2的值．25．（10分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△DEF，并求△DEF的面积＝．（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是；（3）请在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积，在图上作出线段CP．26．（10分）已知，如图1，直线AB∥CD，E为直线AB上方一点，连接ED、BE，ED与AB交于P点．（1）若∠ABE＝110°，∠CDE＝70°，则∠E＝；（2）如图1所示，作∠CDE的平分线交AB于点F，点M为CD上一点，∠BFM的平分线交CD于点H，过点H作HG⊥FH交FM的延长线于点G，GF∥BE，且2∠E＝3∠DFH+20°，求∠EDF+∠G的度数．（3）如图2，在（2）的条件下，∠FDC＝25°，将△FHG绕点F顺时针旋转，速度为每秒钟3°，记旋转中的△FHG为△FH′G′，同时∠FDE绕着点D顺时针旋转，速度为每秒钟5°，记旋转中的∠FDE为∠F′DE′，当∠FDE旋转一周时，整个运动停止．设运动时间为t（秒），则当△FH′G′其中一条边与∠F′DE′的其中一条边互相垂直时，直接写出t的值．

答案与解析第Ⅰ卷选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【思路引导】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【规范解答】解：A．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【考点点拨】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（2分）计算﹣0.1252025×[（﹣2）2025]3的结果是（）A．1 B．﹣1 C．2025 D．1【思路引导】首先把﹣0.1252025×[（﹣2）2025]3化成﹣0.1252025×（﹣8）2025；然后根据积的乘方的运算方法，求出计算﹣0.1252025×[（﹣2）2025]3的结果即可．【规范解答】解：﹣0.1252025×[（﹣2）2025]3＝﹣0.1252025×[（﹣2）3]2025＝﹣0.1252025×（﹣8）2025＝[﹣0.125×（﹣8）]2025＝12025＝1．故选：A．【考点点拨】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n＝amn（m，n是正整数）；②（ab）n＝anbn（n是正整数）．3．（2分）当a＞1时，比较两个代数式的大小关系：（a﹣1）2（）a2﹣1A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定【思路引导】利用作差法求出（a﹣1）2﹣（a2﹣1）的结果，再判断出计算结果的符号即可得到结论．【规范解答】解；原式＝a2﹣2a+1﹣a2+1＝﹣2a+2＝﹣2（a﹣1），由条件可知﹣2（a﹣1）＜0，∴（a﹣1）2﹣（a2﹣1）＜0，∴（a﹣1）2＜（a2﹣1），故选：A．【考点点拨】本题主要考查了完全平方公式，整式的加减计算，熟练掌握以上知识点是关键．4．（2分）如图所示的图形由一个大正方形ABEF、一个小正方形ADGH和一个长方形ABCD不重合无缝隙得拼接在一起，已知长方形ABCD的面积是6，正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为69，那么长方形ABCD的周长是（）A．12 B．18 C．16 D．14【思路引导】设AB＝a，AD＝b，则ab＝6，a2+b2＝69，然后利用完全平方公式求得a+b的值后再乘2即可．【规范解答】解：设AB＝a，AD＝b，则ab＝6，a2+b2＝69，那么（a+b）2＝a2+b2+2ab＝69+12＝81，∵a+b＞0，∴a+b＝9，∴长方形ABCD的周长是2×9＝18，故选：B．【考点点拨】本题考查完全平方公式，设AB＝a，AD＝b，根据已知条件求得a+b的值是解题的关键．5．（2分）若（y+3）（y﹣2）＝y2+my+n，则m，n的值分别为（）A．m＝1，n＝﹣6 B．m＝5，n＝6 C．m＝1，n＝6 D．m＝5，n＝﹣6【思路引导】先根据多项式乘以多项式的法则计算（y+3）（y﹣2），再根据多项式相等的条件即可求出m、n的值．【规范解答】解：∵（y+3）（y﹣2）＝y2﹣2y+3y﹣6＝y2+y﹣6，∵（y+3）（y﹣2）＝y2+my+n，∴y2+my+n＝y2+y﹣6，∴m＝1，n＝﹣6．故选：A．【考点点拨】本题主要考查多项式乘以多项式的法则：（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．6．（2分）如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形ABO绕某点逆时针旋转到三角形DCO的位置，下列说法正确的是（）A．旋转中心是O，旋转角是90° B．旋转中心是O，旋转角是45° C．旋转中心是C，旋转角是90° D．旋转中心是C，旋转角是45°【思路引导】观察图形，根据网格的特征可得答案．