第10讲 一次函数（4考点+23题型）2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

第三章函数第10讲一次函数（3~6分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一一次函数的相关概念考点二一次函数的图象与性质考点三一次函数与方程（组）、不等式考点四一次函数的实际应用04题型精研·考向洞悉命题点一一次函数的定义题型01一次函数的定义及其参数问题题型02求一次函数的自变量或函数值命题点二一次函数的图像题型01判断一次函数的图像题型02根据一次函数图象解析式判断象限题型03已知函数经过的象限求参数的值或取值范围题型04一次函数与坐标轴交点问题题型05一次函数的平移问题命题点三一次函数的性质题型01判断一次函数增减性题型02根据一次函数增减性判断参数取值范围题型03根据一次函数增减性判断自变量的变化情况题型04求一次函数解析式题型05一次函数的规律探究问题命题点四一次函数与方程（组）、不等式题型01已知直线与坐标轴的交点求方程的解题型02由一元一次方程的解判断直线与x轴交点题型03利用图象法解一元一次方程题型04两直线的交点与二元一次方程组的解题型05求两直线与坐标轴围成的图形面积题型06由直线与坐标轴交点求不等式的解集题型07根据两条直线交点求不等式的解集命题点五一次函数的实际应用题型01分配问题题型02最大利润问题题型03行程问题题型04现实生活相关问题05分层训练·巩固提升基础巩固能力提升考点要求新课标要求考查频次命题预测一次函数的相关概念结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；10年7考一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为5-10分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律..一次函数的图象与性质解正比例函数；能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变化情况.会运用待定系数法确定一次函数的表达式.10年8查一次函数与方程（组）、不等式体会一次函数与二元一次方程的关系.10年8考一次函数的应用能用一次函数解决实际问题10年10考考点一一次函数的相关概念正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数.一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数.当一次函数y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）.1.一次1.一次函数一般形式的特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数.2.正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数.3.一次函数本身对自变量没有取值范围的要求，但是如果一次函数中的自变量x出现在分母，根号内，则需考虑以下情况：1）整个分母不能等于0；2）根号里的整个式子要大于或等于0.4.判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.考点二一次函数的图象与性质一、一次函数的图象特征及性质图象特征正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）.一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（-，0）增减性k>0k<0从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而减少图象b>0b=0b<0b>0b=0b<0经过象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四与y轴交点位置b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上二、一次函数图象图象关系一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到：当b>0时，向上平移b个单位长度；当b<0时，向下平移|b|个单位长度平移口诀：左加有减，上加下减图象确定因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可，1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点；2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可.三、k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=

，即直线y=kx+b与x轴交于(,0)令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b)1）当>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．2）当=0，即b=0时，直线经过原点．3）当<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．四、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系：1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合；2)当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行；3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）；4）当k1k2=-1时，两直线垂直；5）当k1≠k2时，两直线相交.五、用待定系数法确定一次函数解析式确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法.用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组；3）解方程或方程组求出k，b的值；4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式.六、正比例函数与一次函数的联系与区别正比例函数一次函数区别一般形式y=kx+b（k是常数，且k≠0）y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）图象经过原点的一条直线一条直线k，b符号的作用k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置求解析式的条件只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标需要两对x，y的对应值或两个点的坐标联系1）正比例函数是特殊的一次函数．2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．4）一次函数与正比例函数有着共同的性质：①当k>0时，y的值随x值的增大而增大；②当k<0时，y的值随x值的增大而减小．QUOTE11.正比例函数y=kx中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y=kx越靠近x轴.2.判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关.3.一次函数y=kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析.4.一次函数y=kx+b（k≠0）与x轴交于(,0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的三角形面积为s=QUOTE.考点三一次函数与方程（组）、不等式一、一次函数与一元一次方程思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值.从“数”上看：方程ax+b=0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值从“形”上看：方程ax+b=0(a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标.二、一次函数与二元一次方程组思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线.从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.二、一次函数与一元一次不等式思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围.从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件.1）二元一次方程组的图解法的定义：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法1）二元一次方程组的图解法的定义：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法考点四一次函数的实际应用一次函数的实际应用：1）一次函数应用问题的求解思路：①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答；②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤：①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；④利用函数的性质解决问题；⑤写出答案。3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：①观察图象，获取有效信息；②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种：①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．命题点一一次函数的定义►题型01一次函数的定义及其参数问题1．（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如（k，b为常数，且）的函数称为一次函数，据此逐项判断即可．【详解】解：A、是一次函数，符合题意；B、不是一次函数，不符合题意；C、不是一次函数，不符合题意；D、不是一次函数，不符合题意．故选：A2．（2023·湖南长沙·一模）函数的图像经过点，则k的值为（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】将图像上的点代入解析式求解即可．【详解】一次函数的图像经过点，，解得．故选B．【点睛】本题考查函数图像的性质，图像上的点的横纵坐标符合解析式方程．将点的坐标代入解析式方程求解参数是解题的关键．3．（2024·四川南充·三模）若是y关于x的一次函数，则其图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】本题考查根据一次函数的定义求参数，判断直线经过的象限，根据是y关于x的一次函数，得到，求出的值，进而判断直线经过的象限即可．【详解】解：由题意，得：，解得：，∴直线解析式为：，∴直线经过一、二、四象限，不经过第三象限；故选C．4．（2022·四川成都·二模）若函数是一次函数，则的值为（

