2024年初三数学知识点总结

初三知识整顿人教版体系框架（7～9年级）七年级上册（61）第1章有理数（19）第2章整式的加減（8）第3章一元一次方程（18）第4章图形认识初步（16）七年级下册（62）第5章相交线与平行线（14）第6章平面直角坐標系（7）第7章三角形（8）第8章二元一次方程组（12）第9章不等式与不等式组（12）第10章数据库的搜集整顿与描述（9）八年级上册（62）第11章全等三角形（11）第12章轴對称（13）第13章实数（8）第14章一次函数（17）第15章整式的乘除与因式分解（13）八年级下册（61）第16章分式（14）第17章反比例函数（8）第18章勾股定理（8）第19章四边形（16）第20章数据的分析（15）九年级上册（62）第21章二次根式（9）第22章一元二次方程（13）第23章旋转（8）第24章圆（17）第25章概率初步（15）九年级下册（48）第26章二次函数（12）第27章相似（13）第28章锐角三角函数（12）第29章投影与视图（11）全套教科書包括了課程原则（试验稿）规定的“数与代数”“空间与图形”“记录与概率”“实践与综合应用”四個领域的内容，在体系构造的设计上力争反应這些内容之间的联络与综合，使它們形成一种有机的整体九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容，學习内容波及到了《課程原则》的四個领域。包括如下章节：第21章二次根式第22章一元二次方程第23章旋转第24章圆第25章概率初步本册書内容分析如下：第21章二次根式學生已經學過整式与分式，懂得用式子可以表达实际問題中的数量关系。处理与数量关系有关的問題還會碰到二次根式。“二次根式”一章就来认识這种式子，探索它的性质，掌握它的运算。在這一章，首先让學生理解二次根式的概念，并掌握如下重要結论：（1）是一种非负数；（2）≥0）；（3）(a≥0)．注：有关二次根式的运算，由于二次根式的乘除相對于二次根式的加減来說更易于掌握，教科書先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加減。“二次根式的乘除”一节的内容有两条发展的线索。一条是用品体计算的例子体會二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式的乘除法则進行运算；一条是由二次根式的乘除法则得到(a≥0，b≥0)，(a≥0，b>0)，并运用它們進行二次根式的化简。“二次根式的加減”一节先安排二次根式加減的内容，再安排二次根式加減乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让學生比较二次根式的加減与整式的加減，又如，通過例題阐明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然合用。這些处理有助于學生掌握本节内容。第22章一元二次方程學生已經掌握了用一元一次方程处理实际問題的措施。在处理某些实际問題時還會碰到一种新方程——一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识這种方程，讨论這种方程的解法,并运用這种方程处理某些实际問題。本章首先通過雕像设计、制作方盒、排球比赛等問題引出一元二次方程的概念，給出一元二次方程的一般形式。然後让學生通過数值代入的措施找出某些简朴的一元二次方程的解，對一元二次方程的解加以体會，并給出一元二次方程的根的概念，“22.2降次——解一元二次方程”一节简介配措施、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的措施。下面分别加以阐明。（1）在简介配措施時，首先通過实际問題引出形如的方程。這样的方程可以化為更為简朴的形如的方程，由平方根的概念，可以得到這個方程的解。進而举例阐明怎样解形如的方程。然後举例阐明一元二次方程可以化為形如的方程，引出配措施。最终安排运用配措施解一元二次方程的例題。在例題中，波及二次项系数不是1的一元二次方程，也波及没有实数根的一元二次方程。對于没有实数根的一元二次方程，學了“公式法”後来，學生對這個内容會有深入的理解。