福建省福清市海口镇高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学设计 新人教A版必修4001

福建省福清市海口镇高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学设计新人教A版必修4学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：福建省福清市海口镇高中数学——第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学设计

2.教学年级和班级：高一（1）班

3.授课时间：2022年9月15日星期四第2节课

4.教学时数：1课时

---

亲爱的高一（1）班的同学们，大家好！今天我们来开启数学世界的奇妙之旅，探索三角恒等变换中的两角和与差的正弦、余弦、正切公式。这些公式就像数学世界的钥匙，能帮助我们打开更多未知的大门。让我们一起走进这扇门，开启三角函数的精彩世界吧！🌟📚💡核心素养目标1.培养学生的逻辑推理能力，通过探究两角和与差的三角函数公式，让学生体验数学推理的过程。

2.提升学生的数学抽象能力，让学生学会从具体情境中抽象出数学模型，形成数学概念。

3.强化学生的数学建模意识，引导学生运用三角恒等变换解决实际问题，提高解决问题的能力。

4.增强学生的数学运算能力，通过公式的推导和应用，提高学生准确、高效地进行数学运算的能力。教学难点与重点1.教学重点，①

①理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的基本形式和推导过程。

②能够灵活运用这些公式进行三角函数的化简和求值，解决实际问题。

2.教学难点，①

①理解公式的推导逻辑，特别是从已知公式推导出新的公式时，如何正确运用三角恒等式。

②在复杂的多角函数运算中，能够准确判断和选择合适的公式进行化简，避免运算错误。

②应对公式在实际问题中的应用，如何将实际问题转化为数学模型，并利用公式进行求解，这对于学生的数学应用能力是一个挑战。

③在解决综合问题时，如何将不同的公式和技巧结合起来，形成一套完整的解题策略，这对学生的综合思维能力提出了要求。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过系统的讲解，帮助学生理解两角和与差的公式的基本概念和推导过程。

2.讨论法：组织学生分组讨论，鼓励他们运用所学知识解决实际问题，培养合作学习和批判性思维。

3.案例分析法：选取典型例题，引导学生分析解题思路，提高解题技巧。

教学手段：

1.多媒体教学：利用PPT展示公式推导过程和例题，增强视觉效果，提高学生的学习兴趣。

2.互动软件：使用数学软件进行动态演示，帮助学生直观理解公式变化。

3.实践操作：布置课后练习，让学生通过实际操作巩固所学知识，提高应用能力。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：同学们，你们有没有想过，如果我们能有一种神奇的工具，可以轻松地将两个角的三角函数表达式合并成一个，那该多方便啊？今天我们就来学习这样一个神奇的工具——两角和与差的三角恒等变换公式。

-回顾旧知：还记得我们之前学过的正弦、余弦、正切函数的基本性质吗？今天我们将如何运用这些知识，来探索两角和与差的公式呢？

2.新课呈现（约20分钟）

-讲解新知：首先，我将为大家详细讲解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的基本形式。我们将从最简单的公式开始，逐步推导出更复杂的表达式。

-举例说明：接下来，我会通过几个具体的例子，展示如何运用这些公式进行三角函数的化简和求值。例如，给定一个复合角的表达式，如何将其化简为一个基本角的函数形式。

-互动探究：现在，请大家思考一下，如果我们有多个角需要组合，应该如何运用这些公式进行计算？我们可以进行一个小小的讨论，看看谁能提出一个有效的策略。

3.实践操作（约15分钟）

-学生活动：现在，请同学们打开练习本，尝试独立完成几道练习题，运用今天所学公式进行三角函数的化简和求值。

-教师指导：在你们做练习的过程中，如果遇到困难，可以随时举手，我会过来帮助你们。

4.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：接下来，我将给出一些综合性的练习题，要求同学们运用今天所学知识，解决一些实际问题。这些题目可能涉及到几何图形的测量、物理运动的分析等。

