北京市延庆区2024-2025学年高三年级下册统测数学试卷（含答案解析）

北京市延庆区2024-2025学年高三下学期统测数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/={x|0Wx<3},5={x|log3x<l},则NU2=()

A.[0,3]B.[0,3)C.(0,3)D.(0,3]

〃一

2.已知aeR,i为虚数单位，若卡2i为实数，则。=()

2+1

A.-1B.1C.-4D.4

3.已知向量2=(1,2),S=(2,-l),万若(万+B)〃5，则4+4土()

A.-2B.-1C.0D.1

4.某圆锥高为百，母线与底面所成的角为:，则该圆锥的表面积为()

A.3兀B.4兀C.5兀D.6兀

5.设x,且0<x<y<l,贝IJ()

A.x2>y2B.sinx>sinyC.4X>2yD.x+—>y(2-y)

x

6.延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种

两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函

数〃尤)=g(e，+eT)的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是()

A./(x)为奇函数B./(无)的最大值为1

C.“X)在(-*+8)上单调递增D.方程〃x)=2有2个实数解

7.“次=；”是“直线>=履+2与抛物线j?=4x只有一个公共点”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知圆C:(x-4)2+0—3)2=1和两点,8(取0)(刃>0).若圆C上存点P,使

得N4PB=90°,则加的最大值为()

试卷第1页，共4页

A.4B.5C.6D.7

9.已知等比数列｛%｝的公比为q,前〃项和为S..若H=-1,且V〃eN*,%+2>%则下列

结论错误的是（）

八，C1

A.出<°B.0<^<1C.S”<----D.

10.已知正方体/BCD-44GA的棱长为1,若在该正方体的棱上有点满足

|A®+MG|=6,则点M的个数为（）

A.2B.4C.6D.8

二、填空题

11.（/-4）6的展开式中，/的系数为.

X

22

12.已知双曲线三-4=1（°>。,6>0）的一条渐近线过点（一2，1），则其离心率为.

ab

3

13.已知。是第四象限角且sina=-丁2sm£-cos£=0,贝ijtan（a-£）的值为.

14.数列也｝中,若存在为,使得“%且见2%J成立，Ck>2,后eN*）则称4为何｝

的一个峰值.若a“=-3〃2+1山,则｛%｝的峰值为；若丁=fln〃-",且也｝不存在

峰值，则实数/的取值范围为.

15.已知函数〃x）=|ln|x-l卜履+2,给出下列四个结论：

①品<1,使得“X）关于直线x=l对称；

②">1,使得〃X）存在最小值;

③V上>1,/（X）在（1,+8）上单调递减；

④业>1,使得/（x）有三个零点；

其中所有正确的结论的序号是.

三、解答题

16.如图，在四棱锥尸一中，底面ZBCD是矩形，PDl^ABCD,且尸。=/。=2,

£是PC的中点，平面N8E与线段交于点尸.

试卷第2页，共4页

p

AB

⑴求证：ABUFE；

(2)若。/=石，求直线BE与平面5CF所成角的正弦值.

17.在V/BC中，c=6,2bcosA+2acosS=3b.

(1)求6;

(2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使V/2C为锐角三角形,

并求V/3c的面积.

条件①：a=4；条件②：42边上中线的长为JI7；条件③：sinfi=sin2c.

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

18.在北京延庆，源远流长的传统大集文化依旧焕发着生机.这是一种融合了传统文化与饮

食娱乐的民间活动，人们在这里沉浸于这份朴素而直接的欢乐之中.2025年延庆大集的时间

和地点信息汇总如下表，根据下表的统计结果，回答以下问题.

