2025年中考数学难点与解题模型：三角形中七种常考方法求角度问题（解析版）

难点与解题模型09三角形中七种常考方法求角度问题

题型一：方程法求角度问题

「高飞7,承

方程法的解题步骤

第一步：找出题中的已知角，常涉及的概念有垂直、余角、补角、对顶角、角平分线等

；第二步：根据题干中出现的角度和差、倍分关系或者角度比例关系，考虑设一个角为未知数

第三步：用所设角度表示出其他角度

「第四步：通过列方程求解

【中考母题学方法】

【典例1】（2023•河南信阳•二模）【阅读理解】如图1,小明把一副三角板直角顶点。重叠在一起•如图2固

定三角板405,将三角板COD绕点。以每秒15。的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当0D边与03边重

合时停止转动.

【解决问题】

（1）在旋转过程中，请填出//OC、NBOD之间的数量关系；

（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由；

⑶当40C、ZAOB,NBOC中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是/的“优线"，请直

接写出所有满足条件的/值.

【答案】（1）乙4OC+NB8=180。

⑵有，OD平分NAOB,08平分NCOD,理由见解析

（3）/=2,3,4,9,12

【分析】（1）由题意，根据题目分析，然后画出图形可得结论；

（2）依据题意，画出图形，然后分别计算出角的度数可得解；

（3）依据题意，将所有可能情形梳理并分类讨论可得/的值.

【详解】⑴解：①如图，乙40C+40D=180。，理由如下：

由题意得，ZDOA=900-ZAOC,ZCOB=900-ZAOC.

：.ZAOC+/BOD=AAOC+ZDOA+ZAOC+/COB

=AAOC+90°-/AOC+ZAOC+90°-NAOC

=180°,

A

也。②如图，乙4OC+/5QD=180。,理由如下:

0B

由题意得，ZDOA=90°-ZDOBfZCOB=900-ZDOB.

：.ZAOC+/BOD=ZDOA+ZDOB+ZCOB+/BOD

=90°-/DOB+ZDOB+90°-/DOB+ZBOD

=180°,

D

0\B

C

综上，ZAOC+ZBOD=\SO°.

故答案为：40C+/80D=180。；

(2)解：有，OD平分/AOB,08平分NCOD

如图所示，理由如下：

当运动时间为9秒时，乙40c=15。、9=135。，

ZBOC=ZAOC-ZAOB=135°-90°=45°.

:ZCOD=90°,

：.NBOD=ZCOD-ABOC=90°-45°=45°,

NBOC=NBOD=45°,

：.OB平分/COD,

,：ZBOD=45°=-ZAOB,

2

，OD平分NNOB；

(3)解：由题意得，408=90。，Z^OC=(15/)°.

当/5OC=2NNOC时，ZAOC=30°,

15Z=30>解得t—2；

3ZAOB=2ZAOC,0c在NN08内部时，ZAOC=45°,

15f=45,解得f=3；

当4OC=2ZBOC时，ZAOC=60°,

A15/-60,解得f=4；

当ZAOB=2ZBOC时，ZAOC=135°,

A15?=135,解得f=9；

当Z/1OC=2/4OB时，//OC=180°,

A15/=180,解得f=12；

综上，t=2,3,4,9,12.

【点睛】本题主要考查角的计算，解题时需要全面考虑分析所有可能，学会分类讨论是解题的关键.

【中考模拟即学即练】

【变式1-1］（23-24陕西西安）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所

成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角.如图1,若射线OC、OD在

的内部，且ECOD=；EMOB,则/COD是//OB的内半角，根据以上信息，解决下面的问题：

（2）如图2,已知//。3=60。，将N/O3绕点O按顺时针方向旋转一个角度矶0°<7<60。）至NCOD.若

NCO8是440。的内半角，求a的值.

⑶把一块含有30。角的三角板COD按图3方式放置，使OC边与CM边重合，0D边与02边重合，如图4,

将三角板COD绕顶点。以4度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为f秒，当射线04、OB、OC,OD

构成内半角时，请求出f的值.

