2025年中考数学一轮复习难点专练：辅助圆四种常考模型（解析版）

难点16辅助圆四种常考模型

题型一：定点定长构造辅助圆

题型二：定弦定角构造辅助圆

题型三：主从联动构造辅助圆

题型四：定角定高构造辅助圆

.精淮理分

题型一：定点定长构造辅助圆

i指I点I迷I津

利用定点定长构造辅助圆的几种常见类型

类一点作圆三点定圆旋转作圆折叠作圆

型

图八（定长）,上B'「，（定长）D

0*-------X（动点）**

不E

（定点）B

（定点）

B1C

C

特平面内，点0为定点，点AOA=OB=OC△ABC绕点A旋转得到△ABC将ABEF沿EF折叠，点E

点为动点，且0A的长度是定点，点B的对应点

固定为点G

作定长）

D

法（定长）,♦1

\0*"A（动点）（定点）J

定点）J

「8!\（:

结点A在以点0为圆心,点A,B,C均在点B,C的运动轨迹分别是以点点G的运动轨迹是以点

论0A长为半径的圆上运动0。上A为圆心，以AB,AC的长为半径E为圆心,BE长为半径

的圆的一段圆弧

【中考母题学方法】

【典例1-1】（2023•黑龙江•中考真题）在Rt^ACB中，NA4c=30。,。8=2,点E是斜边A3的中点，把

□△ABC绕点A顺时针旋转，得RtAAFD，点C,点8旋转后的对应点分别是点D,点、F,连接CF,EF,CE,

在旋转的过程中，△回面积的最大值是.

【答案】4+75/73+4

【分析】过点A作AGLCE交CE的延长线于点G,求出AG=[AC=^,然后由旋转的性质可知点P在

以A为圆心的长为半径的圆上运动，则可得如图中G、A、尸三点共线时点尸到直线CE的距离最大，求

出距离的最大值，然后计算即可.

【详解】解：如图，在Rt^ACB中，ABAC=30°,CB=2,点E是斜边A8的中点，

0AB=2CB=4,CE=^AB=2=AE,AC=&C=2«，

0ZEC4=ZBAC=3O°,

过点A作AG，CE交CE的延长线于点G,

0AG=-AC=>/3,

2

又El在旋转的过程中，点尸在以A为圆心AB的长为半径的圆上运动，AF=AB=4,

回点尸到直线CE的距离的最大值为4+有，（如图，G、A、尸三点共线时）

0ACEF面积的最大值=30£*（4+6）=；乂2工（4+6）=4+石,

故答案为：4+^3.

【点睛】本题考查了含30。直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质，圆的基本性质等

知识，根据旋转的性质求出点尸到直线CE距离的最大值是解答本题的关键.

【典例1-2】（2024・吉林长春•模拟预测）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图，点A是。。外

一点，点P在O。上，。。的半径为1,连结A尸并延长至点。，使得A?=PQ,当点尸在。。上运动一周时，

试探究点Q的运动路径.

【问题解决】经过讨论，小组同学想利用中位线的知识解决问题：如图①，连接AO并延长至点以使得

AO^OB,连结。尸、BQ,由中位线的性质可推出点。的运动路径是以点8为圆心、2为半径的圆.下面

是部分证明过程：

证明：连结AO并延长至点B,使得AO=O3,连结。尸、BQ.

1°当点P在直线。4外时，

证明过程缺失

2°当点尸在直线。4上时，

易知80=20尸=2.

综上，点。的运动路径是以点B为圆心、2为半径的圆.

（1）请你补全证明中缺失的过程.

【结论应用】（2）在上述问题的条件下，记点M是线段P。的中点，如图②.若点P在。O上运动一周，

则点M的运动路径长为.

【拓展提升】（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=3,AO=4.点尸是平面内一点，DP=2,连结AP并延

长至点0,使得=连结2。、CQ,则△BCQ面积的最大值是.

图①图②图③

【答案】（1）证明见解析；（2）3万；（3）12.

【分析】本题考查了圆的综合知识，利用平行线的性质，中线的性质，确定动点的运动轨迹是解题的关键.