时间周周周周周周周

地点四五六日

康庄镇刁千营村N

康庄镇榆林堡村q7

康庄镇小丰营村

延庆镇付余屯村q

延庆镇东小河屯

qqq

村

香营乡屈家窑村

旧县镇米粮屯村q

试卷第3页，共4页

旧县镇东羊坊村7

永宁镇古城北街4q

(1)若从周一和周四的大集中各随机选一个大集，求恰好选的都是延庆镇大集的概率；

(2)若从周六和周日的大集中随机选3个大集，记X为选延庆镇东小河屯村大集的次数，求X

的分布列及期望颐X)；

(3)从周一到周四这四天的大集中任选2个大集，设4为选永宁镇古城北街大集的个数，从周

五到周日这三天的大集中任选2个大集，设〃为选永宁镇古城北街大集的个数，比较随机变

量4和随机变量〃的数学期望的大小.(结论不要求证明)

19.已知椭圆E:£+《=l(a>b>0)的左，右顶点分别为4B,且|AB|=4,离心率为

ab2

⑴求椭圆£的标准方程；

⑵设直线X=4与X轴交于点°,点尸是直线x=4上不同于点。的一点，直线AP与椭圆£

交于点直线与直线x=4交于点N,判断是否存在点尸，使得NP4N=NQMN?若

存在，求出点尸的坐标；若不存在，说明理由.

2jc

20.已知函数/'(x)=-e-^-+(1-a)eT+ax.

⑴若。=1,求/(x)在(1J⑴)处的切线方程；

(2)若。<-1,求“X)的单调区间；

(3)若"-1,且/'(M=/'(〃)=0伽<〃)，证明：f(m)+f(n)>3.

21.数字1,2,3,>2)的任意一个排列记作设S”为所有这样的排列构成的

集合.集合4,=｛(%，出，)eS"|任意整数i,jA<i<j<n,都有a,-z<ay-j),集合

B"={(%,a2,...,an)eS„\任意整数i,j,l<i<j<"，都有4+i<%+j]

(1)用列举法表示集合4,反；

(2)求集合4n纥的元素个数；

(3)记集合4的元素个数为“，证明：数列｛"｝是等比数列.

试卷第4页，共4页

《北京市延庆区2024-2025学年高三下学期统测数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案ACBADDACCC

1.A

【分析】先解对数函数不等式化简集合8,然后利用并集运算求解即可.

【详解】因为8={x|log3x<l}={x[0<x<3},

又/={x|0WxV3},所以*|0W尤V3}=[0,3].

故选：A

2.C

【分析】根据复数的除法运算及复数的相关概念得解.

【详解】因为学（"方）（2-i）(2"一2)一("+4)=2"2为实数,

2+1（2+i）Q-i）

所以4+胃4=0,解得。=一4,

故选：C

3.B

【分析】根据向量共线的充要条件得解即可.

【详解】因为）=（1,2）,S=（A,-1）,

所以1+否=(1+九1),

因为@+司〃,,

所以-(1+%)-〃=0,解得2+a=-1,

故选：B

4.A

【分析】求出该圆锥底面圆的半径为r,再利用勾股定理求出母线长，代入表面积公式求解

即可.

【详解】由圆锥高为百，母线与底面所成的角为g,得圆锥底面圆半径'=-5T=I,

3tan一

3

母线/=J%(a2=2,所以圆锥的表面积s=7ir2+兀〃=3兀.

答案第1页，共17页

故选：A

5.D

【分析】特殊值法分别判断A,B,C,再结合基本不等式计算判D.

【详解】因为

对于A：取x==所以A选项错误；

对于B：取x==所以sinx=，＜siny=如，B选项错误；

6422

对于C：取工二%,歹=5，所以4%=＜2歹=2^，C选项错误；

对于D,x+-＞2jxxl=2,当且仅当％=1取等号，所以x+』〉2,

XVXX

因为y＞0,2-y＞0,所以y（2-y）v匕=1,当且仅当y=l取等号，所以

y（2-y）＜l,

所以％+工＞＞（2-＞）,D选项正确.

故选：D.

6.D

【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合导数判断原函数的单调区间，进而

确定最值，即可判断ABC；对D解出e'=2土百，再结合指数函数性质即可判断.

