安徽省宿州市2024-2025学年高三年级上册期末教学质量检测数学试卷（含答案解析）

安徽省宿州市2024-2025学年高三上学期期末教学质量检测数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1,=x=4A;+l,^eZ},5=-[x|(x+3)(x-6)<0},贝()

A.{1,5}B.{-3,1,5}C.{1,5,6)D.{-3,1,5,6)

咎（i为虚数单位），

2.若复数z满足iz=则z=()

1+1

13.r13.

A.—1—1

2222

13.

C.D.---------1

2222

3.若tan/.]=l,

贝JsinJcos6=()

1「V3

A-4B.—V/•----D

24-T

4.将直线点龙+5了-1=0绕点（1,0）顺时针旋转]得到直线/2,则右的方程是（）

A.1一5〉一1=0B.5x+y-5=0

C.x-y-l=0D.5x-y-5=0

5.若圆锥的轴截面是边长为1的等边三角形，则该圆锥外接球的表面积为（）

_16-4

A.12兀B.—JiC.一兀D.兀

33

6.已知平面向量）=«/）,3=（2,0）,若B在万方向上的投影向量为万，则实数:（）

A.1B.-1C.2D.-2

22

7.已知椭圆。:巳+巳=1的上顶点为A,左焦点为《，线段盟的中垂线与椭圆C交于机N

两点，则△《MN的周长为（）

A.8B.12C.16D.24

8.若函数=+一的图象上存在两对关于V轴对称的点，则正实数。的

[l-x,x>0

取值范围为（）

试卷第1页，共4页

A.(O,e)B.(0,2)C.(l,e)D.(2,e)

二、多选题

9.函数/(x)=sin(x+2]+sin,-x；则()

A./(X+2TI)=/(X)

B.x=：是函数y=/(x)图象的一条对称轴

C./(x)的最大值为2

D./[+曰是偶函数

10.已知数列｛%｝的前"项和为S,,且%=2,".用-25+l”“=0("eN+),则下列结论正

确的是()

A.｛吟｝为等比数列B.标，为等差数列

C.为等比数列D.5„=(«-1)2«+1+2

11.在椭圆(双曲线)中，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭

圆(双曲线)的中心，这个圆被称为该椭圆(双曲线)的蒙日圆.已知双曲线

C：W-《=l(a>6>0)的蒙日圆方程为为坐标原点，点尸在双曲线c上,

。尸与双曲线C的蒙日圆交于点0,则()

22

A.若点P的坐标为(3,2),且。的蒙日圆的半径为1,则。的方程为、一、=1

B.若点尸的坐标为(3,2),则C的蒙日圆面积最大值为2兀

C.|尸。的最小值为.一行下

D.若。为。尸的中点，则。的离心率的最大值为包

2

三、填空题

12.两批同种规格的产品，第一批占25%,次品率为5%；第二批占75%,次品率为4%,

将两批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品为次品的概率为.

试卷第2页，共4页

13.四棱锥P-/8CD中，底面48CA是边长为2的菱形，ZABC=120°,PA=PD=45,PB=2,

则平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为.

14.若不等式(e是自然对数的底数)对任意》eR恒成立，则当取最

a

大值时，实数。=.

四、解答题

15.已知V/3C中，B=3C,sitU=sin(25+2C).

(1)求角A；

(2)。是8c边上一点，且CD=e,BD=仄-也，求4D的长.

16.如图，正三棱柱/8C-4月。中，/8=2,CG=3,M为棱4月的中点，。，石分别为棱

N4，C£上的点，且/D=1,CE=2.

A

(1)证明：GM〃平面8QE；

(2)求直线4月与平面BQE夹角的正弦值.

17.已知函数〃工)=詈(e是自然对数的底数)，g(x)为/⑺的导函数.

⑴求函数g(M的单调区间；

(2)若函数=,求A(x)在［0,兀］上的最小值.

18.动圆尸与圆C:x2+(y-2>=1外切，且与直线相切，记该动圆心尸的轨迹为曲

线E.过7(0,1)的直线乙与E交于48两点，过点A作E的切线设直线44分别与直线/交

于点

试卷第3页，共4页

（1）求曲线E的方程；

⑵证明：”与N的横坐标之积为定值；

⑶记AAMNQTMNQBMN的面积分别为舟邑，邑，求J+g+g的最大值.

