第4章 三角形单元测试卷（B卷·提升能力）-北师大版七年级数学（解析版）

第4章三角形单元测试卷（B卷・提升能力）

【北师版】

考试时间：120分钟；满分：150分

题号一二三总分

得分

第I卷（选择题）

一、单选题（共12题，每题4分，共48分）

1、在自习课上，小红为了检测同学们的学习效果，提出如下四种说法：

①三角形有且只有一条中线；②三角形的高一定在三角形内部；③三角形的两边之差大于第三边；④三角

形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形.其中错误的说法是（）

A.0X2）B.0X3）C.dX2）（3）D.（TX2）（3）@

【答案】c

【详解】①三角形有三条中线，故①错误；②钝角三角形三条高，有两条在三角形外部，故②错误；

③三角形的任意两边之差小于第三边，故③错误；④三角形按边分类可分为等腰三角形、不等边三角形，

故④正确；综上，选项①②③错误，故选：C.

2、如图，已知45=。。,乙钻。=/。8.能直接判断445。均\。（加的方法是（）

A.SASB.AASC.SSSD.ASA

【答案】A

AB=DC

【解析】在AABC和ADCB中，＜ZABC=ZDCB△ABCgZV)CB(SAS),故选：A.

BC=CB

3、如图，AD,CE分别是△ABC的中线与角平分线，若NB=NACB,N8AC=40。，则NACE的度数是

A.20°B.35°C.40°D.70°

【答案】B

1800-40°

【详解】解：QNB=ZACB,ABAC=40°,..ZB=ZACB=-------------=70°,

2

:。£是4^。角平分线，，/4。石=!乙4。3=35°,故选：B.

2

4、若AABC的边长都是整数，周长为12,且有一边长为4,则这个三角形的最大边长为（）

A.7B.6C.5D.8

【答案】C

【详解】解：设这个三角形的最大边长为°,最小边是从根据已知，得a+6=8.

根据三角形的三边关系，得：a-Z?<4,当a-6=3时，解得a=5,6=2；故选：C.

5、将一副三角板按如图方式放置，使所//A5,则Ne的度数是（）

A.95°B,100°C.120°D,105°

【答案】D

【详解】如图，设BC与EF交于点G.；EF//AB,：.NFGC=/ABC=45。.

ZBGE=ZFGC=45°.Za=ZBGE+ZE,NE=60°Na=45。+60°=105°

故选：D.

6、如图，在AABC中，点。是BC的中点，点E是上的一点，且S—BC=7,则阴影部分的面积为（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

【答案】B

【详解】SAABC=7,解：二,点D是BC中点，-0-SAABD=SAACD,SAEBD=SAECD,*•-SAABE=SAACE,

_7_

,•S阴影=S4EBD+SAACE=SAABC=——3.5,故选B.

6题图7题图8题图

7、如图，A,B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A,B间的距离，但绳子不够长，位同

学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A,B的点C,连接AC并延长到点D,使CD=C4,

连接BC并延长到点E,使CE=CA,连接DE并且测出DE的长即为A,B间的距离，这样实际上可以

得到△ABCgWEC,理由是（）

A.SSSB.AASC.ASAD.SAS

【答案】D

CA=CD

【详解】在△ABC与ADEC中，IZACB=NECD;.AABCGDEC（SAS）故选：D

BC=CE

8、如图，在△ABC中，ZABC=45°,AC=9cm,尸是高AD和BE的交点，则8尸的长是（）

A.4cmB.6cmD.9cm

【答案】解：如图所示：B----------D-C

VADXBC,BELAC,：.ZADC^ZADB^90°,ZBEA=90°,又；NFBD+NBDF+NBFD=180°,

ZFAE+ZFEA+ZAFE=180°,NBFD=/AFE,：.Z.FBD=ZFAE,又：/ABC=45°,ZABD+ZBAD

，/.RD:/CAF)

=90°,NBAD=45°,：.BD^AD,在△尸2。和△C4£)中，1/FDB：NCDA'^FBD-△CAD(AAS),

J.BF^AC,又•；AC=9CTM,；.BF=9cm.故选：D.

