2025年中考数学重难点突破：圆热考模型（学生版）

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目录

题型一垂径定理模型...............................................................2

题型二圄不定理...................................................................5

题型三四点兴国..................................................................22

题型四定裁定角模型..............................................................62

题型五定隽定南模型..............................................................69

题型六最大张角模型..............................................................82

题型七阿基神折裁定，..........................................................92

题型八定点定要构建辅助圈........................................................96

【题型汇总】

题型一

【基础模型】在。。中，AB为。。的直径，CD为弦，且ABLGD与点E

模型结论：CE^DE,BC=BD,AC=AD

【模型进阶】条件:①AB过圆心②CDLAB;③AB平分CD（CD不是直径）④AB平分6萌或无方.

模型结论:若已知四个条件中的两个,那么可推出另外两个，简称“知二得二”，解题过程中应灵活运用该定理.

常见辅助线做法（考点）：

1）有弦无垂径时，可过圆心，作垂线,连半径，造At△，用勾股，求长度；

【补充】在构造中，半径8,弦心距OE,弦长CD,拱高BE四个量知二推二.

2）有弦中点，连中点和圆心,得垂直平分.

1.（2024.北京・中考真题）如图，。O的直径平分弦CD（不是直径）.若35°,则ZC=°

c—

2.（2023•浙江衢州•中考真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形.当

餐盘正立且紧靠支架于点A,D时，恰好与边相切,则此餐盘的半径等于cm.

3.（2023•湖南岳阳・中考真题）如图，在。。中，为直径，AD为弦，点。为防的中点，以点。为切点的

切线与AB的延长线交于点E.

________P

EC

D

（1）若乙4=30°,AB=6，则BD的长是（结果保留兀）；

⑵若包=J_则室=

（）右AF3，AAE-----------

题型二

1）弦切角模型

4.（2022九年级上.全国.专题练习）如图，直线AD与△4BC的外接圆相切于点4若NB=60°,则NCAD

等于（）

5.如图，5。为圆O的直径，直线即为圆O的切线，4、。两点在圆上，平分乙BAD且交8。于尸

点.若/ADE=19°,则NAFB的度数为何？（）

A.97°B.104°C.116°D.142°

6.如图，已知直线AW与以AB为直径的半圆相切于点C,ZA=28°.

（1）求乙4cM的度数；

（2）在MN上是否存在一点。，使=AC-BC,为什么？

7.（21—22九年级上•山东聊城•期中）顶点在圆上，一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角.如图

①所示：24切。。于点4,48是QO的一条弦，ZPAB就是。O的一个弦切角.经研究发现：弦切角

等于它夹弧所对的圆周角.根据下面的''已知"和“求证"，写出''证明”过程，并回答后面的问题.

（1）如图1,E4是。。的切线，人为切点，4。为直径，夹弧所对的圆周角为NC.求证：NPAB

=ZC.

（2）如图2,E4是。。的切线，A为切点，NE4口夹弧所对的圆周角为乙D.求证：NPAB=ND.

（3）如图3,AB为半。。的直径，。为圆心，为半。。上两点，过点。作半。。的切线CE交人。

的延长线于点E,若CELAD,且BC=1,4B=3,求DE的长.

2）相交弦定理

类型基础模型模型变形

条件在。。中，弦AB、GD相交于点P在。。中，OP所在直线与。。交于M、N两

点，r为。。的半径

8.（2024•四川乐山•模拟预测）如图，在。。中，弦弦CD,垂足为E,若4&=2,8右=6,。£；=3,则

©O的面积是（）

苧兀11

C.D.彳兀

4

9.（23-24九年级•江苏•假期作业）如图，在。。中，弦AB、CE＞相交于点尸，且PDVPC.

(1)求证：APAD〜4PCB；

(2)若弘=3,PB=8,CD=10,求P0.

10.（22-23九年级上•山西忻州•期末）阅读与思考

九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后,在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理

（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成

相应的任务.

圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等.

已知:如图1,0。的两弦。。相交于点P.

求证：AP-BP=CP-DP.

证明：

如图1,连接

•：NC=NB,ZA=zLD.

.•.△AP。〜ADPB,（根据）

.AP

■-DP=@，

：.AP-BP=CP-DP,

：.两条弦相交,被交点分成的两条线段的积相等.

图1

任务：

（1）请将上述证明过程补充完整.

根据：;@：•

（2）小刚又看到一道课后习题，如图2,AB是。O的弦，P是AB上一点，AB=10cm,e4=4cm,OP

=5cm，求（3O的半径.

图2

11.（2023•河南信阳•三模）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.

（1）为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整,

并写出证明过程.已知：如图①，弦AB,CD交于点P,求证:.

（2）如图②，已知4B是。O的直径，48与弦CD交于点P,且48,CD于点P,过。作。。的切线，

交R4的延长线于为切点，若4P=2,的半径为5,求AE的长.

12.（2023•海南省直辖县级单位•模拟预测）如图，在△48。中，以AC为直径的。。交于点。，连接CD.

若=即=6,则48的长是（）

A.8B.洋C.12D.登

OO

13.（22-23九年级上•山西吕梁・期末）阅读与思考:阅读下列材料，并完成相应的任务.

米勒定理

米勒（1436-1476）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使得三

角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作.下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程

已知:如图1,上4与。。相切于点与。。相交于点C.

求证：=

证明：如图2,连接AC,OA,OC.

••♦PA为。。的切线，OA±PA,：.Zl+Z2=90°.

•：OA=OC,：.Z2=Z3.

•/ZO+Z2+Z3=180°,/.ZO+2Z2=180°.

•：AC=AC,：./O=2NB,

...2/8+2/2=180°,...ZB+Z2=90°,AZ1=ZB,……

图1图2图3任务：（1）

请完成剩余的证明过程

（2）应用：如图3,E4是。。的切线，PC经过。O的圆心。，且03=2,割线尸DE交。。于点

D,E,PE=5,求PD的长.

__________________________

14.（2024•湖北武汉•模拟预测）阅读：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲

数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书.下

面是其中的切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的

比例中项.即，如图1,,48是。O的切线，直线40为©O的割线，则482=Ad。.下面是切割线

定理的证明过程（不完整）：

证明：如图1所示，连接BD,连接80并延长交。O于点瓦连接CE、8c.

图1图2

.•4B是。。的切线，08是。。的半径,

•.NABC+NCBE=90°.

.•BE是。。的直径，

•.90°（）.

•.NE+NCBE=90°.

：NE=NCDB(),

ABAC=/.DAB,

：./\ABC〜/\ADB,

•ABAC

：.AB2=AC-AD.

任务：

⑴请在上面横线上补充证明过程,在括号内补充推理的依据；

⑵如图2,已知AB是。。的直径，AC是。O的切线，人为切点，割线CF与AB于点E,且满足CD：

jQE：即=1:2:1,AC=8,求AB的长.

4）割线定理

类型基础模型模型变形

条件在。。中，弦AB与弦5的延长线相交于点P,点P在若从圆外一点P引圆的两条割线

外PAB和PMN,且割线PA/N经过圆

心，r为。O的半径

图示

“一个

DDD

结论AP-BP=CP-DPAP-BP=MP-NP=(OP-r)(OF

+r)=OP?—r2

15.如图，上4B为。O的割线，且上4=AB=3,PO交。。于点。，若「。=2,则。。的半径的长为

16.（2021•河南洛阳・二模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离.当直线与圆有两个公共

点（即直线与圆相交）时,这条直线就叫做圆的割线.割线也有一些相关的定理.比如，割线定理:从圆

外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等.下面给出了不完整的定理''证明

一”，请补充完整.

已知:如图①，过。。外一点。作。。的两条割线,一条交。。于A、B点，另一条交。。于C、。点.

