2025中考数学复习 圆 压轴题练习（学生版+解析版）

2025中考数学二轮复习之圆压轴考点解答题专项训练

•考情分析-

中考数学圆的解答题压轴题，常综合考查圆的性质、直线与圆的位置关系等知识，对考生分

析和解决复杂问题的能力要求较高。以下为你详细概述考点：

1.圆的基本性质

(1)垂径定理及其推论：

①垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。常考点为己知圆的半径、

弦长及圆心到弦的距离中的两个量，利用垂径定理构造直角三角形，通过勾股定理求出第三

个量。

②其推论如平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧等，也常应用于

证明线段相等、弧相等或垂直关系。例如在证明两条弦相等时，可通过证明圆心到两弦的距

离相等，结合垂径定理推论得出结论。

(2)圆周角定理及其推论：

①圆周角定理表明同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。这一考点常出现在求

角度问题中，已知圆心角求圆周角，或反之。

②推论“直径所对的圆周角是直角”以及“90°的圆周角所对的弦是直径”应用广泛。比如

在圆中构造直角三角形，利用三角函数或勾股定理求解线段长度。在证明某条弦是直径时，

可通过证明其所对圆周角为90°来实现。

③圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补，且外角等于它的内对角。常结合其他图形

性质，如三角形内角和定理，用于角度的推导与计算。例如在一个包含圆内接四边形的复杂

图形中，通过已知角的度数，利用圆内接四边形性质求出其他角的度数,进而解决相关问题。

2.直线与圆的位置关系

(1)切线的判定与性质：

①判定：证明一条直线是圆的切线，主要有两种方法。一是若直线与圆有公共点，连接圆心

与公共点，证明这条半径与直线垂直；二是若直线与圆的公共点不确定，过圆心作直线的垂

线段，证明垂线段长度等于圆的半径。此考点常出现在证明题中，要求学生熟练掌握证明思

路与方法。

②性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。在涉及切线的计算问题中，常利用这一性质构造

直角三角形，结合勾股定理、三角函数等知识求解线段长度或角度。例如已知圆的半径和切

线与圆外某条线段的夹角，求切线长。

(2)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线

平分两条切线的夹角。常考点为利用切线长定理进行线段长度的计算，以及证明线段相等、

角相等。例如在一个有两条切线的图形中，通过已知的线段长度，利用切线长定理求出其他

相关线段长度，或证明两个角相等。

(3)三角形的内切圆：

三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。考点包括求

三角形内切圆的半径，通常利用面积法，即三角形面积等于三角形周长与内切圆半径乘积的

一半(S=%(a+b+c)r,其中a、b、c为三角形三边，r为内切圆半径)。还会考查与三角形内

切圆相关的角度计算，如利用角平分线性质求角的度数。

3.圆与其他知识的综合

(1)圆与相似三角形：

①在圆中，常出现相似三角形。例如相交弦定理(圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线

段长的积相等)的证明就利用了相似三角形。当圆中有两条相交弦时，通过同弧所对圆周角

相等，可得到相似三角形，进而得出线段比例关系。

②还可能结合切线与割线，通过证明三角形相似来求解线段长度或比例。比如已知圆的切线

和一条割线，利用弦切角等于它所夹弧对的圆周角，构造相似三角形，建立比例式求解相关

线段长度。

(2)圆与锐角三角函数：

在与圆相关的直角三角形中，常运用锐角三角函数求解角度或线段长度。例如在由圆的半径、

弦心距和弦的一半构成的直角三角形中，已知一个锐角的三角函数值和一条边的长度，可求

出其他边的长度。或者在圆的综合图形中，通过角度关系找到直角三角形，利用三角函数解

决实际问题。

fii真题演陈.

1.(2023•江苏南京・中考真题)如图，在VA3C中，AB=AC,0。是VABC的外接圆，过

点。作AC的垂线，垂足为分别交直线3C,。。于点E,F,射线"交直线2c于点

G.

⑴求证AC=CG.

(2)若点E在CB的延长线上，且£B=CG,求—3AC的度数.

(3)当3C=6时，随着CG的长度的增大，EB的长度如何变化？请描述变化过程，并说明理

由.

2.(2023・浙江绍兴•中考真题)如图是6x7的网格，每个小正方形的边长均为1,半圆ACB上

的点AB,C,O均落在格点上.请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且

不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹.

⑴在图中作出弧BC的中点。.

(2)连结AC,作出-3AC的角平分线.

(3)在A3上作出点尸，使得AP=AC.

3.(2024.山东日照.中考真题)如图1,AB为。。的直径，A3=12,C是。。上异于A,3的

任一点，连接AC/C,过点A作射线AC。为射线AD上一点，连接CO.