【答案】（1）35。，10。

(2)20°

,、5T45f135Tl75

(3)一或二或[1或——

2222

【分析】（1）本题主要考查了角的和差，先根据题意算出NCO。的度数，再利用

ZBOD=ZAOB-ZAOC-ZCOD即可解答；弄清楚角之间的关系是解题的关键；

（2）本题主要考查看旋转的性质、内半角的定义、一元一次方程的应用等知识点，根据旋转性质可推出

ZAOC=ZBOD=a®ZCOD=ZAOB=60°,然后可用含有a的式子表示―）和NCO3的度数，根据

NCOB是乙4。。的内半角，即可求出a的值即可；掌握内半角的定义是解题的关键；

（3）本题主要考查了旋转的性质、内半角的定义、一元一次方程的应用等知识点，根据旋转一周构成内半

角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应,值即可.掌握分类讨论思想是解题的关键.

【详解】（1）解：；NC8是44O2的内半角，4408=70。，

ZCOD=-ZAOB=35°,

2

：.NBOD=ZAOB-ZAOC-ZCOD=70°-25°-35。=10。.

故答案为：35°,10°.

（2）解：由旋转性质可知：ZAOC=ZBOD=a,ZCOD=ZAOB=60,

ZAOD=ZAOC+ZCOD=a+6。，NCOB=NAOB-NAOC=6CP-«,

NCOB是ZAOD的内半角，

AZAOD=2ZCOB,即a+60。=2（60。-£），解得：a=20。.

a的值为20。.

（3）解：①如图4：此时NCO8是440。的内半角，

由旋转性质可知：N/OC=ZBOD=4。，ZCOD=NAOB=30P,

：.ZAOD=ZAOC+ZCOD=41°+30;ZCOB=ZAOB-ZAOC=30°^lf,

,/NCOB是N4。。的内半角，

AZAOD=2ZCOB,即4尸+30°=2（30°—由。），解得：f=|；

②如图：此时NCOS是44OD的内半角，

由旋转性质可得：ZAOC=ZBOD=4。，ZCOD=ZAOB=30P,

ZAOD=ZAOC+ZCOD=41°+30°ZBOC=ZAOC-ZAOB=41°-30,

ACOB是ZAOD的内半角，

45

：.^AOD=2BBOC,即4尸+30°=2（4/。-30。），解得：z=y；

③如图所示，此时440。是/80C的内半角，

由旋转性质可知：ZAOC=ZBOD=360P-4°,ZCOD=NAOB=30P,

ZBOC=ZBOD+ZCOD=39cp-4°,ZAOD=NAOC-ZCOD=33cp-4°,

ZAOD是/BOC的内半角，

i35

：.ZBOC=2ZAOD,即390。一4尸=2（330。一4尸），解得：1

④如图所示，此时乙40。是/80C的内半角，

0上^=^---------B

由旋转性质可知：^AOC=ZBOD=360°-4t°,NCOD=ZAOB=30°,

：.ZBOC=ZBOD+ZCOD=390-4°,ZAOD=ZCOD-NAOC=4°一33（P,

,/ZAOD是NBOC的内半角，

175

:.NBOC=2NAOD,即390°-4尸=2（4尸-330°）,解得：t=胃.

综上所述：当射线。4。吹℃、8构成内半角时，t的值为豹?或号或娱

【变式1-2］（23-24湖南长沙）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成

的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1,若射线OG。。在的

内部，S.ZCOD+ZAOB=90°,则NCOD是的内余角.

根据以上信息，解决下面的问题:

（1）如图1,ZAOB=72°,ZAOC=20°,若NCOD是/NOB的内余角，则N8OD=；

（2）如图2.已知乙4。8=60。将CM绕点。顺时针方向旋转一个角度a（0°<a<60。）得到OC.同时将绕

点。顺时针方向旋转一个角度;e得到OD.若NC08是乙4。。的内余角，求a的值；

⑶把一块含有30。角的三角板COD按图3方式放置，使OC边与CM边重合，OD边与。3边重合，如图4将

三角板COD绕顶点。以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为I秒，在旋转一周的时间内，当射线

OA,OB,OC,0。构成内余角时，请求出/的值.

【答案】（1）34°

（2）a的值为45。

⑶当射线04OB,OC,构成内余角时，，的值为7.5秒或52.5秒

【分析】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键.

（1）根据内余角可求出NCOD的度数，再根据=-44OC-/COD即可求解；

（2）根据旋转的性质分别用含a的式子表示NCO2,的度数，再根据NCOS是Z4C©的内余角列

式求解即可；

（3）根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当OC在//O8内部时；当OC在射线。3下方时；当

在。/上方时；当OD在内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，列表求解即可.