（1）通过证明是AAB。的中位线，可得8。=2。尸=2；

pnAD7

(2)过点M作MN〃。尸交AB于点N,利用平行线的性质可得=；，从而得到M点在以N为

MNAM3

3

圆心，5为半径的圆上，即可求解；

PDAP2

(3)过点。作QG〃尸。交的延长线于点G,根据平行线的性质可得用；=:7=£，则。点在以G为

2(jrA(23

圆心，3为半径的圆上，当QGLBC时，△BC。的面积有最大值.

【详解】解：(1)连结4。并延长至点8,使得49=03,连结。尸、BQ,如图：

[3P0是AASQ的中位线，

团BQ=20P=2；

2°当点尸在直线04上时，

易知BQ=2OP=2.

综上，点。的运动路径是以点B为圆心、2为半径的圆;

(2)过点M作MN〃。交于点N,如图：

p^K：

O

图②

^\OP\\MNf

POAP

团---=----

MNAM

团PM=MQ,AP=PQ,

团___—__A_P_—_2

'MN~AM~3"

回。尸=1,

3

团脑V=:

2

3

团M点在以N为圆心，,为半径的圆上,

，，』，3

团M点的运动路径为：27rx-=37r,

故答案为：3兀・,

（3）过点。作QG〃尸。交AZ）的延长线于点G,如图:

图③

团四边形ABCD为矩形，AD=4,

团BC=AD=4,

PDAP

团---------,

QGAQ

^PQ=^AP,

PDAP2

团---------=一,

QGAQ3

SDP=2,

团QG=3,

团。点在以G为圆心，3为半径的圆上，

当QG,8c时，ABCQ的面积有最大值，

0AB=3,

回△BCQ底边BC上的高为：3+3=6,

回△2CQ的面积=；x4x6=12,

回△BCQ面积的最大值为12,

故答案为：12.

【典例1-3]（2024•甘肃兰州•一模）综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上，"希望小组"的同学们以三角形为背景，探究图形

变化过程中的几何问题.如图，在VA3C中，AB^AC,ABAC^90°,点。为平面内一点（点A,B,D

三点不共线），AE为的中线.

【初步尝试】（1）如图1,小林同学发现：延长AE至点使得腔=隹，连接DM.始终存在以下两个

结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：

（T）DM=AC；（2）ZMDA+ZDAB=180°；

【类比探究】（2）如图2,将AD绕点A顺时针旋转90。得到AF,连接CP.小斌同学沿着小林同学的思考

进一步探究后发现：AE=^CF,请你帮他证明：

【拓展延伸】（3）如图3,在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点。在以点A为圆心，AD为半

径的圆上运动（">>•）,直线AE与直线CF相交于点G,连接8G,在点D的运动过程中3G存在最大

值.若4?=4,请直接写出BG的最大值.

图1图2图3

【答案】（1）见详解（2）见详解（3）2石+2

【分析】（1）选①证明，由中线得出ED=EB,再用SAS证明ADEM'BEA，利用全等的性质得出=54,

由等量代换得出。0=AC.

（2）由（1）①得结论得出NOME=NBAS,从而得出由平行的性质得出/MZM+ND4B=180。，

由旋转的性质得出/54C+/ZM尸=180。，进一步可得出/MD4=N0LF,利用AM/M丝AOLF,由全等的性

质得出M4=CF,最后等量代换可得出AE=gb.

（3）延长AE至点M,使得“石=小，连接同（2）可得回AMZM/ACF,由全等的性质得出

NDAE=ZAFG,,由旋转的性质得出AAFG+ZFAG=90。，当点G在尸C上时和当点G在FC的延长线上时，

分别求出NAGC,则在点。的运动过程中，点G在以AC为直径的。。上运动.取AC的中点。，连接。8,

OG,由三角形三边关系得出

BG<OB+OG,当G,0,8三点共线时（如图3所示），8G最大.解直角AB40,即可求出8。，进一步即

可求出BG.

【详解】解：（1）选择结论①

证明：I3AE为的中线

@ED=EB,

在Z\DEM和LBEA中，

ED=EB

</DEM=NBEA,

ME=AE

团△。曲修△跳X(SAS)

国DM=BA,

团AB=AC,

回DM=AC.

