2025年中考数学几何模型综合训练：最值模型之几何转化法求最值模型（全等、相似、中位线、对角线性质等）

专题39最值模型之几何转化法求最值模型

（全等、相似、中位线、对角线性质等）

几何中最值问题是中考的常见题型，变幻无穷，试题设计新颖，形式活泼，涵盖知识面广，综合性强。

在各地中考数学试卷中，几何最值问题也是重难点内容，在中考数学试卷中通常出现在压轴题的位置。

本专题我们所讲的几何转化法求几何最值是对前面八类几何最值模型的一个补充。虽然我们前面讲的

几何最值模型涵盖了大部分的最值问题，但也有部分几何最值无法很好的解决。鉴于此我们补充几类几何

转化法（主要利用全等、相似、或其他的几何性质（如：中位线、对角线、特殊的边角关系等）转化），

希望对大家有所帮助！

目录^航］

............................................................................................................................................................................................1

模型L几何转化模型-全等转化法..............................................................1

模型2.几何转化模型-相似转化法..............................................................6

模型3.几何转化模型-中位线转化法............................................................9

模型4.几何转化模型-对角线转化法...........................................................11

模型5.几何转化模型-其他性质转化法........................................................14

习题练模型］

.......................................................................................................................................................17

模型1.几何转化模型•全等转化法

模型解读

条件：0A=08,OA'=OB',ZAOB=ZA'OB'；结论：AOAA'三AOBB',AA'=BB\

该类转化法求最值的模型，三角形0A8和夕在图形中很难同时出现，需要我们通过辅助线构造出手拉

手型的全等模型，从而将所求线段进行转化。

模型运用

例1.（23-24八年级下.江苏连云港•阶段练习）如图，在矩形ABC。中，ZDSC=30°,AB=26,P是BC

边上一动点，连接。尸，把线段。尸绕点。逆时针旋转60。到线段DQ,连接C。，则线段C0的最小值为一.

AD

【答案】劣

【分析】在8。上截取=DC,过点£作。13。于点尸，通过证明，OEWsDCQ(ASA)可得CQ=PE,

根据垂线段最短可得当点P和点厂重合时，PE1BC,此时PE取最小值时，即可求解.

【详解】解：在8。上截取DE=DC,过点E作EF/5C于点EVZDBC=30°,.,.Z£DC=60°,

•.•线段OP绕点D逆时针旋转60°到线段DQ，,NPCQ=60。，DP=DQ,

：.ZPCQ-ZPDC=ZEDC-ZPDC,即ZCDQ=ZEDP,

DE=DC

在tDEP和、DCQ中，■ZCDQ=ZEDP,.•.一DEP^DCQ(ASA),CQ=PE,

DP=DQ

当PE取最小值时，CQ也取得最小值，当点P和点F重合时，PELBC,此时PE取最小值时，

,四边形ABCD为矢巨形，ZDBC=30°,AB=2^,：.BD=2AB=A6,DC=DE=AB=2百,ZDBC=30°,

:.BE=BD-DE=26,：.EF='E=6；.CQ的最小值为百.故答案为：厉.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，含30。角的直角三角形，30。角所对的边

是斜边的一半，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形.

例2.(23-24八年级上•江苏南通•阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,8),点8为x

轴上一动点，以A8为边在直线43的右侧作等边三角形ABC.若点P为。1的中点，连接尸C,则PC的长

的最小值为一.

【分析】本题考查了轴对称一最短路线问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加

恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

以AP为边作等边三角形APE,连接班，过点E作于尸，由“SAS”可证四△AC尸，可得

BE=PC,则当BE有最小值时，PC有最小值，即可求解.

【详解】解：如图，以AP为边作等边三角形APE,连接BE,过点E作于尸，

・点A的坐标为(0,8),，。4=8,点尸为Q4的中点，，”=4,

△AEP是等边三角形，EF±AP,AF=PF=2,AE=AP,ZEAP=ZBAC=60°,■.ZBAE=ZCAP,

AE=AP

在&ABE和△ACP中，＜NBAE=ZCAP,ABE空ACP(SAS),/.BE=PC,

AB=AC

・・.当BE有最小值时，PC有最小值，即BELx轴时，BE有最小值，

二郎的最小值为。尸=OP+PF=4+2=6,；.PC的最小值为6,故答案为：6.

