2025年中考数学几何模型综合训练：最值模型之将军饮马模型解读与提分训练

专题31最值模型之将军饮马模型

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顽《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系

列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥

或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边

形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

目录导航

模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）..............................................1

模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）..............................................5

模型3.将军饮马模型（多线段和的最值）................................................9

习题练模型

模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）

条件：A,5为定点，,"为定直线，P为直线加上的一个动点，求4P+RP的最小值。

模型（1）点N、5在直线两侧：模型（2）点4、5在直线同侧：

4

4

•♦■

9B

模型（1）点N、5在直线7M两侧:模型（2）点N、3在直线同侧:

H

图(1)图(2)

模型(1)：如图(1),连结/瓦根据两点之间线段最短，NP+3P的最小值即为：线段N3的长度。

模型(2)：如图(2),作点/关于定直线机的对称点，，连结/其根据两点之间线段最短，/P+2P的最小

值即为：线段N'8的长度。

模型运用

例1.(2024•陕西西安•一模)如图，在四边形中，AD//BC,AB=BC=4,AD=8,AG=2,

ZABC=90°,£是边CD上的一动点，尸为ZE的中点，则/F+G尸的最小值为.

【答案】275

【分析】本题考查轴对称中最短路线问题，正方形的判定，勾股定理，灵活运用将军饮马模型是解题的关

键.取的中点a连接CH,CG,CF,证明出厂点就是24与NE的交点，四边形BSD是平

行四边形，四边形/8C"是正方形，利用将军饮马模型得到CG是/尸+G尸的最小值，再在Rt^CG”中，

利用勾股定理求出CG即可.

【详解】取4D的中点〃连接瓦7,

AD//BC,二四边形BCD"是平行四边形，且点//为4D的中点,

；•芸=嘤=:，与/E的交点就是/E的中点凡连接CH,

AEAD2

AD//BC,/H=3C,.•.四边形/3CH是平行四边形,

AB=BC=4,乙48c=90。.•.四边形48CH是正方形，C关于38对称，

连接CF,CG,则/尸=CF,，Zb+Gb=CF+Gb2CG,即4F+G尸的最小值为CG的长，

在RSCG“中，CH=AB=4,GH=AH-AG=3-2=2,

由勾股定理，得CG=Jc〃，+G炉="8+2?=2石，故答案为：2曲.

例2.（2024・四川广安・中考真题）如图，在Y/3C。中，AB=4,AD=5,N/2C=30。，点M为直线8c上

一动点，则腿4+MD的最小值为.

【答案】V41

［分析】如图，作A关于直线BC的对称点A',连接A'D交BC于M',则AH=A'H,AHLBC,AM'=A'M',

当M,AT重合时，M4+MD最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可.

【详解】解：如图，作A关于直线3c的对称点4,连接力D交3C于AT,则=AHLBC,

=.♦.当重合时，M4+MO最小，最小值为4。，

,?AB=4,ZABC=30°,在Y43CD中，AH=^AB=2,AD//BC,：.AA'=2AH=4,AALAD,

:AD=5,；.4D="2+5?=07,故答案为：“J

【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌

握各知识点是解题的关键.

例3.（2024•广东•二模）如图，菱形48co的一条对角线ZC=46，ADAB=60°,尸是对角线/C上的一

个动点，E,尸分别为边DC的中点，则PE+PF的最小值是（）

A.2B.2gC.4D.4也

【答案】C

【分析】作点E关于直线/C的对称点G,连接尸G,根据轴对称的性质可知尸E+尸尸=PF+PG,证明四

边形/GFD为平行四边形，尸E+尸尸=AG=/。为最小值，再求出菱形48co的边即为尸E+尸尸的最

小值.

【详解】解:如图，连接8D,交4c于K,

•.•菱形/3C。，AB//CD,AB=CD=AD,KA=KC=26AC1BD,

,：NDAB=60°,ZDAC=30°,：.AD=2DK,

AD2-DK2=12>DK=2,AD=4,

作点£关于直线/C的对称点G,连接尸G,：.PE+PF=PF+PG,

•点E为边NO上的中点，则点G也为边的中点，

当点P、G、F在一条直线上时，PE+尸尸有最小值，

连接FG交/C于P,.•.当P,P重合时，PE+尸尸=bG为最小值，

为。的中点，二。9=/G,.,.四边形NGED为平行四边形，

FG=AD=4,；.PE+尸尸的最小值是4,故选：C.