【详解】（1）解：:/。。。是//03的内余角，

ZCOD+ZAOB=90°,

ZAOB=72°,

ZCOD=90°-ZCOD=90°-72°=18°,

NAOC=20°,

ZBOD=ZAOB-ZAOC-ZCOD

=72°-20°-18°

=34°,

故答案为：34°；

（2）解：已知//。8=60。，绕点。顺时针方向旋转一个角度a（0°<a<60。）得到OC,OB绕点。顺时

针方向旋转一个角度;a得到OD,

；.NAOC=a,ABOD=-a,

3

ZBOC=ZAOB-a=60°-a,ZAOD=ZAOB+ZBOD=6（P+-«,

3

,/2cOB是ZAOD的内余角，

：.ZCOB+ZAOD=90°,

：.6Q°-a+60°+-a=90°,

3

解得，a=45。

的值为45。；

（3）解：根据题意可得，乙108=30。，三角板COD绕顶点。以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间

为。秒，

当。。在NNO3内部时，如图所示，

AZAOC=6t,ZBOD=6t,

：.ZBOC=ZAOB-ZAOC=30°-6t,ZAOD=ZAOB+ZBOD=30°+6t,

若ZCOB是440。的内余角时，得/COB+ZAOD=90°,

30-6f+30+6/=90。，无解，

.•.当OC在内部时，射线04OB,OC,OD不能构成内余角；

当OC在射线下方时，如图所示，

AZSOC=6?-30°,ZAOD=6t+30°,

若ZBOC是。的内余角，

6/300+6/+30°=90°,

解得，，=7.5（秒）；

当。。在CM上方时，如图所示,

c

：.ZAOD=360°-6/-30°=330°-6;,ZBOC=ZAOD+60°=330°-6/+60°=390°-6?,

若乙40。是/80C的内余角，

.•.330°-67+390°-6/=90°,

解得，1=52.5（秒）；

当。。在//O3内部时，如图所示，

AZAOC=360°-6t,ZBOD=360°-6t,ZAOD=6t-ZAOC=6t-（360°-6/）=12z-360°,

ZBOC=ZAOC+ZBOD=360°-6r+360°-6t=720°-12f,

若ZAOD是ZBOC的内余角，

A12^-360+720-12；=90°,无解，

.•.当OD在内部时，射线04OB,OC,OD不能构成内余角；

综上所述，当射线。4OB,OC,构成内余角时，，的值为7.5秒或52.5秒.

【变式1-3］（23-24河南焦作）一副三角板按如图1所示放置，边04,0c在直线"N上,

ZAOB=60°,ZCOD=45°.

图3图4

如图2,将三角板COD绕点。顺时针旋转到C'。。'，转速为每秒钟转动5。，当OC旋转一周回到射线ON上

时停止转动，设转动时间为t秒.

⑴当。。与08重合时，直接写出的值；

⑵①当OD'正好平分NBON时，在图1中画出此时O。'的位置，并求出/的值；

②在旋转过程中，作N8OD'的角平分线当乙4。£=15。时.直接写出/的值.

【答案】（1）15秒

⑵①图见详解，/的值为21秒；②Z的值为33或45秒

【分析】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键.

（1）根据已知角的度数和平角的定义直接求度数即可；

（2）①根据=105。求解即可；②根据题意分两种情况得出的度数，求解即可.

【详解】（1）解：由题知，ZBOD=180°-ZAOB-ZCOD

=180°-60°-45°

=75°

75°,

£=-^-=15（秒）；

（2）①如图所示:

图1

OD'正好平分ZBOA

：.ZBOD'=ZAOD'=-NBOA=30°

2

QNBOD=75°,

ND'OD=NBOD+ZBOD'=75°+30°=105°

105°〜

•.t--------21,

5°

，的值为21；

②当在NHO/内部时，

ZAOE=15°,

Z.BOE=/BOA-ZAOE=60°-15°=45°

OE平分/BOD'

J/BOE=/D'OE=45。

：.HON=45。-15。=30。

:.AD'OD=ZDfOA+ZAOD=30°+l80°-45°=165°

165°”

t=------=33

5°

当OE在N5Q4外部时，

•••AAOE=\50

：.Z.BOE=/BOA+乙4OE=60。+15。=75。

平分NBO。'

ZBOE=ZDrOE=75°

JOD转动的角度为：ZBOE+ZDrOE+NBOD=75。+75。+75。=225°,

775°

解得^=45,

.,•当440£=15。时.，的值为33或45（秒）.