3］02»3

19.甲，乙两人各有〃（"烟,"©N）张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有

数字1,3,5,…,2〃-1,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,…,2〃.两人进行〃轮比赛，在每轮比赛

中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的得

1分，数字小的得0分，然后各自弃置此轮所选卡片（弃置的卡片在之后的轮次中不能使用）.

最终得分多的人获胜.

（1）当〃=3时，求甲获胜的概率；

⑵设n轮比赛后甲的总得分为随机变量X,记P（X=k）为X=k的概率.

⑴求P（X密）；

（ii）比较尸开］］与3的大小.

试卷第4页，共4页

《安徽省宿州市2024-2025学年高三上学期期末教学质量检测数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案BDADCACDADBCD

题号11

答案ACD

1.B

【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合8,再根据集合交集的运算求解即可.

【详解】因为3={x[(x+3)(x_6)V0}={x|_34尤46},

A=尤=4左+1,左eZ},

所以NcB={Tl,5}.

故选：B.

2.D

【分析】应用复数的除法和乘法运算求解.

2+i2+i(2+i)(-l-i)13.

【详解】z=--------------1

(1+小-1+i-(-l+i)(-l-i)22.

故选：D.

3.A

57t

【分析】由题意可得e=1|+析水€Z,结合二倍角的正弦公式和诱导公式计算即可求解.

【详解】由题意知。-^二丁+配左£Z,得夕==■+Ml,左£Z,

6412

tr.八八1•C711•Z2、15兀1

故smacos”=—sm2"=—sin(一+2bi)=—sin——=—.

226264

故选：A

4.D

【分析】先根据两条直线垂直得出斜率，再应用点斜式求解直线即可.

【详解】由题意可知，直线4与4垂直，直线4的斜率为-1，所以4的斜率为5,

又因为4过点(1,0)，所以直线4的方程为＞=5(x7),即5x-y-5=o.

故选：D.

5.C

【分析】利用勾股定理列方程，求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.

答案第1页，共15页

【详解】由题意可知，该圆锥的底面圆半径为;，高为业，设该圆锥外接球的半径尺,

22

由题意知，该圆锥外接球的球心在高线上，则上=1丫+（，1_夫],解得&=正，

所以该圆锥外接球的表面积为S球=4成2=4$7r.

故选：C

6.A

【分析】根据投影向量计算公式即可求解.

a-ba2z

【详解】B在方方向上的投影向量为开,口a

t2+\

2t2t

■a=a,•・・l'解得，"

*+177r

故选：A.

7.C

【分析】先根据椭圆的标准方程确定上。的值，判断△/4乙的形状，确定巴,N共线,

再根据椭圆的定义求△耳"N的周长.

【详解】如图：

由椭圆方程可知a=4,6=26，c=2.

所以卜耳|=|耳阊=[4阊=4,

所以△/耳工为等边三角形,

因此的中垂线过月，

结合椭圆的定义，可得△《MV周长

闺叫+1与N|+\MN\=2a-\F2M\+2a-|7^2V|+\MN\=4a=16.

答案第2页，共15页

故选：c

8.D

【分析】分析可知，方程ln(a+x)=x+l在(-。,0)上有两个不等的实根，由参变量分离法可

得.=尸-》，则直线>与函数8(尤)=尸-》在(-。,0)上的图象有两个交点，利用导数

分析函数g(x)的单调性与极值，数形结合可得出实数。的取值范围.

【详解】在函数I(x)=ln(a+x)(F<x<0)的图象上取点尸(x,y),

则点P关于V轴的对称点为。(-x,y),且0<-x<。，其中。>0,

由>=ln(a+x)=x+l,可得0+x=e句,Ma=ew-x>

所以，直线>="与函数8(无)=产|-尤在(-。,0)上的图象有两个交点，

因为8'卜)=尸-1,令g'(x)=0可得x=T,列表如下：

X(-8,-1)-1(T，。)

g'(x)-0+

g(x)减极小值增

所以，函数g(x)在上为减函数，在(-1,0)上为增函数，

所以，ga)mi„=g(7)=2,且g@=e,如下图所示：

由图可知，当2<°<e时，直线>与函数gG)=e'+i-尤在(-d0)上的图象有两个交点,

因此，实数。的取值范围是(2,e).

答案第3页，共15页

故选：D.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基

本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体

现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由/(另=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线>与函

数y=g(x)的图象的交点问题.

9.AD

【分析】根据诱导公式和辅助角公式化简可得〃x)=VIsin(x+含，结合正弦函数的图象与性

质依次判断选项即可.