(2)延长AE1至使得腔=隹，连接MD,

由(1)得：ADEM%^BEA,

©ZDME=/BAE,

^DM//AB,

BZMDA+ZDAB=180°f

团NB4C=90。，AD绕点A顺时针旋转90。得到AF,

团NBAC+NDAF=180。，

0ZZMB+ZC4F=18O°,

团NMDA+/DAB=180。

^\ZMDA=ZCAF,

在VMM和VC4F中，

DM=AC

<ZMDA=ZCAF,

DA=AF

团△MZM包。IF(SAS),

团MA=CF,

^\ME=AE,

^\AE=-AM,

2

BAE=-CF.

2

F

(3)如图2,延长AE至点M,使得腔=AE,连接MD,

同(2)可得I3AMD4段AC4F.

SZDAE=ZAFG,

回A£>绕点A顺时针旋转90°得到AF,

EIZZMF=90o,

^ZDAE+ZFAG=9Q°,

EINAFG+NE4G=90。，

当点G在FC上时，

0ZAGC=ZAFG+ZFAG=90°,

当点G在FC的延长线上时，

0ZAGC=180°-(ZAFG+ZFAG)=90°,

在点D的运动过程中，点G在以AC为直径的。。上运动.

取AC的中点。，连接08,OG,

SBG<OB+OG

当G,O,2三点共线时(如图3所示)，BG最大.

0/54。=90°,

团A"。为直角三角形.

0AB=4,

0AC=4.

回AC为直径，

团AO=OG=2,

^BO=yjBA'+AO2=A/42+22=2-45，

EI3G=BO+GO=2岔+2.

【点睛】

本题主要考查了三等三角形的判定以及性质，平行线的判定以及性质，旋转的性质，以及三角形三边关系

得应用，勾股定理等知识点，分析出当G,。，2三点共线时（如图3所示），BG最大是解题的关键.

【中考模拟即学即练】

【变式1-1］（2023•河北张家口•一模）在VABC中，要判断和NC的大小关系（23和NC均为锐角）,

同学们提供了许多方案，老师选取其中两位同学的方案（如图1和图2）（）

①以点”为圆心，N3长为半径作①作边BC的垂直平分线

图观察点C与。Z的位置关系即可.J垣观察E尸与边/C是普看交点及交点位置即可J

图1图2

对于方案回、团说法正确的是

A.回可行、回不可行B.回不可行、13可行C.回、团都可行D.回、回都不可行

【答案】C

【分析】根据三角形边角关系直接判断即可得到答案;

【详解】解析：若点C在。A外，则AC>AB,

.-.ZB>ZC；

若点C在OA上，则AC=AB,

:.NB=NC；

若点C在。A内，则AC<AB,

:.ZB<ZC；

I可行；

若所与边AC交于点A,则AC=AB,

:.NB=NC；

若跖与边AC交于不是A的点，则AC>AB,

.-.ZB>ZC；

若跖与边C4的延长线有交点，则AC<AB,

:.ZB<ZC.II可行，

故选C.

【点睛】本题考查二角形边角关系：二角形中大角对大边，小角对小边.

【典例1-2】（2023•辽宁鞍山•一模）如图，等边三角形A3c和等边三角形ADE,点N,点M分别为BC,DE

的中点，AB=6,AD=4,VADE绕点A旋转过程中，的最大值为.

【答案】5石

【分析】由题可知：点M在以点A为圆心，AM为半径的圆上，连接AM,AN,贝U：AM+AN>MN,

当AN,M三点共线时，MN的值最大，进行求解即可.

【详解】解：连接

团等边三角形ABC和等边三角形ADE,点N,点M分别为BC,DE的中点，AB=6,AD=4,

©AMIDE,ANIBC,DM=2,BN=3,

^AN=ylAB2-BN2=3y/3>AM=>]AD2-DM2=2A/3>

国VADE绕点A旋转，

团点M在以点A为圆心，AM为半径的圆上，

团AM+ANNMN,

团当A,N,M三点共线时，的值最大,

即：MN=AM+AN=56;

故答案为：5A/3.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，以及借助圆，求线段的最值.解题的关键

是确定点M在以点A为圆心，AM为半径的圆上.