【规范解答】解：由图可知，B绕O逆时针旋转90°可得C，A绕O逆时针旋转90°可得D，∴旋转中心是O，旋转角是90°；故选：A．【考点点拨】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握网格的特征和旋转的性质．7．（2分）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为2的小正方形，若将图1中的阴影部分沿虚线剪拼成一个长方形如图2，上述操作能验证的等式是（）A．a2+4a＝a（a+4） B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16 C．a2﹣4＝（a+2）（a﹣2） D．（a+2）2＝a2+4a+4【思路引导】分别表示出图1和图2中阴影部分的面积，然后可得等式．【规范解答】解：图1中阴影部分的面积为a2﹣22＝a2﹣4，图2中阴影部分的面积为（a+2）（a﹣2），所以能验证的等式是a2﹣4＝（a+2）（a﹣2），故选：C．【考点点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出阴影部分的面积是解题关键．8．（2分）已知9x＝a，3y＝b，27z＝ab那么x，y，z满足的等量关系是（）A．2x+y＝z B．xy＝3z C．2x+y＝3z D．2xy＝z【思路引导】可得32x＝a，3y＝b，33z＝ab，从而可得32x+y＝33z，即可求解．【规范解答】解：∵9x＝a，3y＝b，27z＝ab，∴32x＝a，3y＝b，33z＝ab，∴32x•3y＝33z，∴32x+y＝33z，∴2x+y＝3z；故选：C．【考点点拨】本题考查了幂的乘方公式逆用和同底数幂的乘法公式，掌握公式是解题的关键．9．（2分）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（）A．3 B．19 C．21 D．28【思路引导】设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据题意分别得到（x+y）2＝64，（x﹣y）2＝6，两式相加可得x2+y2＝35，在图1中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积．【规范解答】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD＝x，EF＝y，AE＝x+y＝8，∴（x+y）2＝64，∴x2+y2+2xy＝64，∵点H为AE的中点，∴AH＝EH＝4，∵图2的阴影部分面积＝（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝6，∴（x+y）2+（x﹣y）2＝64+6，∴x2+y2＝35，∴图1的阴影部分面积＝x2+y2−12×4•x＝x2+y2﹣2（x+y）＝35﹣2×8＝19，故选：B．【考点点拨】本题考查了整式的加减，完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．10．（2分）如图，未拼完的木盘，现欲用平移方式移动拼木拼满木盘，应该选择的拼木是（）A． B． C． D．【思路引导】根据平移前后，图形的大小，形状和方向都不反生改变，进行判断即可．【规范解答】解：由图可知，应该选择的拼木是：故选：D．【考点点拨】本题考查图形的平移．熟练掌握平移的性质，是解题的关键．第Ⅱ卷二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）11．（2分）已知2×4x+1×16＝223，则x的值为8．【思路引导】根据幂的乘方运算法则将4和16分别化为以2为底的幂，再根据同底数幂的乘法运算法则计算即可．【规范解答】解：∵2×4x+1×16＝2×22x+2×24＝22x+7＝223，∴2x+7＝23，∴x＝8．故答案为：8．【考点点拨】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键．12．（2分）如图，大正方形与小正方形的面积之差是36，则阴影部分的面积是18．【思路引导】由题意得AB2﹣BE2＝36，根据S阴影＝S△ACE+S△AED=12AE⋅BC+12AE⋅【规范解答】解析：∵大正方形的面积为：AB2，小正方形的面积为：BE2，∴AB2﹣BE2＝36，∵BC＝AB，BD＝BE，∴S阴影＝S△ACE+S△AED=1=1=1=1=1＝18．故答案为：18．【考点点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的定义是关键．13．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝50°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC（点D、E分别与点A、B对应），如果∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2，当旋转角大于0°且小于180°时，旋转角的度数为30°或150°．