安徽省马鞍山市某中学2024-2025学年高一年级上册期末质量检测数学试题 （解析版）

当涂一中2024-2025学年高一上学期期末质量检测

数学试卷

时间：120分钟满分：150分

第I卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.设集合4={"，'殷1),3={乂2*>0.5},则集合AB=()

A.(-1,1]B.[0,1]C.{0,1}D.{-1,0}

【答案】C

【解析】

【分析】解指数不等式化简集合B,再根据交集的定义计算可得.

【详解】因为A={xeN|x<l}={0,l},又2工>0.5,即2工>2工解得》>—1，

所以5={%12">0.5}=[x\x>-1},

所以A3={0,1}.

故选：C

2.已知以仄c、d均为实数，则下列命题正确的是()

A.若>/,则一(2<-b

B.若a>b,c>d,则a+Z?>c+d

ah

C.若则----<-----

c-ac-b

a+ma

D.右Q>/?>0且m>0,则-----<—

b+mb

【答案】D

【解析】

【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可.

【详解】选项A,当。二一1,Z?=0时，满足/>〃，但_〃>_),A选项错误；

选项B,取a=l,b=0,c=2,d=l,满足a>人且c>d,但Q+/?<c+d,B选项错误；

选项C,当时，有c—a>0,c—b>0^a—b>0.

aba(c-b)-b(c—a)_c^a-b)b

则>0,有---->----C--选项错误;

c-ac—b(c-Q)(c-b)(c-6r)(c-Z?)c-ac-b

选项D,a>Z?>0且加>0,则Z?—QVO,b+m>0,

a+mab(a+m)-a(b+m)m(b-a\八a+ma

则^------VZ—\一二叶一(<0,得产</,D选项正确.

b+mbyb\b+m)b\b+m)b+mb

故选：D.

3.下列函数中，不能用二分法求零点的是()

A./(%)=lnx-3B./(x)=sinx-l

C./(x)=x+--3D./(x)=2X-3

x

【答案】B

【解析】

【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解.

【详解】对于A,/(x)=lnx-3有唯一零点x=e3,且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；

对于B,/(x)=sinx-l=O,可得：%=-1+2kn,keZ,但/(x)=sinx-lWO恒成立，即在每个零点

左右两侧函数值同号故，不可用二分法求零点；

对于C,/(x)=x+L-3有两个不同零点》=2叵，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分

x2

法求零点；

对于D,/(可=2、-3有唯一零点％=log23,且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.

故选：B

4.爆函数〃x)=(苏一加一1)尤e1在(o,+8)单调递减”是“机=2”的()

A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.充要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据幕函数的定义求出机的值，再根据充分、必要条件的定义判断即可.

【详解】若/(九)为幕函数，贝U布—加―1=1，解得m=—1或机=2,

因当〃2=-1时，/(x)=/在(0,+8)上单调递减;

当772=2时，/(X)=%在(0,+8)上单调递增，

故由“募函数/(%)=(加-m-1卜启在(0,+8)单调递减”当且仅当“机=—「，成立，

即“累函数”X)=(.-1)尤I在(0,+8)单调递减”是“加=2”的既不充分也不必要条件.

故选：A.

5.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是优℃,空气的温度是为℃,那么fmin后物体的温度

e(单位:C)可由公式6=%+(4—4)求得，其中人是一个随着物体与空气的接触状况而定的正

常数.现有100°。的物体，放在10℃的空气中冷却.Imin后物体的温度是70C,那么该物体的温度降至

20℃还需要冷却的时间约为(参考数据：lg2a0.3010,lg3a0.4771)()

A.2.9minB.3.4min

C.3.9minD.4.4min

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定的函数模型，列式并借助对数运算求解即得.

【详解】依题意，由100C的物体，放在10℃的空气中冷却，Imin后物体的温度是70C,

W70=10+(100—10)(g)%，解得(；)％=|,

11

该物体70℃的温度降至20℃需要冷却的时间为/,则20=10+(70-10)[(-)q,,

21:Jg6Jg3+lg2_0.4771+0.3010〜:

于是(§)'=1两边取对数得lg3Ig3-lg20.4771-0.3010,

所以该物体的温度降至20℃还需要冷却的时间约为4.4min.

故选：D

Q

6.若2工=6，V=log4则X+2y的值是()

A.3B.log23C.-3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】先根据指数对数转化得出一再根据对数运算律计算求值.

Q

【详解】由2*=6，可得x=log26,因为y=log4g,

则x+2y=log26+21og4-=log26+log2-=log26x-=log216=4.

故选：D.