【变式1-3］（23-24九年级下•吉林长春•期末）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，QO

的半径为厂=2,点4在。。上，点8为线段0A中点，过点8作。4垂线/.点P是。。上一动点，点尸关

于直线/的对称点为P,试探究点尸'的轨迹.

【问题解决】经过讨论，小组同学猜想点P在一个确定的圆上，下面是部分证明过程：

证明：

证明过程缺失

团点P在以点为圆心，为半径的圆上.

（1）请你补全证明中的缺失过程.

【结论应用】（2）如图②，。。的半径为厂=2,点A与点C在。。上且/AOC=90。.点8为线段上的

点，且48=；，过点B作。A的垂线/.点P是AC上一动点，点尸关于直线/的对称点为P.当点尸从点

A运动到点C时，点P的运动路径长为.

【拓展提升】（3）如图③，若把上述问题的条件"42=；"去掉，其它条件不变，。为。。直径.点。到

点P'距离d的取值范围是.

【分析】本题考查圆的综合应用，熟练掌握对称的性质，能够确定尸'点的运动轨迹是解题的关键；

（1）利用对称性可知0P=0P=2,再由圆的定义可得P在以A为圆心，2为半径的圆上；

（2）作。点关于直线/的对称点O',则P在以O'为圆心，2为半径的;的圆上，再求点P的运动路径即

可；

（3）作。点关于直线/的对称点M,P在以M为圆心，2为半径的;的圆上，当直线/经过直径CO时，DP'

有最小值2,当直线/经过点A时，。尸有最大值4挺.

【详解】（1）回点B为线段Q4中点，

^OB=AB

回。、A点关于直线I对称

团点尸关于直线/的对称点为P,

团OP=OP'=2

团产'以A为圆心，2为半径的圆上；

图①

（2）作。点关于直线/的对称点O'

回点P关于直线I的对称点为P'，

SOP=O'P'

团点尸是AC上一动点,

"，在以。，为圆心，2为半径的9的圆上,

图②

(3)作。点关于直线I的对称点M

团点P关于直线I的对称点为P'，

团尸，在以M为圆心，2为半径的J的圆上

当直线/经过直径cr>时，0P有最小值2,

当直线/经过点A时，DP有最大值4金

IS2<d<4y/2

【变式1-4】(2023•河北保定二模)已知，在半圆。中，直径AB=10,点C,。在半圆。上运动，弦8=5.

⑴如图1,当AC=2O时，求证：钻丝△DBA；

⑵如图2,若/D4B=22.5。，求图中阴影部分(弦AD、直径A3、弧8。围成的图形)的面积；

⑶如图3,取C。的中点点C从点A开始运动到点。与点B重合时结束，在整个运动过程中：点M到

的距离的最小值是.

【答案】⑴见解析

⑵丁0+9万

(3)|-V3

4

【分析】(1)先根据圆周角定理证明NC4B=NDO4,再证明△C4504JDA4(SAS)即可;

(2)过。作AB于H连接，先证明ZDOB=45°,再求出。”的长，再根据S阴影部分=S扇形OOB+SaAO。

即可；

(3)连接OCO2OM,过点M作"于点”，先证明△OCD是等边三角形，再根据

M"=MO.sinNMOH,当sinNMOH最小时，即当点。与点A重合时，有最小值.

【详解】⑴证明：^CD=CD,

团NC4D=ND5C,

回AC=BD

⑦NDAB=/CBA,AC=BD,

国NCAD+NDAB=NDBC+NCBA.