【详解】f(x)=sin(x+—)+sin(--x)=sin(x+—)+cos(x+—)=V2sin(x+-).

636612

9

A：由7=牛7r=2兀，得/(x)的最小正周期为2兀，故A正确；

B：==半，故B错误；

C：1(X)的最大值为百，故C错误；

D：又因为+=血sin[x+|^=":osx,为偶函数，故D正确.

故选：AD

10.BCD

答案第4页，共15页

【分析】应用已知条件化简得出得餐=2%,得出区为等比数列，进而判断A,B,C,

最后应用错位相减法求和即可判断D.

%+1

【详解】由已知化简得‘吟=2%，得也」=2,所以［%］为等比数列，

〃+1n%LnJ

n

所以”=?.2"T=2",因此。"=小2”,所以“°=八2"&=,

n12"an2"⑵

所以，为等比数列，，上｝为等差数列，｛“aJ不为等比数列，故A错误，B和C正确，

对于D选项，S,=1x21+2x2?+…+(〃-1)X2"T+〃X2",

25„=lx22+2x23+---+（M-l）x2,,+nx2,,+1,

—74-,〃+i

两式作差，解得S〃=—2—22—23——7+nxX+l=+zix2?+14n-\2+】+：,故D正

1-2飞7

确.

故选：BCD.

11.ACD

94

【分析】对A,根据题意建立。力的方程组求解；对B,由彳―F=l，可得

a2-b2=｛a2-b2—,利用基本不等式求出a2-b2<1得解；对C,由|尸。|=\OP\~\OQ\

结合|。尸|”得解；对D,根据题意，结合C选项可得V7二F*-方，化简结合离

心率公式求解.

【详解】对于A,若点（3,2）在C上，则有/一去=1,又因为/一〃=1,联立解

得02=3万=2,故A正确;

对于B,由a?-/=(/_/).]

当且仅当/=3/2=2等号成立，所以C的蒙日圆的面积兀（1-62）4兀-1=兀，故B错误;

答案第5页，共15页

对于C,由|PQ|=|O尸当且仅当尸为双曲线的左，右顶点时取到等号,

故C正确；

对于D,若。为线段。尸的中点，此时|尸0|=|。0|=77二？，由C选项的结论可得，

yja2-b2>a-yja2-b2，

解得与二，又/=4=1+3所以e24，故eV立，故D正确.

a24a2a242

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛:本题D选项解决的关键是结合C选项得到|尸0|=>a"-b?,

进而得到a,b的不等关系得解.

17

12.——/0.0425

400

【分析】由全概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】记事件4：所取的一件产品来自第中=1,2）批，记事件反所取的一件产品为次品,

]311

则尸（4）="尸（4）=“P（8⑷=方P（叫4）=天，

11a117

由全概率公式可得尸"）=尸⑷尸（5⑷+P（4）P（司4）=/久+片石=旃

17

故答案为：而

13.0.625

8

【分析】作出平面尸4。与平面尸5。的夹角，利用余弦定理求得夹角的余弦值.

【详解】取/。的中点为E,连接PE,BE,过点尸作/〃则平面上4Oc平面PBC=/,

PA=PD,E是/。的中点，则尸£1/。，所以/_LP£,

连接8。，依题意可知是等边三角形，所以

由于尸£C\BE=E,PE,BEu平面PBE,所以4D_L平面PBE,

由于PBu平面PBE,所以4D_LP8,贝!!/_1_尸3,

所以NBPE是平面PAD与平面PBC的夹角，

答案第6页，共15页

在直角△口£■中，PE=2；在△PE2中，PE=PB=2,BE=6

PB-PEZ-BE25

由余弦定理可得,cosNBPE=

2PBPE8

【分析】根据题意，令〃x)=(x-l)e「办-6,可知当。〉0时符合题意，利用导数可得函

数/(%)的单调性和最小值/(%)=(%0—1)。"-"0-6=〃-。-人，其中令

\xo)

最小值大于或等于0,进而得解.

