河北省承德市第一中学2024-2025学年高一下学期3月份月考数学试卷（原卷版+解析版）

河北省承德市第一中学2024—2025学年第二学期高一数学3月份月考试卷一､单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，则C.对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D.零向量没有方向2.下列函数的最小正周期是的是（）A. B.C. D.3.当时，曲线与的交点个数为（）A.3 B.4 C.6 D.84.已知函数是奇函数,则的值可以是A.0 B. C. D.5.如图所示，平行四边形中，，点F为线段AE的中点，则（）A. B.C. D.6.已知，则（）A. B. C. D.7.把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，图象的对称轴与图象的对称轴重合，则的值可能为（）A. B. C. D.8.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒，当时，盛水筒位于点，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足（，，），则下列叙述不正确的是（）A.筒车转动的角速度B.当筒车旋转秒时，盛水筒对应的点的纵坐标为C.当筒车旋转秒时，盛水筒和初始点的水平距离为D.筒车在秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为二､多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求）9.给出下列四个结论，其中正确结论是（）A.若线段，则向量B.若向量，则线段C.若向量与共线，则线段D.若向量与反向共线，则10.已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.C.的图象关于直线对称 D.在区间上单调递增11.已知（）A.最大值为B.的最小正周期为C.若在处取得最大值，且，则的取值范围为D.若在处取得量大值，则关于的方程在无实数根三､填空题（本大题共3小题，共15分）12.设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解，则__________13.已知角，为锐角，且，，则角______．14.已知函数满足下列条件：①图象是由的图象经过变换得到的；②对于，均满足；③的值域为.请写出符合上述条件的一个函数解析式：__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数在一个周期内的图象如图所示．（1）求函数的解析式和最小正周期；（2）求函数在区间上的最值及对应的x的取值；（3）当时，写出函数的单调递增区间．16.已知函数（其中，）最小正周期为.（1）求的值；（2）设，，，，求的值.17.如图所示，已知是半径为1，圆心角为的扇形，四边形是扇形的内接矩形，，两点在圆弧上，是的平分线，在上，连接，记，则角为何值时矩形的面积最大？并求最大面积．18已知函数.（1）已知，求的值；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.19.已知函数.（1）当时，求的值域；（2）若，且，求的值；（3）若，求的值

河北省承德市第一中学2024—2025学年第二学期高一数学3月份月考试卷一､单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，则C.对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D.零向量没有方向【答案】C【解析】【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得.【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误；对于B，向量不能比较大小，B错误；对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确；对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误.故选：C2.下列函数的最小正周期是的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【详解】对A，，周期，故A正确；对B，，周期，故B错误；对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，，周期，故D错误，故选：A．3.当时，曲线与的交点个数为（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，所以在上函数有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点故选：C4.已知函数是奇函数,则的值可以是A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题得,,取k=0即得解.【详解】为奇函数,则只需,,从而,,显然当时,满足题意.故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.如图所示，平行四边形中，，点F为线段AE的中点，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得，，，化简计算即可得出结果.【详解】.故选：C.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式即可得到方程，解出即可.【详解】由题得，解得或，因为，所以.故选：A.7.把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，图象的对称轴与图象的对称轴重合，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据平移得出函数解析式，再根据图像的对称性求出参数即可判断.【详解】由题意得，与函数对称轴相同，则，得，所以的值可能为.故选：C.8.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒，当时，盛水筒位于点，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足（，，），则下列叙述不正确的是（）A.筒车转动的角速度B.当筒车旋转秒时，盛水筒对应的点的纵坐标为C.当筒车旋转秒时，盛水筒和初始点的水平距离为D.