2025年中考数学第一次模拟考试（南京卷）（全解全析）

2025年中考数学第一次模拟考试(南京卷01)

全解全析

一、选择题(本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题

目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上)

1.6的算术平方根是()

A.2B.6C.V6D.2+V2

1.C

【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可.

【详解】解：6的算术平方根为历，

故选：C.

【点睛】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提.

2.若(a+3)(a+2b)=a2-2a-15,则6等于()

5

A.5B.--C.2D.-2

2.B

【分析】把(a+3)(fl+26)变成*+(3+26)a+6b,再根据(a+3)(a+2b)—a2-2a-15即可求解.

【详解】解：(a+3)(a+26)=a2+3a+2ab+6b=a2+(3+26)a+6b,

V(a+3)(a+26)=a2-2a-15,

：.3+2b=-2或66=-15,

5

解得：b=--,

故选：B.

【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，掌握运算法则是解题的关键.

3.截至10月30日，某市累计新冠疫苗接种共完成1015000人次，将1015000用科学记数法表示应为()

A.10.15X106B.1.015X106

C.0.1015X107D.1.015X107

3.B

【分析】科学记数法的表示形式为aX10〃的形式，其中"为整数.确定〃的值时，要看把

原数变成。时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，n

是正整数；当原数的绝对值＜1时，〃是负整数.

【详解】解：1015000=1.015X106.

故选:B.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中同＜10,n

为整数，表示时关键要确定。的值以及〃的值.

4.若X1，X2是一元二次方程x2-13x-14=0的两根，贝1J.X1+X2的值是（）

A.13B.-13C.14D.-14

4.A

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可.

【详解】解：13x74=0,

b-13

--X1+X2=--=--=13.

故选：A.

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知若修，X2为方程。/+乐+。=0（aWO）的两个

bc

根，则修，工2与系数的关系式：句+%2=—一，-2=7是解题的关键.

CLa

5.用一个平面截下列几何体，截面形状不可能出现三角形的是（）

5.B

【分析】利用截一个几何体的截面形状进行判断即可.

【详解】解：/、用平行于三棱柱的底面的平面截三棱柱时，截面的形状是三角形，故/不符合题意;

5、圆柱从哪个方向截，截面不可能是三角形，故2符合题意；

C、沿着圆锥中心轴去截圆锥，截面的形状为三角形，故C不符合题意；

。、过四棱锥的顶点竖直截四棱锥，截面的形状为三角形，故。不符合题意；

所以，用一个平面截上列几何体，截面形状不可能出现三角形的是圆柱，

故选：B.

【点睛】本题考查了截一个几何体，熟练掌握每一个几何体的截面形状是解题的关键.

6.如图，在水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向的坐标系中标记了4个格点，已知网格的单位

长度为1,若二次函数》=G2+6X+C的图象经过其中的3个格点，则。的最大值为()

।----r—T-7-----1----1----1

343

A.—B.1C.—D.—

4JZ

6.D

【分析】根据开口向上，开口越小。越大，进而建立坐标系，求解析式求得。的值，即可求解.

【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，

依题意，经过点B,。时，抛物线开口向上，。的值最大，

'：A(-1,0),B(2,0),C(1,-3),

设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-2),将C(1,-3)代入得,

-3--2a

3

解得：a=-,

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的性质，不共线三点确定抛物线解析式，解题

的关键是掌握相关知识的灵活运用.

二、填空题(本大题共10小题，每题2分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上)

7.—VH的绝对值是_VH_,追一3的相反数是_3—而一

7.V1T;3-V5.

【分析】根据绝对值的意义可得出-V1T的绝对值，根据相反数的定义可得出遥-3的相反数.

【详解】解：一皿的绝对值是：I—mi=m,

.•.遮一3的相反数是：—(遥一3)=3—返，

故答案为：V1T；3-V5.

【点睛】此题主要考查了绝对值与相反数，理解绝对值与相反数的意义是解决问题的关键.

8.若7空2比+，1在实数范围内有意义，则x的取值范围是—不1且xW2.

x—2一，

1

8.x>一,且xW2.

【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.

【详解】解：根据题意，得：

(2x+1>0

1%-2Ho'

1

解得%>-5且%22.

1

故答案为：%之一万且%72.

【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0;二次根式的被开方数是非负数.

9.把多项式3QN-i,ay2分解因式的结果是3a(%+”)(x-v).

9.3a(x-F^)(x-y).

【分析】先提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可.

