北京市某中学2024-2025学年高一年级下册3月月考数学试题

北京市中关村中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

L已知集合/={xeN|xV6}，B={%G1?|%2-3x>0},则/P|2=

A.{3,4,5}B,（4,5,6}C.{x13<x<6}D.{%13<x<6}

A-CBB-ADC-~BDD-CD

3.与”4。角终边相同的角是（）

A-24°B,113°C124°D-136°

4.已知函数/（x）=g-log2X,在下列区间中，包含/（X）零点的区间是

A-MB.0（2,4）D.（4,+co）

«ba_b

5.设、都是非零向量，下列四个条件中，使国=同成立的充分条件是（）

ab

A.,=1|且。〃刃B.=~Ca//bDa=2b

试卷第11页，共33页

O,A,B,COA-3OB+2OC=0AB

6.已知平面上不共线的四点若，则-__»-=（

AC

211

A.2B.-C2D.

33

7.设Q=logo2（）.3，b=log20.3»贝I

AB

•a+b<ab<0•ab<a+b<0

C

•a+b<0<abD，ab<0<a+b

8.如图所示，已知在矩形"C"中，|同|=4右，设/8予，BC=b,BD=c,则

A-273B-473C-8A/3D.16行

9.己知函数给出下列四个结论:

①/（X）在定义域上单调递增；②/（X）存在最大值；③不等式/（X）4；的解集是

（一°°，一In2）；④/GO的图象关于点卜力对称.

试卷第21页，共33页

其中所有正确结论的序号是()

A.①B.①③C.①④D.①③④

10.已知函数/■(*)=尸+5-1,北0,其中“<T,对于任意再eR且再*0,均存在唯一

ax+b,x<Q

实数〜使得了5)=/5)，且x产&，若|/(到=/(⑼有4个不相等的实数根，则。的取

值范围是

A.(0,1)B.(-1,0)C.(-2,-l)u(-l,0)D,(-2,-1)

二、填空题

H.与向量：=(_],1)方向相同的单位向量刃=

12.半径为2,圆心角为2弧度的扇形的面积为一.

13.函数+H7的定义域为___.

lgx

14.已知点"GT)与点双-1，2),点尸在直线上，且网=2阿，则点尸的坐标为—

15.对于函数/(x)，若集合｛x|x>0,/(x)=/(-x)｝中恰有左个元素，则称函数/(x)是“左

阶准偶函数”.已知函数〃x)=15卜’

2x,x>a.

(1)若0=0,则函数〃x)是“一阶准偶函数”；

(2)若函数”X)是"1阶准偶函数”，则4的取值范围是______.

16.定义在匕+⑹上的函数/⑴名⑺单调递增，f(t)=g(t)=M'若对任意后〉M存在

试卷第31页，共33页

占<%，使得/(xJ=g(X2)=左成立，则称g(x)是/⑴在L+00)上的“追逐函数”已知

/(x)=x2>下列四个函数：①g(x)=x；②g(x)=lnx+l；③g(x)=2=l；④

g(x)=2-1.其中是〃x)在I1，+00)上的“追逐函数”的个数是_____个.

三、解答题

17.已知£=(l,0),g=(2,1)

⑴当人为何值时，筋/与0+25共线？

⑵若方=2之+35,而=2+而，且4B,C三点共线，求优的值・

18.某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的

产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结

果按［2,4),［4,6),［6,8),［8,10］分组，得至U如图所示的频率分布直方图.

甲生产饯产k质看指效乙夕产发产晶成房指数

(1)求甲生产线所生产产品的质量指数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代

表)；

(2)若产品的质量指数在［&10］内，则该产品为优等品.现采用分层抽样的方法从样品中的

优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的

这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率.

试卷第41页，共33页

19.如图1所示，在V/2C中，点。在线段2C上，满足3万=丽,G是线段4s上的点，

且满足3就=2屈，线段CG与线段4D交于点。.

^AD^xAB+yAC'求实数刈》的值;

(2)若加=/石，求实数/的值；

(3)如图2,过点。的直线与边/C分别交于点及F,设运=%方,万=〃衣

(4>0,〃>0)，求;L+〃的最小值.

20.若函数/(x)满足：对任意正数s/都有/(s)+/(f)</(s+f),则称函数“X)为"N函

数”.