【点睛】本题考查了轴对称中的最短距离问题、菱形的性质、平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用,

学会利用轴对称的性质解决最短距离问题是解答本题的关键.

例4.（2024•河南洛阳•模拟预测）如图，在扇形BOC中，/BOC=60。，OD平分/BOC交前于点、D,点、E

为半径03上一动点.若阴影部分周长的最小值为2行+?,则扇形的半径08的长为.

【答案】2

【分析】本题主要考查扇形周长的计算，轴对称最短路径的计算方法，掌握扇形弧长的计算方法，轴对称

求最短路径的方法是解题的关键.根据题意可求出ZCOD=ZBOD=30°,作点D关于OB的对称点D',可

得C。'最小，则扇形周长最小，由此即可求解.

（详解］解：OD平分NBOC,NBOC=60°,NCOD=ZDOB=30°,

.AC）。TTVI—TT

设扇形的半径OC=O8=r,.•.心的长为：募x2万r=/,阴影部分的周长最小为2a+f,

36063

如图所示，作点。关于08的对称点。，连接CZ）'与08交于点E,此时，C£+£O=CE+£D'=CD'的值

最小，即阴影部分的周长最小，

/.NC0D'=ZCOB+ZBOD'=90°,：.CD'=41r，

即警+后厂=2应+£,解得，,・=2,故答案为：2.

63

模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）

条件：A,5为定点，胆为定直线，尸为直线/上的一个动点，求|4PdP|的最大值。

模型（1）：点N、3在直线/»同侧：模型（2）：点4、5在直线加异侧:

•m*B

模型（1）：如图（1）,延长48交直线机于点P,当/、及P不共线时，根据三角形三边关系，有：\P'A-P'B\

<AB,当/、B、P共线时，有屈故-尸岗刍瓦即|/P-8P|的最大值即为：线段48的长度。

模型(2)：如图(2),作点3作关于直线力的对称点3‘，连接交直线加于点P,此时必=?"。

当“、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|尸'/-尸冽=『'/-尸'8'|</8',

当/、B、尸共线时，有|F4-P8|=|口-尸斤|=/夕，故|以-尸2|9夕，即|/PAP|的最大值即为：线段的长度。

模型运用

例1.(2024•河南南阳•一模)如图，已知△/2C为等腰直角三角形，AC=BC=6,ZBCD=15°,尸为直线

CO上的动点，则|E4一尸2|的最大值为.

【答案】6

【分析】作A关于CD的对称点A',连接A'B交CD于P,则点P就是使|0-尸"的值最大的点，|刃-尸8|=©8,

连接©C,根据等腰直角三角形的性质得到/C42=/4BC=45。，ZACB=90°,根据角的和差关系得到N

ACD=75。,根据轴对称的性质得到4C=/C=8C,ZCA'A=ZCAA'=15°,推出A/BC是等边三角形，根据等

边三角形的性质即可得到结论.

【详解】如图，作/关于C。的对称点4,连接43并延长交。延长线于点P,则点P就是使|巴-尸刈的

值最大的点，\PA-PB\=A'B,连接4C,

：)SC为等腰直角三角形，AC=BC=6,；./C/8=//8C=45°,乙4cB=90。，

•.•/BCD=15。，；.Z4a>=75。，：点/与/关于CD对称，

：.CD±AA',AC=A'C,ZCA'A-ZCAA',：.ZCAA'^15°,

'：AC=BC,：,A'C=BC,ACA'A=ZCAA'^15°,：.NACA'=150°,

VZACB=90°,：.ZA'CB=60°,△H8C是等边三角形，：.AB=BC=6.故答案为：6

A

【点睛】此题主要考查轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的

作出图形是解题的关键.

例2.（2024•陕西渭南,二模）如图，在菱形/BCD中，£为48边中点，而点尸在DC边上，尸为对角线NC

所在直线上一动点，已知/B=8,DF=2,且N4BC=60。，则户尸-尸囿的最大值为.