【思路引导】分两种情况：当旋转角小于50°时和当旋转角大于50°时，分别画出图形，由∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2，求出∠ACE，即可得到旋转角度数．【规范解答】解：当旋转角小于50°时，如图：∵∠ACB＝50°，△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，∴∠DCE＝50°，∵∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2，∴∠ACE=2∴旋转角∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝30°，当旋转角大于50°时，如图：∵∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2，∠DCE＝∠ACB＝50°，∴∠ACE＝2∠DCE＝100°，∴旋转角∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝150°，故答案为：30°或150°．【考点点拨】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握旋转的性质及旋转角的定义．14．（2分）如图，一副三角板（△ABC与△DBE）的直角顶点B重合，已知∠A＝60°，∠D＝45°，若△ABC固定不动，绕点B顺时针转动△DBE，旋转角的度数小于130度，则△DBE的三边依次与AC平行时，∠ABE的度数为30°或75°或120°．【思路引导】分三种情况讨论：当DE∥AC时，当BE∥AC时，当BD∥AC时，当DB∥AC时，利用平行线的性质以及角的关系即可解答．【规范解答】解：当DE∥AC时，如图1：∵∠A＝∠BFE＝60°，∠D＝∠BEF＝45°，∴∠ABE＝180°﹣∠BEF﹣∠BFE＝180°﹣60°﹣45°＝75°；当BE∥AC时，如图2：∴∠CBE＝∠C＝90°﹣∠A＝30°，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°+30°＝120°；当BD∥AC时，如图3：∴∠CBD＝∠C＝90°﹣∠A＝30°，∴∠ABE＝∠ABC+∠DBC+∠DBE＝90°+30°+90°＝210°（不合题意，舍去），当DB∥AC时，∠ABE＝30°，∵DB∥AC，∴∠D＝∠EPO＝45°，∵∠E＝45°，∴∠AOE＝90°，∵∠A＝60°，∴∠ABE＝30°，故答案为：30°或75°或120°．【考点点拨】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想进行分类求解，同时不要忘记范围限制．15．（2分）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为10，图2的阴影部分面积为4，则图1的阴影部分面积为27．【思路引导】设正方形ABCD的边长为a，正方形乙的边长为b，由题意得a+b＝10，（a﹣b）2＝4，进而求出a＝6，b＝4，再利用a、b的代数式表示图中阴影部分的面积代入计算即可．【规范解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形乙的边长为b，由题意可得，a+b＝10，（a﹣b）2＝4，解得：a＝6，b＝4，∴S阴影部分＝S正方形甲+S正方形乙﹣S△EFH﹣S△ADH＝a2+b2−12AD•AH−1＝a2+b2−12×＝36+16﹣15﹣10＝27．故答案为：27．【考点点拨】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．16．（2分）对于整数a，b，我们定义：a▲b＝10a×10b，a△b＝10a÷10b．例如：5▲3＝105×103＝108，5△3＝105÷103＝102，则（2▲1）﹣（6△3）的值为0．【思路引导】根据题干中新定义进行转化，再计算同底数幂的乘法和除法，然后合并同类项，即可计算求值．【规范解答】解：（2▲1）﹣（6△3）＝（102×10）﹣（106÷103）＝103﹣103＝0．故答案为：0．【考点点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法和同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解题关键．17．（2分）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，并说出第7排的第三个数是15．【思路引导】观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．【规范解答】解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；第7排的第三个数是15，故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；15；【考点点拨】考查了完全平方公式问题，利用学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．18．