江西省萍乡市2023-2024学年高二年级下册期中考试数学试题（含答案）

江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

姓名：班级：考号：

题号——四总分

评分

一、、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知甲、乙两个小区在[0周这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示.给出下列四个结

论，其中正确结论的个数为（）

①在0421这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢;

②在电，引这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快;

③在上时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢；

④乙小区在t2时刻的分出量比13时刻的分出量增长得快.

A.1B.2C.3D.4

2.等差数列九｝（72eN*）中，-=2。1，则=（）

A.40B.30C.20D.10

3.设〃龙)在R上的导函数为八久)，若/更重?/(3)=2,则/'(3)=()

A.-2B.2C.-6D.6

4.数列｛时｝（"eN*）满足方=1,前n项和为Sn,对任意正整数"都有即+1+an=n+3,则S&=（）

A.18B.28C.40D.54

5.等比数列｛。"（九CN*）中，a2-2,函数外吗二穴久一的乂彳一^^乂久一^^的导函数为/]%）,则f'（0）=

（）

A.-8B.4C.-2D.0

6.我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将1-9九个数字填入一个3X3的正方形方格，满足每行、每列

、每条对角线上的三个数字之和相同（如图）.已知数列｛时｝（neN*）的通项公式为斯=2n+2,现将该数列的

前16项填入一个4X4的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为（）

E3

k工

S

三阶幻方

A.60B.72C.76D.80

7.对于三次函数f(%)=ax3+bx2+ex+d(aH0),给出定义：/'(%)是y=/(%)的导函数，/〃(%)是/'(%)的导

函数，若方程/〃(%)=0有实数解配，则称点QoJQo))为函数y=/(%)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次

函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且‘'拐点''就是对称中心.设函数。(久)=JX3-1X2+3X-

张则g(瘾)+g(嘉)+…+。(箫)=()

A.2022B.2023C.2024D.2025

8.对于任意实数aEM,不等式aM一。+i>加(q+i)一mq恒成立，则集合M的一个子集为()

A.(0,e]B.&,+8)C.&,1)D.g,+8)

二、、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.等比数列{%}(>€%*)满足公比为2,数列{"}5eN*)满足bn=即+2•即，下列说法正确的是

()

A.{%}为递增数列B.{%}为递增数列

C.{%}中最小项的值为1D.(n-3)-(bn-an)>0

10.奇函数/(x)满足对于任意％C(0,刍，有/(jc)sinx+f(x)cosx>0，其中/(久)为/(久)的导函数，则下列不等

式成立的是()

A.-V3f(-1)<2/(^)B.V3f§)>/(g)

C.V27(J)>-f(-g)D.—何(一勺>2抬)

11.已知aCR,若函数"K)=——3/-久+a的三个不同零点久i，久2,久3依次构成等差数列，则下列结论正确

的是()

A.互=1B.a=2

C.%1%2%3=4D.汽1%2+X2X3+xlx3=—1

三、、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数/(久)=e3x~2+ln2x,则/(1)=.

13.足球世界杯小组赛中，同一小组的每支队伍都必须和组内其他队伍各进行一场比赛，比如4组中有4支队

伍，则该组需要进行6场比赛.按此规则，设一个含有n(n22)支球队的小组中进行的所有比赛场次为即场，

1,1,1,1

贝mlUl---1----1----F•••+

0.2%囱a2024

14.已知函数/(%)=e%T-—a(x-1)2,当元之1时，/(%)20恒成立，则实数。的取值范围

为.

四、、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知数列｛an｝OeN*)的前n项和为Sn,且满足的=2,an=磊S^.

(1)求。2，。3的值；

(2)试猜想的通项公式，并证明.

16.已知函数/(%)=2xlnx—x2.

(1)若函数g(x)=/(%)+/,求g(%)在点处的切线方程;

(2)试判断/(%)的单调性，并证明；

(3)证明：/(%)<0.

17.正项等差数列｛册｝(九GN*)的公差与正项等比数列｛,｝(nGN*)的公比相同，且国一比=加一的=L

。2=於2，数列｛4｝("eN*)满足“=an-bn.