【特例感知】

(1)若BC=6.则AC=.

(2)若点CD在直线AB同侧，且NADC=/3,求证：四边形ABCD是平行四边形；

【深入探究】

若在点C运动过程中，始终有tanZADC=石，连接OO.

(3)如图2,当C。与。。相切时，求OD的长度；

(4)求OO长度的取值范围.

4.(2024.山东淄博・中考真题)在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习.

【操作发现】

小明作出了。。的内接等腰三角形A3C，AB=AC.并在BC边上任取一点。(不与点2,

C重合)，连接A3,然后将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE.如图①

小明发现：CE与。。的位置关系是,请说明理由：

【实践探究】

连接OE,与AC相交于点尸.如图②，小明又发现：当VA3c确定时，线段CF的长存在

最大值.

请求出当A2=3ji6.3c=6时，CT长的最大值;

【问题解决】

在图②中，小明进一步发现：点O分线段BC所成的比CD:£®与点/分线段DE所成的比

。产:EE始终相等.请予以证明.

5.（2024•黑龙江绥化•中考真题）如图1,。是正方形ABCD对角线上一点，以。为圆心，OC

长为半径的。。与4D相切于点E,与AC相交于点尸.

⑵若正方形A3CD的边长为0+1,求。。的半径.

（3）如图2,在（2）的条件下，若点M是半径OC上的一个动点，过点〃作"NLOC交CE

于点N.当CN:FM=1:4时，求CN的长.

6.（2024.湖南长沙•中考真题）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆

上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），

可分为四种类型，我们不妨约定：

既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；

只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；

只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；

既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形.

请你根据该约定，解答下列问题:

（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“卡，错误的打“x”，

①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；（）

②内角不等于90。的菱形一定是“内切型单圆”四边形；（）

③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R,内切圆半径为

r,则有R=0r.（）

⑵如图1,已知四边形43CD内接于。。，四条边长满足：AB+CD^BC+AD.

①该四边形ABCD是“"四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；

②若NBAD的平分线AE交。。于点E,ZBCD的平分线CF交。。于点F,连接EF.求证：

EF是。。的直径.

cEFF

图1图2图3

⑶己知四边形A3。是“完美型双圆”四边形，它的内切圆0。与AB,BC,CD,AD分别相

切于点E,F,G,H.

①如图2.连接EG,FH交于点P.求证：EGLFH.

②如图3,连接Q4,OB,OC,OD,若OA=2,OB=6,0C=3,求内切圆。。的半径厂

及0D的长.

7.（2024・湖南・中考真题）【问题背景】

已知点A是半径为r的。。上的定点，连接。4,将线段OA绕点。按逆时针方向旋转

。（0°＜。＜90。）得至1]0石，连接AE,过点A作。。的切线/,在直线/上取点C,使得NCAE

为锐角.

【初步感知】

（1）如图1,当夕=60。时，ZCAE=_°；

【问题探究】

（2）以线段AC为对角线作矩形ABCD,使得边AD过点E,连接CE,对角线AC,3。相

交于点F.

①如图2,当AC=2r时，求证：无论a在给定的范围内如何变化，BC=CD+ED总成立:

图2

4CF7AR

②如图3,当而法时，请补全图形，并求tan，及茄的值.

图3

8.（2024.江苏扬州•中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可

以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论.

如图，已知VABC,CA^CB,。。是VABC的外接圆，点。在。。上（A£>>5£））,连

接4。、BD、CD.

【特殊化感知】

(1)如图1,若NACB=60。，点。在A0延长线上，则AD-与CD的数量关系为；

【一般化探究】

(2)如图2,若NACB=60。，点C、。在4B同侧，判断AD-BD与CD的数量关系并说明

理由；

【拓展性延伸】

(3)若NACB=o,直接写出4£＞、BD、CD满足的数量关系.(用含a的式子表示)

9.(2023•浙江•中考真题)小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与

思考：如图1,的直径C。垂直弦A8于点E,且CE=8,DE=2.

图1图2图3

(1)复习回顾：求A3的长.

(2)探究拓展：如图2,连接AC,点G是8c上一动点，连接AG,延长CG交A3的延长线

于点?

①当点G是8c的中点时，求证：NGAF=NF；

②设CG=x,CF=y,请写出y关于尤的函数关系式，并说明理由；

③如图3,连接小，BG,当VCD尸为等腰三角形时，请计算3G的长.