题型二：分类讨论法求角度问题

「藉TMT稼T承，

常考分类讨论的情形

i.若题中出现角度大小，但不明确角度边的位置，需对角的位置进行分情况讨论,再根据角度大小分别求解：

i

2.若题中出现射线旋转，并让探究三条射线中某一条射线是另两条射线夹角的平分线，需分别讨论哪条射线是

I角平分线的情况；I

3.若题中出现射线三等分角，但并未说明射线靠近角度的哪一边,需对射线的位置进行分情况讨论.

【中考母题学方法】

【典例2］（22-23浙江）【问题提出】已知。与//0C有共同的始边OC,且满足NBOC=2440C,

若440c=28。，求N/08的度数.

【问题解决】圆圆首先画出两个符合题意的图形，运用分类讨论的数学思想，解决问题.

在图①中，当射线。4在。的内部时，由题意易得乙403=28。；

在图②中，当射线。4在480。的外部时，由题意易得/4。8=84。.

ACB

IIIII1IIIIItIIItI

-8-7-6-5-4-3-2-1012345678

图③

【问题应用】请仿照这种方法，解决下面两个问题

（1）如图③，已知点/,B,C在数轴上对应的数分别为-4,2,1,请在数轴上标出线段/C的中点。并写

出。所表示的数；若数轴上存在点£,它到点C的距离恰好是线段的长，求线段OE的长.

⑵如果两个角的差的绝对值等于90。，就称这两个角互为垂角，例如：Zl=120o,Z2=30°,|Zl-Z2|=90°,

则Z1和Z2互为垂角（本题中所有角都是指大于0。且小于180。的角）.

①若/a=140。，求/a的垂角；

7

②如果一个角的垂角等于这个角的补角的I,求这个角的度数.

【答案】（1）8；或3；

（2）①50°；②18°或126°

【分析】本题考查了互为垂角和补角的定义及运用，数轴，数轴上两点之间的距离，绝对值，解题关键是

找准角之间关系.

（1）根据中点的定义找到点D,由已知的/、B、C所表示的数求出NB的长度，就可以求出£点所在的位

置，再求出DE的长度.

（2）①根据互为垂角的定义求出即可.②根据已知条件，分类列出方程解之.

【详解】（1）解：•••点/,B,C在数轴上对应的数分别为-4,2,1,点。的线段/C的中点，

所表示的数为书=-1；,/8=2-（-4）=6,

如图，点。即为所求；

EADCBEi

）ii■2।।।।i।।।।i।।।1A

-8-7-6-5-4-3-2-1012345678

・・•点E到点C的距离恰好是线段AB的长，

・•・CE=AB=6,

・••点。表示的数为7或-5,

DE的长为：7-1-lg）=81^-5-1-lg）=3；；

（2）解：①设/a的垂角为x。，

根据题意得：|140。-犬|=90。，

A140°-x°=90°gg140°-x°=-90°,

解得x=50或230（舍去），

Za的垂角为50。；

②设这个角的度数为了°,

当0<y<90时，它的垂角为（90+了）。，

2

根据题意得90+y=§（180-田，

解得：y=18,

当90<><180时，它的垂角为（夕-90）。,

7

根据题意得y-90=§(180-y),

解得N=126,

故这个角的度数为18。或126。.

【中考模拟即学即练】

【变式2-1］（24-25•江苏无锡）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成

的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角.如图①所示，若

则NCOD是ZAOB的内半角.

DB

-B

■DO

（1）如图①所示，已知乙403=70。，//0C=15。，是NNO3的内半角，则Z8OA=.

⑵如图②，已知4405=63。，将N/O2绕点O按顺时针方向旋转一个角度a（0<a<63。）至NC0D,当旋

转的角度a为何值时，NCO5是440。的内半角？

⑶已知N4OB=30。，把一块含有30。角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点。以3。/秒的速度按顺时针方

向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在//O8的外部，射线。4。民OC,。。能否

构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由.

