三角恒等变换 （原卷版）

专题18三角恒等变换

【考点预测】

知识点一.两角和与差的正余弦与正切

①sin（a土尸）=sinacos分土cosasin分；

②cos（6r±仍=coscos（3.sinersin/3；

③tan(a±£)J

1.tanatanp

知识点二.二倍角公式

①sin2a—2sincrcosa；

②cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a；

③tan2。=用吟

1-tana

知识点三：降次(然)公式

.1.小.21-cosla1+cos2a

sinacosor=—sin2cif;sina=------------;cos2a=------------

222

知识点四：半角公式

1-COS6Za.1+COS6Z

sin一=±;cos——=±.

2222

asma1-costz

tan—=----------=-----------

21+cosasina

知识点五.辅助角公式

2b血上）.

asina+Z7cosa=J/+Z?sin(a+cp)(其中sin。=COS(P=.,t0

yla2+b2yja2+b2a

【方法技巧与总结】

1.两角和与差正切公式变形

tana±tan/?=tan(a±0)Q+tanatanp)；

八rtancr+tan>0tan<7-tan>0,

tana・tan/7=l-----------------=----------------1.

tan(a+/3)tan(a-/3)

2.降暴公式与升暴公式

.21—cosla21+cosla.1.

sin<2=------------；cosa=-------------；sinacosa=—sin2a；

222

1+cos2a=2cos2a；1-cos2a=2sin2。；1+sin2a=(sincjf+coscr)2；l-sin2cr=(sinor-coscr)2.

3.其他常用变式

.八2sinacosa2tancr小cos2cr-sin2cr1-tan2aasin。1-cosa

sin2a=——----------石-=------5；cos2。=——5------5=------5；tan—=-------=:----

sina+cosa1+tanasin+cosa1+tana21+cosasina

zy|

3.拆分角问题：@a=2--；a=（a+/3）-/3；②a=0-10-a）；@a=-［（«+/?）+（«-/?）］；

④£=：［（（/+£）一（（/—尸）］；⑤?+c=g_（?_a）.

注意特殊的角也看成已知角，如夕=工-（工-a）.

44

【题型归纳目录】

题型一：两角和与差公式的证明

题型二：给式求值

题型三：给值求值

题型四：给值求角

题型五：正切恒等式及求非特殊角

【典例例题】

题型一：两角和与差公式的证明

例1.（2022•山西省长治市第二中学校高一期末）（1）试证明差角的余弦公式Cgm：

cos（cr—0）=cosacos0+sinasinp；

⑵利用公式推导：

①和角的余弦公式C-m，正弦公式兀+m，正切公式几+0；

②倍角公式S（2a），。（20），T（2a）.

例2.（2022.云南.昭通市第一中学高三开学考试（文））已知以下四个式子的值都等于同一个常数

sin226+cos234一石sin26cos34；

sin239+cos221-A/3sin39cos21；

sin2（-52）+cos2112sin（—52）cos112；

sin230+cos230-A/3sin30cos30.

（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.

（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.

例3.（2022•陕西省商丹高新学校模拟预测（理））如图带有坐标系的单位圆O中，设/A0x=a,4BOx=/3,

AAOB=a-/3,

(1)利用单位圆、向量知识证明：cos(6Z-J3)=cos6Zcos+sinasin

45、

(2)若)£仁，兀｝cos(<7—/?)=——,tancr=——,求cos/的值

例4.(2022・全国•高三专题练习)如图，考虑点4L0),[(cosa,sina),7^(cos/?,-sin/7),

P(cos(a+P),sin(tz+0)),从这个图出发.

(1)推导公式：cos(cr+/3)=cosacos—sinorsin(3；

(2)利用(1)的结果证明：cosecos〃=：[cos(e+£)+cos(a-£)],并计算sin37.5°-cos37.5°的值.

【方法技巧与总结】

推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数

量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.