(1)求｛即｝,｛。｝的通项公式;

(2)求｛4｝的前几项和

18.函数/(%)=%2—2%+alnx,aER.

(1)讨论函数/(%)的单调性;

(2)若函数g(K)图象上存在两点2(久i，yDB(久2/2)，且久1＜久2,使得g’("今=必冬联，则称y=

gQ)为“拉格朗日中值函数”，并称线段AB的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数/(%)是否为“拉

格朗日中值函数”？若是，判断函数"久)的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，请说明理由.

19.函数/(久)=似久+()—a"£S),aeR.

(1)当a=l时，求f(x)的极值点个数；

(2)若支20时，/(%)单调递减，求a的取值范围；

_______77-1-1111111

(3)In72TL+1+5~~TT<1-,,,+5Q+5T+5~TY(72ETV*).

求证：2n+l+Q3+F5+7+2n-32n-l2n+l'J

答案解析部分

L【答案】D

【解析】【解答】解：由图像可知在向〃2］这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢，故①正确；

在［6打］这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快，故②正确；

在以时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢，故③正确；

乙小区在上时刻的分出量比上时刻的分出量增长得快，故④正确.

故答案为：D.

【分析】利用图像结合变化率逐项判断即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：因为数列5｝为等差数列，所以。7-a4=3d=2ai，即臼=|小

又因为a2=ai+d=?d=10,解得d=4,

电=。2+5d=10+5X4=30.

故答案为：B.

【分析】利用等差数列的定义和通项公式求出d,即可求解.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：lim"3一黑―/⑶=lim/⑶=―1⑶=2）

解得八3）=6

故答案为：C.

【分析】利用导数的定义计算即可.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：因为+斯=?!+3,所以。2+=4,<14+&3=6,+。5=8,。8+。7=1。，

所以$8=4+6+8+10=28.

【分析】利用递推公式即+1+即=n+3,赋值求解即可.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：因为/（X）=久（久一生_）（久一。2）（%—。3）,所以/（X）=（久—（1。（久—。2）（%—。3）+

%［（%—«!）（%—a2）（x—。3）］'，

所以/（0）——ctiiz2a3——ag———8-

故答案为：A.

x

【分析】先对/（%）=x（x-。1）（久-a2）（一。3）求导，再利用等比数列的性质即可.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：因为斯=2九+2,所以a„+i—an=2=d,所以｛^｝为等差数列，的=4,

所以Si6=16al+16x15xdx④=16x4+16x15=304,

所以此四阶幻方中每一行的数字之和为76.

故答案为：C.

【分析】由题意可得数列为等差数列，利用等差数列的求和公式和四阶幻方的定义即可.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：已知g(%)=+3%-与则g'Q)=x2-x+3,g”(x)-2x-1-0,

所以gQ)=l,即&1)为函数g(x)的“拐点”，即对称中心，

所以。(1-%)+g(x)=2,

所以原式=[^(2024)+。(2024)]+[。(2024)+。(2024)]+…+[。(2024)+。(2024)]+9(2024)=2x1011+

1=2023.

故答案为：B.

【分析】对g(x)二次求导求出g(x)的拐点，利用对称中心即可.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：不等式ae2-a+l>ln(a+1)-Ina可移项化简为：

ae2+Ina+1>ln(a+1)+a,

两边同时加1可得：ae2+Ina+2>ln(a+1)+a+1,

又因为a/=e2+lna,

所以/+ina+(Ina+2)>ln(a+1)+(a+1)=ln(a+1)+gln(a+1),

令<9(%)=ex+x,贝(Jg\x)=ex+1>0,

所以g。)在R上单调递增，

所以有,9(2+Ina)>g(ln(a+1)),

所以2+Ina>ln(a+1),

即ln(a+1)-Ina<2,<In",

所以史3<e2,解得a>”，

ctez—1

又因为2<e2-1<e2,

111

所以2>汉五〉西，

所以只有D选项满足要求.