⑴试判断函数工(x)=/与力(x)=]n(x+l)是否为“N函数”，并说明理由；

⑵若函数7=3，+x_3a是“N函数”，求实数。的取值范围；

⑶若函数/(X)为“N函数”，/(1)=1，对任意正数s、/,都有/(s)>0,/Q)>0,是否

对任意xe(2"，2"")/eN)都有〃x)_/d)>2-2,若成立，请加以证明，若不成立，请

x2x

说明理由.

试卷第51页，共33页

《北京市中关村中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BBDCDBBCCD

1.B

【详解】由八六N屋6},”{元叫尤2-3耳0［得：4={。，1,2,3,4,5,6},

B->3gKx<01<故={4,5,6}，故选B.

2.B

【分析】根据向量运算得衣_与=而.

【详解】由图知太一荏=前=近，

故选：B.

3.D

【分析】根据条件，利用终边相同的角的集合，即可求出结果.

【详解】因为-224°=-360°+136°，所以与一224°角终边相同的角是136。，

故选：D.

4.C

【详解】因为"2)=3T>O,/(4)=|_2<0,所以由根的存在性定理可知：选C.

考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本

类题目的关键.

5.D

【分析】根据充分条件的定义以及平面向量的有关概念即可解出.

=|力a//ba_ba_b

【详解】对于A,当”口且时，R=M或同=下，A错误；

答案第11页，共22页

a=-ba_b

对于B,当时，口=一时，B错误；

a//ba_ba_b

对于c，当时，R=M或口=一利，c错误；

a=2bab

对于D,当时，R=M，D正确.

故选：D.

6.B

【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量的意义求得答案.

【详解】由5-3万+2历=6，得3方一3无=2e一2双，3BA=2CA'

所以回=2.

\AC\3

故选：B

7.B

【详解】分析：求出LnlogosOZ-ulogosZ,得到工+工的范围，进而可得结果.

abab

详解:a=log020.3,6=log20.3

.•.L=logo30.2，=log。32

ab

11.」

—I—=log。30.4

ab

八II1nnrx"b1

/.0<—i—<1,即0<------<1

abab

又a>0,b<0

答案第21页，共22页

:.ab<0^ab<a+b<0

故选：B.

8.C

【分析】由平面向量的线性运算化简。+力+：,即可得解.

［详角星］a+b+c=AB+BC+BD=AB+AD+（/Z）—4B）=24D,

因此，|z+g+4=2而|=8百.

故选：c.

9.C

【分析】利用复合函数的单调性可判断①；利用不等式的基本性质可判断②；利用指数函

数的单调性解原不等式，可判断③；利用函数的对称性的定义可判断④.

【详解】对于①，因为内层函数〃=i+er在R上为减函数，且〃>0，

外层函数>=!在（Q+00）上为减函数，故/（X）在定义域上单调递增，①对；

U

对于②，因为则1+ef可得〃耳二金二以。」），

所以，函数/（力无最大值，也无最小值，②错;

对于③，由/（x）日可得1+「》3,可得e—，22,解得xtln2,

故不等式的解集是（一8Lln2］,③错；

对于④，函数〃》）的定义域为R，

答案第31页，共22页

11ex13=1,

/(x)+〃-x)=------------1-----------H-----------

l+/l+exe%(l+e-Yl+exl+ex

所以，〃x）的图象关于点o,g）对称,④对.

故选：c.

10.D

【详解】由题意可知危）在［。,+⑹上单调递增，值域为［加,+«0,

•••对于任意Xi©R且X1和，均存在唯一实数租使得於2）=G1）,

在（-00,0）上是减函数,值域为（加,+00）,

/.a<G,b=m.

火初=/（加）有4个不相等的实数根,

0</(m)<—m,又m<—\,

0<am+b<-m^BP0<(«+l)m<—m,

本题选择D选项.

答案第41页，共22页

点睛：（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然

后代入该段的解析式求值，当出现加。））的形式时，应从内到外依次求值.

（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段

上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满

足相应段自变量的取值范围.

11V2V2

（F3）

【分析】利用单位向量的定义，结合向量坐标运算求解.

【详解】与向量i（Ti）方向相同的单位向量刃_上___1_£_（_正A.

故答案为：（一变电）

12,2J

12.4

【分析】根据条件求得弧长，利用扇形面积计算公式计算即可.

【详解】设弧长为/,半径为「，圆心角为由题意知/=八£=4，

则扇形面积S=Lr=4,

2

故答案为：4.

