2025学年八年级数学下册 三角形的证明（考点清单）（解析版）

专题01三角形的证明（考点清单）

考点归纳

【考点1等腰三角形的性质】

【考点2等腰三角形的判定】

【考点3等腰三角形的性质和判定综合】

【考点4等边三角形的性质】

【考点5等边三角形的性质与判定】

【考点6含30°的直角三角形】

【考点7直角三角形的性质】

【考点8直角三角形的判定】

【考点9勾股定理的性质和应用】

【考点10勾股定理的证明】

【考点11勾股定理的逆定理】

【考点12四种命题及其关系】

【考点13垂直平分线的性质】

【考点14角平分线的性质】

血真题精练

【考点1等腰三角形的性质】

1.（2023秋•章贡区期末）已知等腰三角形的两边长分别为5CM2cm,则该等腰三角形的

周长是（）

A.7cmB.9cm

C.12cm或者9cmD.12cm

【答案】D

【解答】解：①5c机为腰，2cm为底,此时周长为12c机；

②5cm为底，2cM为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去.

・,•其周长是12cm.

故选：D.

2.（2023秋•广安期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC,工人师傅在焊

接立柱时，只用找到的中点这就可以说明竖梁4。垂直于横梁了，工人师傅

这种操作方法的依据是（）

B.等角对等边

C.垂线段最短

D.等腰三角形“三线合一”

【答案】D

【解答】解：BD=CD,

C.ADLBC,

故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，

故选：D.

3.（2021秋•射阳县校级期末）若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶

角的度数为（）

A.50°B.80°C.65°或50°D.50°或80°

【答案】D

【解答】解：①50°是底角，则顶角为：180°-50°X2=80°；

②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80。.

故选：D.

4.（2023秋•龙岗区期末）随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销

产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知OC=。。，ZBOr>=108°,则凳腿与地

面所成的角/OOC为（）

【答案】C

【解答】解：・・・。。=0。，

：.ZOCD=ZODC,

VZBOD=108°,

ZBOD=ZOCD+ZODC=2ZODC=108°,

・・・NOOC=54°,

故选：C.

5.（2022秋•新乡期末）在等腰三角形ABC中，AB=AC,ZBAC=100°,一含30°角的

三角板如图放置（一直角边与3C边重合，斜边经过△ABC的顶点A）,则Na的度数为

（）

*：AB=AC,ZBAC=100°,

18Q

...ZB=ZC=°-ZBAC=4Q°

2

VZD£F=30°,Zr>=30°,

：.ZDFE=90°-ZD=60°,

NDFE是△ACT的一个外角，

：.Za=ZDFE-ZC=20°,

故选：B.

6.（2023秋•自贡期末）如图，在△ABC中，是AC的垂直平分线，且分别交BC,AC

于点。和E,连接AD若/B=40°,BA=BD,则/ZMC为（）

A

【答案】C

【解答】解：：/2=40°,BA=BD,

：.ZBAD=NBZX4=180°_/B.=180°-40。，=70。,

22

•••OE是AC的垂直平分线，

：.DA=DC,

.,./ZMC=/C=L/BD4=35°,

2

故选：c.

7.（2023秋•利辛县校级期末）如图，在△ABC中，AB^AC,点D和点E分别在8C和

AC上，AD=AE,则下列结论一定正确的是（）

A.Nl+2N2=90°B.N1=2N2

C.2N1+N2=9O°D.Nl+N2=45°

【答案】B

【解答】解：'：AB=AC,AD=AE,

：.ZB^ZC,ZADE^ZAED.

VZADC=ZADE+Z2=ZB+Z1,ZAED=Z2+ZC,

：.Z2+ZC+Z2=ZB+Z1,

整理得Nl=2/2.

故选：B.

8.(2023秋•怀仁市期末)如果等腰三角形的底边长4cm,那么这个等腰三角形腰长x的

取值范围是()

A.x>2cmB.2cm<x<4cmC.4cm<x<8cmD.x>4cm

【答案】A

【解答】解：1♦等腰三角形的底边长4cm,等腰三角形的两腰相等，且三角形中任意两

边之和大于第三边

.".2x>4cm

.,.x>2cm

故选：A.