【详解】解：3办2-2,ay2

=3a(x2-y2)

=3a(x+y)(x-y),

故答案为：3a(x-Hv)(x-y).

【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法分解因式是解题的关键.

10.设a、0是方程3=0的两个实数根，则a+B-aB=2.

10.2.

【分析】先根据根与系数的关系得a+B=-1,耶=-3,然后利用整体代入的方法计算.

【详解】解：根据根与系数的关系得a+B=-1,耶=-3,

所以a+p-ap=-1-（-3）=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了根与系数的关系：若犯，工2是一元二次方程办2+6x+c=0（a#0）的两根，xi+x2=—

b£

丁xix2=-.

11.已知线段点尸是线段48上的一点，48长8厘米且2/那么4P的长是_12—4低_厘米.

11.12-4V5.

【分析】根据黄金分割点的定义，知8P是较长线段，得出=再根据3/=/尸/8可得出

4P=（告二再将的值代入计算即可.

【详解】解：根据P为线段的黄金分割点，且3尸是较长线段可得：

；.BP=咨=48,

2

75-12

：.AP=（得'）AB,

•.•/3=8厘米，

.,.AP=-~x8=12—4V5（厘米），

4

故答案为：12-4V5.

【点睛】本题考查了黄金分割的概念，正确根据公式进行计算是解题关键.

12.如图，在口/BCD中，48=6,8c=8,ZABC=120°，点E是/。上一动点，将△/8E沿8E折叠得

到△/'BE,当点H恰好落在EC上时，的长为—何一3.

12.V37-3

【分析】解法一：过点。作。尸，交4。的延长线于点尸，由平行四边形的性质可得DC=/8=6,

ZABC=ZADC=UO°,AD//BC,由平角的定义NC£＞尸=60°,利用含30度角的直角三角形性质得

1

DF=]DC=3,CF=WDF=3通,由平行线的性质得N4=60°,ZDEC=ZA'CB,由折叠可知

=A'B=6,NA=NBA'E=60°,于是可通过44S证明△，'8c四△DCE,得至l」8C=C£=8,再利用

勾股定理求得EF=V37,则DE=EF-DF.

解法二：过点8作AFUND于点尸，过点C作CGL8E于点G,由题意易得//=60°,在Rt448/中，

AF=AB-cosA=3,BF=ABsinA=3V3,由折叠可知NHEB,由平行线的性质可得N/E3=/

1

CBE,进而得到/C8E=N/'EB,于是△C3E为直角三角形，BC=CE=8,EG=BG=-BE,易证△

BEF^/XCEG,由相似三角形的性质得到BEd？斯・CE,设斯=x（0＜尤＜8）,贝1|3E2=2x.8=&,在

斯中，利用勾股定理建立方程，求解即可.

【详解】解：解法一：如图，过点C作C户，40,交的延长线于点凡

;四边形48co为平行四边形，AB=6,

：.DC=AB=6,ZABC=ZADC=nO°,AD//BC,

.\ZCDF=1800-NADC=60°,

'：CF±AD,

:.NCFD=90°,ZDCF=9Q0-/CD尸=30°,

1

DF=-DC=3,CF=V3DF=3K，

'：AD//BC,

：.Z^=180°-/4BC=60°,ZDEC=ZA'CB,

根据折叠的性质可得，AB=A'B=6,ZA=ZBA'E=60°,

：.A'B=DC=6,ZBA'C=180°-NBA'£=120°=ZCDE,

在△/'BC和△Z)CE中，

f^A'CB=乙DEC

\^BA'C=^CDE,

VA'B=DC

BC^/\DCECAAS),

:.BC=CE=8,

在RtZ\C£尸中，EF=7CE2_CF2=』82_(3何2=历,

：.DE=EF-DF=V37-3.

解法二：当点4'恰好落在EC上时，如图，过点3作AFU4D于点尸，过点C作CGL8E于点G,

BC

;四边形4BCD为平行四边形，BC=8,

J.AD//BC,AD=BC=8,

VZABC^nO0,

AZA=60°,

1

在尸中，4/=45・COS/=6X5=3,5/=45・siib4=6x干=3班,

根据折叠的性质可得，ZAEB=ZA'EB,

9：AE//BC,

：./AEB=/CBE,

：.ZCBE=ZAfEB,即NCBE=NCEB,

•••△CBE为等腰三角形，BC=CE=8,

VCGLBE,

1

：.EG=BG=-BE,

•:/BEF=NCEG,NBFE=NCGE=90°,

Z.ABEFs^CEG,

EFBEEFbe

:•获=既，即触E=

:.BE2=2EF・CE,

设EF=x(0<x<8),

.".BE2=2X,8=16X,

在RtA8£F中，EF2+BF2=BE1,

x2+(3V3)2=16x,

整理得：/-16x+27=0,

解得：刈=8+历(舍去)，打=8-历，

尸=8-历，

：.DE=AD-AF-EF=S-3-(8-V37)=V37-3.