9、如图，大树AB与大树CO相距13机，小华从点8沿BC走向点C,行走一段时间后他到达点E,此时他

仰望两颗大树的顶点A和。，两条视线的夹角正好为90°,且EA=EZ）,已知大树AB的高为5m，小华

行走的速度为小华行走到点E的时间是（）

A.13B.8C.6D.5

D

9题图10题图

【答案】B

【详解】解：VZAED=90°,AZAEB+ZDEC=90°,VAB£=90°,AZA+ZAEB=90°,

，ZB=ZC

AZA=ZD£C,在△ABE和△OCE中，，NA=NDEC，/\ECD(AAS),：.EC=AB=5m,

AE=DE

'：BC=13m,:.BE=8m,...小华走的时间是8+1=8(s),故选：B.

10、如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,上，点A与点E关于直线CD对称若钻=7,47=9,

BC=n,则ADBE的周长为()

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【详解】连接AE,交CD于点0,,由点A与点E关于直线CD对称，二人石LCDAO=OE

AO=OE

在AAOC与AEOC中，,.•，NAOC=Z.EOC：.AAOC=^EOC(SAS)AC=EC

oc=oc

AO=OE

同理，在AAOD与△EOD中，•・•・NAOD=ZEOD:.AAOD^^EOD(SAS)：,AD=AE

OD=OD

vAB=7,AC=9,BC=12,•.ADBE的周长为：5D+DE+5E=5D+AD+(5C—EC)

=BD+AD+(BC-AC)=AB+BC-AC=7+12-9=10故选：B.

11、数学课上，老师给出了如下问题：

如图1,ZB=ZC=90°,E是的中点，OE平分/ADC,求证：AB+CD=AD.

小明是这样想的：要证明A5+CD=4。，只需要在AD上找到一点歹，再试图说明"=A5,DF=CD

即可.如图2,经过思考，小明给出了以下3种辅助线的添加方式.

①过点E作石交AD于点/；

②作EF=EC,交于点尸；

③在AZ）上取一点/，使得DE=DC,连接EP；

上述3种辅助线的添加方式，可以证明“A5+CD=A£>”的有（）

【答案】B

【详解】解：①如图1,过作EFLAD,垂足为点歹,

2c=ZDFE

•;DE平分/ADCNFDE=NCDE,在ADCE和ADEE中，＜NCDE=NFDE,

DE=DE

:.ADEF=ADCE(AAS);：.CE=EF,DC=DF,ZCED=ZFED,•.•石是BC的中点，..CE=£B,

BE=FE

：,EF=EB在RtAABE和RtAAFE中，\RtAAFE=RtAABE(HL),.-.AF^AB,

AE=AE

:.AD=AF+DF=AB+CD.②如图2,作EF=EC,交AD于点/；;EF=EC,DE=DE,

NFZ汨=NCDE,.•.根据SSA不能证明ADEF三ADCE,.,.这种辅助线的添加方式不能证明结论

AO=AB+CD.③如图3,在上取一点歹，使得连接班，

DC=DF

在ADCE和ADFE中,＜NCDE=ZFDE,ADEF=ADCE(SAS);：.CE=EFZECD=/EFD=90°

DE=DE

BE=FE

是的中点，:.CE=EB,：.EF=EB在RtAABE和RtAAFE中，＜

AE=AE

RtAAFE=RtAABE（HL）;.-,AF=AB,:.AD=AF+DF=AB+CD.故选：B

12、如图，AABC中，ZABC=45°,CD±AB于D,BE平分4ABC,且BE1AC于E,与CD相交于点F,

则①DH=HC；②DF=FC；③BF=AC；@CE=▲BF中正

H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G,

2

确有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】解：①.・.CD_LAB于D,ZBDC=90°,・JH是BC边的中点，.•.DH=CD,二①正确;

②过F作FMJ-BC于M,见|FM<FC,

1,BE平分乙ABC,••.DF=FM,DF<FC,”②错误；

③•.•乙ABC=45。，CD_LAB于D,.1△BCD是等腰直角三角形，..BD=CD,

CD1ABTD,BE_LAC于E,...乙DBF+4A=90°,4ACD+4A=90°,，2DBF=4ACD,

ZDBF=ZACD

在4BDF与^CDA中，<BD=CD,ABDF^ACDA（ASA）,BF=AC,③正确；

ZBDF=ZCDA=90°

④BE平分心ABC,且BE_LAC于E,4ABE=4CBE,AAEB=ZCEB=90°,

ZABE=ZCBE

•■.iSAABE与^CBE中,BE=BE,AABE^ACBE（ASA）,AE=CE=—AC,

2

ZAEB=ZCEB=90°

1

,.AC=BF,.'.CE=—BF,④正确.所以，正确的结论是0X3）④，故选：C.

