上海大学附属中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

上大附中高二下学期期中考试数学试卷试卷满分150分，答题时间:120分钟2025.4.9一、填空题（本大题共12题，满分54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）1.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为__________.2.若正数数列是等比数列，则正数_____.3.已知为正整数．若，则______．4.计算_____.5.若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含的项的系数是_____.6.已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有_____.①有2个驻点②在处取得极小值③有极大值，没有极小值④在上严格增7.是等差数列的前项和，若且，则当取得最大值时的_____.8.已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为_____9.已知数列的前n项和为，且，，则_________.10.有名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有人连续参加两天志愿者活动的概率为________．11.已知数列的前项和，设为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为_____.12.已知空间向量，，两两之间的夹角均为，且，，，若向量，分别满足与，则的最小值为__________．二、单选题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）13.如果函数在处的导数为1，那么（）A. B.1 C.2 D.14.已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（）A. B. C. D.15.直线（不全为0）与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（）A60条 B.66条 C.72条 D.78条16.在数列中，，，.对于命题：①存在，对于任意正整数，都有.②对于任意和任意的正整数，都有.下列判断正确的是（）A.①是真命题，②也是真命题 B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题 D.①是假命题，②也是假命题三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）17.已知函数，曲线在点处的切线与平行．（1）求的值：（2）求的单调增区间．18.已知抛物线经过点.（1）求的值和抛物线的准线方程；（2）已知直线与抛物线交于两点，求19.在数列中，.（1）证明：数列是等差数列，并求出通项公式；（2）若，记数列的前项和，求以及.20.如图，在平面中，，在四棱锥中，平面为的中点，在上，且.（1）求证:；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面所成的二面角大小；21.已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为．（1）求双曲线的方程；（2）为坐标原点，直线与双曲线右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方．（ⅰ）求实数的取值范围．（ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值．

上大附中高二下学期期中考试数学试卷试卷满分150分，答题时间:120分钟2025.4.9一、填空题（本大题共12题，满分54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）1.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为__________.【答案】【解析】【分析】根据直线方程可得斜率，从而利用可求倾斜角.【详解】因为直线的方程为，所以直线的斜率1，令直线的倾斜角为，则，因为，所以.故答案为：.2.若正数数列是等比数列，则正数_____.【答案】【解析】【分析】根据等比中项定义，可求得的值.详解】由题，可得，又，.故答案为：4.3.已知为正整数．若，则______．【答案】【解析】【分析】利用排列数和组合数公式求解【详解】由得,则,故答案为：4.计算_____.【答案】##【解析】【分析】根据无穷等比数列的求和公式计算.【详解】由无穷等比数列的求和公式可得.故答案为：.5.若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含的项的系数是_____.【答案】10【解析】【分析】由题可得，然后由二项展开式通项公式可得答案.【详解】因二项式的展开式共有6项，则，则展开式第项满足：，令，则系数为.故答案为：6.已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有_____.①有2个驻点②在处取得极小值③有极大值，没有极小值④在上严格增【答案】①③④【解析】【分析】根据给定的导函数图象，确定驻点，函数的单调区间，进而确定极值情况即可得解.【详解】观察图象知，当时，，当且仅当，当时，，且，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，无极小值，因此①③④正确，②错误.故答案为：①③④.7.是等差数列的前项和，若且，则当取得最大值时的_____.【答案】10【解析】【分析】根据等差数列前项和公式，结合等差数列性质可得，又，可判断数列为递减数列，且，得解.【详解】由，得，，又，所以数列为递减数列，且，，所以当时，取得最大值.故答案为：10.8.已知数列为严格增数列，则实数取值范围为_____【答案】【解析】【分析】利用数列单调性定义列式求解得答案.【详解】根据题意，可得，即，，对，又数列是单调递减数列，则，.故答案为：.9.已知数列的前n项和为，且，，则_________.【答案】97【解析】【分析】由已知得出，然后由累加法求解．【详解】∵，，∴，∴，∴.故答案为：9710.