3.3.1 抛物线及其标准方程教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

教学设计教科书版本及章节人民教育出版社A版（2019）数学选择性必修第一册课题3.3.1抛物线及其标准方程课型新授课☑章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□教学内容分析抛物线是平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹，其中的定点、定直线（不经过定点）试确定抛物线的几何要素，这一概念反映了抛物线的几何特征，根据抛物线的概念类比椭圆、双曲线标准方程的获得过程，通过建立适当的平面直角坐标系，用坐标法推导抛物线的标准方程。由于焦点的位置不同，抛物线标准方程的形式也不同。此时，要根据抛物线的位置，充分运用坐标法，对方程的形式转化，获得焦点分别在轴负半轴、轴正半轴、轴负半轴上的抛物线的标准方程，通过抛物线的标准方程，结合抛物线的概念，可以研究抛物线的几何性质及其简单应用，特别是过焦点的直线的有关性质，上述过程体现了研究圆锥曲线的一般过程。本节内容包含的核心思想方法还是坐标法，这在结合抛物线的几何特征，推导抛物线标准方程的过程中得到了充分的展示。另外还有多种研究方法，例如，类比椭圆、双曲线的研究过程与方法；在观察图形特征的基础上，形成抛物线的概念；在坐标系中研究焦点位置不同的抛物线得到的标准方程不同，用到了分类讨论的思想；求解课本中的两个例题时使用了待定系数法；对二次函数的图象为什么是抛物线的研究用到了化归与转化的思想等等。学习者分析有了前面椭圆和双曲线的奠基，学生已经掌握了圆锥曲线的研究架构，应该能发挥一般概念的作用，自觉地展开对于抛物线的研究，但是在具体细节上可能还会出现困难，比如用坐标法求抛物线的标准方程时，学生会选择器对称轴为坐标轴，但坐标原点的确定可能会有不同的选择，从而确定坐标原点。对此，可以让学生自主完成，之后通过比较选择简单得到方程作为抛物线的标准方程。学习目标确定=1\*GB2⑴能从几何情境中认识抛物线的几何特征，给出抛物线的定义，发展直观想象素养；=2\*GB2⑵能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并能运用它解决简单的问题，进一步体会建立曲线方程的方法，发展直观想象、数学运算的素养。学习重点难点抛物线的几何特征，抛物线的标准方程。学习评价设计通过复习回顾进而引导学生思考，使学生感受三种曲线之间的内在联系，利用几何画板演示抛物线的形成过程，引导学生观察、直观感知抛物线的几何特征，类比求椭圆、双曲线的标准方程的方法与过程，用坐标法求抛物线的标准方程，让学生自主建系，之后通过比较做出选择，感受数学的简洁之美，通过两道例题，让学生运用抛物线及其标准方程解决实际问题，经理将实际问题抽象成数学问题，进而解决问题的过程，并了解圆锥曲线的光学性质，培养学生数学抽象、数学应用意思。学习活动设计教师活动学生活动环节一：导（问题导入，明确目标）创设情境、提出问题、引入主题教师活动1椭圆的第二定义：；定义中常数的范围：。双曲线的第二定义：；定义中常数的范围：。椭圆、双曲线的第二定义的共同特点：。4、如果椭圆和双曲线的第二定义中的常数，我们能得到什么样的几何条件？学生活动1学生思考回答椭圆第二定义及常数范围；学生思考回答双曲线第二定义及常数范围；学生通过椭圆和双曲线的第二定义，找到共同特征；当时，通过讨论、交流得出几何特征。通过复习巩固进而引导思考，一方面使学生感受三种曲线之间的内在联系，另一方面让学生体会如何从数学知识内部联系中自然合理地提出问题，寻找新环节二：思（自主思考、必备知识）教师活动2思考1：如图点是定点，是不经过点的定直线，是上任意一点，过点作，线段的垂直平分线交于点。拖动动点，观察点的轨迹，与我们学过的那种曲线类似，你能发现点满足的几何条件吗？思考2：你能类比椭圆、双曲线的第二定义，用语言描述一下上面思考1中得到的的轨迹吗？定义：。其中定点叫做的；定直线叫做的。学生活动2学生通过分析得出点M满足的几何条件，通过几何画板动画演示观察抛物线的形成过程，类比椭圆、双曲线给出抛物线的定义。