10.(2023・陕西中考真题)(1)如图①，在△OAB中，OA=OB,ZAOB=nO°,AB=24.若

。。的半径为4,点尸在。。上，点M在A3上，连接尸河，求线段P河的最小值；

(2)如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点2处，点E处

是该市的一个交通枢纽.已知：NA=/ABC=NAED=90。，AB=AE=10000m,

8C=DE=6000m.根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）

修一个半径为30m的圆型环道。0；过圆心。，作,垂足为M,与00交于点N.连

接BN,点尸在。。上，连接母.其中，线段3N、EP及是要修的三条道路，要在所

修道路BN、之和最短的情况下，使所修道路最短，试求此时环道。。的圆心。到43

的距离。加的长.

图①图②

11.（2023•江苏泰州•中考真题）已知：A、8为圆上两定点，点C在该圆上，/C为AB所

对的圆周角.

图①图②图③

知识回顾

（D如图①，。。中，B、C位于直线AO异侧，ZAOB+ZC=135°.

①求NC的度数；

②若。。的半径为5,AC=8,求BC的长；

逆向思考

（2）如图②，P为圆内一点，且NAPB<120。，PA=PB,ZAPB=2ZC.求证：尸为该圆的

圆心；

拓展应用

（3）如图③，在（2）的条件下，若NAP3=90。，点C在。尸位于直线AP上方部分的圆弧上

运动.点。在。P上，满足CO=&CB-C4的所有点。中，必有一个点的位置始终不变.请

证明.

12.（2023・山东日照•中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探

究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆.请应用此结论.解决以下问题：

如图1,VABC中，AB=AC,ABAC=a（60。＜夕＜180。）.点。是8C边上的一动点（点

。不与8,C重合），将线段绕点A顺时针旋转。到线段AE,连接3E.

图2备用图

（1）求证：A,E,B,。四点共圆；

（2）如图2,当A£＞=CD时，。。是四边形的外接圆，求证：AC是。。的切线；

（3）已知&=120。，BC=6,点M是边8c的中点，此时。P是四边形AEBD的外接圆，直接

写出圆心尸与点M距离的最小值.

13.（2023•北京•中考真题）在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1.对于。。的弦A3和

0。外一点C给出如下定义：

若直线C4,CB中一条经过点。，另一条是。。的切线，则称点C是弦A3的“关联点”.

⑴如图，点A（TO）,耳'

k22Jk22）

①在点G（-M）,C,（-V2,o）,G（°，后）中，弦的的“关联点，，是.

②若点C是弦482的“关联点”，直接写出OC的长；

⑵已知点M（o,3）,N",0.对于线段上一点S,存在。。的弦P0,使得点S是弦

尸。的“关联点”，记尸。的长为当点S在线段祢V上运动时，直接写出f的取值范围.

14.（2023•吉林长春・中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在。。上，NAOB=90。,

则锐角ZAPB的大小为度.

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，。。是等边三角形ABC的外接圆，点尸在AC上

（点P不与点A、C重合），连结卜4、PB、PC.求证：尸8=PA+PC.小明发现，延长PA

至点、E,使AE=PC,连结BE,通过证明△尸3c/可推得尸3E是等边三角形，进

而得证.

下面是小明的部分证明过程：

证明：延长PA至点E,使AE=PC,连结BE,

V四边形ABCP是0。的内接四边形，

ZBAP+ZBCP=180°.

ZBAP+ZBAE=180°,

:.Z.BCP=Z.BAE.

•.•△ABC是等边三角形.

BA=BC,

:"BC、EBA（SAS）

请你补全余下的证明过程.

【应用】如图③，。。是VABC的外接圆，ZABC=90°,AB=3C,点尸在0。上，且点P

—PB

与点8在AC的两侧，连结“、PB、PC.若PB=26PA,则正的值为.

15.（2023•浙江台州•中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对

应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是。。的直径，直线/是0。的切

线，B为切点.P,Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径的同侧），分别作射线AP,

AQ交直线/于点C,点、D.

AAA

D

图3

（2）如图2,当誓=1，3尸=尸。时，求笑的值.

AD4CD

（3）如图3,当sin/BAQ=迈，3C=CD时，连接BP,PQ,直接写出堂的值.

4BP

16.（2023•浙江嘉兴•中考真题）己知，A3是半径为1的。。的弦，。。的另一条弦CD满足

CD=AB,且C。，AB于点X（其中点以在圆内，且CH>DH）.

⑴在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）.

（2）连结A。，猜想，当弦A8的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，

说明理由：若不变，求出AD的长度；

⑶如图2,延长至点片使得HF=AH,连结CP,/"C户的平分线CP交AD的延长

线于点P,点/为AP的中点，连结碗，若尸。=340.求证：MHLCP.

