线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习

第一章行列式

一、单项选择题

1.下列排列是5阶偶排列的是().

(A)24315(B)14325(C)41523(D)24351

2.如果〃阶排列//…，的逆序数是攵，则排列4…上，的逆序数是(

(A)k(B)〃T(C)y-/:(D)^y^—攵

3.〃阶行列式的展开式中含q冈2的项共有()项.

(A)0]B)”2(C)(〃-2)!(D)(/7-1)!

0001

001C

4.=().

010c

1000

(A)0(B)-l(C)1(D)2

0010

0100

5.=(

0001

1000

(A)0(B)-l(C)1(D)2

2xx-11

-1-x12

6.在函数〃x)=中d项的系数是().

32—x3

0001

(A)()(B)-l(C)1(D)2

^12《32卬《3%-2%2

=!，则。=

7.若。二a2la22a2a21a23“21—2。22=(

2?2

心a32%32。"％3

(A)4(B)-4(C)2(D)-2

8.若八%《2他2（

=a,则).

a2l出2%Mi

(A)k7(C)k2a(D)—Ea

9.己知4阶行列式中第1行元依次是-4,0,1,3,第3行元的余子式依次为

-2,5,1/,则x=().

(A)0(B)-3(C)3(D)2

-8743

6-23-1”.

10.若。一I,则D中第一行元的代数余子式的和为（).

111

43-75

(A)-l(B)-2(C)-3(D)()

3040

11.若DJ111

,则。中第四行元的余子式的和为（）.

0-100

53-22

(A)-l(B)-2(C)-3(D)0

X[+々+忆q=o

12.%等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组<2十/=。有非零解・

kx}+x2+x3=0

)

(A)-l(B)-2(C)-3(D)0

二、填空题

2

1.2〃阶排歹I」24…(2〃)13…(2〃-1)的逆序数是.

2.在六阶行列式中项须处外3。26所带的符号是.

3.四阶行列式中包含。2243且带正号的项是.

4.若一个〃阶行列式中至少有/一〃+1个元素等于0,则这个行列式的值等于

1110

……0101

5.仃列式。111

0010

010•••0

002•••0

6.行列式.......

000•••n-\

n00…0

9.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所

有元素，则所得的新行列式的值为

135-2n-l

1200

16.已知行列式。二103••0,D中第一行元的代数余子式的和为

100••n

k,、十2人2十二0

17.齐次线性方程组,2.VJ+kXy=（）仅有零解的充要条件是

百-x2+x:,=°

%+2X2+壬3=0

18.若齐次线性方程组2X2+5&=0有非零解，贝二

-3xf-2X2+=()

三、计算题

b

xyx+y

b2c~

2.yx+yx•

1)3c3

x+yxy

b+c+da+c+da+b+da+b+c

x4生…生r-21

01X1%x%…4r-21

101.Vqax…a,r-21

3.解方程4.2

x110..•............

，

1X10a}a2%…V1

a\a2。3…at,-11

111

31-771•••

6.112-b•.•1

・.•・•••••

111•.•

111…1

瓦q4…q

7.b\b2a2…a2;8.

•.♦••••••

a

b\h2仄…n

210…00

1+x；••中〃121…00

l+%2・•012…00

9.々%.；10.

•••••••・...........•・•

%••1+舅000...21

000…12

\-aa000

-1\-aCl00

11.D=0-1\-aa0

00-1\-aa

000-1\-a

6

四、证明题

11

2

4+7a-

1a

2_

〃

+〃l

〃

明

正o

•11

2-

c+2c

Cc

l

±

d2+d-

屋d

4+%X4+仇G

2X仇

*出+㊀%+Q=

X仇

生

+A田+q

11

ab

3.—(b—a)(c—a)(d—a)(c—b)(d-b)(d—c)(a+b+c+d).

a-b2

a4b4

111

4

寿

4.

/=!