2

第II卷（非选择题）

二、填空题（共4题，每题4分，共16分）

13、如图，已知41=42、=若再增加一个条件不一定能使结论△ADEMAA5c成立，则这个条件

是.

D

f

【答案】DE=BC

【解析】增加的条件为DE=8。理由：；N1=N2,N1+NH4石=N2+NA4E

ZDAE=ZBAC

-：AD=AB,DE=BC

■■■AAE>EM"LBC不一定成立，故答案为：DE=BC

14、若a,b,c是AABC的三边长，则化简|a+Z?—c|+弧—c—的结果是-

【答案】2a

【详解】解:'-'a,b,c为三角形三边上，，a+b-c>0,b-c-a<0,

则原式=a+6-c-6+a+c=2a,故答案为：2a.

15、如图，D,E分别是6c边A3,上的点，AD=2BD,BE=CE,设△AOC的面积为5,

△ACE的面积为S?,若S»BC=18,则，一星的值为.

【答案】3

【详解】解：；BE=CE,

SXACE=—S«ABC=—x18=9,

22

■.AD=2.BD,

22

•1S^ACD——S"BC=—*18=12,

33

••5I-S2=5AACD_5AAC£=12-9—3.

故答案为：3.

16、已知AMC中，ZBAC=90°,AB=AC,点。为的中点，点E、尸分别为边A3、AC上的

动点，且/EDb=90°,连接EF,下列说法正确的是.（写出所有正确结论的序号）①

“EF+NCFE=2N；②ED=FD；③EF=FC；④S四边”f皿

A

F

【答案】①②3)

［详解】ZBEF+ZCFE=(NAEB-ZAEF)+(ZAFC-ZAFE),

=(NAEB+ZAFC)-1NAEF+NAFE、,=360°-(180°-ZJ),=360°-90°=270°；

故①正确；连接AD,

•••Z£L4C=90°,AB=AC,..ZS=NC=9O。，

又,•・点。为的中点，,=ZBDA=90°,ZZMC=45°,舞/EBD=ADAF,

又/EOF=90°,?EDA?ADF90°,

又ZBDA=ZBDE+ZEDA=90。，ZBDE=ZADF,

NEBD=NDAF

在ABED和AAFD中，｛BD=AD,；.八RED〜八AFD.，ED=FD；故②正确；

ZBDE=ZADF

■.-^BED=AAFD,S^BED=S△叱

则S四边形物尸=S△的+S&ADF=S4ABD+S4BED=54ABD=万/\ABC,故④正确，

当点E移动到点A时，此时点F与点C重合，很明显此时EF=AC,FC=O,即石尸WFC；

故③错误；故答案为④,

三、解答题（共9题，17、18题每题8分，19-25题每题10分，共86分）

17、已知：两边及其夹角，线段a,c,Za.

求作：△A6C,使5C=a,AB=c,（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.

请你根据所学的知识，说明尺规作图作出NA5C=Ncr,用到的是三角形全等判定定理中的作出

的AABC是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的.

【答案】作图见解析；SSS,SAS.

【详解】解：⑴如图所示：

(2)尺规作图作出乙ABC=4a,用到的是三角形全等判定定理中的SSS,作出的AABC是唯一的，依据是三

角形全等判定定理中的SAS.

18、王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以

放进一个等腰直角三角板(AC=BC,ZACB=9Q°)，点C在上，点A和8分别与木墙的顶端重合,

求两堵木墙之间的距离.