7.已知cos（37a+a）=g,且0°<tz<90°,则tan（37°+o;）sin2（53°-e）-cos（143°-e）=（）

A3+V2R3-V2「3+20n3-2攻

9999

【答案】C

【解析】

【分析】利用同角三角函数的基本关系以及诱导公式即可求解.

【详解】因为0°<a<90°,cos（37°+cr）=j>0,故37°<37°+1<90°,

令37°+1=加，则加为锐角，

］7B

因cosm=-,所以sin/“=一丫一，且&=〃z—37°,

33

所以tan（37°+tz）sin?（53°-a）-cos（143°-a）

=tanmsin2（90°-m）-cos（1800-7n）

23+2V2

=tanmcosm+cosm=sinmcosm+cosm=---------•

9

故选：c.

8.定义：如果函数y=/（x）在定义域内给定区间［a,可上存在不（。</<Z?）,满足

⑷,则称函数y=/（x）是［a,可上的“平均值函数”，％是它的一个均值点，如>

b-a

是［-1』上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数/（》）=•?+比是［-1,1］上的平均值函数，则实数

/的取值范围是（）

C一3，£3

D.—00,—

4

【答案】A

【解析】

/⑴-〃-1)

【分析】函数/(%)=三+比是区间［—1,1］上的平均值函数，故有三+笈=在(-1,1)内有实

1-(-1)

数根，进而可得方程式+%+1+『=0在(-1,1)上有根，即可求出f的取值范围.

【详解】•.•函数/(X)=三+比是区间［―1,1］上的平均值函数,

故有Y+比=丫J\)即d+比=<:\)=，+1在(-1,1)内有实数根，则

(%—1)(公+x+l)+.(九-1)=0=>(%—1乂%之+]+]+/)=0有根,

所以X=1或％2+》+1+/=0.

又1任(-M)

，方程V+%+1+/=0在(-1,1)上有根,

因为一/=f+x+1=[x+g]+:，而当xe(—1,1)时，(x+；]+[e[：，3)，

于是Te^,3]n/e1―3,一：

故选：A.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知取整函数y=［x］的函数值表示不超过x的最大整数，例如，［—3.5］=-4,［1.5］=1.已知函数

=，则(>

V'4'+1

■

A.22=1B.若[2〔=2,贝H<x<log23

C.3x0eR,[/(%0)]=1D.函数的最小值为2

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据取整函数的定义，计算可判断A、B；利用基本不等式可以判断C、D.

1-

【详解】因为25=0W(1,2)，所以22=1，故A正确；

若［2］=2,则242工<3,^l<x<log23,故B正确，

因为‘I)4,+1小1~1工2,当且仅当x=0时，等号成立；

2+/2j2'x—

2V2X

所以0</(x)<g,［〃力］=0对于xeR成立，故C错误；

14A+i1i~.~r

—=2"+—>22-x2,当且仅当％=0时，等号成立，故D正确.

/(%)2A2XV2=

故选：ABD.

10.函数/'(同=265111公M05。％+28524>%—1(0<0<1)的图象，如图所示，则()

c.y=/［x+《Jcosx的图象关于点对称

「1723、

D.若y=〃/x)(/wR/>0)在［0,可上有且仅有三个零点,贝VeI

【答案】BCD

【解析】

71

【分析】化简函数解析式，由图象观察可得X=§时，函数f(x)取最大值，由此可求0,结合周期公式求

周期，判断A,求函数/12%+葛］的解析式并化简，结合正弦函数性质判断B,化简函数

y=/［x+《］cosx的解析式，结合正弦函数性质求其对称中心，判断C,求江+巳的范围，结合条件列

不等式求，的范围，判断D.

【详解】依题意，/(x)=sin2^x+cos2<z>x=2sin^2<z>x+^

TT

观察图象可得x=§时，函数/'(X)取最大值，又0<3<1,

TTTTTT

所以2。一+—=2E+—,keZ,

362

解得。=3k+工，keZ,而0<。<1,解得。=工，

22

f(x)=2sinlx+-^1,的最小正周期为2兀，A错误；

»2V=25111(2%+兀)=一251112%是奇函数，B正确;

y=f[x+lcosx=2sinIx+jIcosx,

j=cosx^sinx+sficosx)=sin2尤++cos2x)=sin[2%+^-j+

2

jrKTTJT

令2x+—=E,keZ,可得x=--------,ksZ,

326

因此y=/(x+：71]cosx的对称中心为———

(k*,

k6JI262J

当左=0时，函数y=/+：71]cos%的对称中心为一：,^~

,故C正确;

k6J62

7

717171

/(/x)=2sintXH---,-z>0,当％E[0,可时，江+《£一,t7lH----,

666

依题意，3TIK/7IH—<4兀，解得—<f<—,D正确.