）A．-1 B． C．1 D．2【答案】A【分析】由一次函数的定义：比例系数不为零，自变量的指数为1，可得答案．【详解】解：由题意可得，m-1≠0，∴m=-1，故选A【点睛】本题考查一次函数的定义，准确掌握定义的要点是解题的关键．►题型02求一次函数的自变量或函数值5．（2024·湖北武汉·模拟预测）小华在画一次函数的图象时列出了如下表格：x…012y…41…小勤看到后说有一个函数值求错了，这个错误的函数值是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了待定系数法求出一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标（任取两个），利用待定系数法求出一次函数解析式，再逐一验证其它三点坐标即可得出结论．【详解】解：设该一次函数的解析式为（），将，代入得，，解得：，∴一次函数的解析式为．当时，；当时，；当时，．故选：B．6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知一次函数，是常数，且，若，则该一次函数的图象必经过点（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．由，可得出，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出该一次函数的图象必经过点．【详解】解：，即，一次函数，是常数，且的图象必经过点．故选：A7．（2024·广西桂林·二模）已知一次函数的图象经过点，则a的值为（

）A．8 B． C．1 D．0【答案】D【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质，掌握一次函数图像上的点满足函数解析式成为解题的关键．将点代入求解即可．【详解】解：将点代入可得：．故选D．8．（2024·陕西西安·模拟预测）点，是一次函数（为常数，且）的图象上的两点，且，则的值为（

）A． B． C．3 D．6【答案】C【分析】本题考查一次函数的性质．熟练掌握一次函数的性质，将，代入得，是解题的关键．【详解】解：将，代入得，，，∵，∴，∴，故选：C．命题点二一次函数的图像►题型01判断一次函数的图像9．（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（）A．B．C． D．【答案】A【分析】本题考查一次函数的图象，其图象是直线，要求学生掌握通过函数的解析式，判断直线的位置及与坐标轴的交点．联立方程，得出两直线的交点为，依次分析选项可得答案．【详解】解：联立方程，可解得，故两直线的交点为，选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项不符合题意；而选项中交点横坐标是负数，故选项不符合题意；选项中交点横坐标是负数，选项不符合题意；选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即，根据图象可得，故选项符合题意；故选：．10．（2024·江苏南通·一模）在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】此题考查了函数的图象．由点，点，点在同一个函数图象上，可得与关于轴对称；当时，随的增大而增大，继而求得答案．【详解】解：，点，与关于轴对称，即这个函数图象关于轴对称，故选项A不符合题意；，点，当时，随的增大而增大，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意．故选：B．11．（2024·陕西西安·三模）若为常数且，则一次函数的图象可能是（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的相关性质是解题的关键．根据一次函数图象的性质进行分析即可得到答案．【详解】解：∵，，∴一次函数的图象在第一、二，四象限．故选：B．12．（2024·陕西宝鸡·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的大致图像是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】本题考查一次函数的图像，分和两种情况分类讨论进行解题即可.【详解】当时，一次函数图象经过一、三、四象限，当时，一次函数图象经过一、二、四象限，故选A.►题型02根据一次函数图象解析式判断象限13．（2023·贵州六盘水·一模）一次函数的图象如图所示，则点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据图象分布，确定k，b的符号，后确定位置即可．本题考查了一次函数图像：一次函数、为常数，图像分布与k，b得关系是解题的关键．【详解】解：∵图象分布在二、三、四象限，∴，∴在第三象限；故选C．14．（2024·上海·模拟预测）无论实数m为何值，直线与的交点不可能在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．【详解】∵直线中，，，∴直线过第一、三、四象限，∴无论为何实数，直线与的交点不可能在第二象限，故选：B．15．（2018·陕西西安·模拟预测）直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了一次函数的图象．若过第一、三象限，则，所以过第二、四象限，可对、进行判断；若过第二、四象限，则，，，所以过第一、三象限，与轴的交点在轴下方，则可对、进行判断．【详解】解：A、过第一、三象限，则，所以必过二、四象限，所以A选项错误；B、过第二、四象限，则，，，所以必过一、三象限，与轴的交点在轴下方，所以B选项错误；C、过第二、四象限，则，，，所以必过一、三象限，与轴的交点在轴下方，所以C选项正确；D、过第一、三象限，则，所以必过二、四象限，所以D选项错误．故选：C．16．（2023·河南平顶山·二模）在平面直角坐标系中，已知函数（为常数）的图象经过点，则下列叙述正确的是（

）A．函数图象经过点B．函数值随的增大而减小C．函数图象不经过第三象限D．函数图象与坐标轴围成三角形的面积为【答案】A【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．先根据待定系数法求出的值，得出函数解析式，再根据一次函数的图象和性质依次进行求解判断即可．【详解】解：将点代入到函数（为常数）中，则，解得：故函数解析式为．A.当时：，故A是正确的；B.∵，∴函数值随的增大而增大，故B是错误的；C.∵，∴函数图象为上升的直线，∴函数图象必然经过第三象限，故C是错误的；D.由解析式可得函数图象与坐标轴的交点为：，，∴函数图象与坐标轴围成三角形的面积为，故D是错误的；故选：A．►题型03已知函数经过的象限求参数的值或取值范围17．（2024·福建福州·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则点所在的象限为

