《机械制图》课件-项目2 投影的基本知识与作图基础

项目二投影的基本知识与作图基础

任务正投影法及基本体的投影任务正投影法及基本体的投影能力目标：1、明确三投影面体系的建立与三视图的形成2、掌握三视图的方法与步骤3、掌握基本体的投影知识目标：1、正投影的概念2、三视图的投影关系3、基本体的投影情感目标：1、较强的自学能力，以适应科技新时代及终身学习的需要。2、一定的空间立体感和较强的方位感。3、耐心细致的工作作风和良好的绘图习惯。4、一定的投影知识。2．1投影法概述

2.1.1投影的概念

2.1.2投影的分类

2.1.3平行投影的特性

2.1.4工程上常用的投影图返回目录相关知识

2.1.1投影的概念把空间形体转化为平面图形的方法称为投影法。

a)影子b)投影投影面影子物体光线投影面影子物体光线图2-1影子与投影要产生投影必须具备：投射线、形体、投影面，这是投影的三要素。返回

2.1.2投影的分类根据投射线之间的相互关系，可将投影法分为中心投影法和平行投影法。1．中心投影法当投射中心S在有限的距离内，所有的投射线都汇交于一点，这种方法所得到的投影，称为中心投影，如图2-2所示。在此条件下，物体投影的大小，随物体距离投射中心S及投影面P的远近的变化而变化，因此，用中心投影法得到物体的投影不能反映该物体真实形状和大小。图2-2中心投影返回2．平行投影法把投射中心S移到离投影面无限远处，则投射线可看成互相平行，由此产生的投影称为平行投影。因其投射线互相平行，所得投影的大小与物体离投影中心及投影面的远近均无关。在平行投影中，根据投射线与投影面之间是否垂直，又分为斜投影和正投影两种：投射线与投影面倾斜时称为斜投影，如图2-3a所示；投射线与投影面垂直时称为正投影，如图2-3b所示。图2-3平行投影

2.1.3平行投影的特性1．同素性

在通常情况下，直线或平面不平行（垂直）于投影面，因而点的投影仍是点，直线的投影仍是直线。这一性质称为同素性。2．显实性（真形性）当直线或平面平行于投影面时，它们的投影反映实长或实形。如图2-4a所示，直线AB平行于H面，其投影ab反映AB的真实长度，即ab=AB。如图2-4b所示，平面ABC平行于H面，其投影反映实形，即三角形abc≌三角形ABC。这一性质称为显实性。图2-4平行投影的显实性返回3．积聚性当直线或平面平行于投射线（同时也垂直于投影面）时，其投影积聚为一点或一直线。这样的投影称为积聚投影。如图2-5a所示，直线AB平行于投射线，其投影积聚为一点a(b)；如图2-5b所示；平面三角形ABC平行于投射线，其投影积聚为一直线ac。投影的这种性质称为积聚性。图2-5平行投影的积聚性4．类似性（仿形性）当直线或平面倾斜于投影面时，直线在该投影面上的投影短于实长，见图2-6a；而平面在该投影面上的投影要发生变形，比原实形要小，但与原形对应线段间的比值保持不变，所以在轮廓间的平行性、凸凹性、直曲等方面均不变，见图2-6b；这种情况下，直线和平面的投影不反映实长或实形，其投影形状是空间形状的类似形，因而把投影的这种性质称为类似性。图2-6平行投影的类似性5．平行性当空间两直线互相平行时，它们在同一投影面上的投影仍互相平行。如图2-7a所示，空间两直线AB∥CD，则平面ABba∥平面CDdc,两平面与投影面H的交线ab、cd必互相平行。这一性质称为平行性。图2-7平行投影的平行性、从属性与定比性6．从属性与定比性点在直线上，则点的投影必定在直线的投影上。如图2-7b所示，C∈AB,则c∈ab,这一性质称为从属性。点分线段的比例等于点的投影分线段的投影所成的比例，如图2-7b所示，C∈AB，则AC:CB=ac:cb,这一性质称为定比性。