故答案为：V37-3.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、解直角三角形、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等

腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是根据题意正确画出图形，再

添加合适的辅助线，构造直角三角形和全等三角形解决问题.

47r

13.若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm,圆心角为120°扇形，则该圆锥的侧面面积为—不

cm2.

47r

13.—.

【分析】利用扇形面积公式计算即可.

120_47r、

22

【详解】解：36()ILX2=—(cm),

4TT-

该圆锥的侧面面积为加2.

47r

故答案为：—.

【点睛】本题考查圆锥的计算，掌握扇形的面积计算公式是解题的关键.

14.如图，正八边形NBCAEPG”内接于OO,对角线/£为。。的直径，连接则//跖■的度数为

【分析】根据正八边形的性质求出其中心角的度数，再根据圆周角定理求出N/E8即可.

【详解】解:如图，连接

正八边形ABCDEFGH内接于。0,

360°

ZAOH=—z~=45°,

O

・・•对角线4片为的直径，

1

AZAEH=-ZAOH=22.5°.

故答案为：22.5°.

【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键.

2k

15.如图，反比例函数y=嚏的图象经过△450的顶点4点。是04的中点，若反比例函数y=（的图象

1

经过点D,则k的值为

v

2a1k

【分析】设/（。，一），由点。是的中点可知。（，一），代入反比例函数^=一，求出左的值即可.

CLC乙MCL5

2

【详解】解：・・•反比例函数y=1的图象经过△Zg。的顶点4点。是。4的中点，

2a1

・•・设/（a,一），则。（5,一），

a/a

k

•・•反比例函数y=嚏的图象经过点D,

a11

••kxy=Q=U，

,，a2

1

故答案为：

【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此

函数的解析式是解题的关键.

16.如图，在矩形ABC。中，45=6,BC=8,E是边2C上的动点，连接过点E作斯，与CZ）

26

边交于点尸，连接/尸，则/尸的最小值为_与~_.

【分析】根据垂直的定义得到//鸟。=//£/=/。。8=90°,再根据等角的余角相等得到NZ=N

CER根据三角形相似的判定得到RtZXZgEsRtAECR利用相似比得到y与x之间的函数关系式，由关

系顶点式即可求得.

【详解】解：BE的长为x,则CE=BC-BE=8-x,Cb的长为乃

9：ABLBC,EFLAE,DCLBC,

：.AABE=ZECF=ZAEF=90°,

:・NBAE+NAEB=90°,ZAEB+ZCEF=90°,

J/BAE=/CEF,

・・・RtZ\/8EsR£ES

ABBE6土

•.4即六=7

1-41c8

Ay=—+-x=——(x-4)2+-,(0<x<8)

o3o3

8

；・V最大=§，

8810

当CF=w时，DF=6--=—,此时4尸为最小，

【点睛】本题考查了相似三角形的性质和二次函数的最大值，关键在于数形结合的熟练应用.

三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤）

a29a+3

17.（4分）计算:(----+----)

a-33-aa•

17.a

【分析】首先计算括号内的分式，把除法转化为乘法，然后进行约分即可.

a2-9a

【详解】解：原式-----•

a—3a+3

(a+3)(a—3)a

a—3a+3

=a.

【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确对分式的分子和分母进行分解因式是关键.

18.(10分)(1)解方程：X2-4X-1=0；

(2x—(%—1)>1,

(2)解不等式：［上些<2.

18.(1)x\—2+V5,2—V5；

(2)0«5.

【分析】(1)利用配方法得到(x-2)2=5,然后利用直接开平方法解方程；

(2)分别解两个不等式得到x20和x<5,然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集.

【详解】解：(l)--4x-l=0,

~A,x~~1,

x2-4x+4=5,

(x-2)2=5,

x-2=±V5,

所以XI=2+V5\X2—2—yfs；

(2x—(x-1)>1①

(2)②)

解不等式①得x20,

解不等式②得x<5,

所以不等式组的解集为0Wx<5.

