2025年高考数学专项复习：空间向量与立体几何

空间向量与立体几何(知识点+题型)

知识点

知识点01：空间向量的有关概念

1、空间向量的有关概念

几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量长度为o的向量叫做零向量，记为0

单位向量模为1的向量称为单位向量

相反向量与向量£长度相等而方向相反的向量，称为£的相反向量，记为-£

相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量

2、空间向量的表示

表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：

(1)几何表示法：用有向线段荏来表示，A叫向量的起点，8叫向量的终点；

(2)字母表示法：用反工表示.向量£的起点是A，终点是B，则向量£也可以记作而，其模记为/或|而|.

知识点02：空间向量的加法、减法运算

1、空间向量的位置：已知空间向量£石，可以把它们平移到同一平面2内，以任意点。为起点，作向量返=日，

2、空间向量的加法运算(首尾相接首尾连)：作向量/=B，则向量反叫做向量2,B的和.记作£+石，即

OC=AC=a+b

/fa。。7/

3、空间向量的减法运算(共起点，连终点，指向被减向量)：向量丽叫做£与石差，记作£-石，即

BA=OA-OB=a—b

/\/7

/a。0c/

4、空间向量的加法运算律

(1)加法交换律：a+b=b+a

(2)加法结合律：a+B+c=a+(B+c)

知识点03：空间向量的数乘运算

1、定义：与平面向量一样，实数力与空间向量Z的乘积4%仍然是一个向量，称为向量的数乘运算.

2、数乘向量力公与向量£的关系

2的范围2a的方向花的模

2>0彳3与向量Z的方向相同\Aa\=\A\\a\

2=02a=0＞其方向是任意的

2<0a%与向量£的方向相反

知识点04：共线向量与共面向量

1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量

或平行向量，若£与B是共线向量，则记为

2、共线向量定理：对空间任意两个向量力业的充要条件是存在实数％，使£=

3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.

4、共面向量定理：如果两个向量2万不共线，那么向量,与向量Z,石共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x,y）,

使p=xa+yB

5、空间共面向量的表示

如图空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对（％y）,使I?=x而+yAC.

图3.1-15

或者等价于：对空间任意一点。，空间一点尸位于平面ABC内（P,AB,C四点共面）的充要条件是存在有序实

数对（尤,y）,使存=函+*而+y/,该式称为空间平面ABC的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间

一点及两个不共线向量唯一确定.

6、拓展

对于空间任意一点。，四点共面（其中C,A5不共线）的充要条件是中=两+z而（其中

x+y+z=1）.

知识点05：空间两个向量的夹角

1、定义：如图已知两个非零向量凡在空间任取一点。，作次=£,OB=b＞则么NAO3叫做向量的夹

角，记＜£出〉.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）

2、范围：＜a,b＞E.[0,7i].

-*-*■―►­►

特别地，（1）如果＜a/＞=—，那么向量a,b互相垂直，记作a

2

（2）由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为"，故＜%]〉=0（或

＜a,b〉=%）＜=＞£/区（a/为非零向量）.

3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）

若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为8,

————7C

(1)向量夹角的范围是O«a,b><兀，异面直线的夹角夕的范围是。<夕<］，

—►—»__.)L

(2)当两向量的夹角为锐角时，0=<a,b>；当两向量的夹角为,时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，

0=7t—<a,b>.

知识点06：空间向量的数量积

1、定义：已知两个非零向量£,b>贝1J|a||cos<a,b>叫做£,5的数量积，记作£%；即

a-b=\a\\b\cos<a,b>.规定：零向量与任何向量的数量积都为0.

特别提醒：两个空间向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零；

2、空间向量数量积的应用

⑴利用公式131=J荔可以解决空间中有关距离或长度的问题；

一一G•h

(2)利用公式cos<a,可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题；

\a\\b\

3、向量£的投影

①如图(1),在空间，向量Z向向量B投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面a内，进而

—»—►—»—►h

利用平面上向量的投影，得到与向量B共线的向量入c=|a|cos<a">一向量"称为向量£在向量B上的投影

向量.类似地，可以将向量Z向直线/投影(如图(2)).