-教师指导：在解答这些综合题时，我会提醒大家注意公式的适用条件和解题步骤。

5.总结反思（约5分钟）

-回顾本节课的主要内容：今天，我们学习了什么？我们是如何运用所学知识解决实际问题的？

-学生反思：请同学们分享一下，你们在学习和练习过程中遇到的困难，以及是如何克服的。

-教师总结：通过今天的课程，我们不仅学习了新的公式，更重要的是学会了如何将知识应用到实际问题中。希望大家能够将所学知识内化于心，外化于行。

6.课后作业（约5分钟）

-布置作业：请同学们完成课后练习册的相关题目，巩固所学知识。同时，预习下一节课的内容，为接下来的学习做好准备。知识点梳理1.两角和与差的三角函数公式

-正弦公式：

-sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

-sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

-余弦公式：

-cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

-cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

-正切公式：

-tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

-tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

2.公式的推导方法

-使用和差化积公式：通过将正弦、余弦、正切公式转换为和差的形式，然后利用和差化积公式进行推导。

-利用复数表示：利用复数的乘法运算，将三角函数转换为复数形式，然后通过复数的乘法运算推导出三角函数的和差公式。

3.公式的应用

-化简三角函数表达式：将复杂的三角函数表达式化简为基本角的三角函数形式。

-求解三角函数值：利用和差公式求解特定角度的三角函数值。

-解三角方程：将三角方程转换为和差形式，然后利用和差公式求解方程。

4.两角和与差的三角函数公式的性质

-可逆性：和差公式可以相互转换，即可以将和差形式转换为基本角的三角函数形式。

-线性组合：两角和与差的三角函数公式可以表示为基本角三角函数的线性组合。

-周期性：两角和与差的三角函数公式具有周期性，即三角函数的周期性可以通过和差公式体现。

5.两角和与差的三角函数公式的几何意义

-通过几何图形直观展示两角和与差的三角函数公式，例如，利用单位圆上的点来表示三角函数值。

-通过几何变换解释公式的推导过程，例如，利用向量加法或三角形法则来推导和差公式。

6.两角和与差的三角函数公式的实际应用

-在物理学中的应用：例如，求解简谐运动中角度与时间的关系。

-在工程学中的应用：例如，计算电路中的电压、电流和功率。

-在天文学中的应用：例如，计算天体的位置和运动。

7.两角和与差的三角函数公式的教学建议

-注重公式的推导过程，让学生理解公式的来源和意义。

-通过实例分析，帮助学生掌握公式的应用方法。

-鼓励学生进行探究性学习，通过实验和讨论加深对公式的理解。

-结合实际问题，提高学生的数学应用能力。教学反思与总结今天这节课，我们学习了三角恒等变换中的两角和与差的公式，这一部分内容对于高一的学生来说，既是挑战也是机遇。让我来和大家分享一下我的教学反思和总结。

首先，我觉得今天的教学效果还是不错的。我采用了讲授法、讨论法和案例分析法相结合的方式，试图让同学们在轻松的氛围中理解这些公式。通过几个生动的例子，我看到了同学们眼神中的亮光，这让我感到非常欣慰。但是，我也发现了一些问题。

在教学过程中，我发现有些同学对于公式的推导过程理解得不够深入。这可能是因为我在讲解时，过于注重公式的应用，而忽视了推导过程的重要性。在今后的教学中，我打算更加注重公式的推导过程，让学生明白公式背后的逻辑和原理。

另外，我在课堂上的互动环节也做得不够充分。虽然我鼓励同学们进行讨论，但实际参与讨论的同学并不多。这可能是因为同学们对讨论环节的预期不高，或者缺乏自信。为了解决这个问题，我计划在接下来的教学中，更多地引导同学们参与讨论，鼓励他们提出问题，分享自己的想法。

在教学管理方面，我发现课堂纪律总体上是好的，但仍有少数同学在课堂上分心。我意识到，作为老师，我需要在课堂上更加关注每一位同学，及时纠正他们的不良行为，同时也要创造一个积极向上的学习氛围。