【答案】26

【分析】本题考查菱形的性质，轴对称中最值问题，勾股定理.取的中点G,连接尸G,易得PG=PE,

故卢尸一PE|=|尸尸一PG|4尸G,即当月,。1共线时，户尸一尸£|=FG最大，作W/O于H,先后求出

HD,HF,GH,最后用勾股定理求尸G即可.

【详解】解：如图，取的中点G,连接尸G,；四边形/BCD是菱形.-2G=

AG=AE

在AAPG和VAPE中<NGAP=ZEAP:.AAPG为4PE(SAS)PG=PE

AP=AP

连接FGA\PF-PE\^\PF-PG\<FG当'G)共线时，|尸尸一所|=以?最大，图中尸，处

作于"ND=NB=60°NDFH=30。：.HD=^DF=1■-FH=yj2,2-I2=亚

,：GD=；AD=4:.GH=4-1=3...FG=^GH2+FH2=273.即户尸一所|的最大值为2G.

例3.（23-24八年级下•山东聊城•期中）如图，在正方形48。中，48=8,/C与AD交于点。，N是A0

的中点，点M在8c边上，且反欣=6.尸为对角线BD上一点，则尸A1-PN的最大值为

A

B

【答案】2

【分析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题

等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.以8。为对称轴作N的对称点N',连接尸N',根据对称

性质可知，PN=PN',由此可得尸M-PN'WAW,当三点共线时，取“="，此时即的值

最大，由正方形的性质求出/C的长，继而可得ON'=ON=2亚，AN'=60再证明要=嘲=:，可

BMAN3

得N'M〃AB,NCMN'=90。，判断出△N'C"为等腰直角三角形，求得长即可得答案.

【详解】解：如图，以8。为对称轴作N的对称点N',连接尸N',

根据轴对称性质可知，PN=PN：：.PM-PNYMN'，当三点共线时，取“=”，

•.•在正方形/BCD中，AB=BC=CD=AD=8,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAC=90°,

AC=4iAB=8亚，为/C中点，:.AO=OC=4也,

为CM中点，，ON=2尬，AON'=ON=2y/2,AN'=6A/2)

CMCN'1

*.*BM=6,CM=AB—BM=8—6=2,-----==—,

BMAN'3

rrr

NM//AB,：.ZCMN=ZCBA=90°fVZMCN=45°,

.♦.△N'CM为等腰直角三角形，；.CM=N'N=2,故答案为：2.

模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）

模型（1）：两定点+两动点

条件：A,B为定点,在直线股、〃上分别找两点P、Q,使7M+PQ+QB最小。

两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3）

图1-1图1-1图2

模型（2）：一定点+两动点

条件：如图2,A为定点,在直线"八"上分别找两点P、Q,使三角形NP0的周长C4P+P0+24）最小。

模型（1-1）（两点都在直线外侧型）

如图（1-1）,连结/民根据两点之间线段最短，P4+PQ+”的最小值即为：线段的长度。

模型（1-2）（直线内外侧各一点型）

如图（1-2）,作点B关于定直线n的对称点"，连结AB，，根据对称得到:QB=QB故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB

根据两点之间线段最短，川+尸0+。2的最小值即为：线段N2’的长度。

模型（1-3）（两点都在直线内侧型）

如图（1-3）,作点3关于定直线力的对称点3作点/关于定直线机的对称点连结/3’,

根据对称得至I：QB=QB,,PA=PA',PA+PQ+QB=PA'+PQ+QB）,

根据两点之间线段最短，以+尸0+。5的最小值即为：线段/皮的长度。

模型（2）：如图（2）,作点/分别关于定直线加、〃的对称点/'、连结/区

根据对称得至I：QA=QA,,PA=PA",PA+PQ+QA=PA"+PQ+QA

再利用“两点之间线段最短“，得到我+尸。+0/的最小值即为：线段/,N”的长度。

模型运用

例1.（2023・四川广元•一模）如图，已知正方形48co边长为3,点£在边上且BE=1,点P,。分别

是边BC,的动点（均不与顶点重合），当四边形NEPQ的周长取最小值时，四边形/£尸。的面积是（）

【答案】B

【分析】作E关于的对称点E，，点N关于DC的对称点H,连接四边形/Q。的周长最小，根

据S四边物£户°=S正方形ABCO—SAW。-SA_PC°—SABEP,即可解.

