重庆市字水中学2024-2025学年高一下学期4月学情调研数学试题

重庆市字水中学年4月高届学情调研数学试卷（试卷共4页，满分分，考试时间分钟）本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.选择题答案使用铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内（黑色线框）作答，写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效.保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、单项选择题（本大题共85分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知角，则角是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】C【解析】【分析】由终边相同角和象限角的定义即可得解.【详解】因为,所以角与角终边相同，又因为所以角在第三象限.故选：C.2.已知平面向量，则“”是“，共线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A第1页/共16页【解析】【分析】根据向量共线及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若则，共线，故充分性成立；若，共线，不一定得到，如，，显然满足，共线，但是不存在实数使得，故必要性不成立；所以“”是“，共线”的充分不必要条件.故选：A3.已知函数，则（）A.1B.2C.0D.2【答案】D【解析】【分析】将代入式子计算，即可得解.【详解】因为，所以，故选：D.4.在中，为的中点，为的中点，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合图形，利用平面向量的数乘运算即可得解.【详解】如图，为的中点，为的中点，第2页/共16页所以.故选：B.5.把函数的图像上所有点向右平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，所得的图像的函数解析式为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数图象变换可得解析式.【详解】将函数图像上所有点向右平行移动个单位长度，得到解析式，再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，得到解析式.故选：C.6.已知，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据条件求得，再结合诱导公式可得，即可求解.【详解】因为，且，所以，，所以第3页/共16页所以.故选：B.7.已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则（）A.B.C.1D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量的意义求得答案.【详解】根据题意，平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则有，变形可得,由数乘的定义，有.故选：D8.已知，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由商数关系、二倍角公式化简得，即可得解.【详解】第4页/共16页所以.故选：C.二、多项选择题（本大题共36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.向量在向量上的投影向量可表示为B.若，则与的夹角的范围是C.若是等边三角形，则、的夹角为D.若，，则【答案】AB【解析】AB断C；举例，即可判断D.【详解】对于A，根据投影向量的定义可得向量在向量上的投影向量为，故A正确；对于B，因为，所以，又，所以，故B正确；对于C，若是等边三角形，则、的夹角为，故C错误；对于D，若，则满足，，但不一定共线，故D错误.故选：AB.10.已知函数（其中，，论正确的是（）第5页/共16页A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点对称C.函数在区间上单调递增D.函数与，的图象的所有交点的横坐标之和为【答案】ACD【解析】【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐一判断各项即可得到结论.【详解】由函数的部分图象知，，且，所以，所以，又，所以，即，又，所以，所以.对于A，当时，，第6页/共16页所以函数的图象关于直线对称，故A正确；对于B，当时，，所以函数的图象不关于点对称，故B错误；对于C，令，得，则在区间上单调递增，故C正确；对于D，由，可得，结合正弦函数图象，可得函数与有4个交点，令，解得；令，解得；其中关于对称，关于对称，所以，故D正确.故选：ACD.已知函数，下列说法正确的是（）A.是周期函数B.最大值为1C.关于对称D.最小值【答案】ACD【解析】判断A判断C第7页/共16页的最值判断BD.【详解】则为的周期，故A正确；，则是的对称轴，故C正确；令，则，则，对称轴为，故的最小值为，最大值为，故B错误；D正确.故选：ACD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共分）12.已知向量与的夹角为60°，，，当时，实数_____.【答案】##0.25【解析】【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出得值.【详解】因为向量与的夹角为60°，，，由知，所以，所以，解得.故答案为：.13.若函数在区间内至少有3个零点，则的最小值是_____.【答案】【解析】第8页/共16页【分析】根据条件先求出整体角的范围，再结合正弦函数图象即可判断.【详解】由，可得，结合正弦函数图象可知，，则的最小值为.故答案为：.14.已知平面上三个不同的单位向量、、满足，若为平面内任意单位向量，则的最大值为_____【答案】【解析】【分析】先求出，再求出，再求出，即得最大值.【详解】因为，且、、为单位向量，所以，因为所以与与夹角为，易得与的夹角为，所以.设，由题意得，，第9页/共16页又因为,所以，所以最大值为.故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.设，是两个不共线的向量，已知，，.（1）求证：A，B，D三点共线；（2）若，且，求实数的值.【答案】（1）证明见解析；（2）实数的值为9.【解析】1）由平面向量的线性表示与共线定理，证明、共线，得出A，B，D三点共线；（2）由平面向量的共线定理列方程求出的值.【小问1详解】由，，，所以，所以，所以、共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线.【小问2详解】由，且，所以，即，所以，所以，第10页/共16页所以实数的值为9.16.已知，，，（1）求：（2）求向量在方向上的投影向量.【答案】（1）（2）【解析】1）由数量积的运算法则得，由向量的模的运算得；（2）根据投影向量的运算计算即可.【小问1详解】，所以，所以，所以.【小问2详解】，所以在方向上的投影向量为.17.已知函数的最小正周期为，且.（1）求函数的解析式，并写出取最大值时相应的取值集合：（2）求函数，的单调递减区间：【答案】（1）；取最大值2时，的取值集合为.（2），【解析】第11页/共16页1）由最小正周期为，得，根据，结合可得，从而可得，根据正弦函数的性质求解即可；（2），根据正弦函数得单调性求解即可.【小问1详解】因为的最小正周期为，所以，所以，，所以，即，当，即时，取最大值2，即取最大值2时，的取值集合为.【小问2详解】依题意得，若单调递减，则，所以，又，令，得其减区间为，.18.已知函数.（1）已知，求的值；第12页/共16页（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析1）结合三角恒等变化化简得，得到，然后将利用诱导公式，余弦的倍角公式转化计算.（2恒成立转化为不等式1）得，求出当时,，进而求得的最大值，即可求解.【小问1详解】因为，所以，所以.第13页/共16页【小问2详解】当时,，可得，由不等式恒成立，可得不等式恒成立，所以，所以当时，取到最大值，，所以.故实数的取值范围为.19.如图所示，设，是平面内相交成角两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量.若满足称是仿射坐标系下的“完美向量”，已知在仿射坐标系下，.（1）若，求向量的仿射坐标，并写一个“完美向量”（2）当时，是仿射坐标系下的“完美向量”，且，求（3）设，若对恒成立，求的最大值.【答案】（1）向量的仿射坐标为；其中一个“完美向量”的仿射坐标为.（2）第14页/共16页（3）【解析】1）由题中新定义和平面向量的线性运算计算即可；（2）由题中新定义结合三角恒等变化计算求解即可；（3）由对恒成立得到，再由平面向量夹角的求法及三角函数值域的求法