北京市房山区2024-2025学年高一年级上册期末考试数学试卷（含答案解析）

北京市房山区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知1唯3=。，log25=b,则log?15=()

b

A.abB.—C.a—bD.a+b

a

2.掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件河="点数为奇数“，事件N="点数为3的整

数倍”，若尸(M),尸(N)分别表示事件M,N发生的概率，则()

A.P(M)=1,P(N)=gB.尸(")=：,P(N)=；

C.P(M)=P(N)=LD.P(.M)=P(N)=-

23

3.下列函数中，既是奇函数又在区间(-9+s)上单调递增的是()

A./(x)=x-B.f(x)=2xC./(x)=x3D./(x)=lgx

4.函数/(x)=2，-x2的零点个数是()

A.0B.1C.2D.3

5.供电部门对某社区100。位居民2024年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量

(单位：度)分为[0,必，口0,20),[20,30),[30,40),[40,50]五组，整理得到如图所示的频

率分布直方图，则下列说法错误的是()

A.在这1000位居民中，12月份人均用电量人数最多的一组有400人

B.在这1。0。位居民中，12月份人均用电量不低于20度的有500人

C.在这100。位居民中，12月份人均用电量为25度

D.从这1。0。位居民中，任选1位担任安全用电宣传员，选到的居民人均用电量在[30,40)

一组的概率为上

6.6知向量吐=(a,2),n—(8,a),则“。=Y"是"帆//〃’’的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.如图，在平行四边形A3CD中，M是的中点，与AC交于点N,设荏1，AD=b，

1一2-「2~

C.——a+—bD.—a——b

3333

8.若函数/(x)满足：对定义域内任意的玉,%(占4%),都有也2手9>/(七三)，则称

函数/(x)具有性质H.下列函数中不具有性质H的是()

A./(无)=(；)*B./(%)=log2x

C.f(x)=x\x^O)D./(x)=—(x>0)

X

9.已知函数/(x)=|log/3>0且awl),那么下列命题中的假命题是()

A.若/'(2)=1,则a=g或。=2

B.若0<m<n,且则=1

C.存在正数左，使得函数京T恰有1个零点

D.不存在实数。>1,使得函数g(x)=f(x)-优恰有3个零点

io.已知函数y(x)=^—^(。>0且。工1),给出下列四个结论：

ax+l

①函数/(x)在其定义域内单调递减；

②函数/(x)的值域为(0,1);

③函数/(彳)的图象是中心对称图形；

④函数/(x)的图象过定点(0,0).

其中正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

试卷第2页，共4页

11.函数700=不|+1以5-*)的定义域为.

12.某单位共有80名职工，其中35岁以下的有20人，35-45岁的有35人，45岁及以上的

有25人.现用分层抽样的方法，从中抽取16名职工进行问卷调查，则抽取的45岁及以上的

职工人数为.

-一一illA.

13.向量。，瓦c在正方形网格中的位置如图所示.若c=+(4〃eR),则/=.

14.若幕函数/Xx)同时具有以下三个性质：①/(彳)的定义域为(f,0)U(0，+s);②/(*)是

奇函数；③当x<0时，/。)<0.则/Xx)的一个解析式是.

fX?Y<]

15.已知函数/(%)=,'一若〃x)=2,则苫=____；若/(x)=机有三个不同的实根

[log2X,X>1.

2024

xr,x2,x3,且满足玉<X2<X3,则(玉+x2)?n+x3的取值范围是.

16.据说古印度国王为了奖赏国际象棋的发明者，让他提一个要求.发明者说：我想在棋盘

的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上22颗麦粒,

在第4个格子里放上23颗麦粒，L,每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2

倍，直到第64个格子，国王欣然同意.通过计算，该发明者所要求的麦粒数为264-1.你认为

IO10,1015-1020,1025四个数中与264一1最接近的是.(参考数据：lg2a0.3010)

三、解答题

2

17.甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是],乙解出这道题目的概

率是二.

(1)求甲、乙两人都解出这道题目的概率；

(2)求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率；

(3)求这道题目被甲、乙两人解出的概率.

18.已知向量。=(-1,2),石=(5厂/.

⑴求我+丽;

⑵若向量C满足213"=鲂,求向量2;

⑶在(2)的条件下，若£-£=2而，求实数相，”的值.

19.已知函数/(X)=log2(尤2—2x+o)的定义域是R.