<-2

a：

11

5.设出Ac两两不等，证明b=0的充要条件是a+"+c=O.

b'

参考答案

一.单项选择题

ADACCDABCDBB

二.填空题

1.n;2.；3.4/22%43；4.0;5.0;6.(-1)"一〃！；

4

7.(-1)=々)/-I)…%;8.—3M;9.-160;10.x;11.U;12.-2;

13.0;14.0;15.12,-9;16.H!(1-^-);17.&：-2,3;18"=7

k=\k

三.计算题

1.-(«+Z?+c+d)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b](d-c)；2.-2(x3+>,3)；

n-1

3.A:--2,0,1；4.n(x-4)

hl

5.自+

6.-(2+b)(—)…((〃一2)-。)

篇I）4T

7.（-1）〃立（4-七）；8.Cr+£4)fj(x-4);

£=1Jt=lk=\

9.1十之4；

10.〃+1;

hi

11.

四.证明题（略）

8

第二章矩阵

一、单项选择题

1.A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是()。

(a)同二时(b)A2-B2+(c)(A-B)A=A2-AB

(d)(AB)1=ArBr

2.设方阵A、B、C满足AB=AC,当A满足()时，B=CO

(a)AB=BA(b)|A|^0(c)方程组AX=O有非零解(d)B、C可逆

3.若A为n阶方阵，女为非零常数,则⑼=()。

(a)k\A\(b)网⑷(c)r|A|(d)\k[\A\

4.设A为n阶方阵，且隔=0,贝|()o

(a)A中两行(列)对应元素成比例(b)A中任意一行为其它行的线性组合

(c)A中至少有一行元素全为零(d)A中必有一行为其它行的线性组合

5.设A,B为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是()o

(a)|(A+8)[=[A[+B](b)|(AB)r|=|A||B|

(c)|(A-|+B)7'|=|A-,|+|B|(d)(A+B)-1=A-,+B-1

6.设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，则()o

(a)(a)⑷=甲|(b)W卜同(c)(d)⑷

7.设A为3阶方阵，行列式同=1,A*为A的伴随矩阵，贝IJ行列式

(2A)-J2A[=()o

(d)

8.设A,B为n阶方矩阵，A2=Z?2,则下列各式成立的是()。

(a)A=B(b)A=-B(c)网=恸(d)|呢二|欧

9.设A,B均为n阶方矩阵，则必有()。

(a)|4+q=同+向(b)AB=BA(c)|44=|胡(d)|A|2=|B|2

10.设A为〃阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是()o

(a)12H=2"(b)(24广=2A-i

(c)[(A-,)-,]7，=[(Ar)Tr，(d)[(A7/]-1=[(A-,)T]T

。12-3〃32

11.如果Aa2\a22,则4=()o

a3\。32

00、0-3、'()0-3、10(R

(a)010(b)010(c)010(d)010

、一301I。0I7J01，0-3

3n

12.己知A=22o，则()o

1b

(a)A1-A(b)A-]=4*

100、「13、」00、113、

(c)A001202(d)001A二202

01°，、31b、01(),3*

13.设C,/为同阶方阵,/为单位矩阵，若ABC=J,则)o

(a)ACB=I(b)CAB=J(c)CBA=l(d)BAC=I

14.设A为〃阶方阵，且141Ho，则()o

10

(a)A经列初等变换可变为单位阵/

(b)由AX=B4,可得X=N

(c)当(A|/)经有限次初等变换变为(/|B)时，有4一1=8

(d)以上(a)、(b)、(c)都不对

15.设A为〃zx〃阶矩阵，秩(A)=,•</«<〃，则()o

(a)A中r阶子式不全为零(b)4中阶数小于r的子式全为零

(I0、

(c)A经行初等变换可化为」(d)4为满秩矩阵

(00)

16.设A为〃?x〃矩阵，C为〃阶可逆矩阵，B=AC,则()。

⑸秩(A)>秩(B)(b)秩(A)=秩(B)

(c)秩(A)<秩(B)(d)秩(A)与秩(4)的关系依C而定

17.A,8为n阶非零矩阵，且AB=0,则秩(A)和秩(B)()。

(a)有一个等于零；b)都为n(c)都小于n(d)一个小于n,一个等于n

18.n阶方阵A可逆的充分必要条件是()o

(a)r(A)=r<n(b)A的列秩为n

(c)4的每一个行向量都是非零向量(d)伴随矩阵存在

19.n阶矩阵A可逆的充要条件是()。

(a)A的每个行向量都是非零向量

(b)A中任意两个行向量都不成比例

(c)A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示

(d)对任何n维非零向量X,均有AXH()