【详解】解：如图1所示，作£关于8C的对称点灯，点/关于DC的对称点4,连接HE"四边形/E尸。

的周长最小，

AD=A'D=3,BE=BE'=1,/.AA=6^AE'=4-

VDQ//AE',。是/H的中点，.是△44'£'的中位线，

ADQ=^AE'=2,CQ=DC-CQ=3-2=1,VBP//AA',：.ABE'P^/\AE'A',

.BP_器，即野BP卷CP=BC_BP=3.：3

「AAf2

S四边feiEPg=$正方形/seo-SAADQ-SAPCQ-SABEP=9_3AD,DQ_3CQ-CP--BE-BP

=9——x3x2——xlx------xlx—=—,故选：B.

222222

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定和性质，中位线的性质，三角

形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，找出四边形NE尸。的周长最小时，P、。的位置.

例2.（2022•山东泰安・中考真题）如图，44。3=30。，点四、N分别在边CU、02上，且（W=3,ON=5,

点尸、0分别在边08、CM上，则"尸+PQ+QN的最小值是（

C.V34-2D.V35-2

【答案】A

【分析】作加■关于OB的对称点M',作N关于OA的对称点N',连接M'N',即为〃P+PQ+0N的最小值;

证出AONV为等边三角形，△0MW为等边三角形，得出/MOAf=90。，由勾股定理求出MW即可.

【详解】解：作M关于的对称点作N关于04的对称点M,如图所示:

连接M'N',即为MP+PQ+QN的最小值.

根据轴对称的定义可知：ON'=ON=5,OM'=OM=3,NNOQ=NMQB=30。,

：.ZN0N'=6Q°,ZMOM'=6Q°,，△ONV为等边三角形，为等边三角形,

:./NOM'=90°,.•.在RtAWOM中，M'N'=^+=734.故选：A.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题

的关键.

例3.（23-24九年级上•陕西汉中•期中）（1）如图①，在RtZX/BC中，48=90。，AB=3,BC=4.若点产

是边/C上一点.则5P的最小值为.（2）如图②，在RtZsASC中，D5=90°,AB=BC=2,点E是

8C的中点.若点尸是边/C上一点，求必+PE的最小值.（3）公园内有一条四边形48co型环湖路，如

图③.若2000米，CD=1000米，4=60。，Z5=90°,ZC=150°.为满足市民健身需求，现要修一

条由CE,EF,尸C连接而成的步行景观道，其中点E,尸分别在边48,AD1..为了节省成本，要使所修

的这条步行景观道最短，即CE+EF+FC的值最小，求此时3E,。下的长.（路面宽度忽略不计）

图①

12

【答案】（1）y;（2）P8+PE的最小值为右；（3）3E的长为500米，。厂的长为1000米

【分析】（1）过8作于尸，由垂线段最短可知，BPL/C时，5尸的值最小，由面积法即可求解;

（2）作E关于直线/C的对称点£,连接C£,EE',PE',BE'交AC于P,由E,夕关于直线/C对称,

N/QPB+PE=PB+PE'ZBE',当3,P,£共线时，此时P8+PE最小，最小值为BE'的长度，根据

NB=90°,/B=8C=2,点E是8c的中点，可得CE=CE'=1,NBCE'=90。,再用勾股定理可得答案;

（3）作C关于/。的对称点连接DM,CM,CM交AD于H,作C关于4B的对称点N,连接3N,

延长DC,交于G,连接NG,连接血W交45于£,交AD于F,由C,N关于48对称，C,M关于4D

对称，CE=NE,CF=MF,当N,E,F,M共线，CE+EF+CF最小,根据//=60。，ZABC=90°,

/BCD=150°,可得/4DC=60。，ZMCD=ZCMD=30°,即得ZW=500米，CH=MH=5006米，

C"=iooo6米，由ZADC=60。，ZA=60°,知△/OG是等边三角形，从而CG=OG-CO=1000米，同

理可得CG=NG=1000米，ZBNG=ZBCG=30°,即得BG=；CG=500米，BC=BN=回6=5QQ0米,

BN

故CN=1000/■米=CM,知ZCNM=2CMN=30。,在■中，8E=o=50。米，在RMA田F中,

尸〃=等=500米，即得£）尸=阻+。〃=1000米.