②如图(3),向量£向平面夕投影，就是分别由向量£的起点A和终点8作平面夕的垂线，垂足分别为A，B'，得

到瓦百，向量瓦©称为向量£在平面夕上的投影向量.这时，向量瓦手的夹角就是向量£所在直线与平面夕

所成的角.

4、空间向量数量积的几何意义：向量z，B的数量积等于Z的长度|£|与石在Z方向上的投影|B|cos<Z,B〉的乘

积或等于b的长度㈤与£在石方向上的投影I3Icos<日花〉的乘积.

5、数量积的运算：

(1)(Aa)-b=/l(a-b),一

(2)a./?=〃.Q(交换律).

(3)a・(B+c)=+(分配律).

知识点07：空间向量基本定理

1、空间向量基本定理

如果向量三个向量a,b,c,不共面，那么对空间任意向量p,存在有序实数组｛x,y,z｝，使得万=+通+zc.

2、基底与基向量

如果向量三个向量2,瓦工,不共面，那么所有空间向量组成集合就是｛布=耘+诱+2<?,羽以2则.这个集合可看

作是由向量2，瓦2,生成的，我们把｛£,瓦耳叫做空间的一个基底瓦2,都叫做基向量.

3、单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1,那么这个基底叫做单位正交基底，常用伍］收｝表

z5.

4、正交分解

由空间向量基本定理可知，对空间任一向量£,均可以分解为三个向量后，yi>zt使得£=J+y]+zG.像这

样把一个空间向凄分解为三个两两垂直的向曼叫做把空间向量进行正交分解.

知识点08：空间向量的正交分解及其坐标表示

1、空间直角坐标系

空间直角坐标系及相关概念

⑴空间直角坐标系:在空间选定一点。和一个单位正交基底(i,工R，以。为原点，分别以工后的方向为正方向，

以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐

标系Oxyz.

(2)相关概念：。叫做原点，7,],无都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为。孙平面、

0yz平面、O玄平面，它们把空间分成八个部分.

2、空间向量的坐标表示

①空间一点的坐标：在空间直角坐标系。孙z中，无为坐标向量，对空间任意一点A,对应一个向量方，且

点A的位置由向量05唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z),使次=需+jJ+zK

在单位正交基底｛7,下与向量次对应的有序实数组(尤,y,z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作

A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标，》叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.

②空间向量的坐标：在空间直角坐标系。xyz中，给定向量作英=日.由空间向量基本定理，存在唯一的有序

实数组(x,y,z),使Z=x7+yJ+zG.有序实数组(％,y,z)叫做日在空间直角坐标系Qxyz中的坐标，上式可简记作

a=(x,y,z).

知识点09：空间向量运算的坐标表示

1>设2=(%,a2,a3),b=(bvb2,b3),空间向量的坐标运算法则如下表所示:

运算坐标表示

加法a+Z?=(tz1+4,a2~\~b29%+4)

减法a—-1\,a2-b2,a3-i>3)

数乘%〃2，A%),%£R

数量积a-b=%仇+〃2%+。3〃3

2、两个向量的平行与垂直

a-(ava2fa3),b=(bvb2,b3)

ax=独

d||方(方w0)=M=丸万=<

平行(a||&)a2=Ab2(2GH)

a3=2b3

垂直(a)a_Lb<^>d-b=0<^>axbx+a2b2+a3b3=0(a,B均非零向量)

3、向量长度的坐标计算公式

l22

右”二(%，a2,a3),则|〃|=f0t+a；+q?>即Ia|=+a2+a3

空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线

的长度

4、两个向量夹角的坐标计算公式

ab01bl+a2b2+a3b3

设。二(%,a,a\b=(bb,b),贝！Icos<£,)>=

23v23|a||b|《a；+〃；+〃；Qb；+b；+b；

5、两点间的距离公式

已知A(%，X，ZI),5(X2，%，Z2)，则4AB=|通|=J(%—%)2+(%-%)2+(Z2-ZJ2

6、中点坐标公式

*产+%2

2

M+%

设点尸(x,y,z)为《(%,%,zj,£(%,%，Z2)的中点，则，y=

2

Z]+z

z=2

2

知识点10：用向量表示点、直线、平面的位置

1、用向量表示点的位置：

在空间中,我们取一定点。作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量而表示.我们把向量存称为点P的位

置向量.如图.