【答案】（1）20。

（2）a=21°

⑶当旋转的时间为gs或30s或90s或一s时，射线CM,OB,OC,能构成内半角

【分析】（1）由内半角的定义得DCOD=JEMOB=35。，再由480。=乙4。8-44。。-/（%〃）即可求解；

（2）由旋转得：ZAOC=ZBOD=a,由角的和差得N8OC=63。-。，ZAOD^63°+a,再由内半角的定

义得/C0B=L/40D,即可求解；

2

（3）分四种情况讨论，利用内半角的含义，建立一元一次方程，即可求解.

【详解】（1）解：•.・44。3=70。，NC0D是的内半角，

:.ZCOD=-ZAOB

2

=-x70°

2

=35。，

/BOD=ZAOB-ZAOC-/COD

=70°-15°-35°

=20°；

故答案：20°；

(2)解：当旋转的角度。为21。时，NCOB是N4a)的内半角；

理由如下：

由旋转得：ZAOC=/BOD=a,

/./BOC=/AOB—/AOC

=63。—a,

ZAOD=ZAOB+/BOD

-630+a,

•・,/COB是ZAOD的内半角，

:.ZCOB=-ZAOD,

2

63O-a=1(63°+«),

解得:a=21°；

(3)在旋转一周的过程中，射线CM,OB,OC,OD能构成内半角，理由如下;

理由：设按顺时针方向旋转一个角度",旋转的时间为7,

如图1,：/80C是44。。的内半角，ZAOC=ZBOD=a,

图1

40。=30°+a,

A|（30o+cz）=30°-«,

解得：a=10。,

如图2,〈/BO。是N4O。的内半角,/AOCZ.BOD=a,

图2

：.ZAOD=300+a,

|(30°+a)=a-30°,

a=90°,

y=30(s)；

如图3,・・・//40。是/5。。的内半角,NAOC400=360—a,

图3

・•・/3。。=360。+30。一。，

：.1(360°+30°-a)=360°-tz-30°,

a=270°，

t=90(s),

如图4,・・・乙4。。是/3。。的内半角,ZAOC/BOD=360—a,

c

/A

D

B

图4

・・・Z5OC=360°+30°-6Z,

1(360°+30°-6Z)=30°+30°-(360°+30°-a),

解得：a=350。，

.350/、

・・/二^-(s),

综上所述，当旋转的时间为半S或30s或90s或孥s时，射线。4,OB,OC,OD能构成内半角.

33

【点睛】本题考查了新定义，旋转的性质，角的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，能根据旋转的

过程确定时间范围，进行分类讨论是解题的关键.

【变式2-2](23-24•广东广州)(1)如图，线段48=20cm,C为AS的中点，点P从点/出发，以2cm/s的

速度沿线段向右运动，到点2停止；点。从点8出发，以lcm/s的速度沿线段向左运动，到点/停

止.若尸，。两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止.设点P的运动时间为x(x>0)

s.

APCQB

(i)AC=cm.

(ii)是否存在某一时刻，使得C,P,0这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出

所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由.

(2)一副三角板按左图中的方式拼接在一起，其中边OC与直线EF上，4403=45。，ZCOD=60°.

(i)ZBOD=度.

(ii)如图，三角板C。。固定不动，将三角板/O5绕点。按顺时针方向旋转角。(即44OE=a),在转

②在旋转过程中，是否存在某一时刻满足/80C=2a48?若存在，求此时的角£；若不存在，请说明理

由.

【答案】(1)(i)10(ii)x=6；尤=9(2)(i)75(ii)①夕的值为30°,90°,105。②当a=105°

或125。时，存在NBOC=2ZAOD

【分析】(1)(i)根据线段中点，可得答案；(ii)根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得

答案.

(2)(i)根据平角的定义即可得到结论；(ii)①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；②当。4

在0D的左侧时，当CM在0。的右侧时，列方程即可得到结论.

【详解】解：(1)(i)为48的中点

120

：.AC=-AB=—=10(cm).

故答案为：10；

(ii)存在，

①二•尸的速度2cm/s,Q的速度是1cm/s,

APwBQ,

又AC=BC,

：.PCwCQ

・・・C不是线段尸。的中点；

②尸为线段。。的中点，得

2(2x—10)=10—x,解得％=6；

③。为线段尸。的中点，得

2x—10=2(10—x),解得％=£

综上所述：%=6或%=".