【详解】解：（1）过3作8尸，NC于P,如图:

p

4上『飞乜7"

BCBEC(jcD

由垂线段最短可知，BP时，：/ABC=90。，48=3,AAC=^AB2+BC2=5,

-.'SAABC=^ABBC=^ACBP,••.BP=—=?；故答案为：y；

(2)作E关于直线/C的对称点El连接CE',EE',PE',BE'交4c于P,如图：

,:E,£'关于直线/C对称，：.PE=PE',：.PB+PE=PB+PE'>BE',

当B,P,共线时，PB+PE最小,最小值为BE'的长度，

VZ5=90°,AB=BC=2,：.ZACB^45°,:点£是BC的中点,：.CE=1,

,:E,夕关于直线/C对称，AZACE'=ZACB=45°,CE=CE'=1,：.ZBCE'=90°,

在Rt^BCE'中，BE'=^BC2+CE'2=7F+17=V5-•••P5+PE的最小值为石；

(3)作C关于AD的对称点M,连接DM,CM,CM交AD于H,作C关于AB的对称点N,连接BN,

延长DC,48交于G,连接NG,连接儿W交NB于E,交于尸，如图：

,由C,N关于45对称，C,M关于对称，

CE=NE,CF=MF,：.CE+EF+CF=NE+EF+MF>MN,

当N,E,F,〃共线时，此时CE+EF+CF最小；

V=60°,ZS=90°,ZC=150°,Z.ZADC=60°,

•：C,M关于对称，ZMDH=ZCDH=60°,ZCHD=ZMHD=90°,

NMCO=NC〃D=30。，...£)//=；CD=500米，由勾股定理得=50()6米，；•CM=2CH=10006米,

*/ZADC=60°,ZA=60°,，Zi/OG是等边三角形，，Z)G=4D=2000米，，CG=DG-CO=1000米，

VZBCD=150°,：.ZBCG=30°,VC,N关于对称，：.C,B,N共线，ABNG=ABCG=30°,

5G=；CG=500米，由勾股定理得米，ZCNM=NCMN,

VZ5CZ>=150°,NMCD=30。,：.ZNCM=120°,：.ACNM=ZCMN=30°,

在Rt^BNE中，8£=丝=50喧=500(米)，在中，尸〃=翠=驾亘=500(米)，

V3V3V3y]3

：.DF=FH+DH=500+500=1000(米)，答：8E的长为500米，Db的长为1000米.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定和

性质，轴对称的性质等，解题的关键是作对称，根据两点之间线段最短解决问题.

习题练模型

1.（2024・河南周口•一模）如图，正方形48co中，点M,N分别为AB,3c上的动点，且W=6N,DM,

NN交于点E,点F为AB的中点，点尸为8c上一个动点，连接PE,PF.若48=4,贝1］尸E+P/的

最小值为（）

9

A.VW-1B.2屈-2C.5D.

2

【答案】B

【分析】先根据SAS得皿进而可得乙4即=90,由此可得£点的运动轨迹在是以为直径

的圆上.延长48至尸使3尸=3尸，得尸与尸关于直线8C对称.连接。尸交3c于尸点，交圆。于£点,

则PE+PF=PE+PP=OP-OE,此时PE+尸尸的值最小，根据勾股定理求出。尸的长，即可得尸E+尸尸的

最小值.

【详解】•.•/8。。是正方形，，。/=。8,ZDAM=ZABN=90°,

又一；AM=BN,:.ADAM^^ABN（SAS）,ZADM=ZBAN,

又；ND4E+/BAN=9Q°,:.NDAE+N4DM=9。°,:./AED=90°,

点在以为直径的圆上运动.设的中点为。，则R=2,

延长AB至F'使BF'=BF,则尸'与尸关于直线BC对称，

连接。尸交8c于尸点，交圆。于£点，则PP=P尸，PE+PF=PE+PF'=OF'-OE,

止匕时P、E、F三点共线，因此PE+P厂的值最小.在RtH?4尸'中，0A=2,4F'=4+2=6,

二。b'=亚行=2而，:.OF'-OE=2y/10-2,+的最小值为2加一2，故选：B.