666

故选：BCD.

11.已如定义在R上的函数/(%)满足/(%)+/(—%)=0,”％+2)是偶函数，且对任意的天,

%

X2G[-2,0],当石小々时，都有西/(石)+%2/(%2)<%/(々)+2/(%)，则以下判断正确的是()

A.若/⑴=—1,则/⑸=1B.函数/(九)的最小正周期是4

C.函数/(%)在[2,6]上单调递增D.直线1=3是"％—1)图象的对称轴

【答案】ACD

【解析】

【分析】由题设可得/(—%)=-/(盼，函数/(九)关于x=2对称，且/(X+4)=/(—可、〃龙)在

［-2,0］上单调递减，再进一步判断函数的奇偶性、周期性、区间单调性和对称性，进而判断各选项即可.

【详解】由/(x)+/(—x)=O,得/(—x)=—/(x),所以函数/(%)为奇函数，

由/(x+2)是偶函数，得函数/(%)关于x=2对称，

则直线％=3是/(x—1)图象的对称轴，故D正确；

且/(x+2)=/(—%+2),贝|/(x+4)=/(—*),

所以/(x+4)=—/(%),则/(x+8)=—/(x+4)=/(x),

所以函数/(x)的周期为8,故B错误；

对于A,由/(x+4)=—/(%),若/(1)=—1,则/'(5)=—=故A正确；

对任意的当，x2e［-2,0］,当％力马时，都有石/(%)+%2/(%2)<%/(%2)+%/(%)，

即(石_々){/(%)_/(%2)］<0,所以/(%)在［一2,0］上递减，

结合奇函数知，函数在［。,2］上递减，即函数［-2,2］上函数递减，

由于函数八%)关于x=2对称，

所以函数/(%)在［2,6］上单调递增，故C正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题设得到/(-%)=-/(x),函数/(%)关于x=2对称，且

/(%+4)=/(-%),/(%)在［-2,0］上单调递减，进而判断各选项即可.

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

――417T1

ln33

12.e+27-tan^-+lg--21g5=.

【答案】|

【解析】

【分析】结合对数、指数运算法则及特殊角的三角函数值计算即可得.

――4]7T]1TT1

【详解】由题意知e"3+273—tan手+lg.—21g5=3+；—tan：—21g10=".

故答案为：—.

3

13.已知函数/■(x)=log“(4—依)(。>0且awl)在区间[0,1]上单调递减，则实数。的取值范围是

【答案】(1,4)

【解析】

【分析】利用复合函数的单调性可知，外层函数y=log/是增函数，结合对任意的xe[0,l],7=4—依>0

恒成立，根据这两个条件可得出关于实数。的不等式组，解之即可.

【详解】因为a>0且awl,则内层函数/=4—依在[0,1]上为减函数，

由于函数/(x)=log0(4-ax)(a>0且aw1)在区间[0,1]上单调递减，

则外层函数y=logJ是增函数，则a〉l,

且对任意的xe[0,l],f=4—以>0恒成立，即*=4一。〉0,解得a<4,

综上所述，实数。的取值范围是(1,4).

故答案为：。,4).

14.已知函数/(x)=2.+!：+j)；+2(x〉0),\ya,b,c>Q,以/(a),/3),/(c)的值为边长可构成

一个三角形，则整数上的所有可能取值的和为.

【答案】15

【解析】

【分析】ya,b,c>0,/(a)+/(b)>/(c)恒成立，变形得到外"=2+一「二，分左=0,和

X---F1

X

k<0,结合函数单调性得到函数值域，根据/(。)+/㈤>/(c)得到不等式，得到左且―3,6],求出答

案.

【详解】根据题意可知，V«,Z?,c>0,/(a)+/(Z?)>/(c)恒成立,

/、_2/+(左+2及+2_(2必+2了+2)+履_kx_k

"x)=-TTITl—=-—=2+笆二1=2+二T^,尤>0,

X~\---r1

X

当上=0时，f(x)=2,此时/(a)=/(/?)=〃C)=2,满足/(a)+/(〃)>/(c),

当左>0时，因为y=x+』+l在(0,1)上单调递减，在［1,”)上单调递增，

X

当x=l时，y=1+1+1=3,故丁=%+工+123,

x

故〃x)=2+—什«2,2+g,

X+-+1v」

X

X/a,b,c>0,+>/(c)恒成立，故2+222+g,解得kW6,

故0〈人46,

当入。时，同上，可得，0)=2++'2+(,2

X

Va,b,c>0,/(a)+/®>/(c)恒成立，故212+£|22,解得心—3,

故—3<kv0,

综上,左且―3,6],满足要求的整数%为—3,—2,—1,0,1,2,3,4,56

和为—3—2—1+0+1+2+3+4+5+6=15.