故答案为：D.

x

【分析】由题意不等式化简运算可得/+ina+(]na+2)>ln(a+l)+*(a+i),构造函数^(X)=e+x,则

有g(2+Ina)>g(ln(a+1)),结合g(K)的单调性可得2+Ina>ln(a+1),再根据对数的基本运算求解即

可.

9.【答案】A,B,D

n

【解析】【解答】解：因为数列｛%｝为等比数列，a4=^>0,an=2-5,

所以4±l=q>0,即即+1>与所以为递增数列，故A选项正确；

ax.

因为含+沪1=铲〉0,

%—1an+lan—l

所以出工为递增数列且为等比数列，所以勾=2258,故B选项正确；

由选项B可知比最小，所以外=8=2-6。1，故C选项错误；

2n8n5

(%-an)=2--2-=2n-5(2"-3_i),

所以当nW3时，bn-an<0,

当71>3时，bn—an>0,

所以(n-3)•(bn-an)>0,故D选项正确.

故答案为：ABD.

【分析】利用等比数列的通项公式和单调性逐项判断即可.

10.【答案】A,B,C

【解析】【解答】解：令g(久)=/(%)sin%则g<x)=f'(x)sinx+f(x)cosx>。恒成立，

所以g(x)在(0,刍上单调递增，又因为〃久)为奇函数，所以g(x)是偶函数，

因为一孚/(-])=g(-1)=g(()<9(^)-5也]/'(刍所以_6/'(一号)<2/(分故A选项正确;

因为够/g)=g管)〉g用另啮，所以何/)>说)，故B选项正确；

因为孝f。)=90>9隽)=9(一V)=一打(Y>所以鱼/(.)>一/(一弓)，故C选项正确：

因为_:/(_今)=g0<g(另=fg)，所以一鱼八一勺<2/(分故D选项错误.

故答案为：ABC

【分析】令gQ)=/(久)sin久，求导可得g(x)在(0,身上单调递增且偶函数，利用单调性和奇偶性逐项判断即可.

n.【答案】A,D

【解析】【解答】解：根据题意可得，函数/(X)的三个不同零点久I，久2,%3，

/(%)=x3—3%2—%+a

=(%-%i)(x-x2)(x-%3)

=X3—(%1+%2+%3)%2+(%1%2+X2X3+—，

对于A,结合依次构成等差数列，则有2久2+13，

又由/(%)解析式可知，-(%1+%2+%3)=-3，可得%1+%2+x3=3,

解得3%2=3,即％2=L故力项正确；

对于B,设%n%2,%3构成等差数列的公差为d,

贝！J%i=1—0右=1+d,

由一%1汽2%3=可得a=-％I%2%3=—(1-d)•1•(1+d)=d2—1

由于d的值不确定，

所以a不一定等于2,故8项不正确；

对于C,因为=匿且a=d2—1,其值不确定，

所以比I%2%3=4不一定成立，故C项不正确；

对于D,由/(x)表达式的一次项系数为-1,

可知+%2汽3+%1%3=-L故D项正确.

故选：AD.

【分析】根据多项式乘法的法则将函数化简运算，利用恒等思想得到-(/+%2+%3)=-3,且-=。，

由此结合等差数列的中项性质对各选项进行验证，求解即可.

12.【答案】1

【解析】【解答】解：已知f㈤=e3"+仇2%,则r(x)=3e3A2+1,所以八|)=3e3号-2+1=兴

故答案为：

【分析】对/(%)=e3x~2+仇2%求导，代值即可.

13.【答案】髓

【解析】【解答】解：由题意可得以=6,所以册=点=也尹，所以今=成］f=2(六一：)，

a2a3a4。2024人2)V23；十(20232024〃1012-

故答案为：罂

【分析】利用组合数求出数列斯的通项，再利用裂项相消求和即可.