【考点2等腰三角形的判定】

9.(2023秋•隆阳区期末)如图，已知点A(1,0)和点M(0,1),在x轴上确定点

P,使得△AMP为等腰三角形，则满足条件的点尸共有(

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】B

【解答】解：：点A(1,0),点M(0,1),

.,Q=OM=1,AM=五,

:点尸在x轴上，ZVIMP为等腰三角形，

有以下三种情况：

①当AM为底边时，则朋=PM,

，当点P与点。重合时，△玄!〃为等腰三角形；

.,.点P的坐标为（0,0）；

②当AM为腰，点A为顶点时，

以点A为圆心，以AM为半径画弧交x轴于Pi,P2,则PA=P2A=AM=&,如图1

所示：

MX"

-1r图1

此时△P1AM和△尸2AM均为等腰三角形，点P的坐标为（-、历+1,0），点尸2的坐标

为（我+1,0）；

③当AM为腰，点M为顶点时，

以点M为圆心，以AM为半径画弧交x轴于P,则如图2所示：

2x

I图2

此时为等腰三角形，点尸的坐标为（-1,0）.

综上所述：使得△AMP为等腰三角形时，则满足条件的点尸共有4个.

故选：B.

10.（2023秋•和平区期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知4

8是两格点，若点C也在格点上，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的格

点数为（）

A.8个B.9个C.10个D.11个

【答案】A

【解答】解：如图,

I2+22=V5>

；.当AABC为等腰三角形，则点C的个数有8个，

故选：A.

11.（2023秋•潮安区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（-1,1）,B（-3,2）,

点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

【答案】D

由题意可知：以AC、A3为腰的三角形有3个，无轴正半轴上的点不能成立，因为此时

ABC三点共线，不能构成三角形；

以AC、BC为腰的三角形有2个；

以BC、AB为腰的三角形有2个.

则点C的个数是7.

故选：D.

12.（2023秋•新兴县期末）如图，C为两个直角三角板的公共顶点，/A=NB=30°,则

图中等腰三角形共有（)

c

【答案】D

【解答】解:

AZAEC=ZACE-ZA=90°-30°=60°,

AZBCE=ZAEC-ZB=60°-30°=30°.

同理，可求得/BDC=60°,/AC。=30°.

综上，ZA=ZAC£>=30°,NCDE=/CED=60°,/B=NBCE,ZA=ZB,

.♦.△AC。、△COE、ZkBCE和△ABC都是等腰三角形.

故选：D.

13.（2023秋•黄石港区期末）如图，在△ABC中，ZA=36°,AB=AC,8。是△ABC的

角平分线.若在边AB上截取8E=BC,连接。E,则图中等腰三角形共有（）

【答案】D

【解答】解："：AB=AC,

...△ABC是等腰三角形；

"：AB=AC,ZA=36°,

AZABC=ZC=72°,

:BD是AABC的角平分线,

AZABD=ZDBC=^ZABC=36°,

2

AZA=ZABD=36°,

：.BD=AD,

△ABO是等腰三角形；

在△BCD中，ZBDC=180°-ZDBC-ZC=180°-36°-72°=72°,

：.ZC=ZBDC=12°,

：.BD=BC,

...△BCO是等腰三角形；

,:BE=BC,

：.BD=BE,

.,.△BDE是等腰三角形；

；.NBED=（180°-36°）+2=72°,

AZADE=ZBED-ZA=72°-36°=36°,

ZA=ZADE,

C.DE^AE,

...△AQE是等腰三角形；

.♦•图中的等腰三角形有5个.

故选：D.

14.（2023秋•临高县期末）如图，ZvlBC中，AB=8,AC=9,BD、CD分别平分NABC、

ZACB,过点。作直线平行于BC,交AB、AC于£、F,则△AEF的周长为（）

A.16B.17C.18D.19

【答案】B

【解答】解：尸〃2C,

ZEDB=ZDBC,/FDC=/DCB,

,:BD、CD分别平分/ABC、ZACB,

:.ZEBD=NDBC,ZFCD=NDCB,

:・NEDB=NEBD,ZFDC=ZFCD,

：・ED=EB,FD=FC,

VAB=8,AC=9,

JAAEF的周长为AE+EF+AF

=AE+ED-^FD+AF

=AE+EB+FC+AF

=AB+AC

=8+9

=17.