（2）在简介公式法時，首先借助配措施讨论方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。然後安排运用公式法解一元二次方程的例題。在例題中，波及有两個相等实数根的一元二次方程，也波及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种状况。（3）在简介因式分解法時，首先通過实际問題引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然後安排运用因式分解法解一元二次方程的例題。最终對配措施、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的措施進行小結。“22.3实际問題与一元二次方程”一节安排了四個探究栏目，分别探究传播、成本下降率、面积、匀变速运動等問題，使學生深入体會方程是刻画現实世界的一种有效的数學模型。第23章旋转學生已經认识了平移、轴對称，探索了它們的性质，并运用它們進行图案设计。本書中图形变换又增添了一名新组员――旋转。“旋转”一章就来认识這种变换，探索它的性质。在此基础上，认识中心對称和中心對称图形。“23.1旋转”一节首先通過实例简介旋转的概念。然後让學生探究旋转的性质。在此基础上，通過例題阐明作一种图形旋转後的图形的措施。最终举例阐明用旋转可以進行图案设计。“23.2中心對称”一节首先通過实例简介中心對称的概念。然後让學生探究中心對称的性质。在此基础上，通過例題阐明作与一种图形成中心對称的图形的措施。這些内容之後，通過线段、平行四边形引出中心對称图形的概念。最终简介有关原點對称的點的坐標的关系，以及运用這一关系作与一种图形成中心對称的图形的措施。“23.3課題學习图案设计”一节让學生探索图形之间的变换关系（平移、轴對称、旋转及其组合），灵活运用平移、轴對称、旋转的组合進行图案设计。第24章圆圆是一种常見的图形。在“圆”這一章，學生将深入认识圆，探索它的性质，并用這些知识处理某些实际問題。通過這一章的學习，學生的处理图形問題的能力将會深入提高。“24.1圆”一节首先简介圆及其有关概念。然後让學生探究与垂直于弦的直径有关的結论，并运用這些結论处理問題。接下来，让學生探究弧、弦、圆心角的关系，并运用上述关系处理問題。最终让學生探究圆周角与圆心角的关系，并运用上述关系处理問題。“24.2与圆有关的位置关系”一节首先简介點和圆的三种位置关系、三角形的外心的概念，并通過证明“在同一直线上的三點不能作圆”引出了反证法。然後简介直线和圆的三种位置关系、切线的概念以及与切线有关的結论。最终简介圆和圆的位置关系。“24.3正多边形和圆”一节揭示了正多边形和圆的关系，简介了等分圆周得到正多边形的措施。“24.4弧長和扇形面积”一节首先简介弧長公式。然後简介扇形及其面积公式。最终简介圆锥的侧面积公式。第25章概率初步将一枚硬币抛掷一次，也許出現正面也也許出現背面，出現正面的也許性大還是出現背面的也許性大呢？學了“概率”一章，學生就能更好地认识這個問題了。掌握了概率的初步知识，學生還會处理更多的实际問題。“25.1概率”一节首先通過实例简介随机事件的概念，然後通過掷币問題引出概率的概念。“25.2用列举法求概率”一节首先通過详细试验引出用列举法求概率的措施。然後安排运用這种措施求概率的例題。在例題中，波及列表及画树形图。“25.3运用频率估计概率”一节通過幼树成活率和柑橘损壞率等問題简介了用频率估计概率的措施。“25.4課題學习键盘上字母的排列规律”一节让學生通過這一課題的研究体會概率的广泛应用。知识點總結第21章二次根式知识框图學习目的對于本章内容，教學中应到达如下几方面规定：1.理解二次根式的概念，理解被開方数必须是非负数的理由；2.理解最简二次根式的概念；3.理解并掌握下列結论：（1）是非负数；（2）；（3）；4.掌握二次根式的加、減、乘、除运算法则，會用它們進行有关实数的简朴四则运算；5.理解代数式的概念，深入体會代数式在表达数量关系方面的作用。I.二次根式的定义和概念：1、定义：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。當a＞0時，√a表达a的算数平方根,√0=0