2.1.4工程上常用的投影图如前所述，工程技术图样是用来表达工程对象的形状、结构和大小的，一般要求根据图样就能够准确、清楚的判断度量出物体的形状和大小，但有时也要求图样的直观性好，易读懂，富有立体感。因此，为满足不同的需要，常用的投影图有：正投影图、轴测投影图、透视投影图、标高投影图等。

1．多面正投影图用正投影法把形体向两个或两个以上互相垂直的投影面上进行投影，再按一定的规律将其展开到一个平面上，这样所得到的投影图称为多面正投影图，如图2-8所示。它是工程上最主要的使用最广泛的图样。这种图样的优点是能够真实准确地反映物体的形状和大小，作图方便，度量性好；其缺点是立体感差，不易看懂。

2．轴测投影图轴测投影图是物体在一个投影面上的平行投影，简称轴测图。将物体安置于投影面体系中合适的位置，选择适当的投射方向，即可得轴测图，如图2-9所示。这种图立体感强，容易看懂，但度量性差，作图较麻烦，并且对复杂形体也难以表达清楚，因而工程中常用作辅助图样来使用。

3．透视投影图透视投影图是将物体在单个投影面上用中心投影法得到的投影图，简称为透视图。这种图形象逼真，如照片一样，非常接近于人们的视觉感受，但它度量性差，作图繁杂，如图2-10所示。在建筑设计中常用它来绘制大型工程项目及房屋、桥梁等建筑物的效果图。返回图2-8多面正投影图

图2-9斜轴测图

图2-10透视图

4．标高投影图标高投影图是一种带有数字标记的单面正投影图。它用正投影法在物体的水平投影上加注某些特征线、面以及控制点的高程数值，来同时反映物体的长度、宽度和高度方向上的结构、尺寸，如图2-11所示。这种图作图较简单，但立体感较差，常用来表达地面的形状，各种不规则曲面，土木建筑工程设计以及军事地图等。图2-11标高投影图由于多面正投影图被广泛地用来绘制工程图样，所以正投影法是本书介绍的主要内容，以后所说的投影，如无特殊说明均指正投影。??……思考题---1

1)投影的方法有拿些？

2)平行投影的特性是什么?

工程上绘制图样的方法主要是正投影法。但用正投影法绘制一个投影图来表达物体的形状往往是不够的。如图2-12所示，四个形状不同的物体在投影面H上具有相同的正投影，单凭这个投影图来确定物体的唯一形状，是不可能的。

图2-12不同形体的单面投影

2．2物体的三视图如果对一个较为复杂的形体，即便是向两个投影面做投射，其投影也就只能反映它的两个面的形状和大小，亦不能确定物体的唯一形状。如图2-13所示三个形体，它们的H、W投影相同，要凭这两面的投影来区分它们的形状，是不可能的。因此，若要使正投影图唯一确定物体的形状结构，仅有一面或两面投影是不够的，必须采用多面投射的方法，为此，我们设立了三投影面体系。图2-13不同形体的两面投影

2.2.3三视图之间的投影关系

2.2.4三视图之间的位置关系

2.2.5物体与三视图之间的方位关系

2.2.6画三视图的方法与步骤

2.2.2三视图的形成

2.2.1三投影面体系的建立

2．2物体的三视图返回目录将三个两两互相垂直的平面作为投影面，组成一个三投影面体系，如图2-14所示。其中水平投影面用H标记，简称水平面或H面；正立投影面用V标记，简称正立面或V面；侧立投影面用W标记，简称侧面或W面。两投影面的交线称为投影轴，H面与V面的交线为OX轴，H面与W面的交线为OY轴，V面与W面的交线为OZ轴，三条投影轴两两互相垂直并汇交于原点O。图2-14三投影面体系