二、填空题

1.设A为n阶方阵，/为n阶单位阵,且4=/,则行列式刈=______

0ab

2.行歹U式一。0c=

-b-c0

Uo1、

3.设2A=020,则行列式|(4+3/尸(42-9/)|的值为_______

<001J

T一叵

4.设A=%-2,且已知46=/,则行列式卜”=

V3\_

<T2>

5.设A为5阶方阵，K是其伴随矩阵，且同=3,则A“=

6.设4阶方阵4的秩为2,则其伴随矩阵A"的秩为

…他、

a2blab…。2a

7.非零矩阵22的秩为

4blaf,b2…。力“'

8.设A为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量X,均有AX/O,则A的秩

为—

9.若A=（勺）为15阶矩阵，则"A的第4行第8列的元素是

10.若方阵A与4/相似，则A=

2

12.lim01

«->0°3

00

三、计算题

1.解下列矩阵方程（X为未知矩阵）.

12

(c

<223、乙2、’010、(\

c

1)1-10X=22)100X2

2L<0-2;<10

,310、701

3)X(/-3其中3=404；C=212

<422)J21

(\01]

4)AX=A2+x-/,其中A=020

J°b,

9

’423、

5)AX=A+2X,其中4=110

C23).

2.设A为〃阶对称阵，且1=0,求4.

(\-10、

3.已知A=021,求(A+2/)(M—4/)T

J。-I

2\<3公00、’12、A4

4.设A=,4=，4=,A4=,求

(0u(23J0oj、oA"

T12、

5.设A=224，求一秩为2的方阵B,使45=().

036,

「211]p1P

6.设A=101,B=121,求非奇异矩阵。，使A=C75c.

1oj11

J1o>

7.求非奇异矩阵P,使Pl尸为对角阵.

/、C1一21

（2

1）A=“2）2）A=1-21-03-11,

8.已知三阶方阵A的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为

（0,0,1）。（一1,1,0了,（一2』,1）7,求矩阵人

‘5-32、

9.设A=6-44,求A100.

、4-45,

四、证明题

1.设A、B均为〃阶非奇异阵，求证A3可逆.

2.设屋二01为整数），求证/-A可逆.

3.设《4,…，％为实数，且如果巴.工0,如果方阵A满足

屋+qA"i+…+4_]A+aJ=0,求证A是非奇异阵.

4.设〃阶方阵A与B中有一个是非奇异的,求证矩阵AB相似于BA.

5.证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.

6.证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.

7.证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.

8.证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴

随矩阵.

9.证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1.

10.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。

14

第二章参考答案

一：1.a；2.b；3.c：4.d；5.b；6.d；7.a；8.d；9.c；10.d；11.b；12.c；

13.b；14.a；15.a；16.b；17.c；18.b；19.d.

15

92ai4ai8

，A•1.1或T;2.0；3.-44.1；5.81；6.0；7.1；8.100；

i=l

2、

10.I：12.0：11.

<00;

1

O\-

2-1r1-4-3、(20

H22

9•3；3）、1-5-3;4)、03

-O271o

-64J

20J02)

’1-210、

3-8-6031

01-21

5)、9-9-62.0；-1-3-1

3.001-2

1-212-904.

001;

-3-1-r0I01-3

「71、

5.11i不唯一；6.100;7.1)、2)、-211

I

J0001J122

riooioo_

(3203+2(21)2_2K_3K310°-1

8.00；9.2(2Hxi+3m)—44-2100-2(3,fl0)2(3,00-l)

-112(3,0°-1)2(1-3100)2(3,00)-l

第三章向量

一、单项选择题

1.%,出,出，四,人都是四维列向量，且四阶行列式

a2a3阂=〃0?a、%|二〃川行列式

.%%A+A|=()

(a)m+n(b)m-n(c)—m+n(d)-m-n

2.设A为〃阶方阵，口网=0,则()o

m)4中两行(列)对应元素成比例

(b)A中任意一行为其它行的线性组合

(c)A中至少有一行元素全为零

(d)A中必有一行为其它行的线性组合

3.设A为〃阶方阵，r(A)=r<〃，则在A的〃个行向量中()o

3)必有厂个行向量线性无关

(b)任意，个行向量线性无关

(c)任意〃个行向量都构成极大线性无关组

(d)任意一个行向量都能被其它尸个行向量线性表示

4.〃阶方阵A可逆的充分必要条件是()