【详解】对A,〃x）定义域为R,•."（-x）=g（e，+eT）=/（x）,则/（x）为偶函数，A错误;

对BC,又•••/（x）=g（e'-er）,根据y=e、,y=-片，，在R上均单调递增，

则在/'（x）在R上单调递增，且在（0）=0,

则当x＞0时，则当（x）＞0,当x＜0时，则/'（x）＜0*

.♦./（无）的单调递减区间为（—,（）），单调递增区间为（0,包），故C错误；

则/（尤）2/（0）=1,即〃无）的最小值为1,B错误；

对D,令,."（X）=2,.,.—（ex+e-J）=2,:.ex+e-x=eA+—=4,/.e*=2±6,

2e”

再结合指数函数性质知方程/（X）=2有2个实数根，故D正确.

故选：D

7.A

答案第2页，共17页

【分析】求出直线与抛物线有一个交点的等价条件结合充分条件和必要条件的定义，即可得

出结论.

【详解】由];2=：；；2,得//-4(左-l)x+4=0,

因为直线^=丘+2与抛物线必=4尤只有一个公共点，

所以当斤=0时，交点为(1,2)只有一个公共点，符合题意；

21

当上wO时，△=[—4(左一1)]—4xA:2x4=0,/.A:=—,

所以直线^=丘+2与抛物线必=4尤只有一个公共点的充要条件是左=0或A=1,

所以A=能推出“直线>=区+2与抛物线必=4x只有一个公共点，

直线>=丘+2与抛物线/=4x只有一个公共点不能推出A=1,

“k=，是"直线尸丘+2与抛物线必=4尤只有一个公共点，，的充分而不必要条件，

故选：A

8.C

【分析】将问题转化为以45为直径的圆。与圆。有公共点的问题来列不等式，解不等式求

得加点的取值范围，由此求得加的最大值.

【详解】以45为直径的圆。的方程为/+/=冽2,圆心为原点，半径为

圆C:(x—4)2+('—3)2=1的圆心为(4,3),半径为=1.

要使圆。上存在点尸，使得//依=90。，则圆。与圆。有公共点，

所以卜-^|<|<9C|<|?]+^|,gp|m-1|<A/42+32<|m+1|,

|m-l|<5

所以<|加+1]25,解得4<m<6,

m>0

所以加的最大值为6.

故选：C

9.C

【分析】对于B：根据通项公式可得/7(/-1)<0恒成立，进而可得0<4<1；对于A：利

答案第3页，共17页

用B项结论直接判断；对于C：根据等比数列求和公式分析判断；对于D：通过通项作差比

较即可判断；

【详解】对于选项B：因为岳=。|=-1,且。“+2>。，对恒成立，

则q向>/Ri,整理可得-I)<O恒成立，

fq>0

则2八,，0<夕<1,故B正确；

[q-l<0

对于选项A：因为。2=4・9=-9<。，故A正确；

对于选项C：因为5“=%(1-")=上攻二

\-qq-1

由0<4<lB项已得，0<夕<1,贝！而夕一1<0,

\-an1

贝|」S〃=Y>-故C错误；

q-\q-1

对于选项D：因为%+「%=-q"+q"T=qi(l-4)>0,即。故D正确.

故选：C.

10.C

【分析】结合点M在正方体的棱上，可分点M在棱AB和棱G。上，在棱84,棱BC,棱

cq,棱5£上两类讨论即可

【详解】因为忸田|+国G|=2>g,所以点M不在棱4片，棱。上，

所以当点M在棱8与上时，设|M5|=x,连MG，

在△MBG中，|MCj=g-x,由余弦定理可得，|"G「=|"31+忸忸G|cosNMBC],

即(6-x)2=^+41-Sxcog,可解得

所以在棱84上存在满足题意的一个点M-,

由对称性可知在棱8C,棱C。，棱3c上各存在一个点M；

因为㈤+|2G|=百+1>百，所以点M不在平面AARD内.

所以当点M在棱G。上时，设|MCj=x,连MB,

答案第4页，共17页

在直角三角形中，W4=6-x,

所以|Affi「=|MG『+忸G「，即(67)2=/+£2,可解得MG|=f<1,

所以在棱G。上存在满足题意的一个点加；

由对称性可知在棱AB上也存在一个点M-,

综上可知满足题意的点M共6个.

故选：C.