2.2.1三投影面体系的建立返回

2.2.2三视图的形成

用正投影法，将物体向投影面投射所得到的图形，称为视图。将物体放置于三面投影体系中，并注意安放位置适宜，即把形体的主要表面与三个投影面对应平行，用正投影法进行投影，即可得到三个方向的正投影图，如图2-15所示。从前向后投影，在V面得到正面投影图，叫主视图；从上向下投影，在H面上得到水平投影，叫俯视图；从左向右投影，在W面上得到侧面投影图，叫左视图。这样就得到了物体的主、俯、左三个视图。图2-15三视图的形成返回为了把三个投影面上的投影画在一张二维的图纸上，我们假设沿OY投影轴将三投影面体系剪开，保持V面不动，H面沿OX轴向下旋转90°，w面沿OZ轴向后旋转90°，展开三投影面体系，使三个投影面处于同一个平面内，如图2-16所示。需要注意的是：这时Y轴分为两条，一条随H面旋转到OZ轴的正下方，用YH表示；一条随W面旋转到OX轴的正右方，用YW表示，如图2-17a所示。实际绘图时，在投影图外不必画出投影面的边框，也不注写H、V、W字样，也不必画出投影轴（又叫无轴投影），只要按方位置和投影关系，画出主、俯、左三个视图即可，如图2-17b，这就是形体的三面正投影图，简称三视图。图2-16三投影面体系的展开图2-17形体的三视图

2.2.3三视图之间的投影关系在三投影面体系中，形体的X轴方向尺寸称为长度，Y轴方向尺寸称为宽度，Z轴方向尺寸称为高度，如图2-17b所示。在形体的三面投影中，水平投影图和正面投影图在X轴方向都反映物体的长度，它们的位置左右应对正，即“长对正”。正面投影图和侧面投影图在Z轴方向都反映物体的高度，它们的位置上下应对齐，即“高平齐”；水平投影图和侧面投影图在Y轴方向都反映物体的宽度，这两个宽度一定相等，即“宽相等”。

主俯视图长对正；主左视图高平齐；俯左视图宽相等。这称为“三等关系”，也称“三等规律”，它是形体的三视图之间最基本的投影关系，是画图和读图的基础。应当注意，这种关系无论是对整个物体还是对物体局部的每一点、线、面均符合。

2.2.4三视图之间的位置关系

在看图和画图时必须注意，以主视图为准，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方。画三视图时，一般应按上述位置配置，且不需标注其名称。返回

2.2.5物体与三视图之间的方位关系图2-18三视图的方位关系返回

2.2.6画三视图的方法与步骤绘制形体的三视图时，应将形体上的棱线和轮廓线都画出来，并且按投影方向，可见的线用实线表示，不可见的线用虚线表示，当虚线和实线重合时只画出实线。绘图前，应先将反映物体形状特征最明显的方向作为主视图的投射方向，并将物体放正，然后用正投影法分别向各投影面进行投影，如图2-19a。先画出正面投影图，然后根据“三等关系”，画出其它两面投影。“长对正”可用靠在丁字尺工作边上的三角板，将V、H面两投影对正。“高平齐”可以直接用丁字尺将V、W面两投影拉平。“宽相等”可利用过原点O的45°斜线，利用丁字尺和三角板，将H、W面投影的宽度相互转移，如图2-19b所示，或以原点O为圆心作圆弧的方法，得到引线在侧立投影面上与“等高”水平线的交点，连接关联点而得到侧面投影图。三面投影图之间存在着必然的联系。只要给出物体的任何两面投影，就可求出第三个投影。返回图2-19画三视图的步骤返回??……思考题---2