(a)r(A)=r<n

S)A的列秩为〃

16

(c)A的每一个行向量都是m厩向量

(d)4的伴随矩阵存在

5.〃维向量组％,%，,凡线性无关的充分条件是()

(4)%,%，,4都不是零向量

(b)%,%，,a中任一向量均不能由其它向量线性表示

(c)即％，……，&中任意两个向量都不成比例

(4)生,％，……,4中有一个部分组线性无关

6.〃维向量组四,％,……,4"之2)线性相关的充要条件是()

3)%,%,,a，中至少有一个零向量

(/?)apa2,,a$中至少有两个向量成比例

(c)%,%，...,巴中任意两个向量不成比例

3)%,4,...，4中至少有一向量可由其它向量线性表示

7.〃维向量组%,%，，4(34s《〃)线性无关的充要条件是()

(〃)存在一组不全为零的数k\,k?,……人使得勺%+k2a2+……ksas

S)%,%，……，巴中任意两个向量都线性无关

(。)四。2,……中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示

...,a5中任一部分组线性无关

8.设向量组名,...的秩为广,则()

……中至少有一个由一个向量组成的部分组线性无关

(/?)%,%,...,凡中存在由厂+1个向量组成的部分组线性无关

⑹%,4,.....,%中由，,个向量组成的部分组都线性无关

3)%,见，……，&中个数小于，•的任意部分组都线性无关

9.设%,。2,……，见均为〃维向量，那么下列结论正确的是()

(。)若。+k2a2+k5as=0,则%,%,...,巴线性相关

S)若对于任意一组不全为零的数KK，.....K，都有

4%+k2a2+w(),贝ij。1,%，.....,4线性无关

(c)若囚,%，...线性相关，则对任意不全为零的数4M2,，右，都有

ba、+k2a2+.....k、a、=0

(d)若+0a2+0%=0,则...，见线性无关

10.已知向量组%,4，的，明线性无关，则向量组()

(〃)%+%■+%，%+%，%+%线性无关

(/?)%_%，%_%，%-四线性无关

(C)%+。2，。2+23，。3+。4，。4一%线性无关

(4)%+%,%+%，。3-%，%-%线性无关

1L若向量/?可被向量组囚,%，……，仁线性表示，贝I()

3)存在一组不全为零的数配册……,上使得£=%a+/%+……k。、

18

(Z?)存在一组全为零的数匕,％2,.....,k*使得klal+k2a2+....ksas

(c)存在一组数人,心,...人使得夕=匕%+%2a2+......k"

(d)对夕的表达式唯一

12.下列说法正确的是()

(4)若有不全为零的数4/2,.....,k5,使得匕％+Z2a2+......k$a,=0,则

%,%，...,a$线性无关

S)若有不全为零的数十,&,...人，使得匕。］+%2%+......《%工0,则

%,%,...,a,线性无关

(c)若％……，巴线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示

(4)任何〃+1个n维向量必线性相关

13.设/?是向量组%=(1,0,0)\%=(。，I，。)「的线性组合，则£二()

3)(0,3,0)，0)(2,0,1/(c)(0,0,l)T(6/)(0,2,1),

14.设有向量组%=(1,-1,2,4)<%=(0,3,1,2)工

r

a3=(3,0,7,14)/，a4=(1,-2,2,0),as=(2,1,5,10)丁，则该

向量组的极大线性无关组为()

3)。1，%，。3(〃)%,%,%

⑹%，%，。5%，％，a>

r

15.设a=(4,%，a3y，0=®b?,Z?3),ax=(apa2),,=(/?),b2),,

下列正确的是()