11.60

【分析】根据二项式展开式的通项公式

【详解】二项式展开式的通项公式：Tr+1=

令12-3r=6,解得r=2,

所以可得第三项中/的系数是(-2『或=4x15=60.

故答案为：60

12.—

2

【分析】将点代入渐近线方程得上=工，结合离心率公式即可得解.

a24

【详解】由题意双曲线渐近线方程为W-]=0(a>0,b>0),它过点(-2,1),

ab

所以»0,即，?所以其离心率为e=?=万储=今

故答案为：好.

2

13.-2

答案第5页，共17页

31

【分析】由已知求得tana=-：,tan，=7,再根据两角差的正切公式计算即可.

42

343

【详解】因为。是第四象限角且sina=—-,所以cosa二:，tana=--

554f

因为2sin〃一cos/7=0,所以tan尸二；,

31

tana-tan0

则tan(cr-/7)=42__

1+tanatan/3

1+

故答案为：-2.

14.10II

Iln2j

【分析】根据二次函数的性质结合数列峰值的定义即可求出数列的峰值；构造函数

f(x)=tlnx-x\x>l)f利用导数求出函数的单调区间，再结合数列峰值的定义即可得解.

【详角星】由%=—3/+1山，

函数歹=-3/+1卜的对称轴为'二?■,

又4=8,4=10,

所以％<%>%>。4>…>为，

所以0｝的峰值为4=10;

若%，则q=-1,出=/出2-2,

当E时,r(x)<0,所以函数/(x)在［1,+8)上单调递减,

则数列也,｝是递减数列，符合题意;

当/>1时，令/''(x)>0,则14x</,令/'(无)<0,贝!］x>/,

所以函数/(x)在［1J)上单调递增，在&+8)上单调递减，

要使数列｛%｝不存在峰值,

/>1t>1解得V*

则即

-l>Hn2-2'

答案第6页，共17页

综上所述，实数/的取值范围为，8,

故答案为：io；1一°°，记万)

15.①③④

【分析】赋值法判断①；数形结合判断②④；利用导函数判断③,

【详解】取左=0,得〃x)=|ln|x-l||+2,

因为/(2-x)=|ln|2-x-l|+2=|ln|l-M|+2=/(x),

所以衣＜1,使得〃x)关于直线x=l对称；故①对；

由/(%)=11n1%-1||一日+2,

Jln(x-l)-fcv+2,x>2

所以/(%)=阿％-4—h+2

]-In(x-1)-kx+2,1<%<2

若左＞1,

当x22时，令/(%)=111(%_1)_依+2,贝[j/'(%)=———k,

x—1

令〃=——k,贝(％)=_]

x—1(

所以/'")=工_先在[2,+8)单调递减，所以r(x)=—一发4/(2)=1—左<0,

X—1X—1

所以/⑴在［2,+8)单调递减,

当l<x<2时，令/(%)=—ln(x—l)—Ax+2,贝——J——k<0,

x—1

所以/(X)在(1,2)单调递减,

所以VQl,“X)在(1,+◎上单调递减，故VQl,“X)不存在最小值，故②错，③对,

如图

若无＞1,则当函数“尤)=阿》-1|与直线＞=依-2的图象相切时,

答案第7页，共17页

设切点横坐标为看,止匕时〃(x)=-ln(l-x),贝=

1—X

，二k

得到方程组1-%，化简得出后="3,易得左e(4,5),

_In(1-)=kx°_2

则此时有两个零点，图象见下图，

当上>1时，只需将上图相切时的直线向左偏一点，图象如下图所示,

则两函数会出现三个交点，此时有三个零点，如下图所示，

故④对，

故答案为：①③④

【点睛】方法点睛：对于复杂函数的零点个数问题我们常将其转化成两个函数的交点个数问

题，其次就是相切的临界状态将是零点变化得关键位置.

16.(1)证明见解析

(2)—

30

【分析】(1)由线面平行的判定与性质定理得证；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】(1)在矩形ABCD中，ABHDC,

又48<Z平面DCP,OCu平面DCP,

所以/8〃平面。CP,

又因为N5u平面Z3E,且平面/BEc平面。。尸=尸£,

答案第8页，共17页

所以4B//FE.