17.（2022・广东深圳・中考真题）一个玻璃球体近似半圆。,48为直径，半圆。上点C处有个

吊灯EF,EFHAB,CO，A民ER的中点为D,OA=4.

图①图②

c

AOMB

图③

(1)如图①，CM为一条拉线，M在08上，0M=1.6,£>尸=0.8,求C。的长度.

⑵如图②，一个玻璃镜与圆。相切，H为切点，Af为02上一点，MX为入射光线，NH为

3

反射光线，N0HM=Z0HN=45°,tanZC0H=—，求ON的长度.

4

(3)如图③，M是线段上的动点，为入射光线，=50。,HN为反射光线交圆。

于点N,在用从。运动到B的过程中，求N点的运动路径长.

18.(2024・广东东莞•一模)如图1,OB是RtZXABC中/ABC的平分线，ZBAC=90。，以49

为半径的。。与AC相交于点E,且CE=1.

(2)如图2,设。。与8C的切点为。，连接AD.当tanN6£>=g时，求。。的半径；

s

(3)若尸是线段的中点，连CP与AD交于G,在(2)的条件下，求萨皿的值.

19.(2024•浙江嘉兴.一模)定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的

积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”.如图1,

VABC中，点。是2C边上一点，连接2D,若AD2=BDCD,则称点。是VA3C中2C边上

的“中项点”.

⑴如图2,VABC的顶点是4x3网格图的格点，请仅用直尺画出力8边上的一个“中项点”.

47

(2)VABC中，BC=9,tan8=§,tanC=],点。是BC边上的“中项点”，求线段BD的长.

(3)如图3,VABC是。。的内接三角形，点a在28上，连接C〃并延长交0。于点。.点H

是△3CD中CD边上的“中项点”.

①求证：OHLAB-,

②若OH〃BD，。。的半径为且七肛求黑的值.

20.(2024・湖南长沙•模拟预测)在平面直角坐标系xQy中，A为无轴上一点，以。1为半径

作。。交y轴于B,点C为第三象限的圆上一点，如图1所示，已知圆心到弦的距离

⑴求弦A8下方圆内阴影部分的面积;

(2)如图1所示，若圆心。到弦2C的距离OE=2石，求C点的坐标；

⑶如图2所示，C点坐标同第(2)问，尸是x轴下方的一个动点，使得/3PC：/30c=1:2,

四边形的面积是否存在最大值？若存在请算出面积，并直接写出尸点坐标;若不存在,

请说明理由.

参考答案

1.⑴见解析

(2)36°

(3)当3<CGV6时，BE=6--CG2,5E随CG增大，从4.5附近开始逐渐减小到0；当CG>6

6

时，BE=!CG-6,BE随CG增大，从0附近开始逐渐增大.

6

【分析】(1)连接AO并延长交3c于点且连接03、OC,根据线段垂直平分线判断垂

直平分2C,得到NG+NGAH=90。，结合NG4H=NAFD,ZFAD+ZAFD=90°,即得

ZFAD=ZG；

(2)连接AE,设NG="，得NC4G=0,得ZACB=2a,根据£B=CG,AH垂直平分

8C,得到AE=4G,得到ZAEG=a,根据垂径定理推出E4=EC,得到NEAC=ZECA=2a,

在中，推出5a=180。，得到<z=36。，即得NBAC=36。；

「HC'D

(3)在Rt^CAH和Rt^CED中，根据ZCAH=ZCED,得sinZCAH=sinZCED，得一=—,

ACCE

结合AC=CG,CD^-AC,CH=-BC=3,^CE^-CG2,当3<CG<6时，

226

BE=6-CG2,BE随CG增大而减小，从4.5附近开始逐渐减小到0；当CG>6时，

6

BE=yCG2-6,BE随CG增大而增大，从0附近开始逐渐增大.

【详解】(1)连接AO并延长交8c于点H,连接03、OC,

AB=AC,OB=OC,

：.AH垂直平分5C,

・•・NG+NG4H=90。，

AO=FO,

：.ZOAF=ZOFA,

VOD1AC,

・•・ZFAD-^ZAFD=9Q0,

：.ZFAD=ZG

：.AC=CG；

(2)连接人石，设NG=a,

由(1)知，NC4G=NG=a,

:.ZACB=ZCAG+Z.G=2a,

•；EB=CG,AH垂直平分5C,

:・EH=GH,

：.AE=AG,

：.ZAEG=/G=a,

VOD1AC,

：.AD=CD,

EA—EC,

・•・ZEAC=ZECA=2a,

：.ZAEC-^-ZEAC+ZECA=5cr=180°,

a—36°,

JZBAC=ZAEC=a=36°；

：.ZCAH+ZHCA=NCED+ZDCE=90°,

JNCAH=NCED,

sinACAH=sinZCED,

.CHCD

•.一，

ACCE

VAC=CG,CD=-AC,CH=-BC=3,

22

1

：.CE=-CG92,

6

当3vCG<6时，

CE=BC—BE=6—BE,

1

BE=6——CG29,

6

BE随CG增大而减小，从4.5附近开始逐渐减小到0；

当CG>6时，

CE=BC+BE=6+BE,

1,

Z.BE=-CG2-6,

6

BE随CG增大而增大，从0附近开始逐渐增大.