1)物体的三视图是指哪三个视图？

2)三视图之间的投影关系是什么

?3）画三视图的方法与步骤有哪些？

2.3基本体的投影2.3.1平面立体的投影2.3.2回转体的投影

2.3.3基本体的尺寸标注返回目录前三节我们讨论了立体表面几何元素（点、直线和平面）的投影规律以及定位和度量问题，这是画法几何的基础。本节将用所学的知识去研究有关立体的投影问题。在生产实践中，我们会接触到各种形状的机件，这些机件的形状虽然复杂多样，但都是由一些简单的立体经过叠加、切割或相交等形式组合而成的，如图所示。我们把这些形状简单且规则的立体称为基本几何体，简称为基本体。基本体的大小、形状是由其表面限定的，按其表面性质的不同可分为平面立体和曲面立体。表面都是由平面围成的立体称为平面立体（简称平面体），例如棱柱、棱锥和棱台等。表面都是由曲面或是由曲面与平面共同围成的立体称为曲面立体（简称曲面体），其中围成立体的曲面又是回转面的曲面立体，又叫回转体，例如圆柱、圆锥、球体和圆环体等。返回2.3.1平面立体的投影平面立体主要有棱柱和棱锥两种，棱台是由棱锥截切得到的。其基本形体如图所示。平面立体上相邻两面的交线称为棱线。因为围成平面立体的表面都是平面多边形，而平面图形是由直线段围成的，直线段又是由其两端点所确定。因此，绘制平面立体的投影，实际上就是画出各平面间的交线和各顶点的投影。在平面立体中，可见棱线用实线表示，不可见棱线用虚线表示，以区分可见表面和不可见表面。1．棱柱棱柱分直棱柱（侧棱与底面垂直）和斜棱柱（侧棱和底面倾斜）。棱柱上、下底面是两个形状相同且互相平行的多边形，各个侧面都是矩形或平行四边形，上下底面是正多边形的直棱柱，称为正棱柱。下面以六棱柱为例：（1）安放位置安放形体时要考虑两个因素：一要使形体处于稳定状态，二要考虑形体的工作状况。为了作图方便，应尽量使形体的表面平行或垂直于投影面。为此，将如图所示的a正六棱的上、下底面平行于Ｈ面放置，并使其前后两个侧面平行于Ｖ面，则可得正六棱柱的三面投影图。（2）投影分析图b是它的三面投影图。因为上、下两底面是水平面，前后两个棱面为正平面，其余四个棱面是铅垂面，所以它的水平投影是个正六边形，它是上、下底面的投影，反映了实形，正六边形的六个边即为六个棱面的积聚投影，正六边形的六个顶点分别是六条棱线的水平积聚投影。六棱柱的前后棱面是正平面，它的正面投影反映实形，其余四个棱面是铅垂面，因而正面投影是其类似形。合在一起，其正面投影是三个并排的矩形线框。中间的矩形线框为前后棱面反映实形的重合投影，左、右两侧的矩形线框为其余四个侧面的重合投影。此线框的上、下两边即为上、下两底面的积聚投影。它的侧面投影是两个并排的矩形线框，是四个铅垂棱面的重合投影。（3）投影图的作图步骤

1）布置图面，画中心线、对称线等作图基准线。

2）画水平投影，即反映上下端面实形的正六边形。

3）根据正六棱柱的高，按投影关系画正面投影。

4）根据正面投影和水平投影，按投影关系画侧面投影。

5）检查并描深图线，完成作图。2．棱锥棱锥的底面为多边形，各侧面为若干具有公共顶点的三角形。当棱锥的底面是正多边形，各侧面是全等的等腰三角形时，称为正棱锥。下面以三棱锥为例：（1）安放位置将正三棱锥的底面平行于Ｈ面放置，并使其后面棱面垂直与Ｗ面，则可得三棱锥的三面投影图。（2）投影分析因为底面是水平面，所以它的水平投影是一个正三角形（反映实形），正面投影是一条直线（有积聚性）。连接锥顶和底面三角形各顶点的同面投影，即为三棱锥的正面和侧面投影。其中，水平投影为三个三角形的线框，它们分别表示三个棱面及底面的投影。正面投影是两个并排的三角形，它是三棱锥前面棱面的与后面棱面的重合投影。侧面投影是一个三角形，它是前面左右两棱面的重合投影，右边侧棱面是不可见的，而后面棱面因与侧立投影面垂直，其投影积聚为一条直线。（3）作图步骤