(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由图象经过第一、三、四象限可知求出，再根据不等式的性质得到，即可判断所处象限．【详解】解：由题意得，，∴，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了一次函数图像与系数的关系，解一元一次不等式，点的坐标特征，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．18．（2023·辽宁沈阳·中考真题）已知一次函数的图像如图所示，则，的取值范围是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是数形结合．根据一次函数的图像所在的象限并结合一次函数的性质即可求解．【详解】解：一次函数的图像过一、三象限，，一次函数的图像与轴交于负半轴，，故选：B．19．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）已知关于的一次函数的图象经过第一、二、四象限，则代数式可化简为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了一次函数的性质，明确题意、利用一次函数的性质得到m的取值范围是解题的关键．根据一次函数的图象经过第一、二、四象限，可以得到m的取值范围，然后取绝对值后计算即可．【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，∴，解得：，∴．故答案为：5．20．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，直接利用一次函数的图象经过的象限以及与轴的交点位置再判断即可．【详解】解：由一次函数：的图象可得：，，由一次函数：的图象可得：，，∴，，，，正确的结论是A，符合题意，故选A．►题型04一次函数与坐标轴交点问题21．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键．先求出点的坐标，再根据对称性求出对称点的坐标即可．【详解】解：令，则，解得：，即点为，则点A关于y轴的对称点是．故选：A．22．（2024·陕西榆林·三模）在平面直角坐标系中，若直线与轴交于点，与直线交于点，则交点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题是两条直线相交问题，考查一次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求得一次函数的解析式．先求出的值，再联立方程组求解即可．【详解】解：直线与轴交于点，，解得：，直线，直线，，解得：，，故选：C．23．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与直线关于轴对称，则直线与轴的交点坐标为(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数与坐标轴交点问题，先得出直线与轴交于点，，根据轴对称的性质得出直线过点，，待定系数法的求得解析式，进而即可求解．【详解】∵直线、关于轴对称，直线与轴交于点，∴直线过点，设直线的解析式为，∴将点，代入中得，解得，∴，令，解得，∴与轴的交点坐标为．故选：C．24．（2024·山西晋城·三模）如图，函数的图象分别与轴，轴交于点，，的平分线与轴交于点，则点的纵坐标为（

）A．4 B． C．5 D．6【答案】A【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，勾股定理，角平分线的性质，过点作于点先求出，的长，然后根据勾股定理求出的长，再根据角平分线的性质证得，然后根据列方程即可求出的长，进而得到答案．【详解】解：过点作于点，的图象分别与轴、轴交于点、，当，当点坐标为，点坐标为，，，在中，，平分，，，，，，即，解得：，点的纵坐标为，故选：A．►题型05一次函数的平移问题25．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点．若，则直线的函数解析式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了一次函数图像的平移，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．先利用一次函数解析式求出点坐标，再证明，得到，即得点的坐标，最后根据一次函数平移的性质即可求出直线的函数解析式．【详解】解：对于直线，当时，，∴，∵直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴点的坐标为，∴平移以后的函数解析式为．故选：．26．（2024·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线向上平移个单位长度后，与直线的交点可能是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．先根据平移规律求出直线向上平移m个单位的直线解析式，再把各选项点坐标代入与，验证即可．【详解】解：直线向上平移个单位后，得到，A．把代入得，，∴交点不可能是，故A不合题意；B．把代入得，，∴交点不可能是，故B不合题意；C．把代入得，，把代入，求得，∴交点可能是，故C符合题意；D．把代入得，，把代入，求得，∴交点不可能是，故D不合题意；故选：C．27．（2024·陕西咸阳·模拟预测）将直线向下平移2个单位长度后得到直线，将直线向左平移1个单位长度后得到直线．若直线和直线恰好重合，则k的值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】本题考查了直线的平移．直线的平移规律遵循：上加下减，左加右减，据此分别求出平移后直线、的解析式，结合与直线恰好重合可得关于的方程，解方程即得答案．【详解】解：直线向下平移2个单位长度后得到直线，直线的解析式为，将直线向左平移个单位长度后得到直线，直线的解析式为，直线和直线恰好重合，，解得：，故选：A．28．（2023·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于点A，将直线沿轴向上平移个单位长度，交x轴于点C，若，则的值为（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【答案】D【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质．熟练掌握函数图象平移以及平移性质，反比例函数与一次函数的交点，是解题的关键．解析式联立，解方程组求得A的纵坐标，根据平移和相似三角形性质求得B的纵坐标，代入反比例函数的解析式求得B的坐标，代入即可求得b的值．【详解】解：分别过点A，B作轴于点D，轴于点E，则,∵直线与反比例函数的图象交于点A，∴，解得，，或（舍去），∴，∴，由平移知，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴B的纵坐标为4，把代入，得，，解得，，∴，∵将直线沿轴向上平移b个单位长度得到直线，∴把B的坐标代入得，，解得，，故选：D．命题点三一次函数的性质►题型01判断一次函数增减性29．（2024·湖南衡阳·模拟预测）对于一次函数，下列结论正确的是（

）A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限【答案】A【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据一次函数，且，得出随的增大而减小，令，得出一次函数与轴交于点，它的图象经过第一、二、四象限，当时，则，即可作答．【详解】解：∵一次函数，且，∴随的增大而减小，故B选项不符合题意；令时，则，即一次函数与轴交于点，故A选项符合题意；则一次函数经过第一、二、四象限，故D选项不符合题意；∵一次函数的随的增大而减小，∴令时，则，∴当时，则，故C选项不符合题意；故选：A．30．（2024·广东广州·模拟预测）关于一次函数，下列说法正确的是（

）A．图象过点B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到C．随着的增大而增大D．图象经过第一、二、四象限【答案】D【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换，一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象上点的坐标特征，平移的规律以及一次函数的性质逐个判断即可．【详解】A、当时，，一次函数的图象经过点，选项A错误，不符合题意；B、由的图象向下平移2个单位长度得到，故选项B错误，不合题意C、，随的增大而减小，选项C错误，不符合题意；D、，，一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项D正确，符合题意；故选：D．31．（2024·广东广州·一模）关于函数，下列结论成立的是（