【点睛】本题主要考查了圆与三角形结合.熟练掌握等腰三角形的判定和性质，垂径定理,

三角形外角性质，线段垂直平分线的判定和性质，正弦定义,分类讨论,是解决问题的关键.

2.(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)连2c与网格线交于一格点G,以。为端点，作射线OG与圆弧交于点£),

(2)作射线AD,则AD即是N54C的角平分线，

(3)连结并延长，交AC的延长线于点与2C交于点尸，连结族并延长交A3于

点、P,则AP=AC.

本题考查了无刻度直尺作图，垂径定理，圆周角定理，角平分线的性质定理，解题的关键是：

熟练掌握无刻度直尺作图，与相关定理的结合.

【详解】(1)解：由格点可知G为中点，根据垂径定理可得，点。为弧2C的中点，点

。即为所求，

(2)解：：点。为弧BC的中点，

根据圆周角定理，可得NG4D=N&D,AD即为所求,

ZADB=ZADE=90°,NBCE=90°,

VZCAD=ZBAD,AD=AD,

AAED^AABD(ASA),

ED=BD,ZAED=ZABD,

...4。是3E的垂直平分线，

FE=FB,

Z.FEB=Z.FBE,

：.AEPB沿ABCE(ASA),

：.ZEPB=ZBCE=90°,

：.AACF^APF(AAS),

.AP^AC,作图如下:

3.(1)673(2)证明见解析(3)2A/21(4)2yf3<OD<6>/3

【分析】(1)根据直径性质得到，/48=90。,根据筋=12,BC=6,运用勾股定理可得

AC=673;

(2)根据ZACB=90。.AD_LAC,得到AO//3C.得到+ABAD=180°,结合ZADC=NB,

得到N54£>+NADC=180。，得到AB〃CD,得到四边形ABC。是平行四边形；

(3)连接OC.根据tanNAOC=5^,得至(JNADC=60°,ZACD=30°,根据切线性质得到，

ZACD+ZACO=90°.得到ZACD=/OCB,ZB=30。.得至l]AC=6,得到。=46,运

用勾股定理得=2庖；

(4)过点A作射线AF_LAB,使NAOP=60。，连接OC,b.得至U/OE4=30。，OF=12,

ACAF

根据AF=a)A.AC=y/3AD，可得f==，根据ZDAO=ZCAF,得到^CAF^^DAO,

ADOA

得竺="=力，得至ljoz)=且CF.^OF-OC<CF<OF+OC,得至(J6VCFV18,

DOAD3

BP^2A/3<O£><6A/3.

【详解】(1)解：为。。的直径，

NACB=90。，

VAB^12,BC=6,

AC=y]AB2-BC2=673

故答案为：6^3；

(2)证明：•・,A3为。。的直径，

・•・ZACB=90°.

•.・AD±ACf

：.ZDAC=90°,

：.AD//BC.

・•・ZB+ZBAZ)=180°,

'：ZADC=ZBf

：.ZBAT>+ZAT>C=180°,

・•・AB//CD

・•・四边形A3CD是平行四边形.

(3)解：如图，连接OC.

•・•在Rt^ACD中，tanZADC=y/3,

・・・ZADC=6Q°,

：.ZACD=30°,

：.OC1CD,

：.ZACD+ZACO=90°.

又ZACO-^-ZOCB=90°,

JZACD=ZOCB

：.ZB=ZACD=30°.

：.AC=-AB=6

29

ACL

在RtAACD中，CD=---------=4V3,

cos30

.,.在RRCOD中，OD=yJCD2+OC2=7(4A/3)2+62=2721;

(4)解：如图，过点A作AF1.AB,使NAOF=60。，连接OC,CF.

则NQ4F=90°,

ZOFA=30°,

：.OF=2OA=12,

：.AF=y/3OA=6A/3,

VtanZADC=A/3,

/.AC=W1AD,

•生-丝-百

ADOA

・・•ZDAC=ZOAF=9Q°f

：.ZDAC+ZCAO=ZOAF+ZCAO,

即ND4O=NC4F,

A^CAF^DAO,

・—6

DOAD

：.OD=—CF.