（2分）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC与A′C边重合，∠BA'C＝45°，∠DAC＝30°．接着如图2保持三角板ACD不动，将三角板A′BC绕着点C按逆时针旋转90°后停止．在此旋转过程中，当A′B与三角板ACD的一条边恰好平行时，∠ACA′＝45°或75°．【思路引导】分三种情况，根据平行线的性质解答即可．【规范解答】解：分三种情况：①当A'B∥AC时，如图：∴∠ACA'＝∠BA'C＝45°；②如图，当A'B∥AD时，作FC∥A'B∥AD，∴∠FCA＝∠A，FCA'＝∠A'，∴∠ACA'＝∠FCA+∠FCA'＝45°+30°＝75°；③当A'B'∥CD时，旋转角∠ACA′＞90°，不合题意，舍去．综上所述，∠ACA′＝45°或75°．故答案为：45°或75°．【考点点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）19．（6分）用简便方法计算：（1）9992+1999；（2）13142﹣1316×1312．【思路引导】（1）原式变形后，利用完全平方公式计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．【规范解答】解：（1）9992+1999＝（1000﹣1）2+2000﹣1＝10002﹣2000+1+2000﹣1＝1000000；（2）13142﹣1316×1312＝13142﹣（1314+2）×（1314﹣2）＝13142﹣（13142﹣4）＝4．【考点点拨】本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式及完全平方公式的应用是解题的关键．20．（6分）幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am•an；am﹣n＝am÷an；amn＝（am）n等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．（1）若3m×9m×27m＝312，求m的值．（2）比较大小：若a＝255，b＝344，c＝533，则a，b，c的大小关系是什么？【思路引导】（1）利用幂的乘方及同底数幂的乘法的逆运算求解；（2）将a、b、c化简为相同的指数进行比较大小．【规范解答】解：（1）∵3m×9m×27m＝312，∴3m×（32）m×（33）m＝312，∴3m×32m×33m＝312，∴m+2m+3m＝12，∴6m＝12，解得：m＝2；（2）∵a＝255＝（25）11＝3211，b＝344＝（34）11＝8111，c＝533＝（53）11＝12511，∵32＜81＜125，∴3211＜8111＜12511，∴a＜b＜c．【考点点拨】本题考查了幂的计算法则及拓展应用，掌握幂的计算法则及逆运算是关键．21．（8分）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．（1）画出△A′B′C′；（2）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是平行且相等；（3）在AB的左侧确定格点Q，使△ABQ的面积和△ABC的面积相等，这样的Q点有5个（不包括C点）．【思路引导】（1）由题意知，△ABC向右平移6个单位长度，向下平移1个单位长度得到△A′B′C′，根据平移的性质作图即可．（2）根据平移的性质可得答案．（3）过点C作AB的平行线，则所经过的格点（除点C外）均为满足题意的点Q，即可得出答案．【规范解答】解：（1）由题意知，△ABC向右平移6个单位长度，向下平移1个单位长度得到△A′B′C′，如图，△A′B′C′即为所求．（2）由平移得，AA′与CC′的关系是平行且相等．故答案为：平行且相等．（3）过点C作AB的平行线，所经过的格点（除点C外）分别记为Q1，Q2，Q3，Q4，Q5，则点Q1，Q2，Q3，Q4，Q5均满足题意，∴这样的Q点有5个．故答案为：5．【考点点拨】本题考查作图﹣平移变换、平行线的性质、平移的性质，熟练掌握平行线的性质、平移的性质是解答本题的关键．22．（8分）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用a、b的代数式表示出来）图1表示：（a+b）2＝a2+b2+2ab；图2表示：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（2）若x+y＝8，x2+y2＝40，则（x﹣y）2＝16；xy＝12；（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝16，求图中阴影部分面积．【思路引导】（1）图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为（a+b）正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a，b的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得；（2）根据x+y＝8，x2+y2＝40，求出xy的值，然后根据完全平方公式的变形进行计算即可；（3）AB＝AC+BC，S1=AC2，S2=BC2，S阴影＝BC⋅CD＝BC⋅AC，可以利用（AC+BC）2＝AC2【规范解答】解：（1）图1中，由图可知S大正方形S组成大正方形的四部分的面积之和由题意得，S大正方形＝S组成大正方形的四部分的面积之和，即（a+b）2＝a2+b2+2ab，故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．