2

(2)(i)\'ZAOB=45°,/COD=60。,

/BOD=180。一ZAOB-/COD=75°,

故答案为：75；

(ii)①当03平分乙40。时，

•;/AOE=a,ZCOD=60°,

/.ZAOD=180°-ZAOE-ZCOD=120。一a,

ZAOB=-ZAOD=60°--a=45°

22f

二.CL-30°,

当08平分时，

vZAOC=180°-a,

:.ZAOB=90°--a=45°

2f

a=90°；

当05平分/DOC时，

•・•NDOC=60。,

NBOC=30。，

.-.(Z=180O-45O-30O=105O,

综上所述，旋转角度。的值为30。，90°,105°；

②当。4在QD的左侧时，则乙40。=120。-0，ZBOC=1350-af

•・•ZBOC=2ZAOD,

.•.135。—a=2（120。—a）,

/.a=105°；

当04在O。的右侧时，则=a—120。，/BOC=135。—a,

ZBOC=2ZAOD,

.•.135。—a=2(a—120),

二.a=125°,

综上所述，当a=105。或125。时，存在N5OC=24。。.

【点睛】本题考查了两点间的距离，角的计算，特殊角，角平分线的定义，利用线段中点的性质得出关于X

的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏.

【变式2-3]（24-25陕西西安）探究与实践

将一副三角板按如图方式拼接在一起，已知4403=90。，ZCOZ）=60°,按如图1所示摆放，将CM、0c边

重合在直线“N上，OB、OD边在直线的两侧:

图1图2

【问题发现】

(1)保持三角板N03不动，将三角板COD绕点。旋转至如图2所示的位置，则

①ZAOC+ZBOD=；

②ZBOC-ZAOD=.

【问题探究】

(2)若三角板COZ)按每分钟6。的速度绕点。逆时针方向旋转，三角板/OB按每分钟4。的速度也绕点。

逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转，分钟，计算/MOC-40。(用含［的代

数式表示).

【问题解决】

(3)保持三角板NO3不动，将三角板COD绕点。逆时针方向旋转暖("4360),若射线OE平分//OC,

射线OF平分ZBOD,求ZEOF的大小.

【答案】(1)①150°；②30°；(2)ZMOC-ZAOD=(8t-60)°；(3)/EO尸=15°或165°

【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义的理解；

(1)①将4OC+/8O。转化为NC8+4O3即可得；②依据=-4OC、

ZAOD^ZCOD-ZAOC,将原式转化为4-/CO。计算可得；

(2)设运动时间为，秒，0<^<30,ZMOC=(60°,只需表示出440。即可得出答案，而乙40。在OD与。4

相遇时，f=30,再画出图形求解即可；

(3)设△DOC绕点。逆时针旋转九°,再分①①0<”。4180。时，如图；②180。<〃。4360。时，如图，分

别画出图形求解即可.

【详解】解：(1)®AAOC+ABOD=ZAOC+ZAOD+ZAOB

=ZCOD+ZAOB=60°+90°=150°,

②ZBOC-ZAOD=(ZAOB-NAOC)-(ZCOD-ZAOC)

=NAOB-ZAOC-ZCOD+ZAOC

=ZAOB-ZCOD=90°-60°=30°；

(2)设旋转时间为/秒，则0</V30,ZMOC=(6/)°,

当。。与O/相遇时，6t-4t=6Q,

解得：t=30,

如图,

B

\^AOD=(60+4t-60°=(60-2t)0,

N_M

D

：.ZMOC-ZAOD=(8Z-60)0；

(3)设AOCD绕点。逆时针旋转"。，

①0<""180°时，如图，

ZAOB=90°,ZMOD=60°-n°,

：.NBOD=ZAOB+ZMOD=(150-。,

OF平分ZBOD,

ZS(?F=1(150-«)°=75o-1??°,

■:NMOC=n。,OE平分//OC,

AMOE=-ZMOC=-n°

22

ZBOE=(90-,

：.ZEOF=ZBOE-NBOF=15°；

②180°<〃°V360°时，如图，

ZBOD=4MOD-AAOB=(n-\5Q)°,

:OF平分ZBOD,

：.ZBOF=ZDOF=1(w-150)0,

ZMOC=360°-«°,OE平分ZAOC,

：.NMOE=ZCOE=-ZMOC=180°—nc,

22

/EOF=360°-ZBOE-ZBOF=360°-90°-1180°-一；一150°)=165°.

综上，/EOF=15°或165°.