故答案为：15

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知关于X的方程依2—依+1=0有实根，集合3={X||X-6|<7〃}.

(1)求。的取值集合A；

(2)若A5=5，求机的取值范围.

【答案】⑴4=(-8,0)34收)

(2)m<2

【解析】

【分析】(1)分a=0,awO两种情况讨论，结合判别式求解；

(2)若A「B=B,则BqA,分m<0,m>0两种情况讨论，列出不等式求解即可.

【小问1详解】

方程OX?—依+1=0有实根，

若。=0,该方程无解；

若则八二4一/^之。，解得av0或。24,

综上，A=（Y）,0）D[4,4W）.

【小问2详解】

若AB=B,则JB=A,

当相40时，5={x||x-6|<m）=0,符合题意；

当相>0时，B={x\\x-6\<rri\={x\6-m<x<6+m],

BoA,.•・6—根之4或6+根<0,0<m<2,

综上，m<2.

2x

16.己知定义在（-M）上的函数/（乃=一^.

l+x~

（1）判断函数/（X）的单调性，并用定义证明；

（2）解不等式/（m―1）+/（3根）<0.

【答案】（1）增函数，证明见解析

⑵陷

【解析】

【分析】（1）利用函数单调性的定义，即可作出判断与证明;

（2）利用函数/（x）为奇函数，把不等式转化为了（m一1）</（一3加），再利用/（x）的单调性，得出不等式

组，即可求解.

【小问1详解】

函数/（%）在（T，D上是增函数，证明如下:

2.2

设-9<丁1,则〃石）—/伍）=言一鼠='用

X

2（玉一九2）+2不冗2（2一再）2（不一九2）（1—玉九2）

（1+工；）（1+君）0+%2）（]+用，

-1<Xr<X2<1,：.-1<XYX2<1,且再一々<0，则1一%犬2〉0，

则/(石)—/(々)<。，即/(%)</(七)，所以函数/(X)在(-M)上是增函数.

【小问2详解】

—2无

Vxe(-l,l),/(—%)=-----=_/(%),故/(X)是奇函数，

1+X

f(m-1)+/(3m)<0,/./(m-1)<-/(3m)=/(-3m),

“九)是定义在(-U)上的增函数，

-1<m-1<1

「.<-l<3m<l,解得0<相〈!，

4

m-l<-3m

所以不等式的解集为

17.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量P(单位:

kWh)与速度v(单位：km/h)的数据，如下表所示：

V60708090100

P8.81113.616.620

为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量尸与速度v关系，现有以下两种函数模型供选择：

①6(v)=ay2+Z?v+c(a,Z?,ceR)；②£(v)=4+加(左,〃zeR).

(1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型(不需要说明理由)，并求出相应的函数解析式.

(2)现有一辆同型号电动汽车从A地出发经高速公路(最低限速60km/h,最高限速120km/h)匀速行

驶到距离为500km的8地，出发前汽车电池存量为65kW-h,汽车到达8地后至少要保留5kW-h的保

障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计).已知该高

速公路上有一功率为16kW的充电桩(充电量=充电功率x充电时间).

(i)求出行驶过程中，耗电量/3)的函数解析式，并说明其单调性(不需证明).

(ii)若不充电，该电动汽车能否到达8地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从A地到达8地所

用时间(即行驶时间与充电时间之和)的最小值.

【答案】(1)选择函数模型①，片(v)=0.0021?—0.04V+4

(2)不能，理由见解析，—h.

2

【解析】

【分析】(1)根据V与P的数据关系，选择函数关系式，再代入数据，即可求解;

(2)(i)根据(1)的结果，求耗电量/3)的函数解析式；(ii)根据/")的单调性求整个路程耗电量

的最小值，即可判断是否需要充电，根据公式初始电量+充电电量-消耗电量之保障电量，列式求解.

【小问1详解】

P与v的函数关系，在定义域内单调递增，由增长速度可知，选择函数模型①

3600。+60Z?+c=8.8,a=0.002,

由题意，有<4900。+706+。=11,解得</?二一0.04,

6400。+806+c=13.6,c=4,

所以4(v)=0.002v2-0.04v+4.