3

•/OF-OC<CF<OF+OC,

：.6<CF<18,

，2A/3<OD<6A/3.

【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合.熟练掌握圆周角定理推论，圆切线性质，平行四

边形的判定，含30。的直角三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数解直

角三角形，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键.

4.操作发现：CE与。。相切；实践探究：问题解决：见解析

【分析】操作发现：连接CO并延长交。。于点连接根据直径所对圆周角为直角

得至IJNM4c=90°,根据旋转的性质得到/B=NACE,由圆周角定理推出N3=/AMC,等

量代换得到/ACE=/AMC,利用直角三角形的性质即可证明NOCE=90。，即可得出结论;

实践探究：证明得到NB=NADE=NACB,结合三角形外角的性质得到

ABBD

ZCDF=ZBAD,易证△ABDs*cF,得到——=—,设皮）=x，贝lJCD=6—%,得到

CDCF

5=亚46-1）=-巫（》-3）2+理°,利用二次函是的性质即可求解；

30'730'710

问题解决：过点£作硒〃3c交AC于点N,由旋转的性质知：ZB=ZACE,证明

ZENC=ZACE,推出E7V=CE,由旋转的性质得：△ABD/△ACE,

得到BD=EN,根据硒〃5C,易证ACDFSMEF,得到——=—,即可证明结论.

ENEF

【详解】操作发现：

解：连接CO并延长交。。于点M,连接AM,

MC是。。直径,

・•.ZMAC=90°,

.\ZAMC-^-ZACM=90°,

由旋转的性质得NB=ZACE,

・•ZB=ZAMC,

ZACE=ZAMC,

AOCE=ZACM+AACE=ZACM+AAMC^9Q0,

・・・OC是。。的半径，

・•・C£与。。相切；

实践探究：

解：由旋转的性质得：“AD=ZCAE,AD=AE,

，BAD+/C4D="4E+"4WNB4C=ND4E,

\AB=AC,

.AB_AC

一茄一衣’

:.AABC^AADE,

.•.NB=ZADE=ZACB,

・・・ZADC=ZADE+NCDF=NB+/BAD,

..NCDF=/BAD,

:.^ABDs^DCF,

.AB_BD

''CD~'CFf

设则CD=6—%,

.35—x

"6-x~~CF'

.・。=巫.6一力=一回（一『+酒,

30v730v710

-------<0，

30

，当x=3时，C/有最大值为噜;

问题解决:

证明：过点£作£N〃5C交AC于点N,

A

由旋转的性质知：NB=ZACE,

•/ZB=ZACB,

:.ZACB=ZACE,

:"ENC=ZACE,

1,EN=CE,

由旋转的性质得：△Afi。之△ACE,

BD=CE,

:.BD=EN,

EN〃BC,

:.qDFs小EF,

CDDF

,E7V-EF?

♦.・BD=EN,

CDDF

一茄一百’

【点睛】本题考查圆周角定理，切线的证明，旋转的性质，三角形相似的判定与性质，二次

函数最值的应用，正确作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键.

5.(1)证明见解析

⑵血

c、2a

⑶k

【分析】(1)方法一：连接0E,过点。作OGLAB于点G,四边形ABCD是正方形，AC

是正方形的对角线，得出OE=OG,进而可得0G为。。的半径，又OGLAB,即可得证;

方法二：连接。及过点。作OGLAB于点G,根据正方形的性质证明AAOE■丝AAOG(AAS)

得出OE=OG,同方法一即可得证；

方法三：过点。作OGLAB于点G,连接0E.得出四边形AEOG为正方形，则OE=OG,

同方法一即可得证；

(2)根据。。与力。相切于点E,得出NAEO=90。，由(1)可知AE=OE,设

AE=OE=OC=OF=R,在RtZXAEO中，勾股定理得出AO=J5R,在RLADC中，勾股定

理求得AC,进而根据。4+OC=AC建立方程，解方程，即可求解.

(3)方法一：连接ON,设CM=左，在RtaOMV中，由勾股定理得：MN=2k,在Rt^CMV

中，由勾股定理得：CN=瓜,结合题意FC=5左=2R=2x&=2也得出Z=当，即可

得出CN=平；

方法二：连接KV,证明ACNMs△CFN得出CN2=CMCF,进而可得CM=-CF=,

55

同理可得CN

方法三：连接FN,证明得出NC2=MC•/C,没CM=k,则尸C=5k,

进而可得NC=圆,进而同方法一，即可求解.

【详解】(1)方法一：证明：连接OE,过点。作OGLAB于点G,

V。。与4D相切于点E,

OELAD.