DCE

【答案】解：由题意得：AC^BC,/ACB=90°,ADLDE,BELDE,：.ZADC^ZCEB^9Q°,

：.ZACD+ZBCE=90°,ZACD+ZDAC=90°,AZBCE=ZDAC,

rZADC=ZCEB

在△ADC和△CEB中，<ZDAC=ZBCE>△ADC^△CEB(AAS)；

AC=BC

由题意得：AD=EC=6cm,DC=BE=14ctn,；.DE=DC+CE=20(cm),

答：两堵木墙之间的距离为20c〃z.

19、如图，AB//CD.与相交于点E,AF平分乙BAD交于点£交CQ的延长线于点G.

AB

(1)若4G=29。，求乙AOC的度数；

⑵若点F是的中点，求证：AB=AD+CD.

【答案】(1)58°；⑵详见解析

【解析】证明：(1)：AB〃CDABAG=AG,ABAD=AADC.

...AB平分乙BAD,•••ABAD^2ABAG^2AG.

■■■AADC=ABAD=2AG.

•••ZG=29°,AADC=58°.

(2)...AF平分乙BAD•••^BAG=ADAG.

■：乙BAG=LG,■■■乙ZMG=4G.

•*-AD=GD.

・・,点尸是BC的中点，.-.BF=CF.

在AAB尸和AGC尸中，

ZBAF=NG,

•.・<NAFB=ZGFC,

FB=FC.

■■■AABF^AGCF.

.AB=GC.

AB=GD+CD=AD+CD.

20、如图，已知AN分别是AA6c的高和中线，AB=5cm,AC=12cm,BC=13cm,

ZBAC=90°.试求：

(DAM的长；

(2)A4BN的面积；

(3)AACN和AABN的周长差.

【答案】⑴[cm;(2)15cm2；闭7皿

【详解】(D；NR4c=90。，AM是边上的高，=

22

AM=ABAC=5x12^13=—(cm),即AM的长度为的cm;

BC1313

(2)如图，:△ABC是直角三角形，ABAC=90°.AB=5cm,AC=12cm,

2

SABC=-AB-AC=-x5xl2=30(cm).又：AiV是边BC的中线，•.5N=NC,

：.；BN.AM=gNC.AM,即S..N=1^,，,S“BN=；S“BC=15(cm2).

「•△ABN的面积是15cm2.

(3)；AN为BC边上的中线，

；BN=NC,

AAOV的周长-AABN的周长=AC+A/V+CN—(AB+5N+A2V)=AC—AB=12—5=7(cm),

即八4@和AABN的周长的差是7cm.

21、如图，已知△ABC中，AB^AC^lQcm,BC=8cm,点。为AB的中点.如果点尸在线段BC上以3CT?I/S

的速度由点B向C点运动，同时，点。在线段CA上由点C向A点运动.

(1)若点。的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与△CQP是否全等，请说明理由.

(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△2尸。与△C。尸

全等？

【答案】解：⑴经过1秒后，PB=3cm,PC=5cm,CQ=3cm,

•.,△ABC中，AB=AC,

.,.在△BP。和△CQP中，

'BD=PC

<ZABC=ZACB>

BP=CQ

△8PD@△CQP(SA5).

⑵设点。的运动速度为x(x#3)cm/s,经过ts/\BPD与△CQP全等;

则可知P2=3tcv",PC=8-3tcm,CQ=xtcm,

'：AB^AC,:.NB=NC,

根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：

①当B£>=PC,BP=C。时，②当8。=。。，8P=PC时，两三角形全等；

①当B£)=PC且BP=C。时，8-3/=5且次=尤3解得x=3,Vx#3,舍去此情况；

@BD=CQ,时，5=»且笈=8-33解得：％=至；

4

故若点。的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为义QM/S时,能够使与△CQP

4

全等.

22、某中学八年级(5)班的学生到野外进行数学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了

如下两种方案：

方案1：如图(1),先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C,连接AC并延长AC至点。，连接3c

并延长至点E,使DC=AC,EC=BC,最后量出。E的距离就是AB的长.

方案2：如图(2),过点2作A2的垂线在8尸上取C、。两点，使BC=CD接着过D作BD的垂

线DE,交AC的延长线于E,则测出。E的长即为A8间的距离

问：(1)方案1是否可行？并说明理由；

(2)方案2是否可行？并说明理由；

(3)小明说：“在方案2中，并不一定需要DE±BF,aBF±AB,DE±BF),换成条件48〃

DE也可以你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上.