例3.(2024・四川内江二模)如图，在OAB中，ZAOB=90°,BO=AO=2y[2,尸是08的中点，若点。

在直线A3上运动，连接OD,以OD为腰，向OD的右侧作等腰直角三角形ODE,连接PE,则在点。的

运动过程中，线段PE的最小值为.

p

【答案】1

【分析】取AO的中点Q,连接DQ,先证得。。。丝OPE,得出QD=PE,根据点到直线的距离可知当

QDLAB时，最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得8LAB时。。的值，即可求得线段PP的最

小值.

【详解】解：如图，取4?的中点Q,连接。Q,

DOE为等腰直角三角形，ZAOB=90°,：.ZAOB=ZDOE=90°,DO=DE,：.ZAOD^ZBOE,

VBO=AO=2yf2,P为8。中点，。是AO的中点，AAQ=OQ=BP=OP=^2,

OQ=OP

在和OPE中,<ZQOD=ZPOE,：.OQD-OPE,：.QD=PE,

OD=OE

:点。在直线A3上运动，.•.当QD，AB时，。。最小，•.•NA0B=9O。，BO=AO=2y[2^AZA=45°,

•.•QDLAB,是等腰直角三角形，VAQ=^2,：.AD=DQ=\,

线段PE的最小值是为1.故答案为：L

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质以及垂线

段最短问题，通过分析条件添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.

例4.（2024・陕西西安•模拟预测）如图，在VABC中，ZACB=90°,AB=4,点。是AB的中点，以BC为

直角边向作等腰RtABCD,连接OD,当OD取得最大值时，QB。的面积为.

【答案】2+72

【详解】解：过点8作使BE=BO,连接OC,OE,CE,如图1所示:

则NEBO=90。，为等腰直角三角形，AB=4,点。为A5的中点，.•・•BE=3O=g4B=2,

由勾股定理得：OE=dBE。+BO2=2也，

.在VABC中，ZACB=90°,AB=4,点。是AB的中点，，CO=8O=AO=1AB=2,

2

」等腰Rt2\BCD是以BC直角边的等腰三角形，.•.3C=3Z),ZCBD=90°,

NEBC=NEBO+ZABC=90°+ZABC,ZOBD=ZABC+ZCBD=90°+ZABC,ZEBC=Z.OBD,

BE=BO

在3c和OBD中，,NEBC=NOBD,：ABCQOBD(SAS),:.EC=OD,

BC=BD

根据“两点之间线段最短”得：EC<OC+OE,即ECW2+2应，.,.OZ)W2+28，的最大值为2+20，

此时点E,O,C在同一条直线上，过点。作。尸，交A8的延长线于尸，如图2所示：

03E为等腰直角三角形，：.NBOE=45°,CO=BO=2,:.ZOBC=ZOCB,

又\ZBOE=AOBC+ZOCB=45°,:.NOBC=NOCB=225°,ZOBD=90°+Z.OCB=112.5°,

EBC会,OBD,Z.OCB=NODB=22.5°，,ZDOB=180°-NOBD—NODB=180°-112.5°-22.5°=45°,

.•.△ODF为等腰直角三角形，=由勾股定理得：O产+。产=0»,

2

即2DF，=(2+2>/2),DF=2+y/2,■-QBD=5OB-DF=—x2x^2+-\/2j=2+-^2.

模型2.几何转化模型-相似转化法

模型解读

条件：OB=kOA,B'O=kOA',ZAOB=ZA'OB'；结论：AOAA's^OBB',BB'=kAA'.

该类转化法求最值的模型，三角形048和。4'2'在图形中很难同时出现，需要我们通过辅助线构造出手拉

手型的相似模型，从而将所求线段进行转化。

模型运用

例1.⑵-24九年级上•江苏宿迁•阶段练习）如图’在四边形钿。中,BCLDC^AD^AB^,

则对角线AC的最小值为.

【答案】1

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形三边的关系等知识，准确构造出相似三角形对线段

进行转化是解题的关键.