题型三：A字模型

■HMM.■■■■

!指点迷津

IIII

模型结论：ZDBC+ZECB=180°+ZA.

【中考母题学方法】

【典例3】（2024•贵州•模拟预测）教材回顾

我们知道，直角三角形的两个锐角互余，你能对直角三角形的这一性质进行证明吗？

性质证明

（1）为了证明该性质，小明同学画出了图形（如图1）,并写出了"已知"和"求证"，请你完成证明过程.

已知：在直角三角形48c中，ZC=90°

求证：乙l+Z8=90°

性质运用

(2)如图2,在△48M中，48=10,点C,。分别在BM,AM±.,且MC=4,AD=CD=5,/B=NMDC,

求证：ZA+ZB=90°.

拓展提升

(3)如图3,在V/3C中，AB=BC=2。,AC=24,D,E分别为48,NC的中点.M,N分别在NC,

2c上，且EM=2MC,CN=6,ZW与BE相交于尸，A®与DM相交于。求证：点。是r的中点

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析

【分析】本题考查三角形的内角和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理逆定理：

（1）根据三角形的内角和定理，即可得出结论；

（2）先证明ACZ亚■SAWBM,得到空J=求出的长，进而求出。河的长，勾股定理逆定理得到

AMAB

VC。河是直角三角形，且NM=90。，即可得证；

（3）先证明△4Ws/\cNE,得至1］乙4MD=NCEN,进而得到。£=（W,三线合一，得到B£_L/C,得

到/5£C=90。，进而得到=,推出。尸=。£,等量代换得到。尸=（W,即可得证.

【详解】（1）证明：由三角形的内角和定理可得乙4+/5+/。=180。，

又NC=90。，

ZA+ZB=90°.

(2)证明：•:NB=NMDC,/M=/M,

：.ACDMS“BM,

.MCCD45

即一=—,解得/0=8,

AM10

；.DM=AM—AD=3.

在VCQM中，CM=4,CD=5,DM=3,

CM2+DM2=CD2

・・・VCQM是直角三角形，且/M=90。,

AZ^+ZB=90°.

（3）证明：9：AC=24,E为ZC的中点,

・•・EC=12,

又EM=2MC,

：.CM=4,

：.AM=20.

・・・45=20,点。为45的中点,

・•・AD=10,

・CN_6_1AD_10_1

,u~CE~n~29IM-20-2,

AB=BC,

ADAM=/NCE,

：.dADMsACNE,

・•・ZAMD=/CEN,

：.OE=OM.

・・・/3=3。，点E是4C的中点，

：.BELAC,即/B£C=90。.

/OEM+ZOEF=ZEMF+ZEFM=90°,

：.ZMFE=/FEO,

・•・OF=OE,

：.OF=OM,

・••点。为的中点.

【中考模拟即学即练】

【变式3-1］如图，中，乙4=65。，直线。E交43于点。，交/C于点E,则NBDE+/CED=

【答案】D

【详解】解：・・・//=65。,

.\ZADE+ZAED=18(P-6^=1153,

/.ZBDE+ZCED=360P-11^=245^,

故选：D.

【变式3-2】如图所示，ND4E的两边上各有一点5,。，连接3C,求证/DBC+408=180。+乙4.

A

【详解】解：；NDBC和ZECB是“BC的外角，

ZDBC=Z/4+ZACB,ZECB=ZA+ZABC.

又VN4+ZABC+Z4C5=180°,

ZDBC+ZECB=ZA+ZACB+ZABC+=180。+血.

【变式3-3］如图1,直线/与。8c的边/C,A8分别相交于点。，E（都不与点A重合）.

图4

(1)若//=64。，①求N1+N2的度数；②如图2,直线加与边,/C相交得到/3和N4,直接写出/3+/4

的度数.(2)如图3,EO,I)。分别平分NBED和NCDE,写出/EOD和//的数量关系，并说明理由；

(3)如图4,在四边形BCDE中，点”，N分别是线段DC、线段3E上的点，NG,MG分别平分/的W和

4CMN,直接写出/NGMr与/E,的关系.

【答案】⑴①244。；②244。(2)/£0。=90°,理由见解析⑶NE+/D+2NNGN=360°.

【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等

知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键.(1)①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算

即可；②根据①的结论即可解答；(2)由(1)的结论以及三角形内角和定理即可解答；

(3)由(2)的结论可得NBNM+/CMN=/D+/£,再根据三角形内角和定理进行解答即可.