求证：B4•P8=PC-PD.

证明一:连接4D、BC,

•.•乙4和NC为防所对的圆周角，.

又.

……____……_4

即上4•尸8=POPO.

研究后发现,如图②，如果连接47、RD,即可得到学习过的圆内接四边形那么或许割线定理

也可以用圆内接四边形的性质来证明.请根据提示，独立完成证明二.

证明二:连接AC、

17.（23—24九年级下•内蒙古赤峰•阶段练习）旧知温习：人教版初中数学第二十七章《相似》中比例线段的

证明都是利用三角形相似或平行线得出来的，在三角形相似证明中，利用的条件有角相等，对应边成比

例.比例线段还可以写成等积式，如嘴■=儒可以写为

Ivlly

新知探究:如图1,。。中，AB,CD是两条相交的弦，交点为P,（不再添加辅助线）,求证：9•=

PC-PD-,

类比探究:如图2,P是。。外一点，PAB,PCD是。。的两条割线，与。。交点分别为4B,。，D

请写出PC,尸。的等积关系式,并说明理由.

延伸结论:如图2,。。中，点P是。。外一点,PC是。O的切线，切点为C,是过圆心O的一条

割线，交。。于4和8点,请直接写出探究PC,PA,之间的数量关系.

父2---、

c

图1图2图3

■题型三屈0点兴国

四点共圆模型的判定：

判定方法1:如图1,若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆（圆的定义）.

适用范围:题目出现共端点，等线段时，可利用圆的定义构造辅助圆.

判定方法2:如图2,同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆.

判定方法3:如图3,若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆.

判定方法4：如图4,若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆.

判定方法5:如图5,共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆.

四点共圆的性质

1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等（如下图1,/ACB=/ADB）；

2）圆内接四边形的对角互补（如下图2,/1=/2）；

3）圆内接四边形的外角等于内对角（如下图3,Zl=Z3）.

1）定点定长兴团模型（判定方法1）

18.（22—23九年级上•河北保定•期末）如图，量角器的直径与直角三角板ARC的斜边重合，其中量角

器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发,沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与

量角器的半圆弧交于点瓦第12秒时，点E在量角器上对应的读数是（）

A.18°B.36°C.72°D.144°

19.（2021.浙江嘉兴.中考真题）如图，在AABC中，ABAC=90°,48=AC=5,点。在AC上，且4D=2,

点石是上的动点，连结DE,点尸，G分别是BC,OE的中点，连接AG,FG,当AG=FG时，线段

DE长为（）

A.V13B.C.D.4

20.（22-23九年级上•广东深圳•期末）如图，等边△ABC中，6,P为上一动点，尸。，口C,PE±

AC,则DE最小值为.

21.（2021.湖北随州.中考真题）如图，在放△4BC中，AACB=90°,O为4B的中点，OD平分/AO。交

AC于点G,OD=04,8。分别与47,0。交于点E,斤，连接4D,CD,则袈的值为；若CE

=。尸，则嘉的值为.

22.（2024•上海•模拟预测）如图1,AD,分别是△ABC的内角ABAC,NABC的平分线且ABAC<90°,

过人作/E_L4D,交口。延长线于E.

图1

⑴CD,EC,求证：A,D,C,E四点共圆；

（2）如图2,若4E=AB,BD-.DE=2:3,求/ABC的余角的正切值；

S^AED

（3）若△ABC与△AOE相似，请直接写出NR4C的正弦值以及其对应的值.

S^ABC

________0

2）定边对定角共Bl模型（判定方法2）

23.（2024.浙江金华.二模）如图,△ABC和4CDE都是等边三角形，AC=4,连接AE,BD,F为直线AE,

的交点，连接。尸,当线段8斤最长时，CF的值是（）

A.1B.孝^C.2D.2V3

O

24.（2022.江苏无锡・中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△OCE是边长为3的等边三角形，直线8。

与直线AE交于点尸.如图，若点。在4ABC内，ADBC=20°，则ABAF=°；现将4DCE绕点

。旋转1周，在这个旋转过程中，线段4斤长度的最小值是.