有名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有人连续参加两天志愿者活动的概率为________．【答案】【解析】【分析】由分布乘法计数原理的知识结合古典概型的概率公式可解.【详解】每天从5名同学中抽取2名参加志愿者活动，一共有种方式，恰有一人连续参加两天志愿者活动有种方式，由古典概型的概率公式可得恰有1人连续参加两天志愿者活动的概率为，故答案为：.11.已知数列的前项和，设为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为_____.【答案】【解析】【分析】利用与的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围.【详解】由，，，，则，由函数在上单调递减，在上单调递增，又时，，时，，所以当时，取最小值的取值范围是.故答案为：.12.已知空间向量，，两两之间的夹角均为，且，，，若向量，分别满足与，则的最小值为__________．【答案】##【解析】【分析】由题意可得，令，可得且，利用数量积的性质得出，最后由模的三角不等式可得结论．详解】依题意，，，因为，所以，所以，所以，令，则，且，由，得，所以，所以，当且仅当，共线同向且，共线时等号成立.故答案为：．【点睛】关键点睛：解题关键是把已知条件由结合已知变形得出，引入向量，可得，从而得到的最小值，从而由向量模的三角不等式得出结论．二、单选题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）13.如果函数在处的导数为1，那么（）A B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用导数的定义求解.【详解】因为，所以，所以．故选：A．14.已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质可得出的值，结合已知条件求出的值，可求出、的值，再结合等比数列的求和公式可求得的值.【详解】因为等比数列的前项和为，设其公比为，由已知，故，所以，，则，故，所以，，故.故选：D.15.直线（不全为0）与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（）A.60条 B.66条 C.72条 D.78条【答案】D【解析】【分析】由题确定圆上的整点，然后由两点确定一条直线及过圆整点的切线条数可得答案.【详解】因，，则公共点为：，共12个.若这样的直线为圆的切线，则满足题意的切线有12条；若这样的直线不为圆的切线，则由两点确定一条直线，满足的直线有条.则这样的直线有78条.故选：D16.在数列中，，，.对于命题：①存在，对于任意的正整数，都有.②对于任意和任意的正整数，都有.下列判断正确的是（）A.①是真命题，②也是真命题 B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题 D.①是假命题，②也是假命题【答案】A【解析】【分析】对①，直接令判断即可；对②，利用反证法，先设数列中第一项满足的项为，再推导的大小推出矛盾即可；【详解】对①，当时，易得，，，，，…故数列为2，2，1循环.所以对于任意的正整数，都有成立，故①正确；对②，对于任意，有，，，，设数列中第一项满足的项为，则，此时易得，又，且由题意，恒成立，故，即数列中所有项都满足，故，因为，与矛盾，故对于任意和任意的正整数，都有.故选：A三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）17.已知函数，曲线在点处的切线与平行．（1）求的值：（2）求的单调增区间．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义即可求得的值.（2）由（1）求出导函数大于0不等式的解集即可得解.【小问1详解】函数，求导得，由曲线在点处的切线与平行，得即，解得，此时，点不在直线上，所以.【小问2详解】由（1）知，其定义域为，，由，即，解得，所以的单调增区间是.18.已知抛物线经过点.（1）求的值和抛物线的准线方程；（2）已知直线与抛物线交于两点，求.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）代入，求解即可；（2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及弦长公式求解即可.【小问1详解】解：代入，得解得，所以准线方程是；【小问2详解】解：由，可得，设方程的两根为，则，，所以.19.在数列中，.（1）证明：数列是等差数列，并求出的通项公式；（2）若，记数列的前项和，求以及.【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）利用给定的递推公式变形，结合等差数列定义判断得证.（2）利用分组求和法，结合等差等比数列前项和公式求解即得.【小问1详解】由对正整数恒成立，是以为首项，1为公差的等差数列，.【小问2详解】由（1），..20.如图，在平面中，，在四棱锥中，平面为的中点，在上，且.（1）求证:；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面所成的二面角大小；【答案】（1）证明见解析（2）（3）或.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，由直线方向向量的共线即可证明；（2）由点到平面距离的向量公式即可求解.（3）先求得平面法向量，利用向量夹角的向量公式计算即可.【小问1详解】由于平面，，建立如图所示的空间直角坐标系，由，得，则，，，，，设点，由，得，解得，即，所以，，所以，又，所以.【小问2详解】由（1）得，则，，设平面的一个法向量为，则，令，得，，，又，所以点到平面的距离为.【小问3详解】由（2）得平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面所成的二面角大小为或.21.已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为．（1）求双曲线的方程；（2）为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方．（ⅰ）求实数的取值范围．（ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值．【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）根据焦点到渐近线距离