题型二：给式求值

例5.（2022.全国.高三专题练习）已知su当，…一味芈，且。.与，寸，则si

（）

D,巫

A9小口llVior屈

35353535

：15。-3=tan210°,贝Ijsin（60°+a）的值为（）

例6.（2020・四川・乐山外国语学校高三期中（文））已知sin

A.-B.--C.|D.二

3333

TT77T

例7.（2020•全国•高三专题练习）若cos（g-2©=-！，则sin（x+g）的值为（）

383

ABC-士:

-1-ID-

（多选题）例8.（2022.全国•高三专题练习）设sin（£+工）+sin〃=心过，则sin（』-g）=（）

623

A.立B.1C.--D._昱

2222

（兀、34

例9.（2022•全国•模拟预测（文））已知名/e[0,不J,cos2^=-,cos（«+/?）=-,贝!jcosa=.

例10.（2022・上海静安・模拟预测）已知sin（a+?）=-日，则sin2a的值为

例11.（2022•江苏泰州•模拟预测）若。=珞时，/（e）=sin2e-cos2。取得最大值，则sin

【方法技巧与总结】

给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成

所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.

题型三：给值求值

I1-tan一a

例12.（2022•福建省福州第一中学三模）若sina=-|,且。相兀，1）

则——«=（）

l+tan-

2

A・1B.C.2D.-2

2

7tc冗

例13.（2022・湖北武汉•模拟预测）已知sin--X=:，则cos2x----)

43

7屈

A-4B.-C.D.叵

844

7171

例14.（2022•湖北•模拟预测）已知f｝且cosa—,则cos2a=(

~22

D.B

A.及B.土±C

22-I2

71c兀

例15,（2022•全国•模拟预测）已知sin—Fa则cos2a----()

33

A23「2也2A/5

A.——D.

25-ll55

3

例16.（2022.黑龙江・哈师大附中三模(文))已知sin(45°+a)=5,45°<cr<135°,则cos2a=(

247

A,江B.——D.

2525cA25

例（.广东茂名.模拟预测）已知、1

17.2022sinp.J，则cos[e+g卜)

2

D.B

A.-在B-4C

2-I2

jr4/o

(多选题)例18.(2022•江苏•IWJ二专题练习)已知兀4B,sin2a=—,cos(a+(3)——,

则()

Vio

A.cosa=-------B.sina-cosa=—

105

.3万D.cosacos£=一日

C.…=7

【方法技巧与总结】

给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角

相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结

论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系,

并根据这些关系来选择公式.

题型四：给值求角

例（•全国•模拟预测）已知工〈女，71..7171

19.2022473sinsina---+-4sin——cosa+tan—=,

6315315J15

贝！Ja=

例20.（2022・河南・南阳中学高三阶段练习（文））已知sin（t-“=-g,sin[?+4=^,且

ae[rT）,/7ef0,zy求a4的值为-

..71

/\sma—sin——

例21.（2022•河北石家庄•一模）已知角二£0,弓，tan-^-=--------------—,则0=.

।'cosa+cosM

12

例22.（2022•上海市大同中学高三开学考试）若ae（O,i）,且cos2a=sin]?-“，则a的值为.

例23.（2022•全国•高三专题练习）若sin2a=@,sin（尸-0=巫，且ae,/3w兀•兀，则a+£

5v710142」2_

的值是.

例24.（2022・吉林・延边州教育学院一模（理））若sin2a=,sin（尸-a）,且。£I兀,P邑兀兀，

5V71014」]2」

则"=（）

7兀-兀-4兀-5兀

AA.一B.-C.一D.一

4433

例25.（2022・上海交大附中高三开学考试）已知。、夕都是锐角，且34112。+25而4=1,30泡20-2$皿2尸=0,

那么。、夕之间的关系是（）

.C兀cC兀

A.cc/3=-B.a-0=]

JT•rr

C.a+2/3=—D.a+2/3=^

例26.（2022•江苏省江阴高级中学高三开学考试）已知tana=g,tan〃=,且%#e（0,万），则2a-力=（）

【方法技巧与总结】

给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最

后借助三角函数图像、诱导公式求角.

