2025学年八年级数学下册复习：三角形的证明和一元一次不等式（考点压轴压轴必刷15种题型40题）原卷版

第1-2章三角形的证明和一元一次不等式（压轴必刷15种题型40题）

大通关

解一元一次不等式（共1小题）

1.已知方程组：［v-2x=m的解》,y满足缄+》20,则相的取值范围是（）

I2y+3x=m+l

A.--B.m^—C.机21D.-

333

二.一元一次不等式的整数解（共1小题）

2.关于x的不等式3x-aW0,只有两个正整数解，则a的取值范围是.

三.一元一次不等式的应用（共1小题）

3.某工程机械厂根据市场需求，计划生产48两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少

于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产此两种型号挖掘机，所生产的此两种型

号挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：

型号AB

成本（万元/200240

台）

售价（万元/250300

台）

（1）该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？

（2）该厂如何生产能获得最大利润？

（3）根据市场调查，每台3型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高加万元（根〉

0）,该厂应该如何生产获得最大利润？（注：利润=售价-成本）

四.解一元一次不等式组（共1小题）

4.若不等式组11+x>㊀有解，则a的取值范围是（）

l2x-4<0

A.B.〃<3C.a<2D.aW2

五.一元一次不等式组的整数解（共3小题）

7+15

>x-3

-2~

5.关于X的不等式组只有4个整数解，则〃的取值范围是（)

2x+2<x+a

3

A.B.-5Wa<-HC.-5<a^-11D.-5<a<-

3333

6.我们定义&b=ad-be,例如23=2X5-3X4=10-12=-2,若x,y均为整数，且满足1<

cdl45y4

3,则x+y的值是.

'x+21>

7.关于x的不等式组（2,*的所有整数解的和是-7,则根的取值范围是

x<m

六.一元一次不等式组的应用（共8小题）

8.把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一

人就分不到3本.则共有学生（）

A.4AB.5人C.6AD.5人或6人

9.四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、。、R、S,如图所示，则他们的体重大小关系是（)

10.按下面程序计算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656,则满足条件所有x的值

是_______________________

否

11.某商场用2500元购进A、8两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示.

类型A型B型

价格

进价（元/盏）4065

标价（元/盏）60100

（1）这两种台灯各购进多少盏？

（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场计划销售这批台灯的总利润至少为1400元，问至少

需购进8种台灯多少盏？

12.某文化用品商店计划同时购进一批A、B两种型号的计算器，若购进A型计算器10只和2型计算器8

只，共需要资金880元；若购进A型计算器2只和B型计算器5只，共需要资金380元.

（1）求A、8两种型号的计算器每只进价各是多少元？

（2）该经销商计划购进这两种型号的计算器共50只，而可用于购买这两种型号的计算器的资金不超过

2520元.根据市场行情，销售一只A型计算器可获利10元，销售一只B型计算器可获利15元.该经销

商希望销售完这两种型号的计算器，所获利润不少于620元.则该经销商有哪几种进货方案？

13.为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派生活委员小亮到文具店为获奖同学购买奖品.小亮发

现，如果买1个笔记本和3支钢笔，则需要18元；如果买2个笔记本和5支钢笔，则需要31元.

（1）求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？

（2）班主任给小亮的班费是100元，需要奖励的同学是24名（每人奖励一件奖品），若购买的钢笔数不

少于笔记本数，求小亮有哪几种购买方案？

14.某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒

图甲

（1）现有正方形纸板162张，长方形纸板340张.若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒尤个.

①根据题意，完成以下表格:

竖式纸盒横式纸盒

纸盒（个）（个）

纸板

X100-X

正方形纸板（张）2(100-x)

长方形纸板（张）4x

②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案?

（2）若有正方形纸板162张，长方形纸板a张,做成上述两种纸盒，纸板恰好用完.已知290<a<306.求

”的值.

15.为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运

往四川重灾地区的。、E两县.根据灾区的情况，这批赈灾物资运往。县的数量比运往E县的数量的2

倍少20吨.

（1）求这批赈灾物资运往。、E两县的数量各是多少？

（2）若要求C地运往。县的赈灾物资为60吨，A地运往。的赈灾物资为尤吨（x为整数），8地运往。

县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍.其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运

往E县的赈灾物资数量不超过25吨.则A、8两地的赈灾物资运往。、E两县的方案有几种？请你写出

具体的运送方案；

（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往。、E两县的费用如下表:

A地8地C地

运往。县的费用（元220200200

/吨）

运往E县的费用（元250220210

/吨）

为及时将这批赈灾物资运往。、£两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求

下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？

七.一次函数与一元一次不等式（共2小题）

16.若函数>=丘-6的图象如图所示,，则关于X的不等式%-3）-匕>0的解集为（）

A.x<2B.x>2C.x<5D.x>5

17.如图，直线过点A（0,2）,且与直线”=如交于点尸（1,m）,则不等式组如>丘+/?>如

-2的解集是（）

上J,v=mx

/[

A.l<x<2B.0<x<2C.0<x<lD.l<x

A.角平分线的性质（共2小题）

18.如图，是AABC的角平分线，DE,。尸分别是△45。和△AC。的高，得到下列四个结论：

①04=0。；

®AD±EF；

③当NA=90°时，四边形AEOF是正方形;

@AE2+DF2^AF2+DE2.