【详解】(1)解：①如图1,

；Nl=ZA+ZADE,Z2=ZA+ZAED,：.Z1+Z2=ZA+ZADE+ZAED+,

­/+ZADE+ZAED=18CP,ZA=，/l+/2=/N+180°=64°+180°=244°；

②由①方法可得：Z3+Z4=Z1+Z2=244°.

(2)解：ZEOD=9Q°--ZA,理由如下：由(1)可得/BED+/CDE=180°+.

2

,/EO,。。分别平分/BED和NCOE,ZOED=-ZBED,ZEDO=-ZCDE,

22

ZOED+ZEDO=^(^BED+ACDE)=1(180°+Z^)=90°+1,

：.ZEOD=180°-(ZO£,D+ZEDO)=180°-^90°+g=90°-.

(3)解：ZE+ZD+2ZNGM=360°,理由如下：由图2可得，ZBNM+ZCMN=ZD+ZE,

'：NG,MG分别平分ZBNM和ZCMN,二ZBNG=ZMNG=-ZBNM,ZCMG=ZNMG=-ZCMN,

22

ZMGN=180。一(ZMNG+ZNMG)=180°-1(ZBNM+ZCMN)=18O°-|(ZZ)+Z£),

2ZMGN+ND+/£=360°.

题型四：8字模型

!指I点I迷I津

I

【中考母题学方法】

【典例4】（2024•宁夏・中考真题）综合与实践

如图1,在V/BC中，8。是//8C的平分线，2。的延长线交外角NC4W的平分线于点E.

【发现结论】

结论1：NAEB=ZACB；

结论2：当图1中N/C5=90。时，如图2所示，延长8c交/E于点尸，过点E作/尸的垂线交BF于点G,

交NC的延长线于点则/£与EG的数量关系是.

【应用结论】

（1）求证：AH=GF；

（2）在图2中连接EH,AG,延长/G交于点N,补全图形，求证：FN=NH+^AE.

图1图2

【答案】【发现结论】结论1：结论2：相等(或/E=EG)；【应用结论】(1)见解析；(2)见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、等边对等角、

等角对等边、勾股定理等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键.

［发现结论］结论1：根据角平分线的定义、三角形外角的性质，推出

DAEB=SMAE-DABE=-DMAC--^)ABC,DACB=DMAC-DABC,即可得出NAES=；

222

结论2：根据已知乙4c2=90。，和结论1ZAEB=\AACB,得出N4E3=45。，根据角平分线的定义得出

ZABE=NGBE,进一步推出N/班=NGE8,利用ASA证明△N2E会/XGAE1,即可得出/E=EG；

［应用结论］(1)根据过点E作/尸的垂线交8尸于点G,得出D4EH=RGEF=90°,推出

结合结论2：AE=EG,利用AAS证明■均GEF,即可证明/〃=GF；

(2)连接EH,AG,延长/G交切于点N,根据垂线的定义得出D/EG=DEEH=90°,由结论2得：

AE=EG,由(1)过程得：ANM■gAG昉，根据等边对等角、勾股定理、全等三角形的性质，推出

ZEAG=ZEGA=45°,AG=J1AE，EH=EF,根据对顶角相等得出QNGH=DEGA=45°,推出

ZEFH=AEHF=45°,进一步得出£)NWV=E)E4N=45°,QNGH=^NHG=45°,根据等角对等边得出

FN=AN=NG+AG,NH=NG,即可证明网=Nff+内石.

【详解】解：［发现结论］结论1：

,/BD是NABC的平分线，BD的延长线交外角ZCAM的平分线于点E,

NMAE=ZCAE=-ZMAC,ZABE=ZCBE=-NABC,

22

：.£AEB=^MAE-DABE=-^)MAC--DABC,

22

又：BACB=BMAC-DABC,

NAEB=-ZACB,

2

故答案为：y;

结论2：

•：ZACB=90°f由结论1得//仍=工/4。5,

2

令AEB-§90=45,

2

•・•BD是NABC的平分线，过点E作4尸的垂线交5厂于点G,

:・/ABE=/GBE,/AEG=90。,

：.DGEB=^AEG~=90°-45°=45

NAEB=ZGEB,

在“BE和AGBE中,

ZABE=ZGBE

<BE=BE,

/AEB=/GE