DFS

【详解】解：如图，过点A作且芸==

AD4

AD=1：.AE=-改=3设BC=3NCD=4Z则9=5左.•.匹=胆=9

4CD4ADCD4

Z.ADC=/EDBEDBADC/.-——二.AC——EB当EB最小时，AC最小

ACCD45

3545

EBNAS—AE最小为2-二二:二.AC最小为zx：=l故答案为：1.

4454

例2.（2024上•浙江宁波・九年级校联考期中）如图，O的直径A8长为16,点石是半径。4的中点，过点

E作CDLAB交；。于点C,。.点尸在C2O上运动，点Q在线段CP上，且尸。=2CQ.则E。的最大能

【答案】|V13+|

【分析】延长C。到F，使得DF=DE,连接OP,PF,OP,OD.首先证明EQ=g尸产,解直

角三角形求出OF,求出PF的最大值即可解决问题.

【详解】解：延长CD到F,使得DF=DE,连接OF,PF,OP,OD.

F

,：ABLCD二CE=DE'：DE=DF：.EF=2CE'：PQ=2CQ

222

又•."=OE=4,OD=8,ZOED=90°ADE=^Olf-OE=A/8-4=473

在RtOED中EF=2DE=8^,OE=4；.OF=ROE。+EF?=,4?+（86,=4屈

*/PF<OP+OF：.P尸W8+4而'则PF的最大值为8+4旧

二EQ的最大值为^^/5耳+§故答案为耳”^+]

【点睛】本题考查垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化

的思想思考问题.

例3.（23-24八年级下•云南曲靖•期中）如图，在矩形ABCZ）中，AB=3,BC=4,AC与30交于点。，

分别过点C,。作BD,AC的平行线相交于点F点G是C。的中点，点尸是四边形OCED边上的动点，

则PG的最小值是（）

【答案】D

【分析】先判定四边形OCQ为菱形，找出当G尸垂直于菱形OCED的一边时，PG有最小值.过。点作

0MlAC于过G点作GPLAC与P,则GP〃D暇，利用平行四边形的面积求解八s的长，再利用相

似三角形的判定和性质可求解PG的长，进而可求解.

【详解】解：：四边形ABCD为矩形，AC=BD,：.OD=OC.

•：DF//OC,OD〃CF,.♦.四边形OCED为萎形.：点G是CD的中点，点尸是四边形OCF。边上的动点，

.•.当GP垂直于萎形OCED的一边时，PG有最小值.

如图，过。点作DM1AC于M,过G点作GPLAC与尸，则G尸〃。加，

AB=3,BC=4,/.CD—AB-3,AC=yji1+42=5-

iiI?

SACDMADCD

ACD=~=~'ACDM=ADCD,BP5DM=4x3,解得0M=彳・

VGP//DM,G为CD的中点，/.Z\CPG^Z\CMD,

prrrPG=l£6

.•.芸=梁，.•.五一5,.♦.PG=2，故PG的最小值为故选：D.

【点睛】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识.正

确确定当GP垂直于萎形OCED的一边时，PG有最小值和正确作出辅助线是解题关键.

模型3.几何转化模型-中位线转化法

模型解读

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

条件：如图，在三角形ABC的AB,AC边的中点分别为。、E,

结论：(1)DE//BC且DE=LBC,(2)

2

证明：如图1,过点C作C尸〃AB交OE延长于点R:./A=/ECF,NF=NADE,

：DE是VABC的中位线，AAD=BD,AE=CE,：.AADE当ACFE(AAS),：.DE=FE,CF=AD,

：.CF=BD,DE=-DF,又,：CF〃BD,，四边形3CED是平行四边形，

2

：.BC=DF,BC//DF,：.DE//BC,DE=-BC；

2

DE//BC,ZADE=ZB,ZAED=ZC,AADEs4ABC。

模型运用

例1.（2024•山东德州•二模）如图，在平行四边形ABCD中，AD=6,BD=8,AD±DB,点、M、N分

别是边A3、BC上的动点（不与A、B、C重合），点、E、F分别为DN、跖V的中点，连接EF,则所

的最小值为（）

D_____________c

4MB

A.2.4B.3C.4D.4.8

【答案】A

【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理,利用三角形中位线定理得出=则当。欣工AB

时，DM最小，则EP最小，利用勾股定理求出48,然后利用等面积法求出DM的最小值，即可求解.