【点睛】本题是一道动点问题和最值问题的综合性题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、

直径所对圆周角等于90度、轴对称的性质.找出E点的运动轨迹是解题的关键.

2.（2024•山东泰安・二模）如图，在矩形/3C。中，48=6,4。=5,点£是/£）边的点，ED=3,点/是

线段CD上一点，连接E尸，以EP为直角边作等腰直角AEFG,尸G为斜边，连接/G,则NG+EG的最小

值为（）

C.—D.375

2

【答案】B

［分析］过点G作，AD于H,则可证明NEDF^GHE，得G"==3；取中点。，则4。=；48=3,

则点G在直线OG上运动，连接3G,则BG=/G,AG+EG=BG+EG,当E、G、8三点共线时BG+EG

最小，从而/G+EG最小，由勾股定理即可求得最小值.

【详解】解：如图，过点G作G"，4D于"，贝!］NG/ffi=90°,:.NGEH+NEGH=90°；

■■■四边形ABCD是矩形，；.ND=ZDAB=90°,vZFEG=90°,:.ZDEF+NGEH=90°，,ZDEF=ZEGH；

vEF=EG,...VED尸会VGHE(AAS),:.GH=DE=3；

取中点O,连接GO,则/。=工48=3,.•.G〃=/O=3,四边形/AGO是平行四边形，

2

•.•/ZMB=90。，.•・四边形/"GO是矩形，则点G在直线OG上运动；

连接BG,则GO垂直平分/B,:.BG=AG,AG+EG=BG+EG,

当£、G、8三点共线时8G+EG最小，从而NG+EG最小，

QAE=AD-DE^2,则由勾股定理BE=JAE?+AB°=4^^=2屈，即/G+EG的最小值为2M.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，

确定点G运动的路径是解题的关键.

3.(2022•内蒙古赤峰•统考中考真题)如图，菱形/BCD,点A、B、C、。均在坐标轴上，ZABC=120。,

点/(-3,0),点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PO+PE的最小值是()

A.3B.5C.272D.|G

【答案】A

【分析】直线4C上的动点尸到£、。两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由。关于直线/C的对称点

B,连接BE,则线段8E的长即是尸。+PE的最小值.

【详解】如图：连接：菱形N3C。，...B、。关于直线/C对称，

直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小

根据“将军饮马，，模型可知BE长度即是PD+PE的最小值.，

:菱形NBCD,ZABC=120。，点N（-3,0）,；./6758=60。,/。/。=30。，OA=3,

/.OD=5AD=DC=CB=2G，丛CDB是等边三角形；.BD=2百

:点E是的中点，，OE=gcO=百，且:•BE7BD°-DE?=3故选:A.

【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长.

4.（2023・辽宁盘锦•统考中考真题）如图，四边形/BCD是矩形，AB=4lQ,/。=4五，点尸是边ND上

一点（不与点4,D重合），连接PC.点、M,N分别是PB尸C的中点，连接九W,AM,DN,点、E

A.2月B.3C.372D.472

【答案】C

【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得/加=工8尸，DN=\CP,通过证明四边形ACWE是平行四

22

边形，可得ME=DN,则/屈+〃£=/屈+。"=；（3尸+。尸），作点。关于直线/。的对称点“，贝1J

BP+CP=BP+PM,氨B,P,"三点共线时，5尸+尸”的值最小，最小值为AW.

【详解】解：：四边形4BCD是矩形，，/A4P=/C7)尸=90。，AD//BC,

•・•点M,N分别是尸8,尸C的中点，.IDN=-CP,MN=-BC,MN//BC,

222

AD//BC,MN//BC,:.MN〃BC,又；ME〃DN,四边形是平行四边形，

:.ME=DN,AM+ME=AM+DN=g(BP+CP),

如图，作点C关于直线4D的对称点M,连接尸M,BM,则AP+CP=8P+PN,

BP+PM的值最小，最小值为9/,

在中，MC=2CD=2AB=2如,BC=AD=4垃,

BM=ylBC2+MC2=J（4@2+（2A/10）2=6立，

/M+及ffi■的最小值=g8M=3收，故选C.