1）布置图面，画中心线、对称线等作图基准线。

2）画水平投影。

3）根据三棱锥的高，按投影关系画正面投影。

4）根据正面投影和水平投影按投影关系画侧面投影

5）检查、描深图线，完成作图。【例2-6】作四棱台的正投影图，如图所示。（1）分析

1）四棱台的上、下底面都与H面平行，前、后两棱面为侧垂面，左、右两棱面为正垂面。

2）上、下两底面与H面平行，其水平投影反映实形；其正面、侧面投影积聚为直线。

3）前、后两棱面与W面垂直，其侧面投影积聚为直线；与H、V面倾斜，投影为缩小的类似形。

4）左、右两个面与V面垂直，其正面投影积聚为直线；与H、W面倾斜，投影为缩小的类似形。

5）四根斜棱线都是一般位置直线，其投影都不反映实长。（2）作图

1）先作出正立面投影，向下“长对正”引铅垂线，向右“高平齐”引水平线。

2）按物体宽度作出水平投影，并向右“宽相等”引水平线至45º线，转向上作出侧面投影。

3）加深图形线。注意作图时一定要遵守“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。3．平面立体上点和直线的投影平面立体的表面都是平面多边形，在其表面上取点、取线的作图问题，实质上就是平面上取点、取线作图的应用。其作图的基本原理就是：平面立体上的点和直线一定在立体表面上。由于平面立体的各表面存在着相对位置的差异，必然会出现表面投影的相互重叠，从而产生各表面投影的可见与不可见问题，因此对于表面上的点和线，还应考虑它们的可见性，判断立体表面上点和线可见与否的原则是：如果点、线所在的表面投影可见，那么点、线的同面投影一定可见，否则不可见。立体表面取点、取线的求解问题一般是指已知立体的三面投影和它表面上某一点（线）的一面投影，要求该点（线）的另两面投影，这类问题的求解方法有：（1）从属性法当点位于立体表面的某条棱线上时，那么点的投影必定在棱线的投影上，既可利用线上点的“从属性”求解。（2）积聚性法当点所在的立体表面对某投影面的投影具有积聚性时，那么点投影必定在该表面对这个投影面的积聚投影上。如图a所示，在五棱柱后棱面上给出了A点的正面投影a′,在上底面上给出了B点的水平投影b′。可以利用棱面和底面投影的积聚性直接作出A点的水平投影B点正面投影，再进一步作出另外一面的投影，见图b所示。（3）辅助线法当点所在的立体表面无积聚性投影时，必须利用作辅助线的方法来帮助求解。这种方法是先过已知点在立体表面作一辅助直线，求出辅助直线的另两面投影，再依据点的“从属性”，求出点的各面投影。如图a所示，在三棱锥的SEG棱面上给出了点A的正面投影a′，又在SFG棱面上给出了点B的水平投影b。为了作出A点的水平投影a和B点的正面投影b′，可以运用前面讲过的在平面上定点的方法，即首先在平面上画一条辅助线，然后在此辅助线上定点。图b说明了这两个投影的画法，图中过A点作一条平行于底边的辅助线，而过B点作一条通过锥顶的辅助线，所求的投影a、b′都是可见的，再依据投影原理作出整个立体及表面点的侧面投影。

【例2-8】如图所示，已知三棱锥的三面投影及其表面上的线段EF的投影ef，求出线段的其它投影。分析从已知投影可知，线段EF的投影ef为可见，所以EF必在左棱面△SAB上，△SAB为一般位置平面，故可以过EF作一辅助直线ⅠⅡ,根据从属关系求出E、F点的投影。作图