25.（21-22九年级上•福建福州•期中）如图，在电△ABC中，NBAC=90°,N4BC=40°,将△ABC绕人点

顺时针旋转得到△ADE,使。点落在边上.

⑴求/R4D的度数；

（2）求证：4。、8、E四点共圆.

26.（22-23九年级下•福建南平咱主招生）如图，在四边形ABCD中AB=AC=AD=四，且4G，皿,

垂足为G,4G延长线交CD于尸，交8C的延长线于E.

⑴求证：48,。，下四点共圆;

（2）求证：4E-A斤为定值.

27.（2022•贵州遵义・中考真题）探究与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论:对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续

利用上述结论进行探究.

提出问题：

如图1,在线段AC同侧有两点B,。,连接CD,如果那么4B,四点在

同一个圆上.

图1

探究展示：

如图2,作经过点A,的。O,在劣弧AC上取一点E（不与4。重合），连接AE,CE则AAEC+

/。=180°（依据1）

________0

图2

ZB=ZO

/.ZASC+ZB=180°

.••点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

.•.点3,0在点A,所确定的©。上（依据2）

点C,E四点在同一个圆上

⑴反思归纳:上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：；依据2:.

⑵图3,在四边形ABCD中，4=/2,/3=45°,则/4的度数为

⑶拓展探究:如图4,已知AABC是等腰三角形，AB=A。，点。在上（不与8C的中点重合）,连接

AD.作点C关于AD的对称点E,连接EB并延长交AD的延长线于F,连接AE,DE.

图4

①求证：4。，口，石四点共圆；

②若AB=2V2,AD-AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化,请说明理由.

3）定边对双直角共Bl模型（判定方法5）

①定边对双直角共圆模型（同•1型）

28.（2023九年级•全国•专题练习）如图①，若是9ZVIBC和放的公共斜边，则48、。在以

BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”.如图②，△4的三条高AD、BE、CF相交于点H,则图②

中“四点共圆”的组数为.

29.（2021•湖北鄂州•中考真题）如图，四边形4BDC中，AC=BC,乙4cB=90°,ADLBD于点D.若BD

=2,CD=,则线段AB的长为.

30.（2020.湖北武汉.二模）如图，等腰HtZVLBC中，/ACB=90°,。为BC边上一点，连接4D.

⑴如图1,作延长线于E,连接CE,求证：乙4EC=45°；

（2）如图2,P为4D上一点，且NBPD=45°,连接CP.

①若AP=2,求△APC的面积；

②若AP=2BP,直接写出sin乙4cp的值为.

_________________________E

②定边对双直角共19模型（异，I型）

31.（2024•广东深圳•三模）如图,AABC中，ZABC=45°,ZBAC=75°,BC=V6,点P是上一动点,

POLA。于。，PELAB于E,在点P的运动过程中，线段。E的最小值为（）

A.3V3-3B.D

O-l

32.（22—23九年级上•广东梅州•阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AABC=AADC=90°,E是AC

的中点，尸是BD的中点，若ZBAC=15°,/八4。=45°,。。=4,则EF的长为（）

B.2V2C.2D.2V3

33.（2024.河南安阳.三模）数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动.

模型感知：

小明同学善于观察思考，如图1,在AABC和4ABD中，NC=NO=90°,他发现当两个直角三角形共斜

边时，取斜边中点O,根据斜边中线等于斜边的一半，易知OA=OB=OC=,由圆的定义可知，A,

B,。四点共圆，则有NCAD=NCB。,其依据是.

操作判断：

小明同学把等腰直角三角板ABC的直角顶点。绕着直角三角板DEF的斜边中点旋转，其中/E=30°,

直线AC与。尸相交于点G,边与。E相交于点

⑴如图2,当，DE时，线段GH与CH的数量关系是.