2、直线的方向向量

如图①,a是直线I的方向向量,在直线/上取旗=2,设P是直线/上的任意一点，则点P在直线I上的充要条件是存

在实数/,使得Q=扇，即»=/通

四①

3、空间直线的向量表示式

如图②，取定空间中的任意一点。，可以得到点P在直线/上的充要条件是存在实数/,使历=函+启①

或OP=OA+tAB②

①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.

国②

4、用向量表示空间平面的位置

根据平面向量基本定理，存在唯一实数对(x,y),使得Q=+如图；取定空间任意一点。，空间一点尸位

于平面A3c内的充要条件是存在实数x,y,使9=赤+%通+以记.

知识点11:平面的法向量及其应用

1、平面法向量的概念

如图，若直线,取直线/的方向向量£,我们称£为平面。的法向量；过点A且以£为法向量的平面完

全确定，可以表示为集合{P|7通=0}.

2、平面的法向量的求法

求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下：

设向量：设平面a的法向量为〃=（x,y,z）

选向量：选取两不共线向量入瓦起

n-AB=0

列方程组：由一_.列出方程组

n-AC=0

n-AB=0

解方程组：解方程组――.

n-AC=0

赋非零值：取其中一个为非零值（常取±1）

得结论：得到平面的一个法向量.

知识点12：空间中直线、平面的平行

设直线4,4的方向向量分别为£，b＞平面a，夕的法向量分别为7，m，则

线线平行611，2||b=4b(2eR)

线面平行4Ha_LnQ].〃=0

面面平行a||尸="]|m<=>«=Am

知识点13：空间中直线、平面的垂直

设直线4的方向向量为£=（q,4,q）,直线乙的方向向量为B=32，。2），平面。的法向量反=（七,%，4），平面

夕的法向量为机=（尤2，%，Z2），则

线线垂直乙_L4=Q.b=0o6%+b1b?+qQ=0

ax-

线面垂直4J_a||n=Xn今仇=4%

q=2Zj

面面垂直a_L〃_L正=3.»=00为々+%%+ZK=0一

知识点14：点到线面距离

1、点到直线的距离

己知直线/的单位方向向量为1，A是直线/上的定点，P是直线/外一点.设Q=则向量而在直线/上的投

影向量而=(71)鼠在R/AAP。中,由勾股定理得：PQ=AP|2-I=而-(7-)2

2、点到平面的距离

如图，已知平面々的法向量为反，A是平面a内的定点，P是平面a外一点.过点P作平面a的垂线/,交平面a

于点。，则反是直线/的方向向量，且点P到平面戊的距离就是而在直线/上的投影向量0A的长度.

PQ=|正当=||=

I〃|\n\\n\

知识点15：用向量法求空间角

1、用向量运算求两条直线所成角

已知a,6为两异面直线，A,C与B,。分别是a,6上的任意两点，a,6所成的角为夕，则

ACBD

①cos<AC,BD>=

\AC\\BD\

\AC-BD\

②cos0=|cos<AC,BD>\=RR,

2、用向量运算求直线与平面所成角

设直线/的方向向量为平面a的法向量为G，直线与平面所成的角为8,%与G的角为。，则有

右a-u

①COS0二一一

1列川

②sin3=|cosd(注意此公式中最后的形式是：sin。)

3、用向量运算求平面与平面的夹角

如图，若于A,P3_L/?于2,平面尸交/于E,则NAEB为二面角。-/-，的平面角，NAE3+/APB=180。.