1）过ef作一辅助直线12。

2）求出1′2′、1″2″。从水平投影向上作铅垂线，向右作水平线至45°线，转向上得出1″2″，再向左得出1′2′，两投影均为可见。

3）求e′f′、e″f″。从水平投影ef向上作铅垂线，得出e′f′，再向右作水平线得出e″f″，两投影均为可见。返回2.3.2

回转体的投影回转体的曲表面是由一母线（直线或曲线）绕定轴回转一周而形成的回转面，圆柱、圆锥、圆球和圆环是工程上常见的回转体，其回转面都是光滑曲面。1．基本概念（1）曲面曲面可以看成是由直线或曲线在空间按一定规律运动而形成的。若是作回转运动而形成的曲面则称为回转曲面，简称回转面。由直线作回转运动而形成的曲面称为直线回转面。如圆柱曲面是一条直线围绕一条轴线始终保持平行和等距旋转而成,如图圆锥面是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋转而成的如图：由曲线作回转运动而形成的曲面称为曲线回转面。如球面是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而成，如图：(2)素线与轮廓线形成回转面的母线，它们在曲面上的任何位置称为素线,如图：确定曲面范围的外形线称为轮廓线轮廓线也是可见与不可见的分界线。轮廓线的确定与投影体系及物体的摆放位置有关，当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，轮廓线与素线重合，这种素线称为轮廓素线。在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体最前边素线、最后边素线、最左边素线和最右边素线。（3）纬圆由回转体的形成可知，母线上任意一点的运动轨迹为圆，该圆垂直轴线，此圆既为纬圆，如图所示。应首先画出它们的轴线（用点划线表示）。2．圆柱（1）安放位置如图a所示为一直圆柱体，其轴线垂直于水平投影面，因而两底面互相平行且平行于水平面，圆柱面垂直于水平面。（2）投影分析如图所示：

H面投影：为一圆形。它既是两底面的重合投影（实形），又是圆柱面的积聚投影。

V面投影：为一矩形。该矩形的上下两条边为圆柱体上下两底面的积聚投影，而左右两条边线则是圆柱面的左右两条轮廓素线AB、CD的投影。该矩形线框表示圆柱体前半圆柱面与后半圆柱面的重合投影。

W面投影：为一矩形。该矩形上下两条边为圆柱体上下两底面的积聚投影，而左右两条边线则是圆柱面的前后两条轮廓素线EF、GH的投影。该矩形线框表示圆柱体左半圆柱面与右半圆柱面的重合投影。（3）作图步骤如图b所示：1）用点划线画出圆柱体各投影的轴线、中心线；2）有直径画水平投影圆；3）由“长对正”和高度作正面投影矩形；4）由“高平齐、宽相等”作侧面投影矩形。注意：圆柱面上的AB、CD两条素线的侧面投影与轴线的侧面投影重合，它们在侧面投影中不能画出；EF和GH两条素线的正面投影与轴线的正面投影重合，他们在正面投影中不能画出。也就是说非轮廓线的素线投影不必画出。3．圆锥（1）安放位置圆锥轴线垂直于H面，底平面为水平面,如图所示。（2）投影分析如图所示,圆锥体是由圆锥面和底平面所围成的：

H面投影为一圆，它是圆锥底面和圆锥面的重合投影；

V面投影为一等腰三角形，三角形的底边是圆锥底圆的积聚投影，三角形的腰s′a′和s′b′分别是圆锥面上最左边素线SA和最右边素线SB的V面投影；三角形框是圆锥面前半部分和后半部分（SA和SB将圆锥面分为前后两部分）的重合投影，前半部分可见，后半部分不可见；

W面投影亦为一等腰三角形，三角形的底边是圆锥底圆的积聚投影，三角形的腰s″c″和s″d″分别是圆锥面上最前边素线SC和最后边素线SD的W面投影；三角形框是圆锥左半部分和右半部分（SC和SD可将圆锥面分为左右两部分）的重合投影，左半部分可见，右半部分不可见；（3）作图步骤如图b所示：1）用点划线画出圆锥体三面投影的轴线、中心线；2）画出底面圆的三面投影。底面为水平面，水平投影为反映实形的圆，其它两投影积聚为直线段，长度等于底圆直径；3）依据圆锥的高度画出锥顶点S的三面正投影。4）画轮廓线的三面正投影，即连接等腰三角形的腰。圆锥面是光滑的，和圆柱面类似，当素线的投影不是轮廓线时，均不画出。4．圆球圆球面的特性圆球体是由圆球面所围成的。由于通过球心的直线都可作旋转轴，故球面的旋转轴可以根据需要确定。投影分析：如图所示，圆球体的三面投影都是大小相等的圆，是球体在三个不同方向的轮廓线的投影，其直径与球径相等。