【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问

题的关键.也考查了解一元一次不等式组.

19.(8分)计划用若干天生产一批零件，若甲单独做则恰好如期完成，若乙单独做则要超期10天才能完

成.实际生产中，先由甲、乙合作10天，剩余的零件由乙单独做，结果比计划提前了5天完成.求原计

划完成的天数.

19.原计划完成的天数为20天.

【分析】设原计划完成的天数为x天，则甲单独做需要x天完成，乙单独做需要(x+10)天完成，根据

先由甲、乙合作10天，剩余的零件由乙单独做，结果比计划提前了5天完成.列出分式方程，解方程即

可.

【详解】解：设原计划完成的天数为x天，则甲单独做需要x天完成，乙单独做需要(x+10)天完成，

10x-5

由题意得：工+>=1，

解得：x=20,

经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，

答：原计划完成的天数为20天.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

20.(8分)某校甲、乙两个班级各有23名学生进行校运动会入场式的队列训练，为了解这两个班级参加队

列训练的学生的身高情况，测量并获取了这些学生的身高(单位：cm),数据整理如下：

a.甲班23名学生的身高：

163,163,164,165,165,166,166,165,166,167,167,168,169,169,170,171,171,172,

173,173,174,179,180.

b.两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示：

班级平均数中位数众数

甲169mn

乙169170167

(1)写出表中用，〃的值；

(2)在甲班的23名学生中，高于平均身高的人数为小，在乙班的23名学生中，高于平均身高的人数为

P2,则m<二(填或“=")；

(3)若每班只能有20人参加入场式队列表演，首先要求这20人与原来23人的身高平均数相同，其次

要求这20人身高的方差尽可能小，则甲班未入选的3名学生的身高分别为163、164、180cm.

20.(1)m=168；〃=165或“=166；

(2)<；

(3)163、164、180.

【分析】(1)分别根据中位数和众数的定义解答即可;

(2)根据中位数的意义解答即可；

(3)根据平均数和方差的定义解答即可.

【详解】解：(1)把甲班23名学生的身高从小到大排列，排在中间的数是168,故中位数%=168；

甲班23名学生的身高中165和166出现的次数最多，故众数〃=165或“=166；

(2)由题意得，pi=9,p2=12,

'-P1<P2-

故答案为：<;

163+164+180

(3)；-------------=169,

甲班未入选的3名学生的身高分别为163、164、180cm.

故答案为：163、164、180.

【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，掌握统计量的确定方法或计算公式是解题的关键.

21.(8分)如图，四边形/BCD中，AB//CD,NC与3。相交于点O,AO=CO.

(1)求证：四边形/BCD是平行四边形；

(2)^AC±BD,AB=10,求2C的长.

21.⑴见试题解答内容(2)10

【分析】(1)根据平行线的性质得出/。CO=/A4。，根据全等三角形的判定得出△。。。^△加。，根

据全等三角形的性质得出00=80,根据平行四边形的判定得出即可；

(2)根据线段垂直平分线的性质得出代入求出即可.

【详解】(1)证明：

ZDCO=ABAO,

在△DC。和△5/0中

/DCO=乙BAO

C0=A0

Z.D0C=4BOA

：./\DCO^Z\BAO(ASA),

：.DO=BO,

'：AO^CO,

四边形ABCD是平行四边形;

(2)解：：由勾股定理得：BC1=CO1+OB-,AB2=AO2+OB2,

y.\'Ao=co,

:.AB2=BC2,

：.AB=BC,

'：AB=10,

：.BC^AB^10.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能综合运用定

理进行推理是解此题的关键.

22.(8分)某省运动会如期举行，其中第二个比赛日包含排球、足球、体操以及艺术体操4个项目.现有

四张关于运动项目的门票，门票的正面分别印有的图案为4“排球”、8.“足球”、U“体操”和

。.“艺术体操”.将这四张卡片背面朝上(这四种门票的背面完全相同，N2CD作为代号)，洗匀：

1

(1)从中抽取一张后放回再抽取一张，两张门票分别是力和。的概率为

O

(2)从中随机抽取两张，请你用合适的方法，求两张门票是8和。的概率.

1

22.(1)

O

1

(2)—

O

【分析】(1)列表可得出所有等可能的结果数以及两张门票分别是/和。的结果数，再利用概率公式可

得出答案.

(2)列表可得出所有等可能的结果数以及两张门票是8和。的结果数，再利用概率公式可得出答案.