・•・四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线，

ABAC=ZDAC=45°,

..OE=OG,

•••OE为。。的半径，

；.0G为。。的半径，

OG±AB,

二.AB与。。相切.

方法二：

证明：连接。£,过点。作OGLAB于点G,

V0。与2D相切于点E,；.OEYAD,

■■ZAEO^ZAGO^90°,

■：四边形ABCD是正方形，

Z£L4C=ZZMC=45°,

又■:AO=AO,

..AAOE均AOG(AAS),

OE=OG,

•••OE为。。的半径，

；.OG为。。的半径，

•••OGVAB,

.〔AB与。。相切.

AED

方法三：

证明：过点。作OGLAB于点G,连接OE.

•.•AD与0。相切，0E为。。半径，

OEYAE,

..ZAEO=9Q°,

OG±AB,

ZAGO=90°,

又♦.・四边形ABCD为正方形，

ZBAD=90°,

.•・四边形AEOG为矩形，

又「AC为正方形的对角线，

ZEAO=ZGAO=ZAOE=45°,

OE=AE,

二矩形AEOG为正方形，

OE=OG.

又「OE为。。的半径，

，OG为。。的半径，

又；OG±AB,

.〔AB与。。相切.

(2)解：:AC为正方形A3CD的对角线，

ZDAC=45°,

•­-与2。相切于点E,

ZAEO=90°,

.,・由(1)可知AE=OE,设AE=OE=OC=OF=R,

在Rt/VlEO中，

VAE2+EO2=AO2,

AO2=R2+R2,

••/?>0,AO=y/2R，

又,••正方形ABCD的边长为0+1.

在RUADC中,

：.AC=yjAD2+CD2=V2(V2+1),

VOA+OC^AC,

同+R=Q&+1),

■-R=-y/2"

•••。。的半径为

(3)方法一：

解：连接ON,设CM=k,

■：CM:FM=1A,

二CF=5k,

OC=ON=2.5k,

OM=OC-CM=1.5k.

在RtaOMN中，由勾股定理得：MN=2k,

在RSCMV中，由勾股定理得：CN=瓜,

又,:FC=5k=2R=2x血=2五，

.,2近

••K=------•

5

.「N/?2^22M

…CJN=vZxy------=--------.

55

AED

方法二：

解：连接FN,

・・・C尸为0。的直径，

/.ZCNF=90°,

・••/FNM"CNM=93,

MN工AC,

ZNFM+/FNM=90。,

ZNFM=/CNM,

•・.ZNCM=ZFCN,

ACNMs"FN,

•••CN2=CMCF,

/CM.FM=\A,CF=5CMf

CN=45CM,

・・.c/=2H=2x夜=2夜，

・1厂门2夜

…CM=—CF=------,

55

.…片2应2V10

…CN=，5x------=--------,

55

AED

方法三：

解：连接-V,

•••CF为。。的直径，

ZCNF=90°,

NFNM+NCNM=90。,

­：MN±AC,

ZNFM+/FNM=90。,

■.ZNFM=NCNM,

■：ZNCM^ZFCN,

•••MNMsMFN,

.NCFC

"MC-7VC)

NC-=MCFC,

■：CM:FM=1:4,

CM:FC=1:5,

设CM=k,则FC=53

NC2=kx5k,

■■■NC=瓜.

又；FC=5k=2R=2x血=2五，

.,2近

••K=---,

5

.小］匕2近2M

…CN=V5x------=--------.

55

AED

【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定

理，垂径定理，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键.

6.⑴①x；②/③<

（2）①外接型单圆；②见解析

（3）r=-A/^3,OD=A/3）

【分析】（1）根据圆内接四边形和切线长定理可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切

圆的四边形的对边之和相等，结合题中定义，根据对角不互补，对边之和也不相等的平行四

边形无外接圆，也无内切圆，进而可判断①；根据菱形的性质可判断②；根据正方形的性质

可判断③；

（2）①根据已知结合题中定义可得结论；

②根据角平分线的定义和圆周角定理证明EBF=EDF即可证得结论；

（3）①连接OE、OF、OG、OH、HG,根据四边形ABC。是“完美型双圆”四边形，结合

四边形的内角和定理可推导出NA+/EOH=180。，ZFOG+ZC=180°,ZA+ZC=180°,

进而可得=NR9G+N£»H=180。，然后利用圆周角定理可推导出NHPG=90。,

即可证得结论；

②连接OE、OF、OG、OH,根据已知条件证明NQAH=NCOG,进而证明

得到CG=』r,再利用勾股定理求得r=三耳，BE=2回,同理可证ABEOSAOH。求

21313

解OD即可.

