四省联考试卷及答案详解

四省联考试卷及答案详解一、选择题1.A解析：本题考查了函数的单调性。根据题意，f(x)在(0,+∞)上单调递增，因此f(a)<f(b)，即a<b。所以，选项A正确。2.B解析：本题考查了三角函数的图像和性质。根据题意，y=sin(2x)的图像向左平移π/2个单位后，得到y=sin(2x+π)的图像。因此，选项B正确。3.C解析：本题考查了数列的递推关系。根据题意，a_n=2a_(n-1)+1，可以得到a_n+1=2(a_(n-1)+1)。由此可知，数列{a_n+1}是等比数列，公比为2。因此，选项C正确。4.D解析：本题考查了圆锥曲线的性质。根据题意，椭圆C的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a>b>0。将x=1代入方程，得到1/a^2+y^2/b^2=1。由此可知，y=±√(b^2-b^2/a^2)。因此，选项D正确。5.A解析：本题考查了导数的运算。根据题意，f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，解得x=1或x=2。因此，选项A正确。6.B解析：本题考查了二项式定理的应用。根据题意，(1+x)^n的展开式中，含x^2的项为C_n^2x^2。因此，选项B正确。7.C解析：本题考查了概率的计算。根据题意，事件A和事件B是互斥事件，且P(A)=1/4，P(B)=1/3。因此，P(A∪B)=P(A)+P(B)=1/4+1/3=7/12。所以，选项C正确。8.D解析：本题考查了空间几何体的体积计算。根据题意，正方体的棱长为a，内切球的半径为r。根据正方体内切球的性质，有r=a/2。因此，选项D正确。二、填空题9.2解析：本题考查了函数的零点。根据题意，f(x)=x^2-2x-3。令f(x)=0，解得x=3或x=-1。因此，f(x)的零点为3和-1，它们的和为2。10.1/2解析：本题考查了定积分的计算。根据题意，∫_0^1(x^2-1)dx=(1/3x^3-x)|_0^1=1/3-1=-2/3。因此，∫_0^1(x^2-1)dx=1/2。三、解答题11.解：本题考查了数列的通项公式和求和公式。(1)根据题意，a_1=1，a_2=2，a_3=3。由此可知，数列{a_n}的通项公式为a_n=n。(2)根据题意，S_n=1+2+3+...+n=n(n+1)/2。因此，S_10=1011/2=55。12.解：本题考查了圆锥曲线的性质。(1)根据题意，椭圆C的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a>b>0。将x=1代入方程，得到1/a^2+y^2/b^2=1。由此可知，y=±√(b^2-b^2/a^2)。(2)根据题意，直线l的方程为y=kx+m。将直线l的方程代入椭圆C的方程，得到(1+k^2)x^2+2kmx+m^2-a^2=0。根据判别式的性质，有Δ=4k^2m^2-4(1+k^2)(m^2-a^2)>0。由此可知，k^2<a^2。13.解：本题考查了导数的应用。(1)根据题意，f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，解得x=1或x=2。因此，f(x)在(-∞,1)和(2,+∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减。(2)根据题意，f(x)的极小值为f(2)=-2，极大值为f(1)=1。14.解：本题考查了空间几何体的体积计算。(1)根据题意，正方体的棱长为a，内切球的半径为r。根据正方体内切球的性质，有r=a/2。(2)根据题意，正方体的体积为V=a^3。因此，内切球的体积为V_球=4/3π(a/2)^3=πa^3/6。15.解：本题考查了概率的计算。(1)根据题意，事件A和事件B是互斥事件，且P(A)=1/4，P(B)=1/3。因此，P(A∪B)=P(A)+P(B)=1/4+1/3=7/12。(2)根据题意，事件C和事件D是相互独立事件，且P(C)=1/2，P(D)=1/3。因此，P(C∩D)=P(C)P(D)=1/21/3=1/6。四、附加题16.解：本题考查了二项式定理的应用。(1)根据题意，(1+x)^n的展开式中，含x^2的项为C_n^2x^2。因此，C_n^2=n(n-1)/2。(2)根据题意，(1+x)^n的展开式中，含x^3的项为C_n^3x^3。因此，C_n^3=n(n-1)(n-2)/6。17.解：本题考查了函数的零点。(1)根据题意，f(x)=x^2-2x-3。令f(x)=0，解得x=3或x=-1。因此，f(x)的零点为3和-1，它们的和为2。(2)根据题意，g(x)=x^3-3x^2+2。令g(x)=0，解得x=1或x=2。因此，g(x)的零点为1和2，它们的积为2。18.解：本题考查了定积分的计算。(1)根据题意，∫_0^1(x^2-1)dx=(1/3x^3-x)|_0^1=1/3-1=-2/3。(2)根据题意，∫_0^1(x^3-2x^2+3)dx=(1/4x^4-2/3x^3+3x)|_0^1=1/4-2/3+3=7/12。19.解：本题考查了圆锥曲线的性质。(1)根据题意，椭圆C的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a>b>0。将x=1代入方程，得到1/a^2+y^2/b^2=1。由此可知，y=±√(b^2-b^2/a^2)。(2)根据题意，直线l的方程为y=kx+m。将直线l的方程代入椭圆C的方程，得到(1+k^2)x^2+2kmx+m^2-a^2=0。根据判别式的性质，有Δ=4k^2m^2-4(1+k^2)(m^2-a^2)>0。由此可知，k^2<