【答案】解：(1)在△ABC和△DEC中，

rAC=DC

<ZACB=ZECD>:.AABg△DEC(SAS),：.AB^DE；

CB=EC

(2)\'BF±AB,DELBF,：.ZB=ZBDE,

rZB=ZCDE

在△ABC和△DEC中，<CB=CD，**-AABC^Ar»EC(ASA),

ZBCA=ZDCE

(3)只需即可，

'：AB//DE,：.ZB=ZBDE,

fZB=ZCDE

在ZVIBC和△DEC中，<CB=CD，

ZBCA=ZDCE

△ABC丝△DEC(ASA),/.AB=DE,

故答案为：AB//DE.

23、在△ABC中，A8=AC,点。是直线BC上一点(不与8、C重合)，以为一边在AD的右侧作△AOE,

使ZDAE=ZBAC,连接CE.

A

(1)如图1,当点。在线段3C上，如果/BAC=90°,则NBCE=90度;

如图2,当点。在线段BC上，如果/BAC=60°,则/BCE=120度;

(2)设N8AC=a,ZBCE=p,

如图3,当点D在线段BC上移动，则a,0之间有怎样的数量关系？请说明理由.

【答案】解：(l)：/BAC=90°,：.ZDAE=ZBAC=9Q°,

"：AB=AC,AD=AE,：.ZB=ZACB=45°,ZADE=ZAED=45°,

ZDAE=ZBAC,：.ZBAD=ZCAE,

'AB=AC

在△BAZ)和△口!£■中，＜NBAD=/CAE，ABAD^△CAE(SAS),

AD=AE

AZACE=ZB^45°,/.ZBCE^ZACB+ZACE^90°,故答案为：90；

(2)VZBAC=60°,：.ZDAE^ZBAC^60°,

"：AB=AC,AD=AE,：.ZB=ZACB=60°,ZADE=ZAED=60°,

由(1)得，ZACE=ZB=60°,

：.ZBCE=ZACB+ZACE=120°,

故答案为：120；

(3)a+p=180°,理由如下：

VZBAC=a,AZB=ZACB=A(180°-a),

2

由(1)得，ZAC£=ZJ3=A(18O°-a),

2

Ap=ZBCE=ZACB+ZACE=ISQ0-a,

a+0=18O°.

24、问题1

现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线。E折叠.

研究（1）：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则/I与N4的数量关系是.

研究（2）：如果折成图②的形状，猜想N1+/2和/A的数量关系是

研究（3）：如果折成图③的形状，猜想/I、/2和/A的数量关系，并说明理由.

问题2

研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABC。纸片沿EF折叠，使点4B落在四边形EFC。的内部

时，N1+N2与/A、/B之间的数量关系是.

【解答】解：（1）如图1,Zl=2Z/4,理由是：由折叠得：ZA=ZDA'A,

•：Z1=ZA+ZDA'A,；.N1=2NA；故答案为:Nl=2/A；

(2)如图2,猜想：/l+/2=2/A,理由是：由折叠得：ZADE=ZA'DE,ZAED=ZA'ED,

VZADB+ZAEC=360°,AZl+Z2=360°-ZADE-Z/l,DE-NAED-NA'ED=360°-2ZADE-2

ZAED,AZl+Z2=2(180°-ZADE-ZAED)=2ZA；故答案为：Z1+Z2=2ZA；

(3)如图3,/2-Nl=2NA,理由是：

"：Z2=ZAFE+ZA,/AFE=/A'+Z1,：.Z2=ZA'+NA+/L

VZA=ZA',：.Z2=2ZA+Z1,：.Z2-Z1=2ZA；

(4)如图4,由折叠得：ZBMN=ZB'MN,ZANM=ZA'NM,

'：ZDNA+ZBMC^3G0°,/l+N2=360°-2ZBMN-2ZANM,

'：/BMN+/ANM=360°-ZA-ZB,

.\Zl+Z2=360°-2(360°-ZA-ZB)=2(Z/l+ZB)-360°,

故答案为：Zl+Z2=2(.ZA+Z