故选：B.

15.（2023秋•隆回县期末）如图，等腰△ABC中，AB=AC,ZA=36°线段A3的垂直

平分线交A3于。，交AC于连接BE,则图中等腰三角形共有（）

4个

【答案】C

【解答】解：・.・A3=AC,ZA=36°,

・・・NA3C=NC=]8°。―/A=72。,

2

•:DE是AB的垂直平分线，

；・EA=EB,

：.ZA=ZABE=36°,

JZEBC=ZABC-ZABE=36°,

AZBEC=180°-ZEBC-ZC=72°,

:.NC=NBEC=72°,

：.BC=BE,

:.图中的等腰三角形有：△ABC,△ABE,ABEC,共有3个，

故选：C.

16.（2023秋•冠县期末）如图，在△ABC中，AB=20cm,AC=12c:w,点P从点8出

发以每秒3c加速度向点A运动，点。从点A同时出发以每秒2c机速度向点C运动，其

中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△AP。是以P。为底的等腰三角形时,

运动的时间是4秒.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：设运动的时间为X,

在△ABC中，AB—2.0cm,AC—12cm,

点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点。从点A同时出发以每秒2cm的速

度向点C运动，

当△AP。是等腰三角形时，AP^AQ,

AP=20-3无，AQ=2x

即20-3x=2x,

解得x=4.

故答案为：4.

17.（2023秋•环江县期末）（1）如图1,NCAE是△ABC的外角，Z1=Z2,AD//BC.

求证：AB=AC.

证明：

（2）如图2,NCAE1是△ABC的外角，N1=N2,AB^AC.

求证：AD//BC.

证明:

EE

图1图2

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：（1）・.NZ）〃3C,

・・・N1=N3,N2=NC,

,・，N1=N2,

：.ZB=ZC,

：.AB=AC；

（2）'：AB=AC,

：.ZB=ZC,

•・・NCAE是△ABC的外角，

・・・N1+N2=N3+NC,

VZ1=Z2,

：.ZB=Z1,

：.AD//BC.

18.（2023秋•历下区期末）在△ABC中，。是3c的中点，DELAB,DFLAC,垂足分别

为E、F,_aDE=DF.

求证：△ABC是等腰三角形.

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：是3C的中点,

:,BD=CD,

■:DE工AB,£)F±AC,

：.ZBED=ZCFD=90°,

■:BD=CD,DE=DF,

ARtABDE^RtACDF(HL),

・•・NB=NC,

：.AB=ACf

•••△ABC是等腰三角形.

19.(2023秋•怀集县期末)如图，在△ABC中，ZB=90°,AB=16cm,BC=\2cm,AC

=20cm,P、。是△ABC边上的两个动点，其中点尸从点A开始沿A-*5方向运动，且

速度为每秒1cm，点。从点8开始沿8一。一A方向运动，且速度为每秒2c加，它们同时

出发，设出发的时间为/秒.

(1)BP=(167)cm(用/的代数式表示).

(2)当点。在边BC上运动时，出发_芋_秒后，△PQ8是等腰三角形.

【答案】(1)(16-Z)cm；

⑵西

3

(3)当f为11或12或毁时，△BC。是以BC或8。为底边的等腰三角形.

5

【解答】解：(1)由题意可知AP=f,BQ=2t,

AB=16cm,

C.BP^AB-AP^(16-f)cm,

故答案为：(16-f)cm；

(2)当点。在边BC上运动，△尸。8为等腰三角形时，则有8P=8。，

即16-t—2t,解得/=义_,

3

・・・出发西秒后，△PQ5能形成等腰三角形；

3

故答案为：也；

3

(3)①当△BC。是以8C为底边的等腰三角形时：CQ=BQ,如图1所示,

C

则NC=NC5。，

VZABC=90°,

：.ZCBQ-^ZABQ=90°.