图2中，由图可知S大正方形=(a+b)2，S小正方形=由题图可知，S大正方形＝S小正方形+S四个长方形，即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．（2）∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，∴xy=∵x+y＝8，x2+y2＝40，∴xy=1∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝40﹣2×12＝16．故答案为：16；12．（3）由题意得AB＝AC+CB，∵AB＝7，∴AC+CB＝7，∵S1+S2＝16，∴AC2+CB2＝16，∵（AC+BC）2＝AC2+CB2+2AC⋅CB，∴AC=1=33∴S阴影即图中阴影部分的面积为332【考点点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用．23．（8分）规定两数a、b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：①（4，64）＝3，（﹣2，﹣32）＝5；②若(x，116)=−4（2）若（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，探究a、b、c之间的数量关系并说明理由．【思路引导】（1）①由题意知，4c＝64，可求c＝3，即（4，64）＝3，同理（﹣2，﹣32）＝5；②由(x，116)=−4（2）由（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，可得3a＝5，3b＝6，3c＝30，由5×6＝30，可得3a•3b＝3a+b＝3c，进而可得a+b＝c．【规范解答】解：（1）①由题意知，4c＝64，解得，c＝3，∴（4，64）＝3，同理（﹣2，﹣32）＝5，故答案为：3，5；②∵(x，1∴x−4=解得，x＝±2，故答案为：±2；（2）a+b＝c，理由如下；∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，∵5×6＝30，∴3a•3b＝3a+b＝3c，∴a+b＝c．【考点点拨】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂．同底数幂的乘法运算．理解题意，熟练掌握有理数的乘方，负整数指数幂．同底数幂的乘法运算是解题的关键．24．（8分）我们学完完全平方公式后，知道完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝5，x2+y2＝11，求xy的值；（2）若（2025﹣x）（2023﹣x）＝3，求（2025﹣x）2+（2023﹣x）2的值．【思路引导】（1）根据完全平方公式变形即可求解；（2）根据完全平方公式得出[（2025﹣x）﹣（2023﹣x）]2的值，根据完全平方公式变形得出（2025﹣x）2+（2023﹣x）2＝4+2（2025﹣x）（2023﹣x），将（2025﹣x）（2023﹣x）＝3代入即可求解．【规范解答】解：（1）若x+y＝5，则（x+y）2＝25，即x2+2xy+y2＝25，∵x2+y2＝11，∴xy=25（2）由（2025﹣x）2﹣2（2025﹣x）（2023﹣x）+（2023﹣x）2＝[（2025﹣x）﹣（2023﹣x）]2＝4，即（2025﹣x）2+（2023﹣x）2＝4+2（2025﹣x）（2023﹣x），若（2025﹣x）（2023﹣x）＝3，∴（2025﹣x）2+（2023﹣x）2＝4+2×3＝10．【考点点拨】本题考查了完全平方公式变形求值，正确完全平方公式是解题的关键．25．（10分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△DEF，并求△DEF的面积＝7．（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是平行且相等；（3）请在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积，在图上作出线段CP．【思路引导】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△DEF，再求出其面积即可；（2）根据图形平移的性质可直接得出结论；（3）找出线段AB的中点P，连接PC即可．【规范解答】解：（1）如图所示，S△DEF＝4×4−12×4×1−＝16﹣2﹣4﹣3＝7．故答案为：7；（2）∵A、C的对应点分别是D、F，∴连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是平行且相等．故答案为：