14.【答案】(—8金

【解析】【解答】解：由已知，当X21时，/(久)20恒成立，

即/(%)=靖t—%—a(x—I)2>0,%>1,

所以/(%)=e%T—(x—1)—a(x—l)2—1>0,x>1,

所以，ex—x—ax2—1>0,x>0,

设g(%)=ex—x—ax2-1,1>0,

g'(%)=ex-2ax—=ex—2a,x>0,

■:%>0,ex>1,

①若2a<1时,即a<2时，/(%)>。，

・••/(%)在［0,+8)上单调递增，

・•・>“(。)=。，

•・.g(%)在［0,+8)上单调递增，

・•.g(%)》g(0)=0,满足题意，

,1

②若2a>1时,即a>义时，令g\x)=?比—2a=0,可得%=ln2a,

・・・当%e(0Jn2a)时，/(%)<0,g'(%)单调递减，g'(%)《g'(0)=0,

・•・g(%)在(0,ln2a)上单调递减，

•••g(%)《g(0)=0,不满足题意，

综合①②可得：实数a的取值范围为(-8,1］.

故答案为：(—8曲.

【分析】化简不等式，利用换元法可得ex-x-ax2-1>0,令g(%)=e%-％-a/-1,%>0,

利用导数研究函数的单调性从而可求解.

15.【答案】⑴由题知，CZ2=|$2=|(即+&2)，解得。2=4,

问理，(Z3=,(。1+。2+。3)，解得。3=6;

(2)由(1)可猜想斯=2"(九6")，证明如下：

n2

已知的几，当八之2时，有S九一S几_1二元百SM

化简得(九-l)Sn=(n+l)Sn_1,即s5%=痣

同右$九_S九S_iSTSSS_n+1nn-1543_(n+l)-n

川伺丹一，.n牛,小……丹4国3一2口•会•口，

又=Si=2,故S几=n(n+1),

则％1=n+ISn=2九(八-2)，

当九=1时,上式仍成立，则斯=2n(nEN*).

【解析】【分析】(1)利用递推公式即可；

(2)由(1)可得斯=磊5„,当几22时有夫=黑，利用累乘法即可.

16.【答案】(1)解：由题知，^(x)=2%Znx(x>0),则g'(%)=2(1+•光)，

则k%=。'(1)=2

又g(l)=O,故切点为(1,0),

切线方程为：y—0=2(%—l),即2%—y—2=0；

(2)函数/(%)在定义域上单调递减，证明如下：

已知%>0/(%)=2(Znx+1-%),设%(比)=2(Znx+1-%),则4(%)=2(；—1),

xG(0,1)时,h(%)>0,h(%)单调递增；xG(1,+8)时,h(x)<0,h(%)单调递减，

则伏%)ma%=h(l)=0，即/'(%)=/1(%)40，故/(%)在定义域(0,+8)上单调递减；

(3)要证/(%)<0,即证2%加%—%2V0。>0),即证

设771(%)=—(X>0)，则租(%)=1妙,

x6(0,e)时,m(x)>0,m(%)单调递增；xE(e,+8)时,m(x)<单调递减,

则771(%)加。尤=m(e)=｝VJ故/(%)<0成立，证毕

【解析】【分析】(1)先求导，求出k,利用点斜式方程即可；

(2)求导令八(%)=2(Znx+1-%)再对h(x)求导，利用导数和单调性的关系即可；

(3)由题意可转化为竽<；(%>0),令血(无)=[,对其求导求最大值即可证明.

17.【答案】(1)解：设等比数列的公比为q(q>0),则等差数列公差也为q,由题知，%+=比+必,又

a1+=2a2,且。2=4。2，《导2b2=b]+&3'

即5q=2+2q2,解得q=2或q=

当q=2时，由。2=初2得：«i+2=|bp又由一比=1,解得的=3也=2,

n

则｛&t｝，｛bn｝的通项公式分别为：an-2n+1,bn=2(neN*),

当q=1■时，由a2=初2得：又劭—/=1,解得a1=—3,%=—4,不合题意，

n

综上，数列｛厮｝,｛%｝的通项公式分别为：an=2n+1,bn=2(ne2V*)；

(2)解：由(1)可得7=(2zi+l)-2n,

123n-1n

Tn=3-2+5•2+7•2+•••+(2n-1)-2+(2n+1)-2,

27^=3•22+5•23+7•24+•••+(2n-1)-2n+(2n+1)-2n+1

123nn+1

两式相减得：-Tn=3-2+2(2+2+-+2)-(2n+1)-2.