）．A．函数图象经过点 B．随的增大而增大C．当时， D．函数图象不经过第一象限【答案】C【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．将代入解析式求出函数值，即可判断A选项；根据一次函数的增减性，即可判断B选项；根据一次函数与坐标轴的交点坐标，即可判断C选项；根据一次函数的系数，即可判断D选项．【详解】解：A．当时，，即函数图象经过点，原结论错误，不符合题意；B．，即随的增大而减小，原结论错误，不符合题意；C．函数过点，即当时，，原结论正确，符合题意D．函数图象经过一、二、四象限，原结论错误，不符合题意；故选：C．32．（2023·广东东莞·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．函数，y随x增大而增大B．直线经过第一、二、三象限C．函数，y随x增大而减小D．函数的图象向右平移2个单位后，函数解析式为【答案】C【分析】根据一次函数的性质分析判断A，B，再根据反比例函数的性质判断C，最后根据二次函数的平移规律判断D即可．【详解】因为函数中，，可知函数值y随着x的增大而减小，所以A不符合题意；因为直线中，，，可知直线经过第一、三、四象限，所以B不符合题意；因为函数中，，可知图象位于第一象限，函数值y随着x的增大而减小，所以C符合题意；因为函数的图象向右平移2个单位长度后，函数解析式为，所以D不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了函数的性质，掌握系数与不同函数之间的关系是解题的关键．►题型02根据一次函数增减性判断参数取值范围33．（2024·湖南益阳·二模）一次函数，函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，对应一次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，据此求解即可．【详解】解：∵一次函数，函数值y随x的增大而增大，∴，∴，故选：C．34．（2022·贵州遵义·中考真题）若一次函数的函数值随的增大而减小，则值可能是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根据一次函数的性质可得，即可求解．【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小，∴．解得．观察各选项，只有D选项的数字符合故选D．【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．35．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知是一次函数图象上的两点，则m和n的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的增减性即可判断，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【详解】解：∵，∴一次函数中y随x的增大而减小，∵，∴，故选：D．36．（2024·浙江温州·三模）若直线经过和，若，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查一次函数的增减性，由时，，可得y随x的增大而减小，进而可得一次项系数，解不等式即可．【详解】解：，，，，故选D．►题型03根据一次函数增减性判断自变量的变化情况37．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知点，在直线上，且，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题考查了利用一次函数的性质比较自变量的大小，对于一次函数来说，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据直线中，得到随的增大而减小，由即可得到的取值范围．【详解】解：对于直线来说，∵，∴随的增大而减小．∵，∴．故选：A38．（2024·陕西渭南·二模）已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，根据解析式可得y随x增大而减小，再由，即可得到．【详解】解：∵在中，，∴y随x增大而减小，∵，∴，故选：C．39．（2023·安徽滁州·二模）已知，，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】先分析出一次函数的增减性，再根据不同情况进行分类讨论．【详解】解：直线是一次函数，是小于0的，随的增大而减小．，．若，则与同号，但不能确定、的正负，故选项A不符合题意；若，则与异号，但不能确定、的正负，故选项B不符合题意；若，则与异号，则与同时为负，故、同时为正，故，选项C符合题意；若，则与同号，但不能确定、的正负，故选项D不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查一次函数图象和性质，掌握一次函数的增减性性质是解题关键．40．（2023·湖北十堰·中考真题）已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出的范围，根据二次函数的性质得出，进而即可求解．【详解】解：如图所示，设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为联立解得：或∴，由，则，对称轴为直线，设，则点在上，∵且，∴点在点的左侧，即，，当时，对于，当，，此时，∴，∴∵对称轴为直线，则，∴的取值范围是，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键．►题型04求一次函数解析式41．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（）尾长6810体长45.560.575.5A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意可设，利用待定系数法求出k，b即得x、y之间的函数关系式．【详解】解：∵蛇的体长是尾长的一次函数，设，把时，；时，代入得，解得，∴y与x之间的关系式为．故选：A．42．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，把点A先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点B，则直线的表达式为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是一次函数解析式的求解，根据题干信息得出，再利用待定系数法求解．【详解】解：点A的坐标为，把点A先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点，设直线的表达式为，则，解得：，，故选：B．43．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知一次函数经过点，则下列结论正确的是（）A．函数值随增大而增大B．图象经过第一、二、三象限C．图象与轴交于点D．当时，【答案】C【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象上点的坐标特征、一次函数的性质，求得一次函数的解析式是解题的关键．先将点代入一次函数解析式求得值，再根据一次函数的图像与性质逐项判断即可．【详解】解：将点代入一次函数解析式得，解得：一次函数的解析式为A、因为，所以函数值随的增大而减小，故A选项不符合题意；B、函数图象如图所示，所以此函数图象经过第一、二、四象限，故B选项不符合题意．C、令得，，解得，所以函数图象与轴的交点坐标为，故C选项符合题意；D、当时，，故D选项不符合题意．故选：C．44．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴、轴分别交于点A、B，若的面积为3，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法，先求出再利用的面积为3求出得出，代入函数解析式即可求出的值．【详解】解：当时，，∴，即，∵，∴，，将点代入，得．故选A．►题型05一次函数的规律探究问题45．（2024·湖北武汉·模拟预测）正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上．已知点，点，，则的坐标是()A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可知纵坐标为1，的纵坐标为2，的纵坐标为4，的纵坐标为8，，即可得到，，，，的纵坐标，根据图象得出，，，即可得到，，，，在一条直线上，直线的解析式为，把的纵坐标代入即可求得横坐标．【详解】∵，点，∴，∴，过作x轴于M，过作y轴于N，∵四边形为正方形，∴，∴，∴，，同理可求得：纵坐标为1，的纵坐标为2，的纵坐标为4，的纵坐标为8，，和，和，和，和的纵坐标相同，，，，，，的纵坐标分别为1，2，4，8，16，，根据图象得出，，，直线的解析式为，的纵坐标为，把代入，解得，的坐标是，当时，，故选：D．【点睛】此题考查了点的坐标规律探究，待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形和正方形的性质，找到规律是解题的关键．46．（2023·山东烟台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，在第一象限，且是等边三角形．在射线上取点，分别以为边作等边三角形使得在同一直线上，该直线交轴于点．若，则点的纵坐标是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标规律，等边三角形性质，解答本题的关键是寻找点的坐标规律．利用待定系数法求得直线的解析式，利用等边三角形的性质分别求出，，，的坐标，然后找到点坐标的变化规律，即可求出的纵坐标．【详解】解：是等边三角形，，的横坐标为，，设，则，解得：或，点在第一象限，，的解析式为，，，是等边三角形，，，，，，的横坐标为，的纵坐标为，同理，，，，∴的纵坐标是．故选：D．47．（2023·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先令，求得点与点的坐标，从而求出、、的长度，然后结合图形的翻转知道点经过次旋转后重新落在直线：上，第次旋转点的位置不变，再结合次一循环得到翻滚次后点的坐标．【详解】解：∵直线l：与两坐标轴交于、两点，∴，，∴，，，∴，∴，如图，等边经过第次翻转后，，过点作轴于点，则，