【详解】解：连接AM,

；点石、F分别为DN、的中点，=当。欣工AB时，DM最小，则成最小，

=6,BD=8,AD±DB,/.AB=y1AD2+BD2=10，

设△ABD中A3边上高为力，则,/.-x6x8--xlO/z,

2222

：.h=4.8,；.ZW最小值为4.8,则所最小值为gx4.8=2.4,故选：A.

例2.（2024•广东肇庆•一模）如图，点C在以A3为直径的半圆上，。是半圆上不与点C重合的动点.连

接CD,M是C£＞的中点，过点C作CPLAS于点P.若AB=9,则PM的最大值是.

9

【答案】/

【分析】本题考查了圆的性质、三角形中位线定理，延长CP至E,使CP=PE,连接DE,结合题意得出

即点E在圆上，由三角形中位线定理得出则当DE经过原点。时，DE有最大值为9,此时

有最大值，即可得解.

【详解】解:如图，延长CP至E,使CP=PE,连接DE,

.CPLAB,.,.点C、E关于直线A3对称，即点E在圆上，〃■是C£）的中点，，尸

1Q9

••・当。石经过原点。时，。石有最大值为9,此时有最大值，为万。石=5，故答案为：

例3.（2023・四川成都•一模）已知矩形43co中，AB=2AD=8,点E、F分别是边AB、CD的中点，点产

为AD边上动点，过点尸作与48平行的直线交AF于点G,连接PE,点M是尸E中点，连接MG,则MG的

最小值=________

【答案】詈

【分析】连接AC交尸G与点N,连接EN,证明MG=：EN,求EN最小值即可.

【详解】解：：AB=24）=8,点E、F分别是边AB、CD的中点，

ACF=FD,AE=4,AC="2+82=4行,；.sinNBAC=（,连接AC交PG与点N,连接EN,

•：PG//CD,：.ANGACF,APGADF；—=—=

CFAFDF

VCF=FD,：.NG=PG,二•点M是PE中点，/.MG=-EN,

2

当硒，AC时，EN最小,MG也最小；sinZBAC=-=^-,EN=—,MG=巫;故答案为：

AE5555

【点睛】本题考查了相似三角形的性质和解直角三角形，解题关键是恰当作辅助线，得出MG=：EN'求硒

最小值.

模型4.几何转化模型-（特殊）平行四边形对角线转化法

模型解读

该模型主要运用（特殊）平行四边形对角线的性质（如：平行四边形对角线互相平分、矩形的对角线相等）

来将不易求得的某些线段转化为能易求的线段进行求解。

模型运用

例1.（24-25九年级上•广东河源•阶段练习）如图，在矩形ABC。中，AD=6,AB=8,M为线段8。上

一动点，儿。，8于点「，MQ_1.BC于点Q,则尸。的最小值为

424

【答案】4.8/4j/y

【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，掌握矩形的

判定与性质是解题的关键.连接MC,首先根据勾股定理解得8。的值，证明四边形MPC。是矩形，可得

PQ=CM,当时CM3D,最小，则尸。最小，然后由面积法求出CM的长，即可获得答案.

【详解】解：如图，连接MC,

:四边形ABC。为矩形，AD=6,AB=8,：.ZBCD=90°,BC=AD=6,AB=CD=8,

BD=>JBC2+CD2=\l62+82=10MP±CD,MQ±BC,：.ZMPC=ZMQC=ZPCQ=90°,

•..四边形MPCQ是矩形，PQ=CM,当时CM_L3D,CM最小，则尸。最小,

1111

此时s—,即一x6x8=-xlOCM,解得CM=4.8,

2222

，PQ的最小值为4.8.故答案为：4.8.

例2.（23-24九年级上•广东茂名•期末）如图，尸是的斜边AC（不与点A、C重合）上一动点,

分别作于点M,PN1BC于悬N,。是肱V的中点，若AB=5,BC=12,当点尸在AC上运动时，

8。的最小值是

BNC

304

【答案】^/2-

【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等知识.连接3尸，证四边形3MPN是矩形,

得BP=MN.再根据当加，AC时，BP最小,然后由面积法求出BP的最小值，即可解决问题.