【小问2详解】

(i)由题意，/(v)=^(v)--=v+^^-20(60<v<120),

所以函数/⑺在［60,120］上单调递增.

(ii)因为/(v)mM=/(60)=子>65-5,即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车要在服

务区充电，否则不能到达B地.

设行驶时间与充电时间分别为小马(单位：h),总和为九

若能到达8地，则初始电量+充电电量-消耗电量之保障电量,

1。<

即65+16t2—/(v)25,则右2—I-----5，

2v7216v

*2工nU、500V125.v625ucIv62515

所以总时间％=42----1----1-----5=—+-----5>2.-------

12V16V16vV16v~2

当且仅当上=—,即V=100时，等号成立，

16v

所以电动该汽车从A地到达B地的最少用时为"h.

2

18已知/(%)=sinfx+j^cosx+^-sinf2x+j^-^

(1)求/(幻的单调递增区间;

(2)若力'[51“一77C1-/匕I1、+内7TI22对任意的xe7171恒成立,

求a的取值范围;

兀兀,记方程g（x）=I在区间［0,21］上的根从小到大依次为d,

（3）已知函数g（x）=f—x——

83

x2,居，求退+2尤4++2玉_1+乙的值.

Sirjr

【答案】（1）一行■+配/+"兀’keZ.

⑵a>2V2+1

(3)92

【解析】

【分析】（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简为/（X）=sin2x+m,再根据正弦函数的单调

性，得解;

（2）分离参数，结合二倍角公式和齐次式运算求对勾函数最值即可求解根;

jr1

（3）令，=4%-原问题可转化为函数y=sin%与函数y=§的交点个数，由交点个数确定〃的值，再

结合函数对称性即可求解.

【小问1详解】

/(x)=sin^x+jjcosx+—1sinf2x+^71

23一彳

(1.V3]

-sin|2x+-71

—sin%H---cosxJcosx+

"223一7

A/3(1+COS2X)1(c兀

=-sin2x++—sin2x+—_V3

4423一7

=—sinf2x+—71I+—1sinf2x+—71I=sinf2x+—71|.

23233

兀兀717C71357兀t7C71

令2%H—G-----卜2kjt,—卜2kn,kJZ,则-----卜kit,-----卜kit,kwZ,

3222211221122

5兀71

故/（%）的单调递增区间为-五+而，石+E，左ez.

【小问2详解】

171171717t

af—X-----——XH---22,即asinx一85?2对任意的％6—恒成立,

2621243

r।、2+cosx7171

则Q)-对----任----意----的-xe恒成立,

sinx43

21•2%"2%•2%

Q2%1•2%x

cos一■—sin—+2cos—Fsin—3cos—+sin-tan—

人2+cosx22I223

令y二-------22

sinxc.%x2

2sm—cos一2sin-cos—2tan—

22222

兀兀兀17Xx7C71

因为x€1,一,则u—tan—Gtan—,tan—,

433286

3-S1u1兀兀

由对勾函数的性质知y=—+一在tan-,tan-上单调递减,

2u206

c兀

2tan—

「X兀

又------=tan-=1,所以=—

1-t.an2—兀48

8

V2-1

则'=』+巴的最大值为y==20+1,故后+L

2M22

【小问3详解】

兀71兀兀7171711

令g(x)=/—X——=sin2—x——+—=sin—X----

83833433

7i59K

Xe[0,21],/.—X--G

433'12'

A71717t597t一h59TIV6-V21

令.=—x---£—，----,又sin-------=-----(一，

4331212-4-------3

兀59兀

函数y=sinf在一§，三-上的图象如下图所示,

5兀7兀97r

「+2%+2,+%=(‘3+’4)+('4+’5)+('5+'6)=2x--~F2X~F2X=2171,

【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数图像及应用，关键是利用整体思想结合对称性求解第三问.

19.设定义在A上的函数〃尤)和定义在B上的函数g(x),对任意的占eA,存在超eB,使得

/(%)=七(%)(人为非零常数)恒成立，则称“力与g(x)为异自变量定值函数组合，其中女叫作这

两个函数的恒定比数值.

⑴若函数〃x)=2，—3,xe[0,3],g(x)=cosx,xeR,判断〃龙)与g(x)是否是恒定比数值

为5的异自变量定值函数组合，并说明理由；

⑵若函数/(x)=sin[3x+0]+nz,%eR,=log3(x+3),%G[0,6],/(%)与g(x)是恒

定比数值为4的异自变量定值函数组合，求加的取值范围；

(3)若函数/(x)=41og2(x2—2x+5)—9,xe[O,3],g(x)=2sin〔2x+彳1+1,xef■，手，且

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