深入探究：

（2）将图2中的AABC旋转到图3所示的位置,请判断GH与CH的数量关系是否发生变化，并说明理

由.

应用：

（3）如图3,已知。斤=6,若等腰直角三角板ABC绕点。继续旋转，边8C与。E的交点H始终在线段

DE上，当点H为DE的三等分点时，直接写出△CGH的面积.

34.（2024•陕西西安・模拟预测）“乐思”小组开展探究四点共圆的条件活动时，得到结论:对角互补的四边形

的四个顶点共圆，该小组继续利用上述结论进行探究.

（1）问题探究:如图，四边形ABCD为矩形，BE平分/4BC,交4D于点R,4AEC=90°.

①判断4、B、C、E四点是否共圆？填（“是”或“不是"）

②cosZACE=

（2）问题解决:如图，某公园内有一个五边形人工湖ABCDE，已知/A=N8=/C=90°,8。=800米，

tanZACB=4，点F是AB上一点，且8F=2AF,点G是直线AE上一点，夏季来临,为了增加游客的

安全性，欲在其中央建造一个以FG为斜边的等腰直角4FMG型救助站,如图所示，已知湖岸即=400

米，点N是ED上的中点，MN是湖岸通向救助站的唯一通道，若修筑通道的造价为每米300元,求当造

价最低时，四边形AFMG的面积为多少？并求出通道的最低造价.

4）对角互补共圄模型（判定方法3）

35.（2023•河南南阳•三模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理:若平面上四点连成四边形的

对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆.在实际应用中，如果运用这个定理,往往可以让

复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析,请帮助他补充完整.

图1图2

特殊情况分析

（1）如图1,正方形ABCD中，点P为对角线AC上一个动点，连接PD,将射线PD绕点P顺时针旋转

乙4DC的度数，交直线于点Q.

小明的思考如下：

连接。Q，

•/AD//CQ,ZADC=ZDCQ=90°,

NACQ=/LL4C,（依据1）

VZL>PQ=90°,

ZDFQ+ZDCQ=180°,

点。、P、Q、C共圆，

ZPDQ=ZPCQ,2DQP=ZPCD,（依据2）

ZPDQ=ZDQP,

：.DP=QP.（依据3）

填空:①依据1应为,

②依据2应为,

③依据3应为；

一般结论探究

（2）将图1中的正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立,请仅以

图2的形式证明，若不成立，请说明理由；

结论拓展延伸

⑶如图2,若AADC=120°,人。=3,当△PQC为直角三角形时，请直接写出线段尸Q的长.

36.（2023•山东日照•中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面

内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆.请应用此结论.解决以下问题：

如图中，=点。是边上的一动点（点。不与B,C

重合），将线段AD绕点A顺时针旋转a到线段AE,连接BE.

⑴求证四点共圆；

⑵如图2,当AD=CD时，。。是四边形的外接圆,求证：AC是。。的切线；

（3）已知a=120°,BC=6,点河是边BC的中点,此时。P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心尸

与点河距离的最小值.

37.（2024.广东东莞.三模）综合探究

小明同学在学习“圆”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上（即四点共圆）时，就可以通过添加辅

助圆的方式,使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件.小明同学

已经学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补.因此,他想探究它的逆命题是否成

立，以下是小明同学的探究过程，请你补充完整.

（1）【猜想】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为:，如果该逆命题成立，则可以作为判定四点共

圆的一个依据.：

（2）【验证】如图1,在四边形ABCD中，AABC+AADC=180°,请在图1中作出过点4、8、C三点的。

O,并直接判断点D与©O的位置关系.（要求尺规作图，要保留作图痕迹,不用写作法）

_______0

（3）【证明】已知:如图1,在四边形ABCD中，AABC+AADC=180°,

求证:点A、B、C、O四点共圆.