∵，∴，，等边经过第次翻转后，，等边经过第次翻转后，点仍在点处，∴每经过次翻转，点向右平移个单位，向上平移个单位，∵，第次与第次翻转后点处在同一个点，∴点经过次翻转后，向右平移了个单位，向上平移了个单位，∴等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是，故选：D．【点睛】本题考查了图形的翻转，一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解题的关键是通过实际操作理解等边经过第次翻转与第次翻转后点处在同一个点．48．（2020·广东广州·一模）如图，直线y＝x+1与x轴和y轴分别交于B0，B1两点，将B1B0绕B1逆时针旋转135°得B1B0′，过点B0'作y轴平行线，交直线y＝x+1于点B2，记△B1B0B2的面积为S1；再将B2B1绕B2逆时针旋转135°得B2B1'，过点B1'作y轴平行线，交直线y＝x+l于点B3，记△B2B1'B3的面积为S2…以此类推，则△BnBn﹣1'Bn+1的面积为Sn＝（

）A．（）n B．（）n﹣1 C．2n D．2n﹣1【答案】D【分析】根据直线与x轴的成角和已知，可以判断∴△B1B0B2；…；△BnBn﹣1'Bn+1都是直角三角形，再由旋转的性质得到B1B0′＝OB0，B2B1′＝B1B0′，…，Bn+1B′n＝BnBn﹣1′，可以B1B0′＝，B2B1′＝2，…，BnBn﹣1'＝，根据三角形面积公式即可求解．【详解】解：直线l1：y＝x+1与x轴正半轴夹角45°，由题意可知B′0B1∥x轴，B1′B2∥x轴，…，Bn′Bn+1∥x轴，B′0B2∥y轴，B′1B3∥y轴，…，B′n﹣1Bn+1∥y轴，∴△B1B0B2；…；△BnBn﹣1'Bn+1都是直角三角形，∴B1B0′＝OB0，B2B1′＝B1B0′，…，Bn+1B′n＝BnBn﹣1′由直线l1：y＝x+1可知，B0（﹣1，0），B1（0，1），∴OB0＝1，∴B1B0′＝，B2B1′＝2，…，BnBn﹣1'＝，∴△BnBn﹣1'Bn+1的面积为Sn＝（）2＝2n﹣1故选：D．【点睛】本题考查一次函数图象及性质，直角三角形的性质；利用直线与x轴的成角，平行线的性质，在直角三角形中利用角的关系得到边的关系是解题的关键．命题点四一次函数与方程（组）、不等式►题型01已知直线与坐标轴的交点求方程的解49．（2021·广东佛山·一模）如图，一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（

）A． B．C．方程的解是 D．随的增大而减小【答案】C【分析】利用函数的图象结合一次函数的性质进行解答即可．【详解】解：∵图象过第一、二、三象限，∴k＞0，b＞0，y随x的增大而而增大，故ABD错误；又∵图象与x轴交于（−2，0），∴kx＋b＝0的解为x＝−2，故C正确；故选：C．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是正确从函数图象中获取信息，掌握一次函数的性质．50．（2024·陕西渭南·一模）如图，一次函数（为常数且）和的图象相交于点，根据图象可知关于的方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查一次函数图象的交点问题，一次函数与一元一次方程．根据图象，两直线的交点的纵坐标为4，将其代入得即可．【详解】解：由图象知，两直线的交点的纵坐标为4，将其代入得．故选：A．51．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知一次函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是（