若丹•%分别为面戊，尸的法向量

①cos<4，%>=一’上

一后|⑷

②cos6根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；

若二面角为锐二面角（取正）,则cos，=|cos<4,n2>1；

若二面角为顿二面角（取负），贝!|cos8=—|cos<%,“2>1；

甲强型侪单

多题型一：空间向量线性运算................................................................11

畲题型二：向量共面与四点共面..............................................................13

畲题型三：用基底表示向量..................................................................14

畲题型四：空间向量基本定理求数量积、模长、夹角..........................................15

畲题型五：空间直角坐标系...................................................................16

多题型六：空间向量的平行、垂直运算.......................................................17

畲题型七：空间向量的数量积、模长、夹角运算..............................................18

多题型八：空间向量的投影向量..............................................................19

畲题型九：异面直线所成角..................................................................20

畲题型十：线面角............................................................................21

多题型4-一：二面角、平面与平面所成角.....................................................23

畲题型十二：点到线的距离...................................................................25

多题型十三：点到面的距离...................................................................26

畲题型十四：折叠问题.......................................................................27

畲题型十五：探索性问题.....................................................................30

【题型一：空间向量线性运算】

一、单选题

—►1―►―►

1.（23-24高二下•甘肃•期中）在空间四边形A3C。中，E,歹分别为8C,CO的中点，贝|A尸—万043+AC）=（）

A.-EFB.BDC.EFD.-BD

2.（24-25高二上•广东茂名•期中）在平行六面体A3cAfCQi中，AB=a,AD=b>=c,0是BD1与B】D

的交点，以加，力，酬为空间的一个基底，则直线。4的一个方向向量为（）

1一1一

C.一〃+Z?+cD.——a-b+c

22

3.(24-25高二上•四川成都•阶段练习)如图，在平行六面体中，AB-AD+AA；=()

4.(24-25高二上•福建福州•阶段练习)如图，空间四边形OABC中，函=商,诙=反宓=—且。加=2〃A,BN=NC,

则痴=()

人/一1r-i_iri_

A.——a+—b+—cB.—a+—b——c

322222

C.--a+-b+-cD.-a-—b+—c

332232

5.(23-24高二上•山东青岛•期末)已知四面体0ABe中，西=原屈=反元=心两=2而5(2>0),N为BC中点,

-----1-1_]_

若MN=——a+-b+-c,贝l|/l=()

422

A.3B.2

【题型二：向量共面与四点共面】

一、单选题

1.（24-25高三上•上海•开学考试）关于空间向量，以下说法错误的是（）

A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B.若£4>0,则Z与1的夹角是锐角

C.已知向量2、b>"是不共面的向量，则2入5、々也是不共面的向量

—•1—■1—•2—•

D.若对空间中任意一点。，^OP=-OA+-OB+-OC,则尸，A,B,C四点共面

1243

2.（24-25高二上•重庆•期中）在空间中，若向量@=（1,0,—2）,B=（1,2,3）,不=（1,3,利）共面，则加=（）

3.（24-25高二上•江苏无锡•期中）设｛第反耳为空间的一个基底，OA=2a+3b+5c>OB=a+2b-2c>OC=ka+b+3c>

若两，OB>"共面，贝必=（）

4.（24-25高二上•山东•期中）若｛为瓦可构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A.b+c,b,b—cB.a+b,a,a-b

C.a+b,a—2b,cD.a+b,a+b+c,c

5.（24-25高二上•湖北•期中）如图，在正四棱台ABC。-A与G2中，AB=2AiBi,AE=^AB,DF=^DA,Afi=^A^A-

AM

直线AC1与平面E/G交于点则大=（）

6.（24-25高二上•河南周口•阶段练习）在正三棱锥尸-ABC中，R4=AS=3,点M满足

PM=xPA+yPB+（2-x-y）PC,则AM的最小值为（）

A•警B.而C.fD.2屈

【题型三：用基底表示向量】

一、单选题

1.（24-25高二上•重庆•阶段练习）下列可使苕，b,1构成空间的一个基底的条件是（）

A.a=mb+ncB.a,b,1两两垂直

C.g|=|B|=|乙|=1D.a+b+c=0

2.（23-24高二下•甘肃临夏・期末）如图，在平行六面体ABC。-AB。'。'中，点£,尸分别为A8,的中点，贝4访=

22

1—.1―.—.