2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥0）是一种非负数。II.二次根式√ā的简朴性质和几何意义1）a≥0;√ā≥0[双重非负性]

2）（√ā）^2=a（a≥0）[任何一种非负数都可以写成一种数的平方的形式]

3)√(a^2+b^2)表达平面间两點之间的距离，即勾股定理推论。III.二次根式的性质和最简二次根式1）二次根式√ā的化简

a(a≥0）

√ā=|a|={

-a(a＜0)

2）积的平方根与商的平方根

√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）

√a/b=√a/√b（a≥0，b>0）

3）最简二次根式

条件：

（1）被開方数的因数是整数或字母，因式是整式；

（2）被開方数中不具有可化為平方数或平方式的因数或因式。

如：不具有可化為平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y等；

具有可化為平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等IV.二次根式的乘法和除法1运算法则

√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）

√a/b=√a/√b（a≥0，b>0）

二数二次根之积，等于二数之积的二次根。

2共轭因式

假如两個具有根式的代数式的积不再具有根式，那么這两個代数式叫做共轭因式，也称互為有理化根式。V.二次根式的加法和減法1同类二次根式

一般地，把几种二次根式化為最简二次根式後，假如它們的被開方数相似，就把這几种二次根式叫做同类二次根式。

2合并同类二次根式

把几种同类二次根式合并為一种二次根式就叫做合并同类二次根式。

3二次根式加減時，可以先将二次根式化為最简二次根式，再将被開方数相似的進行合并Ⅵ.二次根式的混合运算1确定运算次序

2灵活运用运算定律

3對的使用乘法公式

4大多数分母有理化要及時

5在有些简便运算中也許可以约分，不要盲目有理化VII.分母有理化分母有理化有两种措施

I.分母是單项式

如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/bII.分母是多项式

要运用平方差公式

如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b

III.分母是多项式

要运用平方差公式

如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b

第22章一元二次方程知识框图旋转知识框图旋转的定义在平面内，将一种图形绕一种图形按某個方向转動一种角度，這样的运動叫做图形的旋转。這個定點叫做旋转中心，转動的角度叫做旋转角。

图形的旋转是图形上的每一點在平面上绕著某個固定點旋转固定角度的位置移動，其中對应點到旋转中心的距离相等，對应线段的長度、對应角的大小相等，旋转前後图形的大小和形状没有变化。旋转對称中心把一种图形绕著一种定點旋转一种角度後，与初始图形重叠，這种图形叫做旋转對称图形，這個定點叫做旋转對称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角不不小于0°，不小于360°）。中心對称和中心對称图形是两個不一样而又紧密联络的概念．它們的区别是：中心對称是指两個全等图形之间的互相位置关系，這两個图形有关一點對称，這個點是對称中心，两個图形有关點的對称也叫做中心對称．成中心對称的两個图形中，其中一种上所有點有关對称中心的對称點都在另一种图形上，反之，另一种图形上所有點的對称點，又都在這個图形上；而中心對称图形是指一种图形自身成中心對称．中心對称图形上所有點有关對称中心的對称點都在這個图形自身上．假如将中心對称的两個图形當作一种整体（一种图形），那么這個图形就是中心對称图形；一种中心對称图形，假如把對称的部分當作是两個图形，那么它們又是有关中心對称．

也就是說：

①中心對称图形：假如把一种图形绕著某一點旋转180度後能与自身重叠，那么我們就說，這個图形成中心對称图形。

②中心對称：假如把一种图形绕著某一點旋转180度後能与另一种图形重叠，那么我們就說，這两個图形成中心對称。中心對称图形正（2N）边形（N為不小于1的正整数），线段，矩形，菱形，圆只是中心對称图形平行四边形等．既不是轴對称图形又不是中心對称图形不等边三角形，非等腰梯形等．中心對称的性质①有关中心對称的两個图形是全等形。

②有关中心對称的两個图形，對称點连线都通過對称中心，并且被對称中心平分。

③有关中心對称的两個图形，對应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

识别一种图形与否是中心對称图形就是看与否存在一點，使图形绕著這個點旋转180°後能与原图形重叠。

中心對称是指两個图形绕某一种點旋转180°後，可以完全重叠，称這两個图形有关该點對称，该點称為對称中心.两者相辅相成，两图形成中心對称，必有對称中點，而點只有能使两個图形旋转180°後完全重叠才称為對称中點.

圆知识框图【圆的基本知识】〖几何中圆的定义〗

几何說：平面上到定點的距离等于定長的所有點构成的图形叫做圆。定點称為圆心，定長称為半径。

轨迹說：平面上一動點以一定點為中心，一定長為距离运動一周的轨迹称為圆周，简称圆。

集合說：到定點的距离等于定長的點的集合叫做圆。

〖圆的有关量〗

圆周率：圆周長度与圆的直径長度的比叫做圆周率，值是3.1170679...，一般用π表达，计算中常取3.14為它的近似值(但奥数常取3或3.1416)。

圆弧和弦：圆上任意两點间的部分叫做圆弧，简称弧。不小于半圆的弧称為优弧，不不小于半圆的弧称為劣弧。连接圆上任意两點的线段叫做弦。通過圆心的弦叫做直径。

圆心角和圆周角：顶點在圆心上的角叫做圆心角。顶點在圆周上，且它的两边分别与圆有另一种交點的角叫做圆周角。

内心和外心：過三角形的三個顶點的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做這個三角形的内切圆，其圆心称為内心。

扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

圆锥侧面展開图是一种扇形。這個扇形的半径称為圆锥的母线。

〖圆和圆的有关量字母表达措施〗

圆—⊙半径—r弧—⌒直径—d

扇形弧長／圆锥母线—l周長—C面积—S

〖圆和其他图形的位置关系〗

圆和點的位置关系：以點P与圆O的為例（设P是一點，则PO是點到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

直线与圆有3种位置关系：無公共點為相离；有两個公共點為相交,這条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共點為相切，這条直线叫做圆的切线，這個唯一的公共點叫做切點。以直线AB与圆O為例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。

两圆之间有5种位置关系：無公共點的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共點的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两個公共點的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别為R和r，且R≥r，圆心距為P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。圆的平面几何性质和定理一有关圆的基本性质与定理

⑴圆确实定：不在同一直线上的三個點确定一种圆。

圆的對称性质：圆是轴對称图形，其對称轴是任意一条通過圆心的直线。圆也是中心對称图形，其對称中心是圆心。垂径定理：垂直于弦的直径平分這条弦，并且平分弦所對的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所對的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理在同圆或等圆中，假如两個圆心角，两個圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他們所對应的其他各组量都分别相等。一条弧所對的圆周角等于它所對的圆心角的二分之一。直径所對的圆周角是直角。90度的圆周角所對的弦是直径。

⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理

①一种三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交點，到三角形三個顶點距离相等；

②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交點，到三角形三边距离相等。

③S三角=1/2*△三角形周長*内切圆半径

④两相切圆的连心线過切點（连心线：两個圆心相连的线段）

⑤圆O中的弦PQ的中點M，過點M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M為XY之中點。

〖有关切线的性质和定理〗

圆的切线垂直于過切點的半径；通過半径的一端，并且垂直于這条半径的直线，是這個圆的切线。

切线的鉴定措施：通過半径外端并且垂直于這条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：（1）通過切點垂直于這条半径的直线是圆的切线。（2）通過切點垂直于切线的直线必通過圆心。（3）圆的切线垂直于通過切點的半径。

切线長定理：從圆外一點到圆的两条切线的長相等，那點与圆心的连线平分切线的夹角。

〖有关圆的计算公式〗

1.圆的周長C=2πr=πd2.圆的面积S=πr^2;3.扇形弧長l=nπr/180

4.扇形面积S=π（R^2-r^2）5.圆锥侧面积S=πrl圆的解析几何性质和定理〖圆的解析几何方程〗

圆的原则方程：在平面直角坐標系中，以點O（a，b）為圆心，以r為半径的圆的原则方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圆的一般方程：把圆的原则方程展開，移项，合并同类项後，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和原则方程對比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。

圆的离心率e=0，在圆上任意一點的曲率半径都是r。

〖圆与直线的位置关系判断〗

平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般措施是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成為一种有关x的一元二次方程f（x）=0。运用鉴别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：

假如b^2-4ac>0，则圆与直线有2交點，即圆与直线相交。

假如b^2-4ac=0，则圆与直线有1交點，即圆与直线相切。

假如b^2-4ac<0，则圆与直线有0交點，即圆与直线相离。

2.假如B=0即直线為Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化為（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。令y=b，求出此時的两個x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：

當x=-C／A<x1或x=-C／A>x2時，直线与圆相离；

當x1<x=-C／A<x2時，直线与圆相交；

半径r，直径d

在直角坐標系中，圆的解析式為：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

=>(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F

=>圆心坐標為(-D/2,-E/2)

其实不用這样算太麻烦了

只要保证X方Y方前系数都是1

就可以直接判断出圆心坐標為(-D/2,-E/2)

這可以作為一种結论运用的

且r=根号（圆心坐標的平方和-F）圆知识點總結平面上到定點的距离等于定長的所有點构成的图形叫做圆。

圆心：圆中心固定的一點叫做圆心。用字母0表达

直径：通過圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。用字母d表达。

半径：连接圆心和圆上任意一點的线段，叫做圆的半径。用字母r表达。

圆的直径和半径均有無数条。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的1／2.