【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质,

轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思

想.

5.（2023・安徽•统考中考真题）如图，E是线段48上一点，V4DE和ABCE是位于直线48同侧的两个等边

三角形，点尸，尸分别是C2/B的中点.若/8=4,则下列结论错误的是（）

A.P/+PB的最小值为3月B.PE+P厂的最小值为2石

C.ACDE周长的最小值为6D.四边形4BCD面积的最小值为3K

【答案】A

【分析】延长则A/80是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当E点与尸重合时，则

。，己厂三点共线，各项都取得最小值，得出B,C,D选项正确，即可求解.

【详解】解：如图所示，延长AD,8C,依题意/。/。=/0氏4=60。；.“20是等边三角形,

•.•尸是CD的中点，:.PD=PC,,：ZDEA=ZCBA,：.ED//CQ

：.APQC=APED,ZPCQ=ZPDE,:.APDE2PC。：.PQ=PE,

.♦.四边形。EC。是平行四边形，则尸为E0的中点，如图所示，

设AQ,BQ的中点分别为G,H,则GP=^AE,PH=；EB

...当E点在48上运动时，尸在G8上运动，当瓦点与尸重合时，^AE=EB,

则。，尸，尸三点共线，尸尸取得最小值，止匕时/E=£3=g(/E+£B)=2,

则八")£丝ZXECB,C,。到48的距离相等，则CD〃/8,

此时p尸=@40=百此时V/DE■和ABCE的边长都为2,则4P,P3最小，

2

:.PF=与乂2=拒,•••PA=PB=^22+(V3)2=g：.PA+PB=2g,

或者如图所示，作点8关于曲对称点"，则尸8=尸8',则当4P,夕三点共线时，AP+PB=AB'

此时AB'=JAB?+BB'=J42+(2班y=2"故A选项错误,

根据题意可得尸，。/三点共线时，P尸最小，止匕时尸£=P尸=百，则尸£+尸尸=2百，故B选项正确;

^CDE^^CD+DE+CE^CD+AE+EB=CD+AB=CD+4,即当CD最小时，ACDE周长最小,

如图所示，作平行四边形GDMH,连接CM,

ZGHQ=60°,ZGHM=ZGDM=60°,则ZCHM=120°

如图，延长DE,HG,交于点N,则/NGD=N0G"=60。，ANDG=ZADE=60°

△NGD是等边三角形，:.ND=GD=HM,

ZNPD=ZHPC

在ANPD与△HPC中，,/N=ACHP=60P：.&NPDm&HPC

PD=PC

：.ND=CH：.CH=MH：.AHCM=NHMC=30°

CM//QF,则CM1DM,：.ADMC是直角三角形，

在△CO/中，DC>DM.*.当DC=DA/'时，ZX?最短，DC=GH=-AB=2

2

VCD=PC+2PC：.ACDE周长的最小值为2+2+2=6,故C选项正确；

•••ANPD乌AHPC：.四边形/BCD面积等于S,QE+S.EBC+'=S.如+S平行四边NE8H

・•・当△BG。的面积为0时，取得最小值，此时，QG重合，C,〃重合

.•.四边形”CD面积的最小值为3x1x22=3/，故D选项正确，故选：A.

4

【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当E

点与F重合时得出最小值是解题的关键.

6.（2023•广东广州•统考中考真题）如图，正方形/BCD的边长为4,点E在边3c上，且5E=1,尸为对

角线5。上一动点，连接CF,EF,则CF+E尸的最小值为.

【答案】V17

【分析】连接ZE交于一点尸，连接CF,根据正方形的对称性得到此时CF+EV=/E最小，利用勾股

定理求出NE即可.

【详解】解：如图，连接NE交AD于一点R连接CF,

•..四边形48co是正方形，.•.点N与点。关于对称，4F=CF,

CF+EF=AF+EF^AE,此时CF+EF最小，

:正方形48CD的边长为4,二NO=4,N/8C=90。，：点£在上，且BE=1,

/.AE=^AB2+BE2=74?TF=V17-即CF+EF的最小值为旧故答案为：后.

【点睛】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键.