【详解】解：(1)列表如下：

ABcD

A(A,A)(A,B)(A,C)U,D)

B(B,A)(B,B)(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,C)(C,D)

D(D,/)(.D,B)(D,C)(D,D)

共有16种等可能的结果，其中两张门票分别是4和。的结果有2种，

21

从中抽取一张后放回再抽取一张，两张门票是/和D的概率为々=£.

IoO

1

故答案为：p.

O

(2)列表如下:

ABcD

ACA,B)CA,C)(A,D)

B(B,A)(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,D)

D(.D,4)(D,B)(D,C)

共有12种等可能的结果，其中两张门票是5和。的结果有2种，

21

，两张门票是8和。的概率为石=7.

lzO

【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题

的关键.

23.(8分)小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量

了这个路灯的高.如图1所示，路灯顶部/处发光，光线透过窗子DC照亮地面的长度为EF,小明测得

窗户距离地面高度。。=1加，窗高CD=1.5加，某一时刻，OE=lm,EF=4m,其中3、。、E、下四点在

同一条直线上，C、D、。三点在同一条直线上，且COLOE.

图1图2

(I)求出路灯的高度

(2)现在小明想让光线透过窗子。C照亮地面的最远端位置离右墙角点厂的距离为2%,如图2所示，

需将路灯的高度升高多少米？此时光线照亮地面的最近端位置离。点的距离是多少？(画出图形并

解答)

23.(1)路灯的高度4B为4加；

3

(2)需将路灯N8的高度升高1米，此时光线照亮地面的最近端位置离。点的距离是了江

4

DOOECOOF

【分析】⑴证△DOES△上,△。。-△/昉,得布=赤-=即可解决问题;

COONDOOM

(2)诬△CONs^HBN,ADOMs^HBM,得4=右7,—=—，即可解决问题.

riDDINriDD1V1

【详解】解：(1)COLOE,

：.AB//CO,

:•△DOEs^ABE,ACOFS/^ABF,

.DOOECOOF

••屈=靛，AB=BF'

111.5+11+4

即布=靛'％-=靛后

解得：AB=BE=4(机)，

答：路灯的高度为4加；

(2)由(1)得：AB=4m,BE=4m,

:.BF=BE+EF=4+4=8(m),

：.BO=BF-OE-EF=8-1-4=3(m),

如图2,将路灯AB的高度升高至BH,

由题意得：NF=2m,

：.BN=BF-NF=8-2=6(m),

：.ON^BN-BO=6-3=3(m),

同(1)得BH〃CO,

:ACONs工HBN,ADOMsAHBM,

.COONDOOM

,,HB=BN'HB=BM'

1.5+131OM

即=不丽=而百

3

解得：HB=5(冽)，OM=~(m),

4

:AB=5-4=1(m),

___——3

答：需将路灯的高度升高1米，此时光线照亮地面的最近端位置离。点的距离是刀".

q

【点睛】本题考查了相似三角形的应用、平行线的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解

题的关键.

24.（8分）如图，在△NBC中，AB>AC,

（1）请用尺规作图法在边2C上求作一点。，使&/皿：S“CD=AB：AC；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，连接AD,尸是ND的反向延长线上一点，过点厂作EFL8c交线段3C于点

E.若48=35°,ZC=60°,求N/FE1的度数.

（2）12.5°.

【分析】（1）利用基本作图，作NA4c的平分线交3c于。点，则根据角平分线的性质得到点。到

和ZC的距离相等，然后根据三角形面积公式可得到限4的SMCD=4B：AC；

（2）先根据题意画出几何图形，再利用三角形内角和计算出/A4c=85°,则利用角平分线的定义得到

1

ZBAD^-ZBAC=42.5°,接着根据三角形外角性质求出/4DC=77.5°,然后利用互余计算出N/FE

的度数.

【详解】解：（1）如图，点。为所作；

Z5^C=180°-AB-ZC=85°,

,：AD平分NB4C,

1

/.ZBAD=-ZBAC=42.5°,

:・/ADC=/B+/BAD=35°+42.5°=77.5°,

■:FE工BC,

：.ZFED=90°,

AZAFE=90°-ZADE=90°-77.5°=12.5°.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形

的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了三角形的面积.

25.（8分）如图，在。。中，4B是弦,/C与。。相切于点4AB=AC,连接BC,点。是5c的中点,

连接4。交。。于点£,连接OE交45于点尸.