证明：过人、8、C三点作。O,假设点。不在。。上，

则它有可能在圆内（如图2）,也有可能在圆外（如图3）.

假设点。在。。内时，如图2,延长CD交。O于点瓦连结AE,

•••/ADC是的外角，AADOAAEC,

•/四边形4BCE是（DO的内接四边形，/ABC+乙4EC=180°,

又AABC+AADC=180°,/.ZADC=ZAEC.

这与NADC＞乙4EC相矛盾，所以假设不成立,所以点。不可能在。。内.

请仿照以上证明，用反证法证明”假设点。在。。外”（如图3）的情形

5）四点共Bl的性质与判定绿合

38.（23-24九年级下.黑龙江绥化・期中）【模型呈现:材料阅读】

如图①，在四边形4BCD中，对角线相交于点P,若4P-PC=BPPD,则可判定C,D

四点共圆.

⑴在图①中，若有AP・PC=BF-P0,ZBAC=30°,NABC=80°,则ABDC=,AADC=

【模型改编：问题解决】

⑵如图②，/\ABC和△OCE均为等边三角形,连接AE,BD交于点斤，AC交BD于点河,连接CF.

求证：4B,C,斤四点共圆；

【模型拓广：问题延伸】

⑶如图③,在Rt/\ABC中，4ABe=90°,将ZVIB。绕着点。顺时针旋转得到^EDC,连接BD,AE,^.

线BO与直线AE交于点尸.

①若AC=3BC,8。=4,则AF的长为；

②若AB=2,BC=1,当ZBCD=90°时，DF的长为.

图①图②图③

39.（22-23九年级上•湖南长沙•阶段练习）定义:如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共

圆，简称“四点共圆我们学过了“圆的内接四边形的对角互补”这一定理，它的逆命题“对角互补的四

边形四个顶点共圆”是证明“四点共圆”的一种常用方法.除此之外，我们还经常用“同旁张角相等”来证

明''四点共圆如图1,在线段48同侧有两点C,D.连接如果那么

A,B,“四点共圆”

⑴如图2,已知四边形4BCD中，对角线/相交于点P,点七在的延长线上,下列条件:①/I

=/2；②N2=N4：③N5=NADC：④PA-PC=PB•PD.其中，能判定48,“四点共圆”的条

件有：

⑵如图3,直线沙=2+6与2轴交于点A,与9轴交于点点。在立轴正半轴上，点。在u轴负半轴

上，若4bC,四点共圆”，且乙M»C=105°,求四边形ABC©的面积；

（3）如图4,已知A4BC是等腰三角形，AB=AC,^D是线段上的一个动点（点D不与点8重合,

且BD<CD,连结4D,作点C关于AD的对称点E,连接EB并延长交AD的延长线于F,连接AE,

DE.

①求证：4。，8,E“四点共圆”；

②若AB=2V2,AD-AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值:若变化,请说明理由.

40.（24-25九年级上•江苏徐州•期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点

共圆，简称“四点共圆在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出

猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证.

【验证猜想】

已知：四边形ABC©中，乙4+NC=180°

求证：四点共圆

证明：过点人、B、D作。O,假设点。不在。。上，则点。在。。外或。。内

若点。在。。外，如图1,设交。O于。，连接则ZDC'B>AC.

•••四边形ABCD是。O的内接四边形，

/.AA+ADC'B=180°.

■：ZA+ZC=180°,

/.ZDC'B=ZC

与矛盾，故点。不可能在圆外；

若点。在圆内，

⑴在图2中，用直尺和圆规作出过点A,B,D的圆,参考以上思路补全图形并完成后续证明；

【深入探究】

得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你

在此基础上展开探究：

⑵如图3,在线段同侧有两点C,。，连接AC,BC,AD,BD.如果ZC=NO,那么4B、。四

点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）；

【结论应用】

应用以上结论，解决下列问题：

⑶如图4,在四边形ABC©中，4=/4,N2=30°,则Z3=°；

（4）如图5,AABC中NCAB=ACBA=50°,点E在上,连接CE,作点B关于CE的对称点B',连接

B'C,B'E,AB'CE=18°求的度数；

【拓展延伸】

⑸如图6,AB=BC=5,乙4BC=60°,点。为平面内一动点，连接若始终有NADB=60°,当：

四边形周长最大时，OC与AD的数量关系是多少？（直接写出答案）.