7.（2024•陕西宝鸡•二模）如图，点。是矩形的对称中心，点P,0分别在边4D,BC上,且尸0经

过点O,48=6,4P=3,3c=8,点£是边48上一动点.贝UAEP。周长的最小值为.

【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段和的最小值计算；作尸关于的对称点P,连接尸'0,

交AB于E,连接PE,则尸E+QE的最小值为尸。，证明出周长的最小值为尸'0+尸。，作PF_LBC

于尸，PH工BC于H,利用勾股定理求出尸'。和P。即可.

【详解】解：如图，作P关于N3的对称点P,连接尸'0,交AB于E,连接PE,

P'E=PE,，尸E+QE的最小值为尸'0,，血1。周长的最小值为尸'0+P0,

作尸户_L3C于尸，PH工BC于H,•1-AP=3,P'A=3=FB,

••,点O是矩形ABCD的对称中心，经过点。/尸=CQ=3

V5C=8,BQ=5,FQ=8,P'F=AB=6,...尸'。=10,

•：PH=AB=6,HQ=5-3=2,：.PQ=2回,二亚。周长的最小值为10+2厢.

8.（2024・陕西渭南•二模）如图，在四边形中，NBAC=NBAD=68,ZACB=ZADB=90°,BC=6,

连接C。、AB交于点。，点E为4B上一动点，连接CE,点尸为CE的中点，连接。尸、DP,则。P+。尸的

最小值为.

【答案】6

【分析】本题考查全等三角形、等边三角形的性质和判定、轴对称最短路径问题，找到对称点转化线段是

解题关键.

过点P作的平行线分别交/C、BC于点、M、N,由点E为NB上一动点，点P为线段CE的中点可得到

点P在线段九W上运动，MV为“3C的中位线，求证用等腰三角形“三线合一”证明

ABLCD,所以MV_LCD,即点C与点。关于MN对称，所以。尸+OP=DP+CP2C。，同时证明△BCD

是等边三角形，CD=BC=6,即。P+DP的最小值为6.

【详解】解：过点尸作〃/2分别交/C、3C于点M、N,

；点、E为AB上一动点点尸为线段CE的中点.•.点P在线段跖V上运动，且跖V为。BC的中位线，

ZACB=ZADB

•：在AABC和八ABD中<NBAC=ABAD=60P,：.AABC为ABD（AAS）,

AB=AB

：.BC=BD,AABC=NABD=90°-60°=30°,；.ABLCD,ZCBD=60°,

:.MNLCD,△BCD是等边三角形，.•.点C与点。关于MV对称，DP+OP=DP+CP>CD,

又CD=BC=6：.OP+DP的最小值为6.

B

9.（2024・陕西商洛•三模）如图，点。为正方形4BCD的对称中心，点E为AD边上的动点，连接OE,作

OFLOE交CD于点F,连接斯，尸为好的中点，G为边CD上一点，且CZ）=4CG=8,连接尸/,PG,

则PA+PG的最小值为.

【答案】2岳

【分析】如图，连接04OD,由题意知，ZOAE=ZODF=45°,ZAOD=90°,OA=OD,由

ZAOE=ZAOD-ZDOE,NDOF=/EOF-NDOE得,ZAOE=ZDOF,证明A/OE丝AOOF（ASA）,则

OE=OF,AEO尸是等腰直角三角形，由尸是EF中点，则OP_LEF,NO尸尸=90°,ZPFO=45°=ZPOF,

如图，过。作（W_L4D于过。作CW_LCZ）于N,由/OPP+NGWF=18O5,可知O,P,F,N四点

共圆，由而=而，可得NPNF=NP。尸=45°,进而可得尸在线段儿W上运动，如图，延长儿W,作点A关

于MN对称的点/,过/作A'HLCD于H,连接/G交MN于p,连接AP，由题意知DH=A'H=^AB=4,

A'P'=AP＞且/尸'+P'G=4P'+P'G,可知当/,P\G三点共线时，4P'+P'G值最小，在Rb/G〃中，

由勾股定理得，AG=^AH2+HG2-计算求解/G的值即可.

【详解】解：如图，连接。4OD,

由题意知，^OAE=ZODF=45°,ZAOD=90°,OA=OD,OFLOE,：.AEOF=90°=ZAOD,

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