圆的半径决定了圆的大小，圆心决定了圆的位置。

圆的周長：围成圆的曲线的長度叫做圆的周長，用C表达。

圆的周長与直径的比值叫做圆周率。

圆周率是一种固定的数，它是一种無限不循环小数，用字母π表达。近似等于3.14。

直径所對的圆周角是直角。90度的圆周角所對的弦是直径。

圆的面积公式：πr方，用字母S表达。

概率初步知识框图二次函数知识框图定义与定义体現式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c為常数)，则称y為x的二次函数。

顶點式：y=a(x-h)^2+k

交點式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)

重要概念：（a，b，c為常数，a≠0，且a决定函数的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以决定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。）二次函数体現式的右边一般為二次。

x是自变量，y是x的二次函数

x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)二次函数的图像在平面直角坐標系中作出二次函数y=x²的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条永無止境的抛物线。抛物线的性质1.抛物线是轴對称图形。對称轴為直线x=-b/2a。對称轴与抛物线唯一的交點為抛物线的顶點P。

尤其地，當b=0時，抛物线的對称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一种顶點P，坐標為P(-b/2a，(4ac-b²)/4a)

當-b/2a=0時，P在y轴上；當Δ=b²-4ac=0時，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的開口方向和大小。

當a＞0時，抛物线向上開口；當a＜0時，抛物线向下開口。

|a|越大，则抛物线的開口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定對称轴的位置。

當a与b同号時（即ab＞0），對称轴在y轴左；由于若對称轴在左边则對称轴不不小于0，也就是-b/2a<0,因此b/2a要不小于0，因此a、b要同号

當a与b异号時（即ab＜0），對称轴在y轴右。由于對称轴在右边则對称轴要不小于0，也就是-b/2a>0,因此b/2a要不不小于0，因此a、b要异号

实际上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交點处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通過對二次函数求导得到。

5.常数项c决定抛物线与y轴交點。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交點個数

Δ=b²-4ac＞0時，抛物线与x轴有2個交點。

Δ=b²-4ac=0時，抛物线与x轴有1個交點。

_______

Δ=b²-4ac＜0時，抛物线与x轴没有交點。X的取值是虚数（x=-b±√b²－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整個式子除以2a）

當a>0時，函数在x=-b/2a处获得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的開口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b²/4a}相反不变

當b=0時，抛物线的對称轴是y轴，這時，函数是偶函数，解析式变形為y=ax²+c(a≠0)

7.定义域：R

值域：（對应解析式，且只讨论a不小于0的状况，a不不小于0的状况請讀者自行推断）①[(4ac-b²)/4a，正無穷）；②[t，正無穷）

奇偶性：偶函数

周期性：無

解析式：

①y=ax²+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a＞0，则抛物线開口朝上；a＜0，则抛物线開口朝下；

⑶极值點：（-b/2a，(4ac-b²)/4a）；

⑷Δ=b²-4ac,

Δ＞0，图象与x轴交于两點：

（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

Δ＝0，图象与x轴交于一點：

（-b/2a，0）；

Δ＜0，图象与x轴無交點；

②y=a(x-h)²+t[配方式]

此時，對应极值點為（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b²)/4a）；

③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式]

a≠0，此時，x1、x2即為函数与X轴的两個交點，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。[编辑本段]二次函数与一元二次方程尤其地，二次函数（如下称函数）y=ax²+bx+c，

當y=0時，二次函数為有关x的一元二次方程（如下称方程），

即ax²+bx+c=0

此時，函数图像与x轴有無交點即方程有無实数根。

函数与x轴交點的横坐標即為方程的根。

1．二次函数y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相似，只是位置不一样，它們的顶點坐標及對称轴如下表：

解析式

y=ax²y=ax²+K

y=a(x-h)²

y=a(x-h)²+k

y=ax²+bx+c

顶點坐標

(0，0)(0，K)

(h，0)

(h，k)

(-b/2a，sqrt[4ac-b²]/4a)