筒车在秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】A：因筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒，所以，因此本选项叙述正确；B：因为当时，盛水筒位于点，所以，所以有，因，所以，即，所以，因此本选项叙述不正确；C：由B可知：盛水筒的纵坐标为，设它的横坐标为，所以有，因为筒车旋转秒时，所以此时盛水筒在第三象限，故，盛水筒和初始点水平距离为，因此本选项叙述正确；D：因为，所以筒车在秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为，因此本选项叙述正确，故选：B二､多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求）9.给出下列四个结论，其中正确的结论是（）A.若线段，则向量B.若向量，则线段C.若向量与共线，则线段D.若向量与反向共线，则【答案】AD【解析】【分析】由线段AC=AB+BC，且点B在线段AC上，即可判断A选项，根据已知条件，结合三角形的性质，即可判断B选项，根据向量共线的性质，即可判断C、D选项.【详解】对于A项，∵线段AC=AB+BC，∴点B在线段AC上，，故选项A正确；对于B项，在△ABC中，，但由三角形的性质可知，AC≠AB+BC，故选项B不成立；对于C项，若向量与反向共线，则AC≠AB+BC，故选项C不成立；对于D项，∵向量与反向共线，故选项D正确.故选：AD.10.已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.C.的图象关于直线对称 D.在区间上单调递增【答案】BD【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】因为，所以的最小正周期，故A错误；因为，所以，故B正确；因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误；当，则，又在上单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确.故选：BD11.已知（）A.的最大值为B.的最小正周期为C.若在处取得最大值，且，则的取值范围为D.若在处取得量大值，则关于的方程在无实数根【答案】BD【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数即可求解最值可判断A；利用函数周期的性质判断B；利用正弦函数最值时的结论得，然后利用正切函数的值域求解m范围，判断C；利用极值点及方程消去m得，然后了解正切函数方程即可判断D.【详解】，其中，所以函数的最大值为，故选项A错误；因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，根据周期函数的性质知，的最小正周期为，故选项B正确；由函数在处取得最大值，所以，即，所以，因为，所以，所以，所以，故选项C错误；由及知，，所以，即，若，则，所以，即，无解，所以关于的方程在无实数根，故选项D正确.故选：BD三､填空题（本大题共3小题，共15分）12.设常数a使方程闭区间[0,2]上恰有三个解，则__________【答案】【解析】【详解】试题分析：的根为函数与函数的交点横坐标，根据函数图像可知要满足有三个交点，需，此时考点：1.函数与方程的转化；2.三角函数图像及性质13.已知角，为锐角，且，，则角______．【答案】【解析】【分析】由于，由两角差的正切公式求解.【详解】由为锐角，，且，则，，所以，又为锐角，所以.故答案为：14.已知函数满足下列条件：①的图象是由的图象经过变换得到的；②对于，均满足；③的值域为.请写出符合上述条件的一个函数解析式：__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由①可设，根据③，设，求得，再根据②求出，和的一个值即可求解.【详解】解：由①可设，又由③可知，不妨设，可得，所以由②可知，且，所以，所以，又因为，则所以的一个值为，因此函数的一个解析式为.故答案为：（答案不唯一）.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数在一个周期内的图象如图所示．（1）求函数的解析式和最小正周期；（2）求函数在区间上的最值及对应的x的取值；（3）当时，写出函数的单调递增区间．【答案】（1），最小正周期为（2）最大值为，取最大值时有；最小值为，取最小值时有（3）【解析】【分析】（1）根据函数图象，先确定和周期，随后确定的值，代入特殊点确定的值，可得函数的解析式；（2）利用换元的思想，结合的图象和性质解决问题.（3）利用换元的思想，结合的图象和性质解决问题.【小问1详解】由函数图象可知，，，即，将点代入，得，则，，则，，由于，故，即，最小正周期为.【小问2详解】当时，，故当，即时，，当，，即时，.【小问3详解】当时，，故当，即时，单调递减：当，即时，单调递增；故当时，函数的单调递增区间为．16.已知函数（其中，）的最小正周期为.（1）求的值；（2）设，，，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用辅助角公式对函数解析式进行变形；再根据正弦型复合函数的周期公式即可求解.（2）先根据题目条件和同角三角函数基本关系得出，，，；再根据两角和的余弦公式即可求解.【小问1详解】，，.【小问2详解】由（1）得.，，.又，.又，，，..17.如图所示，已知是半径为1，圆心角为的扇形，四边形是扇形的内接矩形，，两点在圆弧上，是的平分线，在上，连接，记，则角为何值时矩形的面积最大？并求最大面积．【答案】当角时，矩形的面积最大，最大面积为.【解析】【分析】先把矩形的各个边长用角的三角函数表示出来，进而表示出矩形的面积；再利用角的范围结合三角函数的性质即可求出矩形面积的最大值．【详解】如图所示，设交于，交于，显然矩形关于对称，而分别为，的中点，在中，，，所以，即，而，故矩形的面积因为，所以，所以.故当，即时，取得最大值，此时，所以矩形面积的最大值为.18.已知函数.（1）已知，求的值；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）结合三角恒等变化化简得，得到，然后将利用诱导公式，余弦的倍角公式转化计算；（2）根据（1）求出当时，进而，原不等式等价于，看成关于的一次函数，其端点函数值大于等于0，得，化简即可.【详解】解：（1），，.（2）当时，，可得，由，不等式可化为，有.令，，则，若不等式恒成立，则等价于，解得：.故实数的取值范围为.【点睛】本题考查三角函数恒等变形和化简求值，与三角函数相关的不等式恒成立问题求参数取值范围问题，属中档题.（1）三角函数知值求值是，要将已知中的角进行整体处理，将所求式子转化为已知角的三角函数的形式，然后综合利用公式计算；（