答案第51页，共22页

2

13-(O,1)U(1,2]

【分析】根据函数解析式有意义可得出关于x的不等式，即可解得原函数的定

义域.

A1A—|x>00<x<2xHl

【详解】对于函数八可=届+"-"有/wo,解得且，

2-x>0

因此，函数/(X)的定义域为(O,l)U(l,2「

故答案为：(0,1)u(1,2],

14.1,())或(-5,8)

【分析】由题设条件知A,P,B三点共线，且有,。而或上。市，设出

点p的坐标，分两类利用向量相等的条件建立方程求出点P的坐标即可

【详解】设尸(X，力,则由网=2网，得万=2丽或力=-2而.

右方=2万，则(％_3)+4)=2(-1_羽2_用，

答案第61页，共22页

fx-3=-2-2x,(1(1J

所以。4=4.2y.解得故七以

Lv=o,

若善=-2丽，同理可解得卜=-5,故P(-5.8).

[y=8,

综上，点尸的坐标为或(一5,8).

故答案为加或(f8).

【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，向量相等的条件，解题的关键是由题

设条件得出两向量的数乘关系，属于中档题.

157

A”[-2,-l)U[l,2)

【分析】(1)根据'，阶准奇函数”的定义，可将问题转化为?的根的问

题；

(2)根据“1阶准偶函数”定义，分〃<0，°,。，.=0三种情况分析即可得答

案.

[MYx<0/(x)2x/(-X)

【详解】①当时，函数〃x)=〔力’X-,的取值为，的取值

2x,x>0

为(_L1，即*根据题意得2、=2\解得x=2或x=l.

答案第71页，共22页

则集合｛小>0J(x)=/(-x)｝中恰有2个元素,

2

,x<0

故〃x)=<是”阶准偶函数”

2x,x>0

1

,x<a,

②根据题意，函数I是“阶准偶函数”，

2x,x>a.

则集合科X>oJ(x)=f(-x)］中恰有1个元素,

a=0修'2是二阶准偶函数，，，不合题意;

当时,/(x)h

2x,x>0

a<0

当时，函数/(x)=的图像如图①所示,

根据"I阶准偶函数”的定义得“X)的可能取值为2X，的可能取值为

答案第81页，共22页

由题意知/(x)=/(-x)

所以2尤=2,解得尤=1或X=2

要使得集合"|x>0J(x)=/(f)｝中恰有1个元素，则需要满足1<-aV2，

即-2<a<-\

a>0171Y

“、—,x<a,

当时，函数〃x)=的图像如图②所示,

2x,x>a.

用②

根据“1阶准偶函数”的定义得〃X)的可能取值为"或口［，为J1=2工

由题意知/(x)=/(r)，

当解得X=。不符合题意

当2x=2工'解得x=2或x=l'

要使得集合口|x>0,/(x)=/(-%))中恰有1个元素，则需要满足lWa<2.

综上，若函数”X)是"1阶准偶函数”，贝Ua的取值范围是［_2,T)U［1,2).

故答案为：2；范围是［_2,_I)U［1,2),

答案第91页，共22页

【点睛】解题的关键是根据新定义的“汇阶准偶函数”，将问题转化为研究函

/v

数/⑺，可能取何值，求出方程“x)=/(r)的解，通过分类讨论根据

方程的解的个数确定。的取值范围.

16.2

【分析】根据新定义进行判断，可作出函数图象，数形结合可判断②；利用

“追逐函数”的定义可判断①③④.

［详解］y(x)=/在［1,+8)上的值域为［1,+⑹,

若对任意上>“，存在再<%，使得/(xJ=g(X2)=左成立，

则/(X)与g(x)在［1,+00)上的值域相同，

又在［1,+co)上单调递增，则/(xj=g(x2)</(x2),

则对任忌X€(l,+oo)，有/'(X)>g(x),

对于①：g(x)=x在［1,+⑹上单调递增且值域为［1,+⑹，

且/⑺=/(x)-g(x)=x2-x=x(x-l)>0恒成立.