⑴求实数〃的取值范围；

(2)解关于尤的不等式a3x-11<-4.

a

20.随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序(简称初P)获取新闻资讯，

手机应用程序已经成为人们生活中不可或缺的一部分，它悄无声息的改变着人们的生活习惯,

也为人们的生活提供了极大的便利.为了解用户对某款项P的满意度，随机调研了3000名用

户，调研结果如下表(单位：人)：

青年人中年人老年人

满意600700X

一般550250y

不满意25050100

(1)从所有参与调研的人中随机选取1人，求此人“不满意”的概率；

(2)若用频率估计概率，从使用该款。卬的青年人和中年人中各随机选取1人，估计恰有1人

“满意”的概率；

(3)现需从参与调研的老年人中选择9人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老

年人中各选取3人，这种抽样是否合理？说明理由.

21.已知函数/(x)的定义域为R,对任意实数办“©R,都有FQ"+")=/(%)"(")，且当

x>0时，0</(x)<1.

⑴求了(0);

(2)证明：当x<0时，/(尤)>1；

⑶当f(lg(/-23))>1时，求实数。的取值范围.

试卷第4页，共4页

《北京市房山区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案DBCDCAABDB

1.D

【分析】利用对数的运算性质求解即可.

【详解】因为logz3=a,log25=b,

所以log215=log2（3x5）=log23+log25=a+6.

故选：D.

2.B

【分析】利用古典概型求解概率即可.

【详解】首先，我们知道投掷的点数有L2,3,4,5,6,

对于符合条件的有1,3,5,对于N,符合条件的有3,6,

3121

故产何）="=",P（N）=-=~,故B正确.

6263

故选：B

3.C

【分析】根据函数解析式判断奇偶性和单调性即可.

【详解】因为=在（°，+8）上单调递减，不合题意；

因为/（x）=2、不是奇函数，不合题意；

因为/（x）=lgx不是奇函数，不合题意；

因为/（乃=/在（F,+8）上单调递增，且〃_力=_/=-/（力，是奇函数，符合题意.

故选：C

4.D

【分析】转化为指数函数与二次函数交点个数问题即可.

【详解】令/5）=2'--=0,则2工=/，

在同一坐标系作出两函数图象，

答案第1页，共11页

从图像知当xe(-8,0)时，两函数有1个交点，则〃x)在(-g0)上有1个零点，

又了⑵二/⑷=。，所以2,4也是〃x)=2"/的两个零点，

且在x(4,+s)时，指数函数y=2*增长快于y=/，则后面两函数不会有交点，

则总共有3个零点，

故选：D

5.C

【分析】根据频率分布直方图逐一计算分析，求出12月份人数最多的一组，判断选项A正

确；计算12月份用电不低于20度的频率与频数，判断选项B正确；计算12月份人均用电，

判断选项C错误；求出用电量在［30,40)的频数，再根据概率计算，求出选到的居民用电量

在［30,40)一组的概率，即可判断选项D正确.

【详解】对于A：根据频率分布直方图知，人数最多的一组是［10,20),

有0.04x10x1000=400(人)，故选项A正确；

对于B：12月份用电量不低于20度的频率是(0.03+0.01+0.01)x10=0.5,

有1000x0.5=500(人。故选项B正确；

对于C：12月份人均用电量为：

(5x0.01+15x0.04+25x0.03+35x0.01+45x0.01)x10=22(度),故选项C错误；

对于D,用电量在［30,40)的有：0.01x10x1000=100人，

所以1000位居民中任选1位，选到的居民用电量在［30,40)一组的概率为尸=黑=£,故

选项D正确.

故选：C.

6.A

【分析】根据向量平行的坐标公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断.

答案第2页，共11页

【详解】因为向量浣=32）,1=（8,a）,mlIn.

所以〃2=2x8,即。=±4,

故“a=-4”是“mUn”的充分而不必要条件.

故选：A.

7.A

【分析】题意可得A4VM〜ACW,即可得到丽=再根据平面向量线性运算计算即

可.

【详解】依题意在平行四边形ABC。中，AM//CD,

又M是AB的中点，则A"=JAB=；C£>,

又DM与AC交于点、N,

所以AANM~^CND,则——=——=—,

所以前《衣，

又通=2,而=五，

110［01

所以丽=丽一而=］前一荏=§（都+而）_存=_］旗+§而=_§力+］］

故选：A.

8.B

【分析】利用基本不等式判断A,举反例判断B,利用作差法判断C,D即可.