B.-AB+-AAf+AD

22

1—.1-.1―.

C.——AB+-AA+-AD

222

1―.1—.1—.

D.-AB+-AA,+-AD

222

3.（24-25高二上・安徽黄山・期中）如图，在三棱锥O-ABC中，次=2,砺=反皮=2,而=—而,E是线段入£）的

中点，则赤=（）

1-l1一1-11-

A.—。+—。r+一。B.—Q+—/r7+—C

236623

一1一1r「

C.—aH—bT—CD.J_£+4+左

362263

4.（24-25高二上•山东枣庄•期中）若修最可是空间的一个基底，且｛J+晟。晟不+可不能构成空间的一个基

底，贝心=（）

A.-1B.1C.0D.-2

5.（24-25高二上•湖北•期中）在空间直角坐标系中，。为坐标原点，若砺，朝，正是空间不共面的三个向量，则可

以与向量函+而和向量函-砺构成空间一个基底的向量是（）

A.OAB.0BC.0CD.BA

【题型四：空间向量基本定理求数量积、模长、夹角】

一、单选题

1.（24-25高二上•广东东莞•阶段练习）在棱长为1的正方体ABCD-A与GR中，点加为棱CG上任意一点，则

AMBC=()

A.1B.2C.-1D.-2

2.（24-25高二上•贵州六盘水•期中）在空间四边形OABC中，OA=a>OB=b<OC=c>且丽=2诟，BN=2NO,

则诉=（）

1-12-1-22-

A.——a+—b7+—cB.——a+—br——c

333333

2-l2-1-l2-

C.——a+—br——cD.——a+—br——c

333333

3.（23-24高一下•吉林延边•阶段练习）平行六面体ABCD-A与GR中

AB=AD=1^=2,ZBAD=^,ZBAAi=ZDAAl=1.pllj|BZ^|=（）

A.屈B.C.72D.V2+1

TT

4.（24-25高二上・江苏南通•阶段练习）在棱长均为1的三棱柱ABC-AB。1中，A\AB=^^0=-,则异面直线A耳

与BC1所成角的余弦值为（）

A.B.—C.如D.6

6633

5.（24-25高二上•山东烟台・期中）在平行六面体ASCD-AZC'D'中，底面A3CD是正方形，NA'AB=NAWD=60。，

AB=2,A4'=4,M是棱AE的中点，AC与平面4WZ>交于点”，则线段的长度为（）

A.交B.迪C.72D.胆

232

6.（24-25高二上•浙江衢州•期中）已知正四面体RISC的棱长为1,动点M在平面ABC上运动，且满足

PM=-PA-PB+mPC，则可？.福的值为（）

A.-2B.-1C.0D.2

【题型五：空间直角坐标系】

一、单选题

1.（24-25高二上•湖南•期中）在空间直角坐标系以冲中，已知点4（1,1,1）,3（2,-1,0）,若点尸与点A关于Qyz平面

对称，则丽=（）

A.（-3,2,1）B.（-1.0,1）C.（-1,0,-1）D.（3,-2,-1）

2.（24-25高二上•海南•期中）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点。是点尸（2,3,4）在Oyz平面内的射影，则|og|=（）