對称轴

x=0x=0

x=h

x=h

x=-b/2a

當h>0時，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移動h個單位得到，

當h<0時，则向左平行移動|h|個單位得到．

當h>0,k>0時，将抛物线y=ax²向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象；

當h>0,k<0時，将抛物线y=ax²向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²+k的图象；

當h<0,k>0時，将抛物线向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)²+k的图象；

當h<0,k<0時，将抛物线向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²+k的图象；

因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通過配方，将一般式化為y=a(x-h)²+k的形式，可确定其顶點坐標、對称轴，抛物线的大体位置就很清晰了．這給画图象提供了以便．

2．抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對称轴是直线x=-b/2a，顶點坐標是(-b/2a，[4ac-b²]/4a)．

3．抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)，若a>0，當x≤-b/2a時，y随x的增大而減小；當x≥-b/2a時，y随x的增大而增大．若a<0，當x≤-b/2a時，y随x的增大而增大；當x≥-b/2a時，y随x的增大而減小．

4．抛物线y=ax²+bx+c的图象与坐標轴的交點：

(1)图象与y轴一定相交，交點坐標為(0，c)；

(2)當△=b²-4ac>0，图象与x轴交于两點A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax²+bx+c=0

(a≠0)的两根．這两點间的距离AB=|x₂-x₁|此外，抛物线上任何一對對称點的距离可以由|2×（-b/2a）－A|（A為其中一點的横坐標）

當△=0．图象与x轴只有一种交點；

當△<0．图象与x轴没有交點．當a>0時，图象落在x轴的上方，x為任何实数時，均有y>0；當a<0時，图象落在x轴的下方，x為任何实数時，均有y<0．

5．抛物线y=ax²+bx+c的最值：假如a>0(a<0)，则當x=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b²)/4a．

顶點的横坐標，是获得最值時的自变量值，顶點的纵坐標，是最值的取值．

6．用待定系数法求二次函数的解析式

(1)當題給条件為已知图象通過三個已知點或已知x、y的三對對应值時，可设解析式為一般形式：

y=ax²+bx+c(a≠0)．

(2)當題給条件為已知图象的顶點坐標或對称轴或极大（小）值時，可设解析式為顶點式：y=a(x-h)²+k(a≠0)．

(3)當題給条件為已知图象与x轴的两個交點坐標時，可设解析式為两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．

7．二次函数知识很轻易与其他知识综合应用，而形成较為复杂的综合題目。因此，以二次函数知识為主的综合性題目是中考的热點考題，往往以大題形式出現．相似知识框图相似三角形的认识對应角相等，對应边成比例的两個三角形叫做相似三角形。（similartriangles）。

互為相似形的三角形叫做相似三角形相似三角形的鉴定措施根据相似图形的特性来判断。（對应边成比例，對应角相等）

1.平行于三角形一边的直线(或两边的延長线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；

（這是相似三角形鉴定的引理，是如下鉴定措施证明的基础。這個引理的证明措施需要平行线分线段成比例的证明）

2.假如一种三角形的两個角与另一种三角形的两個角對应相等,那么這两個三角形相似；

3.假如两個三角形的两组對应边的比相等,并且對应的夹角相等,那么這两個三角形相似；

4.假如两個三角形的三组對应边的比相等,那么這两個三角形相似；

绝對相似三角形

1.两個全等的三角形一定相似。

2.两個等腰直角三角形一定相似。

3.两個等边三角形一定相似。

直角三角形相似鉴定定理

1.斜边与一条直角边對应成比例的两直角三角形相似。

2.直角三角形被斜边上的高提成的两個直角三角形与原直角三角形相似，并且提成的两個直角三角形也相似。

射影定理三角形相似的鉴定定理推论

推论一：顶角或底角相等的那個的两個等腰三角形相似。

推论二：腰和底對应成比例的两個等腰三角形相似。

推论三：有一种锐角相等的两個直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高提成的两個直角三角形和原三角形都相似。

推论五：假如一种三角形的两边和其中一边上的中线与另一种三角形的對应部提成比例，那么這两個三角形相似。

推论六：假如一种三角形的两边和第三边上的中线与另一种三角形的對应部提成比例，那么這两個三角形相似。相似三角形的性质1.相似三角形的一切對应线段(對应高、對应中线、對应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

2.相似三角形周長的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形的特例可以完全重叠的两個三角形叫做全等三角形。（congruenttriangle