即/CAB=/DBA,

在△CAB和△DBA中，

AC=BC

<ZCAB=ZDBA,

AB=BA

团△CAB^ADBA(SAS)；

(2)解：过。作。"JLAB于〃连接O。，如图:

回。4=OD=5,

团ZDAB=ZADO=22.5°,

团ZDOB=ZOAD-^-ZADO=45°,

45XKX5225

国DH=---------------71，

3608

=^OA-DH=^-y/2,

25

团S阴影部分=S扇形DOB+S&AOD=工友H----71;

8

(3)解：连接0c。2。加,过点M作MH于点H,

D

,-.OC=OD=CD,

AOCD是等边三角形,

回点加是8的中点，

:.OMLCD,ZC=6Q°,

.-.OM=OC-sin60°=5x^=—

22

5h

在RtAA/WO中，MH=MO-sinZMOH=—sinZMOH,

2

当sinNMOH最小时，有最小值,

即当点C与点A重合时，ZMOH=ZCOM=|ZCOD=30。,

=—sin30=—,

24

故答案为：曲

【点睛】本题考查圆的综合应用，掌握全等三角形的定，圆的性质及圆中的相关计算是解题的关键.

【变式1-5］（2022九年级上•全国•专题练习）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所

组成的图形.

图2

⑴已知：如图1,OA^OB^OC,请利用圆规画出过A、B、C三点的圆.若N4CB=70。，则NACB=

(2)已知，如图2,RSABC中，ZABC=90°,ZBCA=30°,AB=2.点尸为AC边的中点，将AC沿54方向

平移2个单位长度，点4尸、C的对应点分别为点。、E、F,求四边形或小C的面积和N的的大小.

⑶如图3,将AC边沿BC方向平移。个单位至。/，是否存在这样的。，使得直线。尸上有一点Q,满足

NBQA=45。且此时四边形网)户的面积最大？若存在，求出四边形&4£)尸面积的最大值及平移距离。，若不

存在，说明理由.

【答案】⑴35。

(2)四边形8。”的面积为6石，的大小为30。

⑶四边形fiWF的最大面积为4+26，平移2个单位

【分析】(1)利用圆的定义知AB.C三点共圆，再利用圆周角定理求解即可；

(2)根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解;

(3)因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出。点能够向右移动的最大距离,

求出四边形的最大面积.

【详解】(1)解:以。为圆心，为半径作辅助圆，如图，

ZAOB=70°,

ZACB=35°,

故答案为：35。；

(2)解：连接PE,如图,

及△ABC中，ZABC=90°,ZBG4=30°,AB=2,

AC=4,ABAC=60°,BC=2拒,

VP为RUABC斜边AC中点,

;.BP=-AC=2,

2

线段AC平移到。尸之后，AB=AD=PE=2,BP=AE=2,

，四边形为菱形,

Q/R4c=60°,

:.ZBEA=30°,

-,-CF//BD,且ZABC=90°,

，四边形题甲C为直角梯形,

.­.S=1(BZ)+CF)-BC=1X6X2V3=6A/3;

(3)解：如图所示,

二

B7F

'、、O

A'、、一—JQ(D)

当AC边沿BC方向平移2个单位至。歹时,

满足ZBQA=45。且此时四边形BADF的面积最大,

此时直角梯形ABED的最大面积为,

S=g(BF+AQ).AE=；x(2G+2+2)x2=4+2代.

【点睛】本题主要考查图形的平移、圆心角、圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求

解.

题型二：定弦定角构造辅助圆

:指I点I迷I津

定弦定角构造辅助圆的几种常见类型

类型定角为直角定角为锐角定角为钝角

图示CC

A

AB

特点在4ABC中，已知AB的长，点在^ABC中,已知AB的长，点C为在4ABC中，已知AB的长，点C

C为动点，且保持/ACB=90°动点,且保持/ACB=a（a为锐角）为动点，且保持/ACB=a（a为钝角）

动点定“一、、条-…'、N----、

（国

运动A\O：B

F

轨迹1B

结论点C在以点0为圆心,AB长点C在以点0为圆心、，圆心角为点C在以点0为圆心，圆心角为

为直径的圆上运动2a的优弧AB上运动（点0,C（360°-2a）的劣弧AB上运动（点

在AB同侧）0,C在AB异侧）

【中考母题学方法】

【典例2-1】（2024•江苏扬州•中考真题）如图，已知两条平行线八％点A是4上的定点，4皿于点8,

点C、。分别是人4上的动点，且满足AC=fiD,连接CD交线段A3于点E,BHLCD于点、H,则当NB4"

最大时，sinNBA/f的值为.