A.3B.4C.5D.6

3.（24-25高二上•福建厦门•期中）一束光线自点出发，被xOy平面反射到达点。（3,3,6）被吸收，那么光线

所经过的距离是（）

A.737B.733C.747D.757

4.（24-25高二上•河南许昌•阶段练习）在VABC中，己知A（3,2,6）,8（5,4,0）,C（0,7,l）,则A8边上的中线长为（）

A.742B.6C.4衣D.7

5.（24-25高二上•河南郑州•期中）已知双。,-3）,3（-2⑼是直线y=-3x上的两点，若沿x轴将坐标平面折成120。的

二面角，则折叠后45两点间的距离是（）

A.4B.276C.6D.6立

【题型六：空间向量的平行、垂直运算】

一、单选题

1.（24-25高二上・河南信阳•期中）已知向量：=（2,1,2）,g=（m-2,m,5）,若方，则相等于（）

A.-4B.-2C.2D.4

2.（24-25高二上・北京•期中）已知小b,"不共面,e=3a-tb-c，d=-2ta+6b+2c>若"与7共线，则实数/的

值为（）

A.-3B.1C.3D.-3或3

3.（24-25高二上•吉林长春•阶段练习）已知平面a的一个法向量元=（-2,-2,1）,点A（-l,-3,0）在平面a内；若点

0,2-7〃）在平面a内，则加的值为（）

A.-2B.0C.1D.2

4.（23-24高二上•安徽•期末）在空间直角坐标系中，已知点4（0,0/），8（1,2,3）,C（m,n,2）,若向量质与向量配

共线，则加的值为（）

13

A.0B.-C.1D.-

22

5.（23-24高二上•吉林延边•期中）己知点4（",-3,5）,3（0,82）,C（2,7,-l）,若A,B,C三点共线，则a,b的值

分别是（）

A.-2,3B.-1,2C.1,3D.-2,2

6.（22-23高二上•安徽马鞍山•阶段练习）向量2=（2,1,1）,方=（x-l,x,0）（x>l）,且网=耳，若（〃必-则

实数加的值为（）

【题型七：空间向量的数量积、模长、夹角运算】

一、单选题

1.（2024高二・全国・专题练习）已知空间向量满足|£|=夜,出|=1,£，0+2为，则向量£石的夹角为（）

2.（24-25高二上•山东青岛•阶段练习）向量2=（1,2,3）石=（-2,-4,-6）,|町=而,若（＜+L）E=-7,贝物与e的夹角

为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.（22-23高一下•黑龙江哈尔滨•期末）如图，在四面体ABCD中，ZBAC=60°,ZBAD=ZCAD=45°,AD=肥,

AB=AC=3.则而.而=（）

D.3&

.2

TT

4.（23-24高一下•重庆•期末）平行六面体ABCD-ABCQi中，底面A2CD为正方形，/片4。==4,

AA1=AB=1,E为C|R的中点，则异面直线BE和。C所成角的余弦值为（）

。EG

M方

7

5.（24-25高二上・安徽•期中）在空间直角坐标系中，已知@=（1,2,4）石=（3,6,22-2）,则4是a与石夹角为锐

O

角的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（24-25高二上•广西•期中）如图，边长为4的正方形ABC。是圆柱0a的轴截面，M为上底面圆。内一点，则

市•砺的最小值为（）

;''A

展......六.....珈

A.6B.8C.10D.12

7.（23-24高二下.甘肃兰州.期中）若A（coszsina,l）,B（cos/,sin尸,1）,则口可的取值范围是（）

A.[0,2]B.[1,73]C.（0,2）D.（1，君）

8.（24-25高二上•广东•期中）棱长为2的正方体ABC。-A瓦GQ中，其内部和表面上存在一点尸满足

APBP=AP-4P=0,则NAB尸的取值范围为（）

【题型八：空间向量的投影向量】

一、单选题

1.（24-25高二上•湖北•期中）已知A（2,l,3）,B（l,3,4）,C（4,-l,3）,则而在正方向上的投影向量的坐标为（）

A.（2,-2,0）B.C.（—1,2,1）D.—,0^j

2.（24-25高二上.福建厦门•阶段练习）在单位正交基底,人耳下，已知向量”1+2了+3后,b=2i+3k，则向量

沅=^+石在向量：上的投影向量为（）

A.37B.2iC.6iD.4i

3.（24-25高二上•安徽阜阳•期中）已知向量。，友*满足冏=4,问=同=5,且1+石+不=0,则向量值一5在向量^上

的投影向量为（）

二、填空题

4.（24-25高二下•全国•课前预习）已知问=3,方在5方向上的投影为g,则a/=.