【详解】解：连接BP，如图，

VAB=5,BC=12,：.AC=y/AB2+BC2=13.

VZABC=90°,PM±AB,PNIBC,四边形3MPN是矩形，ABP=MN,BP与MN互相平分.

:点。是即V的中点，.•.点。在BP上，BO=^BP.•.•当BPLAC时，最小，

又•此时SOBCMLM.BCU’AC-BP,；.5xl2=133P,...台尸二的，.•••BOULBPM型.故答案为：—.

221321313

例3.（2024・河南周口•一模）如图，中，ZACB=90%AC=4,3C=6,点尸为AB上一个动

点，以尸C,尸3为邻边构造平行四边形尸BQC,连接P。，则尸。的最小值为（）

A.—V13B.—V13C.—V13D.而

131313

【答案】C

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，垂线段最短，设BC，PQ交于O,

过点。作OHLAB于H,由平行四边形的性质得到PQ=2OP,OB=^BC=3,则由垂线段最短可知，当

点尸与点”重合时，OP最小，最小值为的值，即此时P。最小，最小值为的值的2倍，利用勾股定

理求出AB=办。2+BC。=2/，再解直角三角形得到第=婴，据此求解即可.

OBAB

【详解】解：如图所示，设BC,PQ交于。，过点。作于H,

,••四边形尸BQC是平行四边形，，PQ=2OP,OB=；3C=3,.•.当。尸最小时，PQ最小，

由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，。尸最小，最小值为0"的值，即此时尸。最小，最小值为的

值的2倍，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=6,

AB=7AC2+BC2=2A/13，,sinZOBH=sinZABC=-=—,

ODAD

=-I-；,，。”=5叵，，PQ最小值为II，百，故选：c.

32031313

模型5.几何转化模型-其他性质转化法

模型解读

如图1,等腰三角形A8C中，AB=AC,ZBAC=120°,贝I]8C=6AC.

如图2,等腰直角三角形ABC中，AB=AC,N54C=90。，贝！）8C=&AC.

模型运用

例1.（23-24九年级上•广西柳州•期末）如图，正方形ABC。，边长钻=2,对角线AC、8。相交于点。，

将直角三角板的直角顶点放在点。处，三角板两边足够长，与BC、CD交于E、尸两点，当三角板绕点。

旋转时，线段E尸的最小值为（）

A.1B.2C.也D.272

【答案】C

【分析】证明OEC当OFD,得到所=0OE,要使所有最小值，即求OE的最小值，当OEL3C时，OE

有最小值，由等腰三角形的性质可求出.

【详解】解：,正方形ABC。，.•.OC=OD,NOr>C=NOC3=45o,OC，OD,

ZDOF=ZCOE,OC=OD,NODC=ZOCB=45°,:.OEC&OFD(ASA),

:.OE=OF,NEOF=9。。，：.EF=®OE,故要使EE有最小值，即求OE的最小值，

当OE1.3C时，OE有最小值，OB=OC,NBOC=9()o,OE，8C,

，OE=g8C=l,.•.线段斯的最小值为行.故选：C.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟

练掌握旋转的性质是解题的关键.

例2.(23-24九年级上.广东深圳•阶段练习)如图，在.ABC中，AB=AC=4,ZBAC=120°,P为BC边

上一动点，连接相，将线段AP绕点A顺时针旋转120。至AP',则线段PP的最小值为()

【答案】B

【分析】过点A作ADLPP于。，根据旋转的性质得到AP=AP,ZPAP'=120°,进而得到当PO最短时，

PP最短，当AP，3c时，AP最短，然后利用含30。角直角三角形的性质得到人尸=1AC=2,">=[4尸=1,

22

最后利用勾股定理求解即可.

【详解】解：如图所示，过点A作ADLPP于。，

由旋转可得，AP=AP',ZPAP'=120°,:.PP=2PD,ZAPD=30°,

当尸。最短时，PP最短，•••尸为BC边上一动点，.•.当3c时，钎最短,

VAB=AC=4,ZBAC=110°,/.ZC=30°,...当APJ_BC时，AP=-AC=2,

2

22

：.AD=^AP=1；.pD=.JAP-AD=A/3PP'=2PD=2A/3.故选：B.