【详解】对于A,任取定义域内任意的玉,马，且使再<々，

故）（占）+）（%）（§）'+（?",/（A±^）=d）警，

2-223

由基本不等式得（；）‘'］；）">杼不=《）空,

当且仅当玉=%时取等，而玉<马,达不到取等条件，

得到""/⑷>/（i±i）成立，

即/（尤）=（；）'具有性质H,故A错误，

对于B,令尤［=1,9=2,则/（占）=log21=0,/（x2）=log22=1,

答案第3页，共14页

，i/I1、i3/(%)+/(%2)0+11i/T

故L叶尸=1抽(5+1)=1暇5，'/~=—=~=log2＞/2,

乙乙乙乙乙乙

由对数函数性质得1。氏；＞1。氏夜，故/⑷

乙LL

即/(x)=log2X不具有性质H,故B正确,

对于C,任取定义域内任意的国,々，且使。＜玉＜马，

/（5）+/（%2）_%；+石+%2、_+尤2、3

2"2）—2），

故〃［）+＞。2）_+Z=1+（_小+々）3

2八2一―!’2,，

其+%；+3%考+3年%2_4%；+4%；%：+石+3%芯+

一28-88

_3d+31-3石%-3%；%_3k（七一九2）+3%；（%-玉）

­二，

88

3%；（%-x）-3考（石-9）3（x-x）（xf-xf）

—=12,

88

_3（%一%）（玉一不2）（玉+%2）_3（七一％2）"%+X）

——2＞u,

88

故了（"/（弓）＞/（土产）成立，

即/⑶=尤3（*\0）具有性质H,故C错误，

对于D,任取定义域内任意的玉,％2，且使。＜玉＜%2,

一12

+）=

/(西)+/(々)=%工2=玉工2%入2二%+工2，*1+%2%]+%2，

2222玉%2

/&）+/（%）了(国+九2)_九1+九22

故

222%工2玉+九2

4%％2xf+2%々+x24石光2

2%］尤2（玉+%2）2%%2（玉+%2）2xix2（xi+x2）2石%2（%+%2）

玉一2%%2+九2_（%一%2）〉0故/（%）+/（%2）〉/卢+W）成立

2xix2（xl+x2）2%次2（入1+%2）22

即/(.X)=-(^＞0)具有性质H,故D错误.

X

故选：B

9.D

【分析】由hg.Z=l，a＞。且awl即可求解判断A；由对数函数y=log0x,。＞0且awl,为

单调函数结合题设即可求解7M判断B；在同一坐标系中作出函数以及函数y=10g0％在

答案第4页，共11页

点(1,0)处的切线和y=丘+1函数图象即可判断C；由y=/与y=log。％图象均与直线y=X

相交于两点时可判断D.

【详解】对于A,7(2)=|log“2|=l,a>0且。片1,所以。=4或。=2,故A正确；

对于B,因为函数y=log“x,a>0且awl,为单调函数，0<m<",且/(%”<(〃)，

所以log产+log/=logJ7M=0=>mn=l,故B正确；

对于C,当a>l时，作出函数/(X)以及函数y=10g〃X在点(1,0)处的切线和》=丘+1函数图

象如图所示，

由图可知存在正数上,使得函数ga)=ra)-质-1恰有1个零点；故c正确;

对于D,因为，=优与y=log。％图象关于直线y=x对称，如图：

由图可知当y=a"与y=log“X图象均与直线y=x相交于两点时，y=a'图象与函数/(X)图

象相交于3个点，

所以存在实数使得函数g(x)=ra)-优恰有3个零点，故D错误.

故选：D.

10.B

【分析】举反例判断①，②，利用函数的奇偶性判断③，利用指数函数的性质判断④即可.

【详解】令。=2,止匕时/(x)=-1，而/(o)=9U0-1=o,

2+12+1

答案第5页，共11页

1

/⑴=71_」1=L1>0,故函数/(%)在其定义域内不单调递减，

21+13

函数了。)的值域不可能为(0,1);即①，②错误，

l-ax

ax-1“％l-ax

因为/(-=U==~r，/(%)的定义域关于原点对称，

〃+11+a1+a

ax

故f(-x)+/(%)=y+4=o,即〃T)=一人幻，

1+aa+1

得到了(X)是奇函数，则函数/(x)的图象是中心对称图形，故③正确，

0_1

当x=0时，y(x)=W=o,故函数/(x)的图象过定点(。,。)，即④正确.

a+1

综上，其中正确结论的个数是2,故B正确.

故选：B

11.(3,5)

【分析】根据分母不为0,根号内要大于等于0且对数函数的定义域列不等式组，解不等式可

得.

fx-3>0

【详解】由题可知，，八解得3Vx<5.

[5-x>0

故答案为：(3,5).

12.5

【分析】首先求出抽样比，即可求出45岁及以上的职工应抽取的人数.

【详解】因为抽样比例为普=

o(J5

所以45岁及以上的职工应抽取25x；=5(人).

故答案为：5.

13.4

【分析】记正方形风格边长为1,向右的单位向量为入向上的单位向量为工用表示出

a,b,c,再由向量的线性运算求解.