(a)若。，尸线性相关，则以,月也线性相关；

3)若a,侬性无关，则四,四也线性无关；

©若囚,左线性相关，则a,"也线性相关；

3)以上都不对

二、填空题

1.若防=(1,1,1)7,a2=(1,2,3)。a3=(1,3,力7线件相关•则［=

0

2.n维零向量一定线性关。

3.向量a线性无关的充要条件是______。

4.若%,出。3线性相关，则%,%，..,a$(s>3)线性关。

5.n维单位向量组一定线性。

6.设向量组%,%，……，4的秩为A则%,%,……，4中任意r个的向

量都是它的极大线性无关组。

7.设向量%二(1,0,1),与%=(1，1，正交，贝ija=-----------。

8.正交向量组一定线性。

9,若向量组即%，，%与用量2,.......血等价，则%,%,...,%的秩与

.......>Pt的秩o

10.若向量组%,%，……,巴可由向量组四，色，……，口线性表示，则

一(%,%，...，&)/(4血,...血)。

rr

11.向量组％=(q,1,0,o),a2=(a2,1,1,0),%=(%,1,I,1)丁的

线性关系是____。

12.设n阶方阵A=(%,%，…，％)a\=a2+%，则IN=-----------・

13.设%=(0,y,-3)、%=*，°，0)"若a和尸是标准正交向量，则x

20

和y的值.

14.两向量线性相关的充要条件是

三、计算题

1.设%=(1+4,1,1)\%=(1，1+4D"。3=0,1，1+团丁，

0=(0,A,22)7,问

(1)%为何值时，夕能由4,唯一地线性表示?

(2)%为何值时，夕能由四,%,&线性表示，但表达式不唯一?

(3)4为何值时,P不能由四,%,出线性表示？

r

2.设%=(1,0,2,3),，a2=(1,I,3,5),，a3=(1,1,a+2,l),

%=(1,2,4,々+2)")=(1,1,〃+3,5尸问：

(1)。泊为何值时，夕不能表示为四,%,%，%的线性组合？

(2)。力为何值时，P能唯一地表示为%,%,%，%的线性组合？

r

3.求向量组%=(1,-1,0,4儿a2=(2,1,5,6)1%=(1,2,5,2),

%=(1,—1,-2,0)T,%=(3,0,7,14)『的一个极大线性无关组，

并将其余向量月该极大无关组线性表示。

4.设%二(L1,1)1%=(1,2,3)『，a3=(1,3,/)/，t为何值时%,出,如线性相

关，I为何值时%,出,出线性无关？

5.将向量组%=(1,2,0)1%=(-1,0,2儿％=(0,1,2)，标准正交化。

四、证明题

1.设4=%+%,用2=3%-%,#3=2%-%，试证综尸2血线性相关。

2.设a”。2,...,a“线性无关,证明%+%，%+%，...,ae十%在n为奇数时

线性无关；在n为偶数时线性相关。

3设％,%,...，4,夕线性相关,而％,。2,......，见线性无关,证明夕能由

%,鬼，...，%.线性表示且表示式唯一。

4.设囚,。2,。3线性相关，。2，。3，出线性无关，求证明不能由线性表示。

5.证明：向量组%，%,……,4(s22)线性相关的充要条件是其中至少有一个向

量是其余向量的线性组合。

6,设向量组%,%，.....，4中四工0,并且每一个里都不能由前个向量线性

表示(i=2,3,…,s),求证4线性无关。

7.证明：如果向量组中有一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关。

8.设a0,a5是线性无关向量组，证明向量组

。。，夕。+%，。0+°2,…，°。+%也线'性无关。

22

第三章向量参考答案

一、单项选择

l.b2.d3.a4.b5.b6.d7.d8.a9.blO.cll.c12.d13.a

14上15.a

二、填空题

1.52.相关3.。工04.相关5.无关6.线性无关7.-1

8.无关9.相等10.<11.线性无关12.013.x=±\.y=

14.对应分量成比例

三、解答题

1.解：设+工3。3

(1+2)X]+X2+X3=0

贝！J对应方程组为，％[+(1+2)%2+工3=2

X,++(1+尤)工3=万

1+义11

其系数行列式|4|=11+丸1=万(几+3)

111+2

(1)当-3时，/，()，方程组有唯一解，所以仅可由四,%.%唯一

地线性表示;