NA+NC=90°,

ZA^ZABQ,

：.BQ=AQ,

：.CQ=AQ=\0(cm),

：.BC+CQ=22(cm),

AZ=224-2=11；

②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ=BC,如图2所示,

C

则8C+CQ=24(cm),

；，=24+2=12；

③当△BC。是以C。为底边的等腰三角形时：BQ=BC,如图2所示,

..11

•yXABXBC-^ACXBD'

.11

••/16X124X20XBD，

：.BD=^-,

5

C£>=22

BCBD=-v"

V-b

；.CQ=2CZ)=卫，

5

BC+CQ=12+卫=J：2,

55

胃132.=66

~5~'~5~'

综上所述：当f为11或12或因时，△BC。是等腰三角形.

5

【考点3等腰三角形的性质和判定综合】

20.（2023秋•和田地区期末）已知：如图△ABC中AC=6cm,AB=8c%,8。平分/A8C,

CD平分/ACB,过。作直线平行于BC,交AB,AC于E,F.

（1）求证：△。/C是等腰三角形；

（2）求AAE尸的周长.

【答案】（1）见解析；

（2）14cm.

【解答】（1）证明：O〃BC,

：.ZFDC=ZDCB,

平分/ACB,

ZFCD=ZDCB,

：.ZFDC=ZFCD,

:.FD=FC,

C是等腰三角形；

（2）'：EF//BC,

：.ZEDB=ZDBC,

：2。平分/ABC,

：.ZEBD=ZDBC,

：.NEDB=NEBD,

：・ED=EB,

AC=6cm,AB=8cm,

•••△AE/的周长为：AE+EF+AF

=AE+ED+FD+AF

=AE+EB+FC+AF

=AB+AC

=8+6

=14（cm）.

21.（2023秋•乌鲁木齐期末）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度

向正北方向航行，上午10时到达海岛B处,分别从A,B处望灯塔C,测得NN4c=30°,

ZNBC=60°.

（1）求海岛8到灯塔。的距离；

（2）若这条船到达海岛3处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯

塔。的距离最短？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）由题意得：A8=15X2=30（海里）.

VZNBC=60°,ZNAC=30°,

：.ZACB=ZNBC-ZNAC=30°.

・・・ZACB=ZNAC.

：.AB=BC=30（海里）.

，从海岛B到灯塔C的距离为30海里.

（2）如图，过点C作CPLAB于点P.

.♦•根据垂线段最短，线段C尸的长为小船与灯塔C的最短距离，NBPC=90°.

又；NNBC=6G,

.*.ZPCB=180°-NBPC-NCBP=3Q°.

在RtzXCBP中，ZBCP=3Qa,

PB-|-BC=15（海里），

154-15=1（小时）.

故还要经过1小时长时间，小船与灯塔C的距离最短.

22.（2023秋•秦安县校级期末）如图1,ZsABC中，ZABC,/AC8的平分线交于。点,

过。点作BC平行线交A3、AC于。、E.

（1）请写出图1中线段B。，CE,OE之间的数量关系？并说明理由.

（2）如图2,/XABC若/ABC的平分线与AABC的外角平分线交于。，过点。作8c平

行线交A8于。，交AC于E.那么8。，CE,之间存在什么数量关系？并证明这种

关系.

【答案】（1）DE=BD+CE,理由见解答;

(2)DE=BD-CE,理由见解答.

【解答】解：(1)DE=BD+CE,理由如下:

•・•ZABC^ZACB的平分线相交于点0,

:・NDBO=/OBC,/EC0=/BC0,

•・,过。点作3C平行线交A3、AC于。、E,

:.DE〃BC,

：.ZD0B=Z0BC,ZEOC=/BCO,

：.ZD0B=NDBO,ZE0C=NECO,

：.BD=DO,0E=CE,

；・D0+0E=BD+CE,

即DE=BD+CE；

(2)DE=BD-CE,理由如下：

・・・ZABC^ZACF的平分线相交于点0,

：.ZDBO=ZOBC.ZEC0=ZFCO,

•・•过。点作BC平行线交A3、AC于。、E.

：.DO//BF,

：.ZD0B=Z0BC,ZEOC=ZFC0f

：.ZD0B=NDBO,ZE0C=ZECO,

:・BD=DO,0E=CE,

•：DE=DO-0E,

：.DE=BD-CE.

23.（2022秋•封开县期末）如图，在△ABC中，AB=ACf点。、E、厂分别在A3、BC、

AC边上，且BD=CE.