22ri-2n-1)

=3-21+2——————--(2n+1)-2n+1=-2+(1-2n)-2n+1

1-L5

故｛4｝的前n项和7\=2+(2n-1)-2n+1

【解析】【分析】(1)由题意可得q=2或q=再分别求出的,也即可；

(2)由(1)可得%=(2九+1)-2皿利用错位相减法即可.

18.【答案】(1)解：由题知，%>0,广(吗=2%-2+/=丝=产，

令y=2%2—2%+a(%>0),贝必=4—8a,

当a>*时，4<0,则/'(%)>。恒成立，故/(%)在定义域(0,+8)上单调递增；

当a<,寸，4>0,2/—2x+a=0的两根分别为无】=上李四=1±季叁，

乙L.L.

若0<a<2，则0<久1<久2，且久e(0,久1),(%2，+8)时，/(无)>0)(尢)单调递增；久CQ1，久2)时，/(%)<

0,/(%)单调递减，

若a<0,则<0<冷，且久C(%2，+8)时，/(%)>0,/(x)单调递增；xE(0,%2)时，/(%)<0>/(%)单调递

减，

综上：当a2凯寸，/O)在定义域(0,+8)上单调递增；当0<a<：时，/O)在(0,/),(亚,+8)上单调递增，在

(久1，%2)上单调递减；当aWO时，/'(久)在(0,久2)上单调递减，在(无2,+8)上单调递增；

(2)解：/(%)=2x-2+p若"久)是拉格朗日中值函数，则需满足存在4。1，%),8(>2/2)，且0<久1<

如使得外牛)J与二等四

Hn9叼+尤29,a_a(Znx1-Znx2)+x2-x2-2(x1-x2)2aaQnx,-lnx.)

2%1-％2%1+%2xl~x2

①当a=0时，上式对任意的0<句<久2都成立，则/(%)为拉格朗日中值函数，/(%)的拉格朗日平均值点有无

数个；

②当a。0时，需满足碧N=仇共设”答，即需方程也"笺3在区间(°」)上有解，

%2十%］x242t+1

2

令八⑴=Int-空高久(tG(0,1)),fi'(t)=7——J=(I)2>°，做。在(0,1)上单调递增，

t+i1(t+1)t(t+l)

当0<t<1时，fi(t)<以1)=0,即方程必［=笔言在区间(0,1)上无解，

综上：当a=0时，/(%)为拉格朗日中值函数，/(%)的拉格朗日平均值点有无数个；当aHO时，/(久)不是拉格

朗日中值函数.

【解析】【分析】⑴对/(%)求导，令y=2x2—2x+a(%>0)对4=4-8a分类讨论即可；

(2)利用“拉格朗日中值函数”的定义原式可转化为等^=。(吁丁%2),分。=。和。。o两种情况讨论即

十%2xl~x2

可.

19.【答案】⑴解：由题知，f⑺=皿X+,一舞辛,/口)=242*.(£>—务,

/Zx+1-(2x+l)z

令f'(X)=O,得久］=1^1,久2=受，

故/(久)在(-4，%1)和(久2，+8)上单调递减，在(久i，%2)上单调递增；

则在皿处有极小值，在相处有极大值，即久久）有2个极值点；

（2）解：/（久）=磊一a堂津，由题知，当久20时，，（无）〈0恒成立，即a2五需不

设或为=2/+2X+1（%-°），9'（x）=—2―七~0^故或久）在（。，+8）上单调递减，

（/■■X"T"乙/寸".L）

则g（%）<g（0）=2,故a>2；

（3）证明：由⑵知，a=2,久N0时，f（久）=+》一然笄</（0）=尾，

令无=心”*，得+杀）-逆富尾，