【分析】证明AACE丝A瓦史（ASA）,得出BE=AE=：A8,根据3H_LC。，得出NBHE=90。,说明点H

在以BE为直径的圆上运动，取线段BE的中点O,以点。为圆心，OB为半径画圆，则点H在。。上运动,

说明当与。O相切时最大，得出根据AO=AE+OE=3OE,利用

sinNBAH=^=黑二，即可求出结果.

AO3OE3

【详解】解：回两条平行线4、4,点A是4上的定点，AB，/?于点8，

团点B为定点，AB的长度为定值，

飘〃6，

SZACE=ZBDE,ZCAE=ZDBE,

SAC=BD,

ElAACE^ABDE（ASA）,

^BE=AE^-AB,

2

^BHLCD,

=90°,

团点H在以防为直径的圆上运动，

如图，取线段班的中点O,以点O为圆心，05为半径画圆,

则点”在。。上运动，

团当AH与。。相切时NB4H最大,

BOH±AH,

0AE=BE=2OE,

团AO=AE+OE=3O石，

⑦OH=OE,

国sinN•=丝=匹」，

AO3OE3

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三

角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹.

【典例2-2】（2024・河南•中考真题）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,CA=CB=3,线段CD绕点C在

平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点£.若CD=1,则AE的最大值为,最小值

为.

【答案】272+1/1+27220-1/-1+2应

【分析】根据题意得出点。在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以A3为直径的圆上，根据

AE=AB-cosZBAE,得出当cos/BAE最大时，AE最大，cos/BAE最小时，AE最小，根据当AE与。C相

切于点，且点。在VABC内部时，4AE最小，AE最大，当AE与OC相切于点。，且点。在VA3C外

部时，/54E最大，AE最小，分别画出图形，求出结果即可.

【详解】解：0ZACfi=90°,CA=CB=3,

[3ABAC=ZABC=1x90°=45°,

2

团线段CD绕点C在平面内旋转，8=1,

回点。在以点C为圆心，1为半径的圆上,

0ZAEB=9O°,

团点E在以A3为直径的圆上，

在RtAABE■中，AE=AB-cosZBAE,

团AB为定值，

团当cosZBAE最大时，A£1最大，cosNBM最小时，AE最小，

团当AE与。C相切于点。，且点。在VABC内部时，NB4石最小，A£最大，连接CO,CE,如图所示:

则CD_LAE,

ZADC=ZCDE=90°,

^AD=y/AC2-CD2=732-l2=272-

0AC=AC,

SZCED=ZABC=45°,

0ZCDE=90°,

EIACDE为等腰直角三角形,

团DE=CD=1,

国AE=AD+DE=2&+1，

即AE的最大值为2>/I+l;

当AE与。C相切于点。，且点。在VA3C外部时，NBAE最大,AE最小，连接CD,CE,如图所示:

则CD_LAE,

0ZCDE=90°,

^AD=ylAC2-CDr=732-12=242'

团四边形ABCE为圆内接四边形，

SZCEA=180°-ZABC=135°,

0ZCED=180°-ZCEA=45°,

0ZCDE=90°,

团ACDE为等腰直角三角形，

团DE=CD=1,

^AE=AD-DE=2y/2-l<

即AE的最小值为20-1;

故答案为：2拒+1;272-1.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，

解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出AE取最大值和最小值时，

点。的位置.

【典例2-3】（2024•陕西西安•模拟预测）（1）如图1,在VABC中，NBAC=6CT,为BC边上的高，若A£>=9,

求VA3C面积的最小值；

（2）某花卉培育公司有一块直角三角形鲜花培育基地，现在研究人员打算在这块鲜花培育基地上规划出一

部分来培育新品种郁金香.如图2,V43C是这片鲜花培育基地的平面示意图，^ABC=9（T,点。是AC边

上一点，连接80,ZABD=ZCBD,且BD=80点m,点、P为BC上一点,ZCDP=45°,为了更有效的利

用这块鲜花培育基地，需要新品种郁金香培育基地4?尸£>的面积尽可能的小，请你求出新品种郁金香培育

基地ABPD面积的最小值.