【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和勾股定理等知识，解题的关键

是熟练掌握以上知识点.

例3.（2024・江苏无锡・三模）如图，在四边形ABC。中，AD//CB,对角线AC、BD交于点、O,且

ZAOB=120°.若AC+8D=4,则AD+3C的最小值为（）

【答案】D

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解决问题的关键

是作辅助线将条件集中在同一个三角形中求解.作OE〃AC交的的延长线于E,作于尸，设

BD=a,表示出DE,解斜三角形BCD,进而求得结果.

【详解】解：如图，作。E〃AC交BC的的延长线于E,作BF1.DE于F,

'：DE//AC,ZBDF=ZBOC=180°-ZAOB=60°,AD//CB,二四边形ADEC是平行四边形，

:.AD=CE,DE=AC,:.AD+BC=CE+BC=BE,设=贝£>E=AC=4-a,

在RtZi_BZ>尸中，BD=a,ZBDF—60°,DF=a-cos60°=^a,BF=a-sin60°=^-a,

22

EF=DE-DF=4-a-^a=4-^a,在Rt,.3CF中，BE2=BF2+EF2=与a+^4-|a^=3(a-2)2+4,

・・・当a=2时，BE1、=4,即B%小=2;.(AO+BC)最小=2.故选：D.

例4.（2024•陕西渭南•二模）如图，在菱形ABCD中，ZABC=120°,48=2相，点E、/分别是AD、BC

边上的两个动点，连接AF,EF,若E4平分N3EE,则。E的最大值为（结果保留根号）

【答案】2石-3

【分析】此题考查了菱形的性质，利用三角函数求边长，过点8作BGLAD于点G,由菱形的性质易得

ZBAD^&）°,AD//BC,求出3G=AB-sinNR4D=3.根据菱形的性质及角平分线得到ZO4F=/4FE,推

出AE=£F.由AE+OE=40=26可知，当AE最小时，DE最大,从而得到DE的最大值.

【详解】过点8作3GLAD于点G,由菱形的性质易得N54D=60。，AD//BC,则N4FB=NZM厂.

,:AB=26，BG=ABsinZBAD=3.•:FA平分ZBFE,

：.ZAFB=ZAFE,贝！|ZO4F=/47芯，AAE=EF.

•..隹=跖，，AE最小=3G=3,的最大值为2不一3.

习题练模型

1.（23-24九年级上•山西临汾•期中）如图，在,ABC中，AB=BC=10,AC=12,点。，E分别是ABIC

边上的动点，连结OE,F,M分别是AROE的中点，则的最小值为（）

A.12B.10C.9.6D.4.8

【答案】D

【分析】本题考查等腰三角形三线合一的性质，三角形的面积，三角形中位线定理，正确得出AE的值是解

题的关键.过点8作于H,当AE取最小值时，万N的值最小，由垂线段最短可知，当于

点E时，AE的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出3〃的长，进而利用三角形等面积法求解即可.

【详解】过点2作3"，AC于H,

,:F,M分别是AD,OE的中点，...&当AE取最小值时，取的值最小，

由垂线段最短可知，当AELBC于点£时，AE的值最小，

在,ABC中，AB=BC=10,AC=12,：.CH=-AC^6,：.BH=^BC2-CH2=8>

ASVA5C=1X12X8=48=1-BC-A£,AE=9.6,：.FM=4.8,故选：D.

2.（2023•浙江杭州•二模）如图，点。为VABC的内心，ZB=60°,BM手BN,点M,N分别为AB,BC

上的点，且OM=ON.甲、乙两人有如下判断：甲：ZMON=120°；乙：当MN,3c时，△MQV的周长有

最小值.则下列说法正确的的是（）

A.只有甲正确B.只有乙正确C.甲、乙都正确D.甲、乙都错误

【答案】A

【分析】此题主要考查了三角形的内心，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键正确的作出辅助线构

造全等三角形，难点是在解答△MON的周长最小时，将三角形的各边都用ON表示，并根据垂线段最短来

判断.连接。8,过点。作ODLAB于。，OELBC于E,依据“HL”判定RtODM和RtOEN全等,从而

得出NDOM=NEON,然后再根据四边形的内角和等于360。即可对甲的说法进行判断；过点。作

于点F,则M2V=2NF,根据ZMON=120。得？NO尸2MoF60?,进而得NF=^ON,据此得改WON

2

的周长为(2+g)ON,只有当ON最小时，△MON的周长为最小，然后根据“垂线段最短”可对乙的说法进

行判断.