【详解】由题意可知a/0,令/(x)=(x-l)e*-办-6,

当。<0时，研究函数了=(无一1)二与》="+方的图象,

因为V=xe£,当xe(-8,0)时，y'<0,所以函数了=(尤-l)e*单调递减,

当xe(O,+s)时，/>0,所以函数了=(x-l)e”单调递增,

所以函数了=(尤-1)旷有最小值为T,

而〉=依+方为单调递减的直线，如图,

此时/"(x"0不恒成立，不符合题意；

当。＞0时，f\x)^xex-a,

令g(x)=/'(x)=xe*-a,g,(x)=(x+l)ex,

答案第7页，共15页

易知g（x）在（-8,T）上单调递减，在（T+S）上单调递增，

且由于函数了=（x-l）e*有最小值为-e,所以当a>0时，方程/'（无）=0有解，

设解为甚,则且毛>0,

所以函数/（X）在（-8,X。）上单调递减，在（X。,+8）上单调递增，

所以/'（X）的最小值为=领一%一。Xo+—卜6,

IX。J

由题意1（x）20恒成立，所以a-a1%+（]一620,

所以，41-[xo+'14-l，

aIx0）

当且仅当天=1时取等号，止匕时。=无。6'。=e.

【点睛】关键点点睛：利用导数可知方程/''（尤）=。有解，设解为％,则从而表示

出「（X）的最小值，进而求解.

2兀

15.（l）y;

⑵#-1.

【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式及二倍角公式计算得解.

（2）利用正弦定理建立方程，身后利用三角恒等变换计算得解.

【详解】（1）在VABC中，由siib4=sin（2B+2C）,得sirU=sin（2兀-24）=-sin2A=—2siih4cos/,

又/e（0,7i）,sin/>0,则cos"-1],所以/=9学71

JI'Ji

（2）由（1）知，B+C=-,而B=3C,则C=—,设NC4O=8,

sinC=sin（----）=sin—cos---coa3—siA=-------,

4646464

Ar\玛，则期万丁g,

在△/CO中，由正弦定理得一二二

sinC

sin。2sin<9

BD函一回e

AD

在△45。中，由正弦定理得Zin后二~.,2TI4，则4D=-----------2_=

sin(--6»)2兀

3sin(--6>)

答案第8页，共15页

因此sin（M"-。）=2sin。，即Y^cose+Lsine=2sin8,整理得tan6=",

3223

又6e（0,；）,贝=所以ND=6-1.

36

16.（1）证明见解析

⑵也

2

【分析】（1）取耳。的中点N,连接MN,EN,证明GM//EN,即可证明结论;

（2）建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求法，即可求得答案.

【详解】（1）取用。的中点N,连接MN,EN,

A

因为M,N分别为4综的中点，所以MN//AQ,MN=，

又因为AD=1,CE=2,CCj=3,则A.D=2,C,E=\,

则弓£//4℃£彳4。，

所以MN//C、E,MN=C\E,

所以四边形跖VEG为平行四边形，

所以C.M//EN,又O平面耳。£,ENu平面BtDE,

所以〃平面8QE.

（2）由题意，以C为坐标原点以C4,C。所在直线为x,z轴，过点C在底面/8C内作C4的

垂线为夕轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

答案第9页，共15页

a二二

由已知，4(2,。,3),。(2,0,1),£(0,0,2),4(1,6,3),

所以或=卜1,百,0),瓦=(-2,0,1),西=(-1，❷2),

设平面DE4的一个法向量为4=(尤,y,z),

DE-n,=0[—2x+z=0

则，故Z7c八，

DB],ri1=。[-x++2z=0

所以可取平面的一个法向量为1=(1,-C,2),

设直线4月与平面。E4所成角为e,

则丽荷卜=~^-7==—

sin9=bos丽4|•同3

所以直线4A与平面。石4所成角的正弦值为孝.

17.(1)增区间：[2E,TI+2E],左eZ,减区间：[兀+2E,2?i+2E],左eZ；

【分析】(1)求导并根据正弦函数图象性质即可求解；

(2)求〃(x)的导函数，并判断其在[0,可上的正负，从而判断力(无)的单调性，从而求得最

小值.

【详解】(1)由已知g(x)=/(x)=*U^,所以g'(x)=1¥

令g'(x)>°，解得2左兀<%<兀+2左兀，左EZ,

令g'(x)<°，解得兀+2kli<x<2兀+2kR,左£Z,

所以g(x)的单调递增区间[2E,7i+2版]#eZ,

答案第10页，共15页

g（x）的单调递减区间［兀+2E,2无+2E］,左eZ.