（1）求证：△£＞所是等腰三角形；

(2)当/A=40。时，求/。EF的度数.

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：

ZABC=ZACB,

在△DBE和尸中

'BE=CF

-ZABC=ZACB-

BD=CE

:.ADBE<AECF(SAS),

：.DE=EF,

...△DEP是等腰三角形；

(2),:△DBEQAECF,

Z.Z1=Z3,Z2=Z4,

VZA+ZB+ZC=180°,

(180°-40°)=70°

2

.".Zl+Z2=110°

.•.Z3+Z2=110°

:.NDEF=70°

24.(2023秋•老河口市期末)如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC

边上任意一点，OE_LAB于点E,OE_LAC于点尸，贝!I8E+CE=（)

A.5B.10C.15D.20

【答案】B

【解答】解：设2D=尤，则C£>=20-x,

•/AABC是等边三角形，

.,.NB=/C=60°.

.".BE=cos60°'BD=—,

2

同理可得，CF=2°-X,

2

2QX

BE+CF=2L+-=1作

221

故选：B.

25.（2023秋•万州区期末）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点尸，作PE±

AC于E,。为延长线上一点，当PA=CQ时，连P。交AC边于D,则DE的长为（）

A.AB.Ac.2D.近

3232

【答案】B

【解答】解：过P作P/〃BC交AC于凡

,JPF//BC,△A8C是等边三角形，

ZPFD=ZQCD,AAPF是等边三角形,

C.AP^PF^AF,

"JPELAC,

：.AE=EF,

\"AP=PF,AP=CQ,

：.PF=CQ.

,ZPFD=ZQCD

:在△尸阳和△QC。中，，NPDF=/QDC

FF=CQ

:.APFD”AQCD(445),

：.FD=CD,

'：AE=EF,

：.EF+FD^AE+CD,

：.AE+CD=DE=^AC,

2

VAC=1,

2

故选：B.

26.（2023秋•沐川县期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点8、C、D、E在同一直线

上，且CG=CD,DF=DE,则NE的度数为（）

【答案】C

【解答】解：:△ABC是等边三角形,

ZACB=60°.

,：ZACB=ZCGD+ZCDG,

AZCGD+ZC£)G=60°.

'：CG=CD,

：.ZCGD=ZCDG=30°.

•：NCDG=/DFE+NE,

AZDFE+ZE=30°.

■:DF=DE,

：.ZE=ZDFE=15°.

故选：C.

27.（2023秋•莱西市期末）如图，直线a//bf等边△ABC的顶点C在直线b上，若N1

=38°,则N2的度数为（）

A.142°B.128°C.98°D.92°

【答案】C

【解答】解：设直线〃与A8交于点。，与AC交于点E,如图所示：

VZ1=38°,

AZADE=Z1=38°,

:△ABC为等边三角形，

・・・NA=60°,

•・•ZAEF为AADE的一个外角，

ZAEF=ZA£>E+ZA=38°+60°=98°,

•・,直线〃〃。，

：.Z2=ZAEF=9S°.

故选：c.

28.（2023秋•岑溪市期末）如图，已知：NMON=3U°,点、4、A2、A3、/••在射线ON

上，点Bi、比、明、…在射线OM上，△481A2、282A3、/kA333A4、-•均为等边三

【答案】D

【解答】解：•••△43M2是等边三角形，

N3=N4=N12=60°,

.*.Z2=120°,

VZMON=30°,

AZI=180°-120°-30°=30°,

又・・・N3=60°,

AZ5=180°-60°-30°=90°,

・・・NMON=N1=30°,

，041=431=1,

：.AiB\=\,

•・・AA2B2A3、△A3&A4是等边三角形，

・・・Nn=N10=60°,Z13=60°,

VZ4=Z12=60°,

：.A\B\//A2B2//A3B3,5142〃82A3,

AZ1=Z6=Z7=3O°,N5=N8=90°,

.9.AIB2=2BIA2,33A3=25*3,

A3B3=451A2=4,

A434=85IA2=8,

A5B5=1631A2=16,

.♦.△4而出任1的边长为2.1,

△A9B9A10的边长为297=28=256.