【答案】(1)276；(2)64000平方米

【分析】(1)作VABC的外接圆。。，连接。4、OB、OC,过点。作OEL3c于点E,根据等腰三角形

的性质得出ZOBC=ZOCB=30。，设3=03=OC=r,则OE=；r,BC=2BE=6厂，根据OA+OEt,

得r+grN9,求出r26,BC=2BE=V3r>673,然后求出结果即可；

(2)过点。作于点E,3C于点尸，根据角平分线的性质得出DE=D/，证明

RtABDE^RtABDF(HL),得出2O=8O0m,ZDBE=^ZABC=45°,ZBED=9Q0,求出

^BDE=^BE-DE=3200(^),在B尸上截取尸G=AE，连接£>G，证明AORG丝aE4(SAS)，得出

S

ZADE=ZGDF,根据S四边形.=S四边形皿++.DEA=6400+S^DPG,得出要使四边形ABPD的面积最

小，只需ADPG的面积最小，求出/P£>G=45。，AOGP的外接圆圆心为。，连接。。，OG,0P,作OHJLGP

于点H,根据OG+^OG280,得出OGZ80(2-⑹，求出PG=2G8=应06N1600-160，得出

S-PDG=；PG.DFN；义(1600-160)x80=(6400^/2-6400)m2,最后求出结果即可.

【详解】解：(1)如图，作VABC的外接圆。O,连接。4、OB、OC,过点。作OELBC于点E,

：.ZBOc=no,

:.ZOBC=ZOCB=30°,

设OA=OB=OC=Y,则=

2

回公卜⑶二与,

S\OE±BC,

0BC=2BE=6,

由OA+OENAD,得r+；rN9,

BPr>6,

BC=2BE=y/3r>6y/3,

S/=J.BC.AO&x66x9=27百，

.■.AABC面积的最小值为276；

(2)如图，过点。作。E■上AB于点E,£>b_18。于点尸，

ZABD=ZCBD,

:.DE=DF,

又,：BD=BD,

RtABDE=RtABDF(HL),

BD=8072m,ZDBE=-ZABC=45°,/BED=90°,

2

:.^BDE,VW用均为等腰直角三角形，

S.DE=DF=BE=BF=80m,

2

■.S^BDE=^BE-DE=3200(m),

如图，在防上截取尸G=AE,连接。G,

■：FG=AE,ZDFG=ZDEA=90°,DF=DE,

.*.△DFG^ADE4（SAS）,

.\ZADE=ZGDFf

…S四边形ABpD=S四边形班;。尸+S4DPF+S丛DEA=6400+.，

要使四边形ABPD的面积最小，只需△。尸G的面积最小，

ZCDP=45°,

.-.ZADP=180°-45°=135°,

/ADE+NPDF=45°,

/GDF+/PDF=NPDG,

;.NPDG=45°.

如图，ADGP的外接圆圆心为。，连接OD,OG,OP,作于点

^GDP=45°,

/GOP=90°,

NOGP=NOPG=45°,

:.OH=GH=—OG,

2

5

由题意得OD+O/NO尸，BPOG+—OG>SO,

2

OG>80（2-V2）,

PG=2GH=V20G>160点-160，

2

S^PDG=|PGZ）F>|X（160忘-160）x80=（64005/2-6400）m,

S四边形的切>6400+64000-6400=64000（m2）,

二新品种郁金香培育基地ABPD面积的最小值为6400近平方米.

【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计

算，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定

和性质.

【中考模拟即学即练】

【变式2-1］（2024・湖北武汉•模拟预测）如图，CD为。O直径，AfiLCD且过半径0。的中点X,过点A

的切线交C£>的延长线于G,且GH=6,点E为。。上一动点，CFLAE于点片当点E从点2出发逆时

针运动到点C时，点尸经过的路径长是（）

26R4石,0瓜n8若

A.-----771r13.-----7TC.2.\37兀rU•-------71

333

【答案】B

【分析】连接AC,AO,由ABLCD,利用垂径定理得到H为A3的中点，证明AAOGSAHQ4,可求圆的

半径，在直角三角形AOH中，由A0与OH的长，利用勾股定理求出AH的长，进而确定出的长，由

CO+加求出CB的长，在直角三角形A"C中，利用勾股定理求出AC的长，由CP垂直于AE,得到三角

形ACF始终为直角三角形，点厂的运动轨迹为以AC为直径的圆上，当E位于点8时，CHLAE,止匕时B

与"重合；当E位于点C时，此时尸与C重合，可得出当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点尸所经

过的路径长C8的长，在直角三角形ACH中，利用锐角三角函数定义求出NC4”的度数，进而确定出CH所

对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出CH的长，即可求出点P所经过的路径长.