【详解】记正方形网格边长为1,向右的单位向量为7，向上的单位向量为九

贝c=-i-3j,b=6i+2j,

答案第6页，共11页

A二—2

iii,f—A+6//=—1,,

由c=+4为得ja+2〃__3，解得＜1,

M=--

所以2=4,

故答案为：4.

14.＞=/（答案不唯一）

【分析】根据所学基本初等函数确定，也可以由已知性质构造一个函数满足题意.

【详解】满足题设三个性质的函数，如反比例（幕函数）》=无一（这类函数就有无数个），

故答案为：y（答案为唯一，如丁=尸也是）.

15.-72,4（1⑵

【分析】/（尤）=2直接解方程即可，作出函数"x）的图象与直线y=7%观察可得占,和飞的

关系及鼻范围，从而得结论.

【详解】尤2=2得了=一五（血舍去），log?x=2得x=4,因此〃x）=2的解为一&和4；

再作函数了=/（无）的图象，作直线＞=机，由图象可知OcmVl时，/。）=加有三个解%，%,三，

当玉＜々＜兀3时，石+%2=0，10g2X=l^＞X=2,因止匕1＜兀3（2,

2024

所以（%+x2）m+w=&e（1,2],

故答案为：-&,4；（1,2].

【分析】计算264的对数，比较可得答案.

【详解】Ig（264-l）«lg264=641g2,因为lg2=0.3010,所以IgQe”-1卜19.2659,

所以10210卜，10?。，1（）25四个数中与264—1最接近的是1020.

故答案为：1。2。

答案第7页，共11页

【分析】(1)利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可；

(2)分甲解出乙没有解出和乙解出甲没有解出两种情况，利用对立事件的性质和相互独立

事件的概率乘法公式求解即可；

(3)分甲、乙两人都解出和只有一人解出，利用对立事件的性质和相互独立事件的概率乘

法公式求解即可.

【详解】(1)设事件A="甲、乙两人都解出这道题目”，

则尸(A)=；2x]4=]8.

(2)设事件5="甲、乙两人恰有一人解出这道题目”，

4462

x—=——二—

5155

(3)设事件C="这道题目被甲、乙两人解出”,

42414

X—=——

18.⑴&

⑵。=（一2,2）

【分析】(1)利用向量坐标的运算求出Z+4行表示的坐标，再求其模长；

(2)利用向量坐标的运算解向量方程即得；

(3)将各向量坐标代入，利用方程两边对应项系数相等可得方程组，解之即得.

【详解】(1)因为向量£=(-1,2),'=

所以£+4石=(-1,2)+4(2,=(1,1).

24

所以y+4画=便.

(2)因为2Z-3工=丽,

一fff11

所以3c=2。—8Z?=2(—1,2)—8(—,—)=(—6,6).

24

答案第8页，共11页

所以工=(一2,2).

(3)因为a—me=2nb，由(2)知，c=(—2,2).

所以(一L2)-机(-2,2)=2"4,一).

24

2m-l=n,\3

m=一

所以ccn即2'

I2〔"=2.

19.(1)(1,+«2)

(2)(-3,+co)

【分析】(1)由条件可得d-2x+a>0恒成立，然后可得答案；

(2)利用指数函数的单调性解出答案即可.

【详解】(1)•••函数〃尤)=1。82，-2》+0)的定义域是7?,

尤,一2x+a>0恒成立，则A=4—4a<0,解得。>1,，实数a的取值范围为+8).

(2)a3x-n<\,即a，-u<0-2,A-3x-ll<-2,即3x>-9,解得尤>一3,

a

故不等式<，的解集为(—3,+8).

20.(1)—

15

37

(2)—

70

(3)这种抽样不合理，理由见解析

【分析】(1)利用古典概型求解概率即可.

(2)由相互独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式可求解概率.

(3)利用分层抽样的性质判断即可.

【详解】(1)所有参与调研的人共有3000人，

不满意的人数是250+50+100=400.

记事件。=“从所有参与调研的人中随机选取1人，此人不满意”，

则所求概率为尸(。)=蒜=5

(2)参与调研的青年人共有1400人，满意的有600人.

记事件M="从使用该款app的青年人中随机选取1人，此人满意”,

答案第9页，共11页

则尸(/)的估计值为黑=*

参与调研的中年人共有1000人，满意的有700人.

记事件N="从使用该款。曲的中年人中随机选取1人，此人满意”,

则尸(N)的估计值为谧=需.

则从使用该款。卬的青年人和中年人中各随机选取1人，

恰有1人“满意”的概率估计为P{MN+MN)=P(M).P(N)+P(而).P(N),

(3)这种抽样不合理.

理