活动意图说明利用信息技术动态演示，将动点轨迹呈现，引导进行观察，直观感知抛物线的几何特征，体会作图时研究曲线几何特征的重要途径，在此基础上归纳得出抛物线的定义，培养学生直观想象和数学抽象能力。环节三：议、（）教师活动31、概念深化：=1\*GB2⑴定义中要求的定点和定直线的位置关系？=2\*GB2⑵若定点在定直线上，那么动点的轨迹是什么图形？=3\*GB2⑶只有定点不在定直线上，且动点满足时才是抛物线。抛物线方程的推导：=1\*GB2⑴类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？=2\*GB2⑵在你所建立的坐标系下，如果设焦点到准线的距离为，求抛物线的轨迹方程（写出推导过程）。3、方程的理解=1\*GB2⑴抛物线的标准方程为；（开口向右为例）=2\*GB2⑵焦点的坐标为；准线方程为；顶点坐标为；=3\*GB2⑶的几何意义为；与抛物线开口大小的关系为；=4\*GB2⑷值与一次项系数的关系为；与焦点到顶点距离的关系是。学生活动3学生小组探究回答概念深化的三个问题，进一步深化对概念的理解；小组类比椭圆、双曲线标准方程的建立，自己建立坐标系，通过各组求出的方程进行对比，进而让学生自己归纳出开口向右的抛物线的标准方程。辨析抛物线标准方程的结构形式，及抛物线的焦点和准线之间的关系。活动意图说明类比椭圆和双曲线的标准方程的方法和过程，用坐标法求出抛物线的标准方程，让学生自主建立坐标系，之后通过比较做出选择，积累优化解法，感受数学的简洁之美。环节四：展（问题展示、科学探究）（展学）教师活动4 学生活动4在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系能得到不同形式的标准方程，那么，抛物线的标准方程有那些不同形式？请思考之后填写下表。你能说明二次函数的图像为什么是抛物线吗？请指出它的焦点坐标、准线方程。学生活动4小组讨论，得出在不同坐标下、不同开口方向下抛物线的其它标准方程；通过二次函数与抛物线的关系，进一步巩固抛物线标准方程的形式。活动意图说明判断其焦点位置、开口方向的办法，得出其它坐标系下的标准方程。研究二次函数图象与抛物线的关系，在更抽象的层次，将它们统一起来，感受数学内在的统一性。提升学生数形结合、数学运算素养，以及数学思维的深刻性。环节五：评（点评精讲、提升能力）教师活动51、例1=1\*GB2⑴已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；=2\*GB2⑵已知抛物线的焦点是，求它的标准方程。例2一种卫星接收天线如图3.3-3左图，其曲面与轴截面的交线为抛物线。在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图3.3-3（1）。已知接收天线的口径（直径）为，深度为。试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。学生活动5学生小组讨论，自主解决问题，辨析抛物线标准方程的结构形式，及抛物线的焦点和准线之间的关系。活动意图说明让学生运用抛物线及其标准方程解决实际问题，经历将实际问题抽象成数学问题，进而解决问题的过程，并了解圆锥曲线的光学性质，培养学生数学抽象能力、数学应用意识。板书设计作业与拓展学习设计1、若是定直线外一定点，则过点且与直线相切的圆的圆心轨迹为（）直线B、椭圆C、线段D、抛物线2、与圆外切，且与轴相切的动圆圆心的轨迹方程是.3、若动点到点的距离比它到直线距离小，则点的轨迹方程是.4、设为抛物线的焦点，为该抛物线上的三点，若，则。5、如果是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，是抛物线的焦点，若，则。6、已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为。课后说课反思考虑到本节课的概念抽象及学生的现有认知水平，通过问题引入概念，鼓励学生大胆猜想，经历探究解决问题的过程，进一步体现“教为主导，学为主体”的教学思想。通过通过动画演示，学生们观察得出点满足的几何特征，及自己归纳抛物线的定义，培养他们合作学习的意识，充分发挥了学生的主观能动性，学习兴趣浓厚，精神抖擞，完成了本节课的教学目标，每一位学生都有所收获。当然总体感觉本节课学生探究的还不够。学完椭圆双曲线以后，学生完全可