（1）求证：OE±AB；

ACV3

（2）若40=4,—=—,求。。的半径.

DC.z

25.见试题解答内容

【分析】（1）连接CM、0B,根据切线的性质可得出/CMC=90°,设NE4c=a,则/CME=90°-a,

由。4=。£可得出/。£/=/。/£=90°-a,利用三角形内角和定理可得出//OE=2a,由/8=NC

利用等腰三角形的三线合一可得出4c=a,进而可得出4B0E=2NA4E=2a,即N/OE=N

BOE,再利用等腰三角形的三线合一可证出0ELAB；

（2）由亥:=字可设NC=BC=2x,则CZ>=yC=x,由勾股定理结合40=4可求出x的值，进

而可得出48、AC.BD、CD、4F的值，由N£K4=NAD/=90°、可得出

DAB,利用相似三角形的性质可求出斯的长度，设。。的半径为r,则O4=r,OF=OE-EF=r-

利用勾股定理可求出r的长度，此题得解.

【详解】⑴证明：连接04、OB,如图所示.

•••/c与。。相切于点/,

：.ZOAC=90°.

设/£/C=a,则NCM£=90。-a.

a

：OA=OEf

：.ZOEA=ZOAE=90°-a,

：.ZAOE=180°-ZOEA-ZOAE=2a.

•；AB=AC,。是BC的中点，

J/BAE=NEAC=a,

：./BOE=2/BAE=2OL,

：.ZAOE=ZBOE,

又・：OA=OB,

：.OE±AB.

ACV3

(2)解：V—=—,

IJcz

・•・可设ZC=1，BC=2x.

•：AB=AC,。是二。的中点,

1

：.CD=-BC=x,AD1,BC,

：.AD1+CD1=AC1.

9：AD=4,

.*.42+X2=(V3X)2,解得：x=2y[2,

：.AB=AC=V3x=2V6,BD=CD=X=2>/2.

•；OEL4B,

1-

•\AF=~AB=V6.

VZEFA=ZBDA=90°,/FAE=/DAB,

：.AFAEsADAB,

EFAFEFVZ

-----------即-------——

^BD~AD92V2-4'

：.EF=V3.

设OO的半径为小则。4=r,OF=OE-EF=r-农,

9：OFLAB,

：.OA2=OF2+AF2,即/=(r-V3)2+(V6)2,

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、圆周角定理以及切

线的性质，解题的关键是：(1)通过角的计算找出(2)利用勾股定理求出O。的半径.

26.(9分)已知二次函数y=x2-2(a-1)x+a+1：

(1)如果直线了=尤+1经过二次函数y=x2-2(a-1)x+a+1图象的顶点尸，求此时a的值；

(2)随着。的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数

表达式；如果不是，请说明理由；

(3)将该二次函数以尤=3为对称轴翻折后的图象过(a,b)(a未知，6为常数)，求原函数与y轴的交

点纵坐标.

26.(1)。=0或2.

(2)y=-x^+x+2.

9

(3)—.

【分析】(1)由题意得y=/-2(a-1)x+a+1=(x-a+1)2-a2+3a,得顶点坐标为尸(a-1,-

tz2+3a).又点尸在直线y=x+l图象上，故--1+1.再计算即可.

(2)由顶点P的坐标为(a_1,_a^+3a),可设尤=a-l,故y=-"+3a=-((z*l)(«-1)

+2.得y=--+x+2,

(3)由原抛物线的顶点坐标为P(a-1,-/+3a),又x=3为对称轴翻折后的图象过(a,b),故

CL—1+a

—^—=3,再计算即可.

【详解】解：(1)由题意，*•y=x^~2(a-1)x+a+1—(x-tz+l)^-

:・P(a-1,-a2+3(7).

又•・•点。在直线歹=x+l图象上，

/.-a^+3a=a-1+1.

.'.a=0或2.

(2)顶点尸是在抛物线y=-N+x+2图象上，理由如下：

,顶点尸的坐标为（a-L-i72+3a）,

又令X=Q-1,

***y=-*+3。=-（。-1）2+（。-1）+2.

・••歹=-X2+X+2,

・・・二次函数图象的顶点尸是在抛物线歹=-X2+X+2图象上，

（3）♦原抛物线的顶点坐标为尸（a-1,j2+3°）,

又x=3为对称轴翻折后的图象过（a,b）,

CL—1+a

-----=3,

7

**.4=5，

一9

.,.原函数与