29.（2023秋•海南期末）如图，在等边△ABC中AB=4,8。是AC边上的高，点E在BC

的延长线上，/ACB=2/E,则BE的长为（）

【答案】C

【解答】解：,；△ABC是等边三角形，8D是AC边上的高,

:.CD=1AC,

2

：AC=AB=4,

:.CD=2,

:ZACB=ZE+ZCDE=2ZE,

：.ZCDE=ZE,

：.CE=CD=2,

'：BC=AB=4,

：.BE=BC+CE=4+2=6.

故选：C.

【考点5等边三角形的性质与判定】

30.（2023秋•蟀帽区期末）如图，在等边三角形ABC中，点3、P、。三点在同一条直线

上，S.ZABP=ZACQ,ZBAP=ZCAQ.判断△AP。是什么形状，并说明理由.

【答案】△AP。是等边三角形，理由见解析.

【解答】解：ZVIP。是等边三角形，理由如下：

「△ACB是等边三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°,

在△ABP与△ACQ中，

,ZABP=ZACQ

<AB=AC，

ZBAP=ZCAQ

AABP^AACQ(ASA),

：.AP^AQ,

VABAP+ZPAC^APAC+ZCAQ,即NBAC=NP4Q=60°,

...△B4Q是等边三角形.

31.(2023秋•新抚区期末)在等边△ABC中，点E是A8上的动点，点E与点A、8不重

合，点。在CB的延长线上，且EC=ED

(1)如图1,若点E是的中点，求证：BD=AE；

(2)如图2,若点E不是AB的中点时，(1)中的结论“8O=AE”能否成立？若不成

立，请直接写出8。与AE数量关系，若成立，请给予证明.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)证明：•.'△ABC是等边三角形,

AZABC=ZACB=60°,

:点E是AB的中点，

・・・CE平分NAC3,AE=BE,

：.ZBCE=30°,

•：ED=EC,

：.ZD=ZBCE=30°.

ZABC=ND+NBED,

：.ZBED=30°,

；・ND=/BED,

：.BD=BE.

：.AE=DB.

(2)解：AE=DB；

理由：过点E作M〃3C交AC于点?如图2所示:

图1图2

・•・ZAEF=ZABC,ZAFE=ZACB.

,••△ABC是等边三角形，

AZABC=ZACB=ZA=60°,AB=AC=BC,

：.ZAEF=ZABC=60°,ZAFE=ZACB=60°,

即NAE7』N”E=NA=60°,

•••△AE/是等边三角形.

ZDBE=ZEFC=120°,ZD+ZBED=ZFCE+ZECD=60°,

°：DE=EC,

・・・/D=NECD,

:・/BED=/ECF.

在△。防和/中，

<ZDEB=ZECF

,NDBE=NEFC，

DE=EC

:.丛DEBW丛ECF(AAS),

：.DB=EF,

：.AE=BD.

32.(2023秋•太和县期末)如图，点。是等边AABC内一点，。是△ABC外的一点，Z

AOB=110°,NBOC=a,△BOC0△ADC,ZOCD=60°,连接OD

(1)求证：△OCZ)是等边三角形；

(2)当a=150°时，试判断△A。。的形状，并说明理由；

(3)探究：当a为多少度时，△A。。是等腰三角形.

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：(1),:△BOgMNDC,

：.OC=DC,

,：ZOCD=60°,

...△OC。是等边三角形.

解：

(2)△A。。是直角三角形.

理由如下：

•••△OCZ)是等边三角形，

：.ZODC^60°,

VABOC^AADC,a=150°,

AZADC=ZBOC=a=150°,

：.ZADO=ZADC-ZO£>C=150°-60°=90°,

...△A。。是直角三角形.

(3):△OCO是等边三角形,

：.ZCOD=ZODC=60°.

VZAOB=UO°,ZADC=ZBOC=af

：.ZAOD=360°-ZAOB-ZBOC-ZCO£>=360°-110°-a-60°=190°-a,

ZADO=ZADC-ZODC=a-60°,

AZOAD=180°-ZAOD-ZADO=180°-（190°-a）-（a-60°）=50°.

①当NAOD=NAOO时，190。-a=a-60°,

/.a=125°.

②当NAOD=NOA。时，190°-a=50°,

Aa=140°.

③当ZADO=ZOAD时,

a-60°=50°,

.*.a=110°.