【详解】（1）解：由题干条件可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对

边之和相等，所以

①当平行四边形的对角不互补，对边之和也不相等时，该平行四边形无外接圆，也无内切圆，

.,•该平行四边形是“平凡型无圆”四边形，故①错误；

②：内角不等于90。的菱形的对角不互补，

•••该菱形无外接圆，

..•菱形的四条边都相等，

•••该菱形的对边之和相等，

该菱形有内切圆，

•••内角不等于90。的菱形一定是“内切型单圆”四边形，故②正确；

③由题意，外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆“四边形是正方形，如图,

则=ON=R,OM±MN,NONM=45°,

二为等腰直角三角形，

ON=y/2OM,即R=仿；

故③正确，

故答案为：①义；②4；③勺；

(2)解：①若四边形ABCD中有内切圆，则AB+CD=3C+AD,这与AB+CDw3C+AD

矛盾，

四边形A3。无内切圆，

又：该四边形有外接圆，

该四边形A3CD是“外接型单圆”四边形，

故答案为：外接型单圆；

②,/NBAD的平分线AE交。。于点E,NBCD的平分线CF交。。于点E

AZBAE=ZDAE,ZBCF=ZDCF,

••BE=DE，BF-DF，

•**BE+BF=DE+DF，

EBF=EDF，即EBF和EDF均为半圆，

/.是。。的直径.

(3)①证明：如图，连接OE、OF、OG、OH、HG,

：O。是四边形ABCD的内切圆，

AOE1.AB,OFLBC,OG±CD,OHLAD,

ZOEA=ZOHA=90°,

在四边形AEOH中，NA+NEOH=360。一90。-90。=180。，

同理可证，ZFOG+ZC=180°,

•/四边形A3CD是“完美型双圆”四边形，

该四边形有外接圆，则NA+NC=180。，

ZEOH=NC,则ZFOG+ZEOH=180。，

,/ZFHG=-ZFOG,ZEGH=-ZEOH,

22

ZFHG+ZEGH=:(ZFOG+ZEOH)=90°,

ZHPG=180°-(NFHG+NEGH)=90°,

EGLFH-,

②如图，连接OE、OF、OG、OH,

:四边形ABCD是'完美型双圆”四边形，它的内切圆。。与AB,BC,CD,AD分别相切于

点、E,F,G,H,

：.：.OELAB,OF±BC,OGLCD,OHLAD,OE=OF=OG=OH,

：.ZEAH+ZFCG=180°,ZOAH=ZOAE,ZOCG=ZOCF,

.•・ZOAW+ZOCG=90°,

NCOG+NOCG=90。，

：.ZOAH=ZCOG.XZAHO=ZOGC=90°,

：•AAOHSQCG,

.OAOH

'~OC~~CG

,.・Q4=2,OC=3,

,23

则CG=z乙

*,3CG2

在Rt/XOGC中，由OG2+CG2=OC2得/十r=3\

解得r*瓜

在RtAOBE中，OB=6,

BE=y/OB2-OE2=卜—唇而）=a,

同理可证ABEO^AOHD,

.BEOB

"~OH~~dD

.底6

工而OD，

OD=M.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、正方形的性质、菱形的性质、圆周角定理、内切

圆的定义与性质、外接圆的定义与性质、相似三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、

勾股定理、角平分线的判定等知识，理解题中定义，熟练掌握这些知识和灵活运用性质和判

定是解题的关键.另外还要求学生具备扎实的数学基础和逻辑思维能力，备考时，重视四边

形知识的学习，提高解题技巧和速度，以应对中考挑战.

7.(1)30°；①证明见解析；②补全图形见解析，4|1

3z

【分析】(1)可证△OE4是等边三角形，贝l]NQ4E=60°,由直线/是。。的切线，得到

ZOAC=90°,故NC4E=90°-60°=30°；

(2)①根据矩形的性质与切线的性质证明△。4£丝/k尸CD,则AE=CD,而3C=AD,由

AD=AE+DE,得到3c=GD+OE；

②过点。作OGLAE于点G,AHLOE于点H,在Rt^AOC中，先证明点E在线段OC上,

tana=41=1,由等腰三角形的性质得NEOG=1a,根据互余关系可得

AO32

Z.EAH=Z.EOG=—a,可求tana=4^=3,解△OAE,求得tan/E4H=，，可证明

2OH32

1zyAft1

ZACB=-a故在RtZXABC中，tanZACB=tan-=——=-.

2f2BC2

【详解】解：(1)由题意得NAOE=c=60。，

OA=OE,

・・・△(?£＜是等边三角形，

/.NQ4E=60。,

・・,直线/是O。的切线，

・・・ZOAC=90°,

・・・ZCAE