即/(x)>g(x)在(1,+8)上恒成立，符合题意；

对于②,当XN1时,g(x)=lnx+l>lnl+l=r即函数g(x)在［1,+8)上的值域为

［1,+co”

作出函数g(x)=lnx+l、y=的图象如下图所示：

答案第101页，共22页

由图可知，当xe(l,+e)时，/⑺的增长速度显然快于函数g(x)的增长速度，

则对任意的xe(l,+co)，/(x)>g(x)，符合题意;

对于③,函数g(x)=2、-l在口，+8)上递增，且值域为［1,+00)，

且〃5)=52<25-l=g⑸，不符合题意；

对于④，对于函数g(x)=l-2,该函数在［L+00)上为增函数，

且当时,0<-<1»则g(x)=l-2e［-l,l)，不符合题意•

X%

所以，①②是“追逐函数”•

故答案为：2.

17.(1)^-1

2

3

(2)加=5

答案第111页，共22页

【分析】(1)根据题意，由向量共线的坐标运算列出方程，即可得到结果.

(2)根据题意，由三点共线可得市与前共线，列出方程，即可得到结果.

ADZJC

【详解】(1)因为£=(1,0)月=(2,1)

所以左=后(1,0)_(2,1)=/-2,_1)'a+26=(1,0)+2(2,1)=(5,2)J

因为厂否与7相共线，

所以仁2=zl,解得左=」.

522

(2)因为Z=a,o)[=(2,i)

所以益=22+35=2(1,0)+3(2,1)=(8,3)'

BC=a+mb=(1,0)+w(2,l)=(1+2m,m)'

因为/,B,。三点共线，

所以在与元共线，即1±迎=竺，解得加=3.

832

此⑴6.4

',15

【分析】(1)由频率分布直方图计算平均数即可；

(2)先计算出甲、乙两条生产线的优等品数，由分层抽样计算出每层的人数,

由古典概型概率公式计算即可.

答案第121页，共22页

【详解】(1)甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：

%甲=3x0.05x2+5x0.15x2+7x0.20x2+9x0.10x2=6.4

(2)由题意可知：甲生产线的样品中优等品有100x0,1x2=20件.

乙生产线的样品中优等品有［。。四心也句/牛-

则从甲生产线的样品中抽取的优等品有6x—型一=4件，记为“也c〃；

20+10

从乙生产线的样品中抽取的优等品有6x」_=2件，记为民尸

20+10

从这6件产品中随机抽取2件的情况有：

(a,6),(a,c),(a,d),(a,E),(a,/),(6,c),(6,d),0,E),(6,F),(c,d),(c,E),(GF),(d,E),(",F),(E,F)

共15种，

其中符合条件的情况有(a,E),(a,尸),0,E),(瓦尸),(c,E),(c,阴，®E),(d,B)共8种。

故所求概率尸=

15

19.⑴%=Ly=3

44

⑵宣

(3)8+46

11

答案第131页，共22页

【分析】(1)根据向量的线性运算以下，就为基底表示力，进而求解；

(2)根据向量的线性运算以方,k为基底表示瓶，品，又因为两向量共线所以

具有倍数关系，求出,的值；

(3)根据向量的线性运算以衣，而为基底表示前，又因为用0尸三点共线，

所以系数之和为1,得出2+工=1，然后应用基本不等式中1的代换求出

1U

4+〃的最小值.

【详解】(1)因为近=丽所以近」5，

4

所以方=就+函=*+工曰=/+工(方一/)=工商+3/，

4444

所以=3.

44

(2)由题意可矢口：GC=AC-AG=AC--AB=--AB+AC

559

GO=AO-AG=tAD-AG=tAD--AB=t+=AC

5(44J5454

又因为GOC三点共线，所以存在实数左使得不由,

枕(j(J=K(JC

(^-^)AB+^'AC=k(-^AB+AC>)=~AB+kAC，

答案第141页，共22页

所以T

(3)易知■存=方」而=%,

A4

由(2)知

—►8—►81—►3—►2—►6—►21—►61—»2—►6—►

AO=—AD=—(-AB+-AC)=—AB+—AC=—x-AE+—x-AF=——AE+—AF^

111144111111A1141Ulip

又因为3三点共线，所以看不，又…‘…

所以:

0,26…、82〃6；18c[2u6A8-叵8+46

%+〃=(—+——)(4+〃)=—+上+——>—+2P-X——=—+2.—=.......-»

1U11〃八111U11〃11AR11211〃11V11211

当且仅当生=处，即“-6+2拒2+2如时取等号,

iu11〃~ir

所以"+〃的最小值为8+46.

11

20.⑴工⑴…是“N函数"，人(x)=ln(x+l)不是“N函数”，理由见解析;

⑵［；,+<»)；

(3)证明见解析.

答案第151页，共22页

【分