至于教学总结，我觉得同学们在知识、技能和情感态度方面都有所收获。大多数同学能够理解并记住两角和与差的公式，能够在练习中正确应用。这让我感到很高兴。但是，也有部分同学在理解和应用公式时显得有些吃力。这说明我在教学过程中需要更加关注个别差异，提供更多的个性化辅导。

针对教学中存在的问题和不足，我提出以下改进措施和建议：

1.在讲解公式推导时，我会更加注重逻辑性和层次性，确保同学们能够清晰地理解每一步。

2.增加课堂互动环节，鼓励更多同学参与讨论，提高他们的参与度和积极性。

3.加强课堂纪律管理，对于分心的同学，我会采取更加细致和有针对性的措施。

4.对不同水平的学生提供差异化教学，针对基础较弱的同学，我会提供更多的辅导和练习机会。板书设计1.重点知识点

①两角和的正弦公式：sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

②两角和的余弦公式：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

③两角和的正切公式：tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

④两角差的正弦公式：sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

⑤两角差的余弦公式：cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

⑥两角差的正切公式：tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

2.关键词

①和差化积

②同角三角函数关系

③复数表示

④几何意义

⑤应用实例

3.重点句

①公式的推导基于和差化积公式和三角恒等式。

②公式的应用可以简化三角函数表达式，求解三角方程。

③公式在几何和物理学中有着广泛的应用。课后作业1.题型一：公式的直接应用

-题目：求sin(45°+30°)的值。

-解答：sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)*(√3/2)+(√2/2)*(1/2)=(√6+√2)/4。

2.题型二：公式的逆运用

-题目：已知tan(α-β)=1/2，且α、β均在第一象限，求tanα和tanβ的值。

-解答：tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)=1/2。设tanα=x，tanβ=y，则有x-y/(1+xy)=1/2。通过解这个方程组，可以得到tanα=3/4，tanβ=1/4。

3.题型三：化简三角函数表达式

-题目：化简表达式sin(π/6+α)+cos(π/6-α)。

-解答：sin(π/6+α)+cos(π/6-α)=sin(π/6)cosα+cos(π/6)sinα+cos(π/6)cosα-sin(π/6)sinα=(1/2)cosα+(1/2)sinα+(√3/2)cosα-(1/2)sinα=(√3/2)cosα。

4.题型四：解三角方程

-题目：解方程sin(α+60°)=sin(α-30°)。

-解答：sin(α+60°)=sin(α-30°)=>α+60°=α-30°+360°k或α+60°=180°-(α-30°)+360°k，解得α=-90°+360°k或α=60°+360°k。

5.题型五：综合应用

-题目：一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为8cm，求顶角的正弦值。

-解答：由于等腰三角形的两腰相等，可以构造一个直角三角形，其中腰为斜边，底边为邻边。设顶角为α，则有sinα=对边/斜边=8cm/10cm=4/5。教学评价与反馈1.课堂表现：

-大部分学生在课堂上能够积极参与，对于两角和与差的三角函数公式表现出浓厚的兴趣。

-学生在回答问题时，能够清晰地表达自己的思路，显示出对公式的理解。

-少数学生在课堂上显得有些拘谨，参与互动的积极性有待提高。

2.小组讨论成果展示：

-在小组讨论环节，学生们能够围绕问题展开讨论，提出不同的解题方法。

-通过小组合作，学生们学会了如何倾听他人的观点，并在讨论中形成共识。

-小组讨论成果的展示环节，学生们能够清晰地阐述自己的解题思路，展现出良好的团队协作能力。

3.随堂测试：

-随堂测试结果显示，大部分学生能够正确应用两角和与差的公式进行计算。

-部分学生在公式的推导和应用上存在困难，需要进一步巩固基础知识。

-测试中，学生的解题速度和准确性有待提高。

4.学生反馈：

-学生普遍认