H面投影的圆a是球体上半部分的球面与下半部分球面的重合投影，上半部分可见，下半部分不可见；圆周a是球面上平行于H面的最大圆A的投影。

V面投影的圆b是球体前半部分球面与后半部分球面的重合投影，前半部分可见，后半部分不可见；圆周b是球面上平行于V面的最大圆B的投影。

W面投影的圆c是球体左半部分球面与右半部分球面的重合投影，左半部分可见，右半部分不可见；圆周c是球面上平行于W面的最大圆C的投影。球面上A、B、C三个大圆的其他投影均与相应的中心线重合；这三个大圆分别将球面分成上下、前后、左右两部分。（3）作图步骤

1）用点划线画出圆球体各投影的中心线；

2）以球的直径为直径画三个等大的圆，如图b所示。5．圆环圆环由环面围成，其三面投影中，两个投影为长圆形（内环面用虚线表示），一个投影为同心圆。圆环的三面投影及其表面上点的投影作图过程如图所示。6．回转体上点和线的投影（1）圆柱面上的点和线

1）圆柱面上点的投影圆柱面上的点必定在圆柱面的一条素线或一个纬圆上。当圆柱面具有积聚投影时，圆柱面上点的投影必在同面积聚投影上

【例3-9】如图所示，已知圆柱面上的点M、N的正面投影，求另两面的投影。分析

M点的正面投影可见，又在点划线的左面，由此判断M点在左、前半圆柱面上，侧面投影可见。

N点的正面投影不可见，又在点划线的右面，由此判断N点在右、后半圆柱面上，侧面投影不可见。作图

1）求点m、m〞。过m′作素线的正立投影（可以只作出一部分），即过m′向下引铅垂线交于圆周前半部m，此点就是所求的m点；再根据投影规则作出m〞，m〞点为可见点；

2）求点n、n〞。做法与M点相同，其侧面投影不可见。2）圆柱面上线的投影

【例3-10】如图所示，已知圆柱面上的AB线段的正面投影a′b′，求其另两面投影。分析

1）圆柱的轴线垂直于侧面，其侧面投影积聚为圆，正面投影、水平投影为矩形。

2）线段AB是圆柱面上的一段曲线。求曲线投影的方法是画出曲线上，诸如端点、分界点等特殊位置点及适当数量的一般位置点，并把它们光滑连接即可。作图

1)求出端点A和B的投影。利用积聚性，求得侧面投影a″、b″，再根据投影关系求出a、b。

2)求曲线在轮廓线上的点C的投影。点C在水平投影转向轮廓线（轮廓素线）上，根据转向轮廓线的投影位置，可求出点C的侧面投影c″和水平投影c。

3)求适当数量的中间点。在a′b′上取点1′、2′3′，然后求其侧面的投影1〞、2〞、3〞，再根据投影关系求出水平投影1、2、3。

4)判别可见性并连线。c点为水平投影可见与不可见的分界点，曲线的水平投影a32c为不可见，画成虚线，c1a为可见，画成实线。（2）圆锥面上的点和线

1）圆锥面上点的投影圆锥体的投影没有积聚性，在其表面上取点的方法有两种：方法一：素线法。圆锥面是由许多素线组成的。圆锥面上任一点必定在经过该点的素线上，因此只要求出过该点素线的投影，即可求出该点的投影。

【例3-11】如图所示，已知圆锥面上一点A的投影正面投影a′，求a、a″分析

1）A点在圆锥面上，一定在圆锥的一条素线上，故过A点与锥顶S相连，并延长交底面圆周于Ⅰ点，SⅠ及为圆锥面上的一条素线，求出此素线的各投影。

2）根据点线的从属关系，求出点的各投影。作图

1）过a′作素线SⅠ的正立投影s′1′；

2）求s1。连接s′a′延