（2）由题可知，==

因为xe［O,可，所以sinxNO,

令〃（x）＞0,解得Ovx苦,

令〃（x）＜0,解得］＜X＜7I,

所以访（x）在0看上单调递增，在1｝兀上单调递减,

▽11+-1+-,

，（。）=玛＜-»（兀）=-3＞-三＞一于

所以〃（0）＜旗兀），所以的最小值为ig

18.（l）x2=8y

（2）证明见解析

⑶谨

8

【分析】（1）根据抛物线的定义求解；

（2）设4的方程为了=麻+1,/（外,乂）,5仁,%），注意用导数求得切线斜率，由直线方程得

出的横坐标（用人表示），然后求乘积可得；

（3）由图形得S2=；|MV|2s3=；|跖V|（%+1）,直线方程了=履+1代入

1113

抛物线方程（消去工）应用韦达定理得必+%,必％,计算审+不+不=•『由（2）不妨

MN==+

设%＞4，\\XM-XNXM—，由基本不等式得最小值，从而得不+7十三的取大

值.

【详解】（1）由题意可知，动圆圆心尸到点（0,2）的距离比它到直线/的距离大1,

所以P到点（0,2）的距离等于它到直线了=-2的距离，

所以点P的轨迹是以点（0,2）为焦点，以直线了=-2为准线的抛物线,

设点P的轨迹方程为d=2处（p＞0）,则］=2,所以p=4,

所以动圆圆心P的轨迹方程为X?=8y.

答案第11页，共15页

（2）易知4的斜率必存在且不等于0,

设4的方程为歹=去+1,幺（西,乂）,8（彳2，%）,

y=kx+l-2

1，可得〃的横坐标为切二丁，

又因为4过点A和T,所以左7二2K^-1

所以4的斜率为:拓，因此4的方程为歹-必=；X］（x-xJ,

令y=-l,可得N的横坐标为马=4（1乃）+&=也1_5=4后,

再玉

所以尤M，N=-8,因此”的横坐标与N的横坐标之积为定值.

（3）由题意,有岳=；|跖口（必+1）,$2=:儿明253=?儿明（为+1），

由1112（1111

ES2S3y2+l2）

联立I：：：；［消去x，化简得/一（8r+2卜+1=0,

所以％+%=81？+2,%%=1,

„,,11乂+%+28左~+2

因止匕----+-----=—------=——=1,

%+1+1+必++18k+2

由（2）知物%=-8,不妨设无.>0』<0,

则\MN\=XM-XN=XM+—>472,等号成立当且仅当XM=242,

3<3/

1N\~"I-

1112B

所以三的最大值为处.

工4^38

【点睛】结论点睛：抛物线/=2眇在点（x°,得）处的切线斜率为左=£,抛物线/=2.在

答案第12页，共15页

2n

点(普，州)处的切线的斜率为4=3•

2Py0

19.(1)1

(2)(i)1一"4(ii)

n\<2.)2.

【分析】(1)根据对称性，不妨固定乙六轮选卡的数字依次为，由甲的总得分为0,得到甲

六轮选卡的数字依次为，再由甲六轮选卡的数字有种排序方法，利用古典概型的概率求解.

(2)若甲的总得分为1,分①甲在第一轮得1分，②甲在第二轮得1分，③甲在第三轮得1

分，④甲在第四轮得1分，利用古典概型的概率求解；(3)设甲在六轮游戏中的得分分别为,

易得甲在每轮获胜的概率为，然后利用求解.

(1)不妨设乙出卡片的顺序为(2,4,6),则甲的出牌顺序为(a也c),根据古典概率概型计算

可得答案；

(2)(i)不妨固定乙出卡片的顺序为(2,4,6,…,2”)，甲出卡片的顺序共有A：=加种，计算

出甲在〃轮比赛中总得分为1的情形的概率，利用古典概型、对立事件概率计算可得答案；

(ii)甲，乙两人的总得分之和为“，则乙在"轮比赛中的总得分丫="-左的概率也是“，

"轮比赛后甲的总得分为左+1(即最初是乙得分为左+1)的概率也可以表示为P-i，因此

有“=已》，"{0,1,2,…,1},〃为偶数时尸也£|=：；〃为奇数时，计算出〃轮比赛

后甲的总得分不小于］的概率可得答案.

【详解】(1)易知甲不可能得3分，〃=3时，不妨设乙出卡片的顺序为(2,4,6),

则甲的出牌顺序为(3b,c),其中a,6,ce{1,3,5},

总情形共有A；=6种，

只有(“,64)=(3,5,1)时，甲可以得2分获胜，

所以甲获胜的概率为」；

6