【详解】解：连接03,过点。作于。，OELBC于E,

「点。为VABC的内心，.〔QB是，A5C的平分线，又ODLAB,OEVBC,:.OD=OE,

[OM=ON/、

在Rt和RtOEV中，\,.-.Rt.ODM^RtOEN(HL),:.NDOM=NEON,

[OD=OE

在四边形ODBE中，ZODB=ZOEB=90°,.-.ZB+ZDOE=ISO0,

又NB=60°,二NZ)OE=120°,即：?DON?EON120?,

ADON+Z.DOM=120°,即：ZMON=120°,故甲的说法正确；

过点。作OF_LM2V于点F,OM=ON,OF工MN

.•.O尸是NMON的平分线，MF=NF,:.MN=2NF,

又,.甲的说法正确；:.ZMON=110°,ZNOF=ZMOF=60°,

NFn

在RtNOF中，sinZNOF=—,/.NF=ON-sinZNOF=ON-sin600=—ON,

ON2

MN=INF=y/3ON,.•.△MON的周长为：OM+ON+MN=(2+^5)ON,

.,.当ON最小时，△MON的周长为最小，根据“垂线段最短”可知：当ONL3C时，△MQV的周长为最小，

跖V_L3C,.〔ON与BC一定不垂直，.ION不是最小，

△M0N的周长不是最小，故乙的说法不正确.故选：A.

3.(23-24八年级下广东江门.期中)如图，已知正方形ABCD的边长为4,点尸是对角线即上一点，PELBC

于点E,/>/_1_8于点/，连接AP,EF.给出下列结论：①AP=EF且API■川；②NPFE=ZBAP；③

△WP一定是等腰三角形；④四边形尸ECF的周长为4夜；⑤EF的最小值为2及；@PB2+PD2=2PAr.其

中结论正确的是()

A.①③④⑤B.②③④⑥C.①④⑤⑥D.①②⑤⑥

【答案】D

【详解】①连接PC,延长FP交4B于点G,PELBC,PF1CD,ZPEC=ZPFC=90°,

.正方形A5co中，ZBC»=90°,:.ZEPF^90°,四边形PECF是矩形，:.PC=EF,

由正方形的对称性知，AP=PC,:.AP=EF-,AB//CD,:.PF±AB,

APG和中，PE1PG,PFLAG,:.APLEF；二正确；

PC=EF,PE=EP,/.RtPCE^RtEFP（HL）,:.ZPFE=NECP,

ZBAP=/BCP,;.ZBAP=APFE-,’正确；

③。ZADP=45°,ZDAP+ZDPA=135°,ZDAP<ZDAB=90°,ZDPA>ADBA=45°,

只有当/ZMP=/Z圮4=67.5。时，或/皿>=/尸"=45。时，一ADP才是等腰三角形，除此之外都不是等

腰三角形；.•.不正确；

®-NBDC=NDBC=45。,NDFP=/PEB=90°,:.NBPE=9。-NPBE=45。,ZDPF=90-ZPDF=45°,

;.BE=PE,DF=PF,：.PE+EC+PF+CF=（BE+EC）+（DF+CF）=BC+CD=4+4=8■,•.不正确；

⑤连接AC,设AC与BD交点为。，则ACLB。，:.AP>AO,

AC=y[2AB=4y/2，；.AO=；AC=2也，；.AP》24i，：.EFN2-fL；.EF的最小值为20;，正确；

⑥AP2=EF2=PE2+PF2>PE=BE,PF=DF,

2AP2=2PE2+2PF2=PB2+PD2-BPPB2+PD2=2AP2;二正确.故正确的有①②⑤⑥故选：D.