）A．， B．方程的解是C．当时， D．随的增大而减小【答案】B【分析】本题考查一次函数的图象与系数的关系，以及一次函数的性质．根据图象可得，该一次函数的图象过一、二、三象限，进而可得k、b的值，以及与轴交点，函数的增减性，即可得出答案．【详解】解：图象过一、二、三象限，且与轴交于正半轴，，，故A错误，不符合题意；图象与轴交于点，方程的解是，故B正确，符合题意；由图知，当时，，故C错误，不符合题意；，随的增大而增大；故D错误，不符合题意；故选：B．52．（2021·广西贺州·中考真题）直线（）过点，，则关于的方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】关于的方程的解为函数的图象与x轴的交点的横坐标，由于直线过点A(2,0)，即当x=2时，函数的函数值为0，从而可得结论．【详解】直线（）过点，表明当x=2时，函数的函数值为0，即方程的解为x=2．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，即一元一次方程的解是一次函数的图象与x轴交点的横坐标，要从数与形两个方面来理解这种关系．►题型02由一元一次方程的解判断直线与x轴交点53．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时，，从而可判断直线经过点即可．【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，，直线一定经过点，故选：C．54．（2023·陕西西安·模拟预测）直线关于x轴对称后，与y轴的交点为，则a的值为（

）A．0 B．2 C．－2 D．－1【答案】A【分析】先求出直线关于x轴对称后的解析式，然后把代入即可求出a的值．【详解】解：∵对于直线，当时，，∴直线与y轴的交点为，∵关于x轴的对称点为．∴直线关于x轴对称后的解析式为，把代入得，，∴．故选A．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形变化-轴对称，以及待定系数法求函数解析式，表示出直线关于x轴对称后的解析式为是解答本题的关键．55．（2021·河南安阳·一模）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移4个单位长度，则平移后的图象与x轴交点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令y=0，解得即可．【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y=-2x的图象向上平移4个单位长度所得函数的解析式为y=-2x+4，∵此时与x轴相交，则y=0，∴-2x+4=0，即x=2，∴与x轴交点坐标为(2，0)，故选：C．【点睛】本题考查的是一次函数的平移，以及一次函数与坐标轴的交点，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．56．（2021·安徽合肥·二模）若是关于的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直线y=mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，即可求得一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标．【详解】解：∵方程的解为x=2，∴当x=2时mx+n=0；∴一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），∴一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），∵一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，∴一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标是（3，0），故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．►题型03利用图象法解一元一次方程57．（2024·陕西西安·二模）如图，已知直线（为常数，），则关于的方程的解是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】本题主要考查了一次函数和一元一次方程的综合应用，正确解得直线函数解析式是解题关键．首先根据待定系数法解得直线解析式，再令，解得的值，即可获得答案．【详解】解：由图像可知，直线经过点，，将点，代入，可得，解得，∴该直线解析式为，令，可得，解得，∴关于的方程的解是．故选：A．58．（2024·贵州遵义·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标．先求出点P的坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解．【详解】解：根据题意得：点P的纵坐标为7，把代入，得：，解得：，∴点P的坐标为，∵一次函数与的图象相交于点，∴关于的方程的解是．故选：D．59．（2022·湖北武汉·模拟预测）关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将的解看成函数的图象与直线的交点的横坐标，函数的图象是定折线，直线过定点，绕定点旋转，计算旋转过程中有交点和没交点的临界状态，判断即可【详解】解：方程的实数根，即为函数的图象与直线的交点的横坐标如图，分别画出两函数的图象：等价于过定点当直线与平行时：当直线过点时解得：观察图象可知：当时，直线与函数的图象有两个交点故选：C【点睛】本题考查一元一次方程一元一次函数，分段函数，图像与系数的关系；本题的关键是将方程问题转化为函数图像的交点问题60．（2020·山西·一模）数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，方程3x＝ax+b的解为（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3【答案】A【分析】根据方程的解即为函数图象的交点横坐标解答．【详解】解：∵直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3）∴方程3x＝ax+b的解为x＝1．故选：A．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．►题型04两直线的交点与二元一次方程组的解61．（2024·广东河源·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）

A．B．随x的增大而增大C．当时，D．关于x，y的方程组的解为【答案】C【分析】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系．根据一次函数与方程、不等式的关系求解．【详解】解：A、由图象得：，，所以，故本选项不符合题意；B、由图象得随的增大而减小，故本选项不符合题意；C、由图象得：当时，，故本选项符合题意；D、由图象得：的解为，故本选项不符合题意．故选：C．62．（2024·广东深圳·二模）在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（

）A．随x的增大而减小 B．C．当时， D．方程组的解为【答案】C【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可．【详解】解：A、由图可知，随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意；B、由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故选项B正确，不符合题意；C、把代入得，解得，故与的交点为，由图象可知：当时，，故选项C错误，符合题意；D、由图象可知，两条直线的交点为，∴关于，的方程组的解为，故选项D正确，不符合题意．故选：C．63．（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（

）

A．随的增大而增大B．C．当时，D．关于，的方程组的解为【答案】C【分析】结合图象，逐一进行判断即可．【详解】解：A、随的增大而增大，故选项A正确；B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确；C、由图象可知：当时，，故选项C错误；D、由图象可知，两条直线的交点为，∴关于，的方程组的解为；故选项D正确；故选C．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．64．（2023·陕西西安·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用直线确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标得到答案．【详解】解：把代入得，解得，即点坐标为，所以二元一次方程组的解为．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．►题型05求两直线与坐标轴围成的图形面积65．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则的面积为（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】B【分析】本题考查了两直线与坐标轴围成图形的面积，求出交点坐标是解题的关键．根据方程或方程组得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：如图，