。110)pI10、

(2)当4=0时・，方程组的增广阵A=1110-0000

J110)(0000;

r(A)=r(A)=1<3,方程组有无穷多解，所以月可由%,%外线性表示，

但表示式不唯一；

(3)当;1=-3时，方程组的增广阵

「2110、n-21-3、

A=1-21-3->0-33-12,r(A)*r(A),方程组无解,

1-29J100

0-18,

所以夕不能由线性表示。

2.解:以为列构造矩阵

’11111

<11111、

0111

01121

001上0

23a+24b+34

\-a2

<351a+85;000b

I.4

(1)当。=±1且-W耐，夕不能表示为%,%，4，%的线性组合；

(2)当aw±l,〃任意时，夕能唯一地表示为%,%，%，%的线性组合。

12113。0-102、

cm-112-1001101

3.解：(a,,a”%,a,,a)=

~s055-270001-1

462014(00000,

%,%，%为一个极大无关组，且％=-%+%+0%，%=2%+%-。4

111

4.解：同,％,%|=।23=r-5,

13t

当/=5时%,%，%线性相关，当/工5时%,%，出线性无关。

5.解：先正交化：

令四二%二(1,2,0)7

」Arz42

2

=FA=---

22A夕

l55

■\

T

、

小A11-

33

A9A,p-

.-a2-6-6-

,A]29/

再单位化:

24

片,%,乙为标准正交向量组。

四、证明题

1.证：・・・3（回+为）一4（2氏一夕3）=0

・・・-5笈+3尸2+4四=0

・・・P，&自线性相关

2.证：设&1（%+%）+A（%+%）+~+%”（%+四）=0

则（匕+左）%+.+k2）%+…（Li+k.）%=0

VaPa2,.......线性无关

k\+3=0

匕+&=0

kn{+k=0

10001

11000

01100

其系数行列式

•••・•・•••，”土湍

00010

00011

・••当n为奇数时，卜也,人只能为零，a：%，,a〃线性无关;

当n为偶数时，心也,……M”可以不全为零，%,%，……，。”线性相关。

3.证：•・・如%，……,4,4线性相关

・・・存在不全为零的数占……人,火使得

仁明+k2a2+...+ksas+k/3=0

若攵=(),则屋a,+.............+£a=0,(K，k”...，人不全为零)

与%,%，...,%线性无关矛盾

所以攵。()

于是夕=4%-与%-……~^s

KKk

二夕能由4,%，...,4线性表示。

设/=卜出+Z2a2+............十人氏①

。=I、%+12a2+...+1a②

则①-②得(k{-Z1)a)+(k2—12)a2+...4-(ks—ls)as=0

%,%，...,a,线性无关

:.k「L=0,(z=1,2,…，s)

・・・尤=4，(i=l,2,…,S)即表示法唯一

4.证：假设出能由%，%，线性表示

%,。3，4线性无关，•二。2，。3线性无关

：线性相关，，%可由%，。3线性表示，

/.凡能由巴,%线性表示，从而见.。3,。4线性相关，矛盾

26

，出不能由线性表示。

5.证：必要性

设向量组四,％,……,4线性相关

则存在不全为零的数，a,使得占％+&%+...+右q=。

不妨设冗工0,则4=—，k因―k等办—……—芋k。…，

hk「ks

即至少有一个向量是其余向量的线性组合。

充分性

设向量组％,%,……，氏中至少有一个向量是其余向量的线性组合

不妨设=4%+&%+...

贝!）匕%+k2a2++攵$_|4_]-as=0,

所以生,%，，/线性相关。

6.证：用数学归纳法

当s二l时，四w0,线性无关，

当s=2时，<%不能由4线性表示，，%,%线性无关，

设§=1-1时，%,%，...线性无关

则s=i时，假设%,火，,%线性相关，•••%%，…，见线性无关，风可

由四,%，,4_[线性表示，矛盾，所以四,%，,见线性无关。得证

7.证：若向量组四,%，，%中有一部分组线性相关,不妨设囚,%，，％（r<s）

线性相关，则存在不全为零的数……使得

+a

k0i+k2a2+...^rr=0

于是匕%+k2a2+.......+k,a,+Oar+I+…+0a、=0

因为匕,22,....,勺,0，一、。不全为零

所以四,%,..,a,线性相关。

8.证：设《凡)+kt(a()+%)+左2(%)+%)+…+A(%)+%)=0

贝ij(ko+kx+k2+•••+%,)%)+占/+k2a2+…+勺/=0

因线性无关,

k0+k]+攵2+…+%$=0

%=0

所以<22=0解得kn=k、=k2=…=k、=0

长=0

所以向量组织),4+%、4)+%「•，4+a$线性无关。

28

第四章线性方程组

一、单项选择题

1.设〃元齐次线性方程组4X=0的系数矩阵的秩为,，则AX=O有非零解的充

分必要条件是()