【点睛】本题主要考查了正方形，矩形，全等三角形，轴对称，等腰三角形，勾股定理，解决问题的关键

是熟练掌握正方形性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形判定和

性质，勾股定理解直角三角形.

4.（2024•江苏扬州•三模）如图，正方形ABC。边长为4,以3为圆心，A5为半径画弧，E为弧AC上动

点，连8E,取8E中点/，连C/,则DE+CF最小值为.

【答案】2石

【分析】在BC上截取5G=2,证明ABB和BEG全等,得到CF=EG,则DE+CF=DE+EGNDG,由

此得出最小值.本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是将DE+CF转化为

DE+EG,根据三角形三边关系，得出最小值.

【详解】解：在上截取BG=2,连接EG,DG,

:正方形⑷?CD边长为4,以8为圆心，A3为半径画弧，AB=8E=CB=4,

BC=BE

•.•F是8E中点，:.BF=2=BG,在ABCF和3EG中，<ZCBF=ZEBG,

BF=BG

BCF&BEG(SAS),.-.CF=EG,DE+CF=DE+EG>DG,

CD=4,CG=2,.-.DG=ylCD2+CG2=2y/5,DE+CF的最小值为2百，故答案为：2卮

5.(24-25九年级上•福建厦门・期中)如图，若RCABC中，ZACB=90,ZB=30,AC=26,P是BC

边上一动点，连接AP,把线段AP绕点A逆时针旋转60到线段AQ,连接C。，则线段C0的最小值为（）

Q

BPC

A.1B.3C.V3D.2抠

【答案】C

【分析】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30。角的直角三角形的性质等，找出点

P和点尸重合时，最小，最小值为E尸的长度是解本题的关键.

取4B的中点E,可得AE=AC=26，连接尸E,过点E作防于尸，由旋转的性质得出入。=AP,

^PAQ=60°,证明qC4Q空.E4P（SAS）,由全等三角形的性质得出CQ=EP,则当EFL3C（点P和点产

重合）时，£P最小，然后由含30。角的直角三角形的性质求解即可.

【详解】解：如图，取4B的中点E,连接PE,过点E作EFL3c于R

A

在心AC3中，,3=30。，AC=2也,?.AB=2AC=4yf3,，胡C=60。

:.AE=BE=AC=25由旋转知，AQ=AP,^PAQ=60°,

：.ZPAQ=NEAC=60°,即有：NEAP+ZCAP=ZCAQ+ZCAP

：.NEAP=ZCAQ,/.CAQ^EAPCSAS）,/.CQ=EP,

要使C。最小，则有EP最小，而点E是定点，点?是BC上的动点，

.•.当EF,3c（点尸和点尸重合）时，EP最小，即点尸与点尸重合，C。最小，最小值为EP,

在M3FE中，/B=30。，：.EF=；BE=6,故线段CQ长度的最小值是代，故选：C.

6.（2023九年级下•安徽•专题练习）如图，在BCP中，BP=血,PC=4,现以3C为边在3C的下方作

正方形A3CD并连接AP,则AP的最大值为（）

A.275B.6C.4+2垃D.726

【答案】B

【分析】将尸绕点8逆时针旋转90。得3CE,连接尸E,则是等腰直角三角形，AP=CE,再利

用三角形三边关系可得答案.

【详解】解：将.尸绕点3逆时针旋转90。得BCE,连接尸E,

则.5PE是等腰直角三角形，AP=CE,:.PE=y/2BP=2,

在△CPE中，CEV尸E+CP,;.CE的最大值为2+4=6,即AP的最大值为6,故选：B.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形三边关系等知识，熟练掌握旋转的性质是解

题的关键.

7.（23-24八年级下•辽宁阜新•期中）如图，边长为20的等边三角形A3C中，又是高CH所在直线上的一

个动点，连接MB,将线段8M绕点2逆时针旋转60。得到3N,连接HN,则在点M运动的过程中，线段

长度的最小值是（）

A.3B.10C.5D.6

【答案】C

【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作

辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点.取的中点G,连接MG,BG=CG昊BC,

据等边三角形的性质可得HB=3G,再求出=根据旋转的性质可得3M=BN,然后证明

AffiG丝NBH（SAS）,再根据全等三角形对应边相等可得=