【详解】解：连接AC,AO,

SiABYCD,

国打为A3的中点，即=

团AG是O。的切线，

团ZOAG=90°=ZAHO,

又ZGOA=ZAOH,

团△AOG^AHOA,

「AOOG

团---=----

HOOA

即OA2=OHOG,

0OA2=；OA[6+：OA],

回Q4=4或。4=0（不符合题意，舍去）

SOH=2,AH=VAC2-OH2=2yj3=BH，

团AC=y/AH2+CH2=4A/3，

^CFrAE,

回△ACP始终为直角三角形，点厂的运动轨迹为以AC为直径的圆上，

当E位于点8时，CHLAE,此时P与H重合；当E位于点C时，此时尸与C重合,

团当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点尸所经过的路径长C8的长，

在RtAAS中，tanZACW=—=^,

CH3

0ZACH=30°,

SZCAH=60°,

fflCH所对圆心角的度数为120。,

团直径AC=473,

_VlJZ.120T-2退4月万

13cH1的长=—痂工=三一，

lot)J

则当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点尸所经过的路径长S的长为多.

故选：B.

【点睛】此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长

公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到当点E从点8出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长

为CH的长是解本题的关键.

【变式2-2]（2023•陕西西安•模拟预测）（1）问题提出：如图①，VABC为等腰三角形，ZC=120°,

AC=BC=8,£＞是A3上一点，且C£＞平分VABC的面积，则线段C£＞的长度为.

（2）问题探究：如图②，VABC中，ZC=120°,AB=W,试分析和判断VABC的面积是否存在最大值,

若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

（3）问题解决：如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在

会场旁规划一个四边形花圃满足3c=600米，CD=300米，ZC=60°,NA=60。，主办方打算过

3C的中点M点（入口）修建一条径直的通道ME（宽度忽略不计）其中点E（出口）为四边形ABCD边上

一点，通道ME把四边形A8CD分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷

休闲观赏.问是否存在满足上述条件的通道ME?若存在，请求出点A距出口的距离AE的长；若不存在，

请说明理由.

图①图②图③

【答案】（1）4；（2）存在，最大值为空叵；（3）存在通道ME把四边形分成面积相等并且尽可能

3

大的两部分，AE的长为75百米

【分析】（1）根据C£＞平分VABC的面积，得到人。=血，利用三角形内角和及等腰三角形的性质求出

ZA=ZB=30°,即可根据30度角的性质求出线段CD的长度；

（2）作VABC的外接圆，圆心为。，作OH_LAB并延长交。。于点。，连接05,3。，证明

△AOD'BOD,得到NADO=/3DO=60。，利用正切值求出由NC=120。，即点C在劣弧A3上，

得到当VABC的高最大时，VABC的面积最大，即点C与点。重合时，VABC的高的最大值为根据

面积公式计算即可；

（3）连接DM,证得NCDB=90°,由ZA=60。，△BCD的面积是定值，得到要使四边形ABCD的面积最

大，只要的面积最大即可，求出四边形ABCD的面积的最大值，连接AM,求出的面积，

得到点E在4。上，过点M作必/LA7）于点打，连接ME,根据三角函数求出MH,再利用AAEM的面

积求出AE即可.

【详解】解:（1）回。平分VABC的面积，

团AD=BD,

团AC=5C=8,ZC=120°,

BZA=ZB=30°,

0C£)=-AC=4,

2

故答案为：4.

(2)作VABC的外接圆，圆心为。，作并延长交0。于点，

连接OAOB,ARBZ),

贝I]ZADB=ZACB=120°,

0OHXAB,OA=OB,

SZAOD=ZBOD,AH=BH=5,