题型五：正切恒等式及求非特殊角

例27.（2022・湖北•襄阳四中模拟预测）若角a的终边经过点P（sin70。,cos70。），且

tana+tan2a+mtana-tan2a=A/3,则实数加的值为（）

A.—百B.一如C.立D.73

33

例28.（2021・重庆八中高三阶段练习）sin10°+—tan10°=（）

4

A.1B.3C.|D.立

4422

例29.（2020.重庆一中高三阶段练习）求值：l：、tanl0=（）

VI-cos20°

A.1B.V2C.73D.2忘

例30.(2022・全国•高三专题练习)(tan300+tan70°)sin10°=___________.

（2022.江苏南通•高三期末）若1+」!—=」—，则a的一个可能角度值为_________.

例31.

tan80sina

i_750

例32.(2022•江苏扬州•模拟预测)::。=_____.

1+tan75°

11

例33.(2022•贵州黔东南•一模(文))若tan(a+/?)=§,tan(«-y0)=—,贝！Jtan2a=___________.

例34.(2022-山东•青岛二中高三开学考试)tan100+tan350+tan10°tan35°=_____.

【方法技巧与总结】

正切恒等式：当A+5+C=左万时，tanA+tan5+tanC=tanAtan5•tanC.

证明：因为tan(A+5)=3"A+tan',tanC=-tan(A+5),所以tanA+tanB二-tanC(l-tanAtanB)

1-tanAtanB

故tanA+tan8+tanC=tanA-tanb-tanC.

【过关测试】

一、单选题

1.（2022.四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知角。与角夕的顶点均与原点。重合，始边均与x轴的非

负半轴重合，它们的终边关于x轴对称.若cosa=《，贝Ucos（a+/7）cos（a-/7）=（）

A-B-1c-4D-1

2.(2022•全国•模拟预测(理))已知sina+cos/?=l,cosa+sin4=6，则cos(a—£)=()

A.0B.1

C-TD1

3.（2022・青海•大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知tan（a+"=3,tan（a+£）=g,则tan£=

（）

A.—B.-C.1D.2或6

77

4.（2022・湖北.黄冈中学模拟预测）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的

作图，发现了黄金分割约为0.618,这一数值也可以表示为加=2sinl8。，若病+"=4,则一邛一=（）

2sin2270-1

A.-4B.-2C.2D.4

5.（2022・山东烟台•三模）若2cos21”3=l+cos2c,则tan2a的值为（）

A.一且B.BC.-73D,出

33

6.（2022•全国•模拟预测（文））设角a,夕的终边均不在坐标轴上，且tan（a-p）+tan/7=taim,则下列

结论正确的是（）

A.sin（a+/7）=0B.cos（«->0）=1

C.sin2tr+sin2/?=1D.sin2<7+cos2=1

1+tana+tan°-tanatan[3

7.（2022.河南.通许县第一高级中学模拟预测（文））已知£=15,则

1-tana一tan0-tanatan/3

A.-也B.且C.1D.6

33

8.(2022・全国•高三专题练习)若尸＜0,cos[7+a)=；,cos](-,则cos(a+fj=

()

A,显R布

33

「5心D.一逅

99

二、多选题

已知。(，ta贝|()

9.（2022.海南海口•二模）£»,21)sina=^=tany,

cosa=gC.tan/?=473D.cosP=~

A.tana=A/3B.

10.（2022.河北邯郸.二模）下列各式的值为的是（）.

.17K

A.sin----B.sin—cos—

61212

71

tan—

兀

c.cos2--71---si.n2——D.-------^―

12121-tan*2-

8

11.（2022・重庆・西南大学附中模拟预测）已知夕，且7=贝|（)

A.若sincr+cosi=0，则tana=1

B.若tana=2,则sin（'+/）=且

C.tana,tan分可能是方程％2一6^+7=。的两根

D.tanatan/3+tan/3tany+tanf3tana=1

12.(2022・重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知cos(a+/)=-*cos2a=-g,其中a,尸为锐角，则以下命

题正确的是()

A.sin2a=]B.cos(a—/)=^^

C.cosacos/3=D.tanatan/3=-

三、填空题

13.（2022・浙江考真题）若3sin。—sin，=a+，=,，贝!Jsina=,cos2£=

14.（2022・山东师范大学附中模拟预测）已知0<&<二,sin（乃-&]=变