综上所述：当a=110°或125°或140°时，△A。。是等腰三角形.

33.（2023秋•宣化区期末）已知：如图所示，△ABC是边长6c机的等边三角形，动点P、

Q同时从42两点出发，分别在A3、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VF=2CMS,

VQ=1.5cm/s,当点尸到达点8时，P、0两点停止运动，设点P的运动时间为ts.

（1）当r为何值时，△依。为等边三角形？

（2）当r为何值时，△依。为直角三角形？

【答案】（1）当七号$时，△BB。为等边三角形；

（2）当/为3或号■5时，△尸8。为直角三角形.

【解答】解：（1）由题意可知AP=2f,BQ=L5f,则BP=AB-AP=6-2t,

当△PB。为等边三角形时，

则有BP=BQ,即6-2f=1.5/,

即当t亨s时，△PBQ为等边三角形;

（2）当N8QP=90°时，

VZB=60°,

：.ZBPQ=300,

...在Rtz\PB。中，BP=2BQ,

即6-2t=3t,

解得t2；

5

当NBPQ=90°时，

同理可得BQ=2BP,

即1.5t=2（6-20,

解得t4，

11

综上可知当/为看$或叠$时，△PB。为直角三角形.

34.（2023春•毕节市期末）已知：如图，点C为线段上一点，△ACM,ZiCBN都是等

边三角形，AN交MC于点E,BM交CN于息F.

（1）求证：AN=BM；

（2）求证：△CE尸为等边三角形.

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：（1）VAACM,△C8N是等边三角形,

：.AC=MC,BC=NC,NACM=NNCB=60°,

：.ZACM+ZMCN=ZNCB+ZMCN,即ZACN=ZMCB,

在△ACN和△MC8中，

'AC=MC

ZACN=ZMCB>

NC=BC

.,.△ACN/MCB(SAS),

：.AN=BM.

(2),:4CAN沿ACMB,

:./CAN=NCMB,

又：NMCF=180°-ZACM-ZNCB=180°-60°-60°=60°,

：.ZMCF=ZACE,

在△CAE和△CA/尸中，

，ZCAE=ZCMF

CA=CM，

ZACE=ZMCF

：./\CAE^/\CMF(ASA),

:.CE=CF,

...△CEB为等腰三角形，

又：/£；5=60°,

...△CEP为等边三角形.

【考点6含30°的直角三角形】

35.（2023秋•阜平县期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,

倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）

―

A.6米B.9米C.12米D.15米

【答案】B

【解答】解：如图，根据题意8c=3米，

VZBAC=30°,

；.AB=2BC=2X3=6（米）,

.,.3+6=9（米）.

故选：B.

36.（2023秋•虞城县期末）如图，在△ABC中，NBC4=90°，CD±AB,ZBCD=30°，

BD=2,则A5的长为（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【解答】解：・・・CD，A8,

：.ZCDB=90°,

VZBCD=30°,BD=2,

:・BC=2BD=4,ZB=90°-NBCD=60°,

VZBCA=90°,

AZA=90°-ZB=30°,

：.AB=2BC=S,

故选：C.

37.(2023秋•斗门区期末)如图，在RtZ\A5C中，ZACB=90°,CD_LAB于。，NB=2

ZA,BD=1,贝IJAD=()

A.2B.3C.2.5D.1.5

【答案】B

【解答】解：在Rt/kABC中，

VZACB=90°,ZB=2ZA,

ZA=30°,ZB=60°.

9：CDLAB,

：.ZBDC=ZADC=90°.

在中,

VZB=60°,

：.ZBCD=30°,

又・；BD=L

:・BC=2BD=2,

在RtZVIBC中，

VZA=30°,

：.AB=2BC=4,

：.AD^AB-BD=4-1=3.

故选：B.