_______血

定裁定角模型

41.（22-23九年级上•江苏扬州・期末）【学习心得】

小雯同学在学习完'‘圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以

使问题变得非常容易.

例如:如图，在△ABC中，=ABAC=90°,。是A4BC外一点，且AD=AC,求乙BDC的度数.

若以点人为圆心，AB长为半径作辅助圆。人,则。，。两点必在。人上，ABAC是。A的圆心角，

2BDC是。人的圆周角，则ABDC=45°.

（1）【初步运用】如图，在四边形ABCD中，/BAD=ZBCD=90°,ABDC=24°,求ABAC的度数；

⑵【方法迁移】如图，已知线段46和直线Z,用直尺和圆规在I上作出所有的点P,使得=30°（不

写作法，保留作图痕迹）；

4-B

（3）【问题拓展】

①如图，已知矩形ABCD,AB=2,BC=m,M为CD上的点.若满足AAMB=45°的点朋•恰好有两

个，则小的取值范围为.

②如图，在△48。中，/R4C=45°,AD是边上的高，且8。=6,CD=2,求AO的长.

A

A

BDC

42.（2023•浙江绍兴・中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=2®BC==8.点P是BC边上一动点，点"为

线段AP上一动点.NADM=/R4P,则以1的最小值为（）.

--------------~~1c

A.2B.8^^C.2.4D.V21-4

43.（21—22九年级上.山东烟台.期末）如图，是半圆O的直径，点。是半圆O的中点，点。是弧上

一点，连接,作CH，AD于点H,连接BH.若半圆直径为4,则在点。移动的过程中，的最小值

是.

44.（2024•吉林长春•模拟预测）阅读理解:

（1）【学习心得】

小赵同学在学习完“圆”这一章内容后,感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以

使问题变得非常容易.我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”.这类题目主要是两种类型.

①类型一:“定点+定长”:如图1,在△ABC中，AB=AC,ABAC=44°,。是4ABC外一点，且4D=

AC,求。的度数.

题型五定角定方模型

45.（2023•重庆•模拟预测）在直角4ABC中，ZABC=90°,NACB=60°,点。是△ABC外一点，连接AD,

以AD为边作等边4ADF.

⑴如图1,当点歹在线段上，。尸交47于点且4斤平分/R4C,若4F=血+蓼，求的

面积；

⑵如图2,连接并延长至点E,使得=连接CE、0E、CD,证明：=《CD；

⑶如图3,旋转△AO尸使得。尸落在乙4BC的角平分线上，河、N分别是射线R4、上的动点，且始

终满足NMEW=60°,连接MN,若8。=方，请直接写出ZWDN的面积最小值.

46.（2024九年级上•江苏•专题练习）辅助圆之定角定高求解探究

图①图②

（1）如图①，已知线段以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；

⑵如图②，在△4BC中，AACB=60°,CD为4B边上的高，若CD=4,试判断AB是否存在最小值,若

存在,请求出最小值；若不存在，请说明理由；

（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形4BCD中，/4=

45°,=/。=90°,=CD=，点E、尸分别为AB、AD上的点,若保持CE±CF1,那么四边形

AECF的面积是否存在最大值，若存在,请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由.

47.（2022・江西・中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题:将足够大的

直角三角板PEF（NP=90°2尸=60°）的一个顶点放在正方形中心。处，并绕点。逆时针旋转，探究直

角三角板尸班与正方形ARC©重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）.