在中，令，得，解得，，∴，，∴的面积，故选：B．66．（2024·陕西汉中·二模）已知一次函数（k、b为常数，且）的图象是由正比例函数的图象向右平移3个单位长度后得到的，若一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为9，则k的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴围成的图形面积，一次函数图象的平移问题，先根据平移方式求出平移后的解析式为，进而求出一次函数与x轴的交点为，与y轴的交点为，再根据一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为9，列出方程求解即可．【详解】解：∵一次函数（k、b为常数，且）的图象是由正比例函数的图象向右平移3个单位长度后得到的，∴，∴在中，当时，，当时，，∴一次函数与x轴的交点为，与y轴的交点为，∵一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为9，∴，∴，故选：C．67．（2022·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与直线都经过，且，设与轴交于点，则的面积为A． B． C． D．【答案】B【分析】过作y轴于C，由即可得到，进而求得，然后根据三角形面积公式即可求得的面积．【详解】过作y轴于C∵∴∴∴∵∴∴∴∴∴，故选：B．【点睛】本题是考查一次函数与相似综合问题，三角形的面积等，利用相似求出的长是解题的关键．68．（2023·内蒙古包头·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点A，与轴相交于点，四边形是平行四边形，直线经过点，且与轴相交于点与相交于点，记四边形，的面积分别为，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】求出点A的坐标为，点B的坐标为，根据平行四边形性质得出点的坐标为，求出直线的解析式为，得出点D的坐标为，求出直线的解析式为：，的解析式为，求出点E的坐标为，得出，求出，，即可求出结果．【详解】解：把代入得：，解得：，∴点A的坐标为，∴，把代入得：，∴点B的坐标为，∴，∵四边形为平行四边形，∴，，，∴点的坐标为，把代入得：，解得：，∴直线的解析式为，把代入得：，解得：，∴点D的坐标为，设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，∵，∴的解析式为，联立，解得：，∴点E的坐标为，∴，∴，∴，∴，即，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数与x轴，y轴的交点问题，直线围成的三角形的面积，平行四边形的性质，解题的关键是求出点E的坐标．►题型06由直线与坐标轴交点求不等式的解集69．（2024·四川眉山·二模）如图，直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求的解集，即为，就是求函数值小于0时，x的取值范围，解题时应结合函数和不等式的关系找出正确的答案．【详解】∵要求的解集，即为求的解集，∴从图象上可以看出等时，，故选：C．70．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一次函数（k、b为常数，且）与x轴，y轴分别交于两点，则关于x的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．由一次函数的图象过点，且随的增大而增大，从而得出不等式的解集．【详解】由一次函数的图象可知，随的增大而增大，∵一次函数的图象与轴交于点，∴当时，有．故选：C．71．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，直线l是一次函数的图象，当时，y的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，求一次函数解析式，求一次函数值，先根据待定系数法求出函数解析式，再求出当时，，据此结合函数图象可得答案．【详解】解：由图可知，一次函数的图象与坐标轴的交点分别为，∴，解得，∴一次函数的解析式为，∴当时，∴当时，y的取值范围是．故选：A．72．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可．【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确；②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确；③．由图象可知：当时，，故选项③错误；④．由图象可知，两条直线的交点为，∴关于，的方程组的解为；故选项④正确；故正确的有①②④共三个，故选：C．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．►题型07根据两条直线交点求不等式的解集73．（2024·云南昆明·模拟预测）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论．【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方，∴关于的不等式的解集是．在数轴上表示的解集，只有选项C符合，故选：C．74．（2024·陕西咸阳·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数与不等式之间的关系，根据题意可得直线与直线的交点坐标为，再根据一次函数的增减性即可得到答案．【详解】解：直线与直线分别可以看作由直线与直线向左平移2个单位长度得到．∵直线与直线相交于点，直线与直线的交点坐标为，∵在中，在中，∴在中，y随x增大而减小，在中y随x增大而增大，∴不等式的解集为．故选C．75．（2024·贵州·模拟预测）如图，一次函数和一次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．当时，【答案】C【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，两条直线的交点，解决问题的关键是掌握一次函数图象和性质．根据一次函数的性质即可判断A、B；根据两条直线交点的横坐标即可判断C、D．【详解】解：A．∵一次函数的图象经过二、三、四象限，∴，故A错误；B．∵一次函数的图象经过一、二、三象限，∴，故B错误；C．∵两条直线交点的横坐标为，∴，∴，即，故C正确；D．∵当时，一次函数的图象在一次函数的图象上面，∴时，，故D错误．故选：C．76．（2024·贵州遵义·三模）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（