【考点7直角三角形的性质】

38.（2023秋•东阳市期末）在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（）

A.ZA=90°-ZCB.ZA=ZB-ZC

C.ZA=2ZB=3ZCD.ZA=ZB=AZC

2

【答案】C

【解答］解：A>VZA=90°-ZC,

ZA+ZC=90°,

：.ZB=90°,

•・.△ABC是直角三角形，故选项不符合题意；

B、VZA=ZB-ZC,

・•・ZA+ZC=ZB,

VZA+ZC+ZB=180°,

：.2ZB=180°,

・・・NB=90°,

・・・△ABC是直角三角形，故选项不符合题意；

C、VZA=2ZB=3ZC,

设NA=x,

AB=—x,ZC=­x,

23

VZA+ZB+ZC=180°,

x+Ax+A.r=180°，

23

解得x=（.1080）°>90°,

11

.♦.△ABC不是直角三角形，故选项符合题意；

。、VZA=ZB=AZC,

2

设NA=NB=尤，

NC=2x,

VZA+ZB+ZC=180°,

**•x+x+2x=180°,

解得x=45°,

：.ZC=2x=90°,

「•△ABC是直角三角形，故选项不符合题意.

故选：C.

39.（2023秋•衡山县期末）如图，直线〃〃。，RtZiABC的直角顶点A落在直线〃上，点5

落在直线6上，若Nl=15°,N2=25°,则NA3C的大小为（）

【答案】C

【解答】解：如图，作CK〃/

9：a//b,CK//a,

：.CK//b,

・・・N1=N3=15°,N4=N2=25°,

AZACB=Z1+Z2=15°+25°=40°,

u：ZCAB=90°,

AZABC=90°-40°=50°,

故选：C.

A

40.（2023秋•淅川县期末）如图，△ABC的面积为8cMi2,AP垂直的平分线8P于点P,

则△P3C的面积为4cm2.

B

【答案】见试题解答内容

【解答】解：延长AP交BC于E,B

,：AP垂直的平分线BP于P,

NABP=ZEBP,

又知BP=BP,NAPB=NBPE=90°,

：.△ABP"ABEP,

:・SAABP=S^BEP,AP=PE,

：.AAPC和△CPE等底同高，

S/\APC=S/\PCEf

.12

SAPBC=SAPBE+SAPCE=MBC=4cm,

故答案为：4.

41.（2023秋•武城县期末）如图，在Rt^ABC中，/ACB=90°,点。在AB边上，将4

CBD沿C。折叠，使点8恰好落在AC边上的点E处.若/A=25°,则/CDE=70°.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：•・•将△C8D沿CD折叠，使点5恰好落在AC边上的点E处，ZACB=90°,

；・NBCD=/ECD=45°,/B=NCED,

VZA=25°,

ZB=90°-25°=65°,

：.ZCED=65°,

AZCZ)E=180°-45°-65°=70°,

故答案为：70°.

【考点8直角三角形的判定】

42.(2023秋•浦北县期末)如图所示，在△ABC中，C3_LA3,NB4c=45°,F^AB

延长线上一点，点石在上，且AE=C尸.求证：RtAABE^RtACBF.

FBA

【答案】见解答.

【解答】证明：

AZABC=ZFBC=90°,

：Na4c=45°,

•••AABC为等腰直角三角形，

C.AB^CB,

在RtAABE和RtACBF中，

[AE=CF,

IAB^B,

ARtAABE^RtACBF(HL).

43.(2023春•平江县期末)如图，已知NA=NZ)=90°,E、尸在线段BC上，DE与AF

交于点O,且4B=C£),BE=CF.求证：RtAABF^RtADCE.

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：：8E=CF,

：.BE+EF=CF+EF,BPBF=CE,

VZA=ZD=90°,

AABF与△DCE都为直角三角形，

在和Rt/XDCE中，（BF=CE,

|AB=CD

.'.RtAABF^RtADCE（HL）.

44.（2023秋•乾安县期末）如图，/A=/B=90°,E是AB上的一点，且Z1

=Z2,求证：RtAADE注RtABEC.

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：=

：.DE=CE.

VZA=ZB=90°,

AADE和△EBC是直角三角形，而AD=BE.

.•.RtAADE^RtABEC〈HL）

【考点9勾股定理的性质和应用】

45.（2023秋•二道区期末）一直角三角形的两直角边长为6和8,则斜边长为（）

A.10B.13C.7D.14

【答案】A

【解答】解：由勾股定理可得，

斜边长为：q62+82=10,

故选：A.

46.（2023秋•和平县期末）三个正方形的面积如图，中间三角形为直角三角形，则正方形

8的面积为（）

81

225

A.9