其中正确的是（）

A.②③B.②④C.①③④D.②③④

19.如图，△ABC中，ZABC,NEAC的角平分线E4、PB交于点P,下列结论:

①PC平分/ACR

@ZABC+ZAPC=180°；

③若点M、N分别为点尸在BE、8尸上的正投影，贝ijAM+CN=AC；

®ZBAC=2ZBPC.

其中正确的是（）

A.只有①②③B.只有①③④C.只有②③④D.只有①③

九.等腰三角形的性质（共5小题）

20.等腰三角形ABC的面积为10,AB=AC=5,那么8C=或

21.如图，/BOC=9°,点A在上，且。4=1,按下列要求画图：

以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点4,得第1条线段AAi；

再以4为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2,得第2条线段A1A2；

再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3,得第3条线段A2A3；…

这样画下去，直到得第〃条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则“=

22.如图，在△ABAi中，ZB=20°,AB^AiB,在42上取一点C,延长A41到42,使得4A2=A1C；在

42c上取一点。，延长AiAz到A3,使得4)3=&2£＞；…，按此做法进行下去，第〃个等腰三角形的底角

的度数为____________________.

23.如图，ZVIBC中A8=AC,BC=6,点尸从点B出发沿射线瓦1移动，同时，点。从点C出发沿线段

AC的延长线移动，已知点尸、。移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点。.

(1)如图①，当点尸为A8的中点时，求C。的长；

(2)如图②，过点尸作直线BC的垂线垂足为E,当点尸、。在移动的过程中，线段BE、DE、CZ)中是

否存在长度保持不变的线段？请说明理由.

24.如图，在△ABC中，AB=AC,。是8c上任意一点，过。分别向A8,AC引垂线，垂足分别为E,F,

CG是A2边上的高.

(1)DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；

(2)若。在底边的延长线上，(1)中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由.

RDC

一十.等边三角形的性质（共9小题）

25.如图，ZMON=30°，点4、4、加…在射线ON上，点81、仍、右…在射线上，△48142、△

A222A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若。41=1,则△47历48的边长为（）

26.附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2c相时，这个六边

形的周长为（）cm.

A.30B.40C.50D.60

27.如图，图1是一块边长为1,面积记为Si的正三角形纸板，沿图1的底边剪去一块边长为上的正三角

2

形纸板后得到图2,然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三

图1图3图4

28.如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的

正三角形，••如此继续下去，结果如下表,贝！］an=___（_用__含_”的代数式表示）.

所剪次数1234…n

正三角形个471013…an

数

29.如图，过边长为2的等边△ABC的边A8上点尸作P从LAC于E,。为8c延长线上一点，当=

时，连PQ交AC边于。，则。E长为.

30.已知等边三角形ABC的边长是2,以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形

A81C1,再以等边三角形A81Q的BiCi边上的高AB1为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2c2,

再以等边三角形AB2c2的边历C2边上的高A83为边作等边三角形，得到第三个等边AAB3c3；…，如此

下去，这样得到的第n个等边三角形ABnCn的面积为.

31.如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ,PR=PS,PRLABR,PS_LAC于S,则四个结论正确的

是.

①P在NA的平分线上；②AS=AR；©QP//AR；④△BRP0ZXQSP.

BP

32.如图，在标有刻度的直线/上，从点A开始，以AB=1为边长画正三角形，记为第1个正三角形；以

BC=2为边长画正三角形，记为第2个正三角形；以0)=4为边长画正三角形，记为第3个正三角形;

以。£=8为边长画正三角形，记为第4个正三角形，…按此规律，继续画正三角形，则第〃个正三角形

的面积为.

33.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A、C不重合)，Q

是C8延长线上一点，与点尸同时以相同的速度由B向延长线方向运动(。不与8重合)，过尸作

PELABE,连接PQ交AB于D

(1)当/80。=30°时，求AP的长；

(2)当运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段中的长；如果变化请说明理由.

一十一.等边三角形的判定(共1小题)

34.如图，点。是等边AABC内一点.将△B0C绕点C按顺时针方向旋转60°得△AOC,连接OD已知

ZAOB=UO°.

(1)求证：△C。。是等边三角形；

(2)当a=150。时，试判断的形状，并说明理由;

(3)探究：当a为多少度时，是等腰三角形.

一十二.等边三角形的判定与性质(共1小题)

35.边长为。的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，

记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2

个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形(如图)，…，

按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为()

A5

-yX(-1)aB.lxg)5a

C—Xg)6a。.齐4)6a

一十三.勾股定理(共2小题)

36.如图，。尸=1,过尸作PPi_LOP,得。尸1=我；再过Pi作PIP2_L0P且尸1尸2=1,得。尸2=、巧；又

过P2作P2P3，。尸2且P2P3=1,得0P3=2;…依此法继续作下去，得。尸2012=.

37.已知△ABC中，AB=AC.

(1)如图1,在△&£>£中，若且求证：CD=BE；

(2)如图2,在△&£>£中，若ND4£=N8AC=60°,且垂直平分AE,AZ>=3,8=4,求8。的

长；

(3)如图3,在