图一图二图三备用图

⑴操作发现:如图1,若将三角板的顶点P放在点。处,在旋转过程中，当。尸与。口重合时,重叠部分

的面积为；当。F与垂直时，重叠部分的面积为；一般地，若正方形面积为S,在旋转过

程中，重叠部分的面积S与S的关系为；

（2）类比探究:若将三角板的顶点尸放在点。处，在旋转过程中，OE,OP分别与正方形的边相交于点

M,N.

①如图2,当时，试判断重叠部分△ONN的形状，并说明理由；

②如图3,当时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；

（3）拓展应用:若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心。处，该锐角记为/GOH（设/GOH=a）,将

NGOH绕点。逆时针旋转，在旋转过程中，NGOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为

S2,请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含a的式子表示），

（参考数据：sinl5°=娓一册,cosl5°=提'，,tanl5°=2-73）

48.（2019・河南・二模）在RtkABC中，AACB=90°,AB=2,过点B作直线小〃AC,将A4BC绕

点。顺时针旋转得到AABC（点A,B的对应点分别是A,⑶）,射线CA,,CB'分别交直线m于点P,Q.

（1）问题发现:如图1所示，若P与4重合，则/ACA的度数为

（2）类比探究:如图2,所示，设A'B'与8C的交点为W，当M为AB'中点时,求线段PQ的长；

（3）拓展延伸:在旋转过程中，当点P,Q分别在CA',CB'的延长线上时，试探究四边形PAB'Q的面积是

否存在最小值，若存在，直接写出四边形PAB'Q的最小面积;若不存在，请说明理由

题型六最大张角模型

49.（2023•广西北海•二模）综合与实践

【问题提出】

⑴如图1,在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门AW进攻,当甲带球冲到4点时，乙已

跟随冲到8点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙,让乙射门好？假设球

员对球门的视角越大，足球越容易被踢进.请结合你所学知识，求证：AMBN>AMAN.

【数学理解】

德国数学家米勒曾提出最大视角问题,对该问题的一般描述是:如图2,已知点A,B是NMON的边OM

上的两个定点，。是ON边上的一个动点，当且仅当△ABC的外接圆与ON边相切于点。时，乙4cB最

大，人们称这一命题为米勒定理.

【问题解决】

（2）如图3,已知点4B的坐标分别是（0,1）,（0,3）,。是刀轴正半轴上的一动点，当△ABC的外接圆。

。与刀轴相切于点。时，NACB最大，当ZACB最大时，求点C的坐标.

________0

50.（2022•广西桂林•中考真题）如图，某雕塑7W位于河段04上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向

行走.已知乙40B=30°,AW=20M=40m,当观景视角最大时，游客P行走的距离OP是

51.（2023・湖南永州,二模）问题探究与应用实践

（一）问题探究：

如图⑴，已知直线I与水平视线m互相垂直，48在Z上，。在口上，ZACB叫做“视角”，点C叫做“视

点”，。双是过A,B,。三点的圆.当视点。在直线山上移动时，视角乙4cB的大小会发生改变,可以

证明：当视点。恰是。M的切点时，视角乙4cB最大，此时观察的效果最佳.当视角乙4cB最大时：

分别以直线TH,/为c轴和"轴建立平面直角坐标系，如图（2）.

（1）如果此时点A的坐标为（0,4）,点3的坐标为（0,1）,试求圆心M'的坐标及tan/ACB的值；

（2）如果此时点A,B的坐标分别为（0,a）,（0,b）,请求出视点C的坐标.（用a,b的代数式表示）

（二）应用实践：

应用上述结论，让我们解决如下问题：

（3）如图（3）,AB是广场上挂的一个大屏幕电视，直线CE是水平视线,屏幕最高点A和最低点B到水平

视线CE的距离分别为8米和4米.小明在水平视线上观看电视节目，当他的视角最大时，视点（在水平

视线CE上）到直线AB的距离约是多少？（结果保留一位小数，参考数据：V2x1.414,73«1.732,V5«

2.236）

52.（2021