(2)由(1)可知FE7/0C,

又因为E是尸C的中点，所以尸是尸。的中点，

因为C/=E，BPsjcD1+DF2=y/5>故CD=2.

因为尸。_L平面u平面A8CD,

所以尸。J_AD,PZ)_LDC.

又在正方形/BCD中，ADLCD,

所以。4。。,。尸两两垂直.

如图建立空间直角坐标系。-师,

则5(2,2,0),C(0,2,0),尸(0,0,2),E(0,1,1),尸(0,0,1).

所以丽=(-2,-l,l),5F=(-2,-2,l),5C=12,0,0),

设平面3Q7的一个法向量为五=(x,y,2).

BF-n=0f-2x-2y+z=0

由一,得on,

[BC-n=0[-2x=0

令y=l,得为=(0,1,2),

设直线BE与平面BCF所成角为

I―►I\BE-n\1而

则sin3=cosBE,n\=一I二7~产=当

।।阿网V6XV530

故直线BE与平面BCF所成角的正弦值为叵.

30

17.(1)6=4

(2)答案见解析

【分析】(1)根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可求解；

(2)若选择①②，应用余弦定理结合锐角三角形，即可判断；若选择③应用余弦定理及同

角三角函数关系，以及三角形面积公式即可求解.

答案第9页，共17页

【详解】（1）在V/BC中，因为n三=h二=三c，

SIIL4sin5smC

再由26cos4+2QCOS3=3b

可得2siiL4cos5+2sinScos力=3sin5.

所以2sin（力+B）=3sing,即2sinC=3sin5,

所以2c=36.

因为c=6,所以6=4.

（2）选择条件①：a=4,Z?=4,c=6,

由余弦定理得cosC=16+l?-16=-1<o,Ce[^,A

2x4x48（2J

因为V/BC为锐角三角形，所以不符合题意，不存在三角形；

选择条件②：在A4BC中，设点。为的中点，则=40=3,

△/CZ）中，根据余弦定理17=16+9-2x3x4xcos/

解得COS4=L,所以/=/+02—2"义'=16+36—2X4X6X」=36,所以Q=6,

333

因为。=。=6/=4,所以V4BC为锐角三角形，

所以sin4=J1-cos24=2后.,

3

在V/BC中，S48c=〈bcsin4=；*4x6x86.

选择条件③：在V/BC中，V45C为锐角三角形，

因为sinB=sin2C,所以sinB=2sinCcosC,

所以b=2ccosC,b=4,c=6,所以cosC='，

3

所以。2=/+/—2abx—,所以36=16+/—a,解得。=6或〃=---舍.

333

所以。=。=6,6=4,所以V4BC为锐角三角形，

所以sinC=71-cos2C=2°,

3

在VABC中，SARC=—absinC=—x6x4x2”=8也.

c223

18.（1）!

o

答案第10页，共17页

(2)分布列见解析，!

⑶£©>£(〃).

【分析】(1)根据相互独立事件同时发生的概率公式得解；

(2)求出随机变量的概率，列出分布列，求期望即可；

(3)分别计算两个随机变量的期望，即可得解.

【详解】(1)记“周一和周四的大集中各随机选一次大集，恰好选的都是延庆镇大集”为事件

A,

由表可知，周一选一次大集，恰好选的是延庆镇大集的概率为，

周四选一次大集，恰好选的是延庆镇大集的概率为:，

所以尸(/)=*冷.

Z。

(2)随机变量X的所有可能取值为0」,2,

r°C3102

根据题意，尸(x=o)=3

357

P(X=1)=淆204尸3=2)=置=之£

3577

随机变量X的分布列是:

X012

241

P

777

数学期望£0)=0*齐吗+2乂)=*

(3)

由题意，J可能取值为0,1,2,

尸("。)=*『「偌=1)=咎*2偌=2)=9*

1414

故EC)=0x竺+lx理+2X£=—

91919191

由题意，〃可能取值为0,1,2,

z小低28C'C'24〜,C：3

尸=o)=T~=—，尸M=i)=d^守尸("2)=/=为

、，C]55

答案第11页，共17页

6_

故颐〃)=0X/+1XT+2X2=

555555H

所以£6)>£(〃).