）A．①④ B．①③ C．②④ D．②③【答案】B【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是利用数形结合的思想解决问题．根据一次函数中的，与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题．【详解】解：①的图象过第二、三、四象限，观察图象可知，，．所以．故①正确．②将分别代入和得，，．观察图象不难发现点在点的上方，所以．故②不正确．③观察图象发现，与交点的横坐标为．当时，两者的函数值相等．，故③正确．④，是直线上不重合的两点，由的图象可知，当时，，则．当时，，则．故④不正确．故选：B．命题点五一次函数的实际应用►题型01分配问题77．（2024·广东梅州·模拟预测）五华，这片土地孕育了深厚的足球文化．从亚洲球王李惠堂到近年来唯一的县级中超球队梅州客家，他们的存在不仅彰显了五华足球的历史，更推动了当地体育事业的蓬勃发展．五华某校致力于发展足球运动，决定加大投入购买足球和足球锥形桶．在商场发现若购买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元．(1)求每个足球和足球锥形桶的单价；(2)根据学校计划，该中学需足球、足球锥形桶共120个，且足球的数量不少于足球锥形桶数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．【答案】(1)每个足球的价格是50元，每个足球锥形桶的价格是20元(2)当购买40个足球，80个足球锥形桶时，总费用最少，最低费用为3600元【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一次函数的应用等知识．（1）设每个足球的价格是x元，每个足球锥形桶的价格是y元，根据“买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元”列出方程组，解方程组即可求解；（2）设学校购买了足球a个，需要的总费用为W元，根据题意列出函数关系式，根据题意得到，根据一次函数性质即可得到当时，，问题得解．【详解】（1）解：设每个足球的价格是x元，每个足球锥形桶的价格是y元．依题意，得，解得：，答：每个足球的价格是50元，每个足球锥形桶的价格是20元；（2）解：设学校购买了足球a个，需要的总费用为W元，则，由题意得：，∴，∵，∴W随a的增大而增大，∴当时，，（个）．答：当购买40个足球，80个足球锥形桶时，总费用最少，最低费用为3600元．78．（2024·河南驻马店·一模）今年元宵节期间，20余万名游客欢聚南京夫子庙观灯，景区内某知名小吃店计划购买甲、乙两种食材制作小吃，宾飨游客．已知购买甲种食材和乙种食材共需49元，购买甲种和乙种食材共需53元．(1)求甲、乙两种食材的单价；(2)该小吃店计划购买两种食材共，其中甲种食材的质量不少于乙种食材的3倍，当甲，乙两种食材分别购买多少时，总费用最少？并求出最小总费用．【答案】(1)甲种食材单价19元/千克，乙种食材单价15元/千克．(2)甲种食材36千克，乙种食材12千克，总费用最少，为864元．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式得应用；（1）设甲种食材单价x元/千克，乙种食材单价y元/千克，根据题意列二元一次方程组即可；（2）设甲种食材购买m千克，则乙种食材购买千克，总费用为w元，根据题意得出，根据一次函数的性质求解即可【详解】（1）设甲种食材单价x元/千克，乙种食材单价y元/千克，由题意可得：解得答：甲种食材单价19元/千克，乙种食材单价15元/千克．（2）设甲种食材购买m千克，则乙种食材购买千克，总费用为w元．由题意得：．∴w随m的增大而增大．又，∴．∴当时，w有最小值为（元）．答：甲种食材36千克，乙种食材12千克，总费用最少，为864元．79．（2024·广东广州·一模）人工智能与实体经济融合能够引领产业转型，提升人们生活品质．某科创公司计划投入一笔资金购进、两种型号的芯片．已知购进2片型芯片和1片型芯片共需900元，购进1片型芯片和3片型芯片共需950元．(1)求购进1片型芯片和1片型芯片各需多少元？(2)若该科创公司计划购进、两种型号的芯片共10万片，根据生产的需要，购进型芯片的数量不低于型芯片数量的4倍，问该公司如何购买芯片所需资金最少？最少资金是多少万元？【答案】(1)购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元；(2)该公司购买型芯片8万片，型芯片2万片所需资金最少,最少资金是万元【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，正确理解题意，找出数量关系是解题关键．（1）设购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元，根据“购进2片型芯片和1片型芯片共需900元，购进1片型芯片和3片型芯片共需950元”列二元一次方程组求解即可；（2）设购进型芯片的数量为万片，则购进型芯片数量为万片，根据“购进型芯片的数量不低于型芯片数量的4倍”列不等式，求出的取值范围，令购买芯片所需资金为，根据题意得到关于的一次函数，利用一次函数的增减性求解即可．【详解】（1）解：设购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元，由题意得：，解得：，答：购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元；（2）解：设购进型芯片的数量为万片，则购进型芯片数量为万片，由题意得：，解得；，令购买芯片所需资金为，则，，随的增大而增大，当时，最小，最小值为万元，万片，答：该公司购买型芯片8万片，型芯片2万片所需资金最少,最少资金是万元►题型02最大利润问题80．（2024·广东广州·模拟预测）年4月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多元，用元购进A款和用元购进B款的文化衫的数量相同．(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？(2)已知毕业班的同学一共有人，要求购买的A款文化衫的数量不少于B款文化衫数量的两倍，学校应如何设计采购方案才能使得购买费用最低，最低费用为多少？【答案】(1)B款文化衫每件元，A款文化衫每件元(2)购买A款文化衫件，B款文化衫件，费用最低，为元【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量与不等量关系，正确列出分式方程和不等式．（1）设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，依题意得，，计算求解，然后作答即可；（2）设购买A款文化衫件，则B款文化衫件，费用为元，依题意得，，可求，由题意知，，然后根据一次函数的图象与性质求解作答即可．【详解】（1）解：设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，依题意得，，解得，，经检验，是原分式方程的解，且符合要求；∴，∴B款文化衫每件元，A款文化衫每件元；（2）解：设购买A款文化衫件，则B款文化衫件，费用为元，依题意得，，解得，，由题意知，，∵，∴当时，费用最低为（元），∴购买A款文化衫件，B款文化衫件，费用最低，为元．81．（2024·广东深圳·模拟预测）宝安公明腊肠是深受当地民众喜爱的一种美食，其制作技艺至今已有百余年历史，该项目2017年被列入宝安区区级非物质文化遗产保护名录．某腊肠制作坊计划购买A，B两种香料制作腊肠．已知购买1千克A种香料和1千