19.⑴(+/=1

（2）存在，点尸的坐标为（4,6）或（4,-6）

【分析】（1）由题意得2“=4,£=也，再结合"=/一c?求出/，从而可求出椭圆E的标

a2

准方程;

（2）假设存在点尸，使得NP4N=NQMN,贝lj/尸|函0,设P（4,y0）,M区，%），由如=[

结合点"区,必）在直线上,可求得石=1,再由加\国,必）在椭圆上可求出必，从而可求出为,

进而可求出点尸的坐标.

2a=4

【详解】⑴由题意得立，解得〃=2,C=8,

、a2

所以/=/_。2=4—3=1,

所以椭圆E的标准方程为上+『=i；

4

（2）假设存在点P,使得“AN=NQMN,贝必P|M0,

所以％=勺丝，

设P（4,汽）,/（尤”必）,则如=2,G=七，加=当，

所以？=爸，直线BP的方程为〉=与。-2）,

6再一42

因为点M（X”外）在直线AP上，所以必=£（网-2）,

所以％

6再-4

因为点尸是直线x=4上不同于点。的一点，所以为#0,

1x,-2

所以小,解得西=1,

62（项-4）

因为点"（XQJ在椭圆上，所以;+弁=1,解得必=g或必=一日,

答案第12页，共17页

当弘=--时，Jo__2'得％=一6,

2不=口

同V3

当必=——时，％)_2,得Jo=追'

2彳=。

所以存在点尸，使得/上4N=/Q儿W,点尸的坐标为(4,6)或(4,-右)

【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中

的定点问题，第(2)问解题的关键是将问题转化为&=无.，再结合直线BP的方程和椭

圆方程可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题.

20.(l)y=(l-e2)x+1e2

(2)单调递增区间为(01n(-0),单调递减区间为(f,0),(ln(-a),+s)

⑶证明见解析

【分析】(1)根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解；

(2)求出导数，再根据/'(x)=0得出方程的根，列表即可求出函数单调区间；

(3)求出/(加)+/(”)，构造函数，利用导数判断函数单调性，由单调性求出函数最小值

即可得证.

2x

【详解】(1)由0=1,所以/(x)=-1+x，(x)=l-e21

所以4=/'(1)=1一e2,

答案第13页，共17页

2

又/⑴=1-？e

所以曲线y=在(1,〃D)处的切线方程为y-[l-]]=(l-e2)(xT),

即了=(1-/卜+

2x

e

(2)由/(x)=flx+(l-a)e*定义域为R,

/,(x)=a+(l-a)ei-e2j=(eJ+^(l-eA).

令/'(x)=0得％=0或迎=In(-a乂。<-l).

因为a<T,所以一a>l.

所以%=In(-a)>In1=0,

列表：

X(-8,0)0(0,ln(-«))皿一。)(ln(-a),+co)

f'(x)-0+0-

/(X)递减递增递减

所以〃x)的单调递增区间为(O』n(p)),单调递减区间为(r,0),(山(-a),+8)

(3)因为"(x)=(e*+a)(l_e，),

又a<-1,/'(相)=/'(〃)=0(加<〃)，

所以e”,e〃是方程一—(1一。)%一。二0的两个根.

心+。〃=1—。

依题意，有

em-en=-a

所以e加+〃=_〃，即加+〃=ln(—a),

2血e2w

所以/(m)+/(w)=am+(l-a^em———\-cm+(1-a)e〃

T

Jim.Jin

=〃(加+〃)+(1—〃)[”+吁一

e^+e

答案第14页，共17页

2

=«ln(-fl)+(l-«)-a=a\n(-a)+^^--a-

12

^g(«)=^ln(-<2)+—(1-4Z)―Q贝以'（。）=皿一。）+。一1,

令〃⑷=g<〃)