5.（23-24高二上•北京通州•期中）在空间直角坐标系Oxyz中，已知荏=（2,0,0）,AC=（0,2,0）,诟=（0,0,2）.则丽

与区的夹角的余弦值为;而在手的投影向量2=.

【题型九：异面直线所成角】

一、单选题

1.（24-25高二上•山东潍坊•期中）如图，在斜三棱柱ABC-ABC1中，底面ABC为正三角形，。为AC的中点,

AB=BB『2,/ABB】=NCBBi=120。,则异面直线8。与A耳所成角的余弦值为（）

2.（24-25高二上•福建福州•期中）在三棱锥A—5CD中,AB_L平面BCD,BC1CD,S.AB=BC=CD,M为AD

的中点，则异面直线5M与CD夹角的余弦值为（）

ARA/3p也D.叵

A.D.C.

3344

3.（24-25高二上•四川雅安・期中）如图，平行六面体ABCD-A耳GA的所有棱长均相等，且NAA。=ZA.AB=ZDAB

7T

=g,则异面直线AC与。。所成角的余弦值为（）

A-TB-Ic-f

4.（24-25高二上•湖南•期中）在长方体ABCD-ABjCQ］中，已知AB=3C=2,e=4,E为A2的中点，则直

线CE与8。所成角的余弦值为（）

A而a5742n屈

A.D.JrU.

42214221

7T

5.（24-25高二上•山东聊城•阶段练习）己知菱形ABCD,ADAB=~,将A/MC沿对角线AC折起，使以

四点为顶点的三棱锥体积最大，此时异面直线A3与CD所成角的余弦值为（）

A.--B.BC.-D."

4244

【题型十：线面角】

一、解答题

1.（24-25高二上•重庆•期中）如图，正方体中，E、F、G分别为。用自，2瓦的中点.

DiCI

⑴证明：GP〃平面ACE；

(2)求AG与平面ACE所成角的余弦值.

2.(24-25高二上•四川甘孜•期中)在平行四边形ABC。中，AB=BD=CD=1,AB±BD,BDLCD,将△ABD沿

8。折起，使得平面平面BC。，如图.

C

⑴求证：AB±CD；

(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.

3.(24-25高二上•宁夏•期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A3。是正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PADY

底面ABC£>,M是尸£)的中点.

(1)证明：/>3〃平面MAC；

(2)证明：平面ABAf_L平面PCD；

(3)求直线PC与平面ABM所成角的大小.

4.(24-25高二上•辽宁沈阳•期中)如图，已知四棱锥尸-ABCD中，,侧面皿>为边长等于4的正三角形,

底面ABC。为菱形，尸为AD的中点，侧面PAD与底面ABC。所成的二面角为120°.

⑴求点尸到平面ABCD的距离;

(2)已知点。为直线上的动点，若直线产产与面所成角的正弦值为逅，求线段。尸的长度.

6

5.(24-25高二上•河北邢台・期中)如图，在矩形ABC。中，AD=^2,取CD中点Af,将和分别沿

直线A",折叠，使。，C两点重合于点P得到三棱锥尸-ABM.

⑴当AB=2时，求证：AM±PB；

⑵若二面角A-尸河-3的平面角为60。，是否存在A"上一点E,使得PE与平面所成角的正弦值为半？若

存在，请求出E点的位置；若不存在，请说明理由.

【题型十一：二面角、平面与平面所成角】

一、解答题

1.(24-25高二上•陕西咸阳・期中)如图，PAJ_平面ABC,AB为圆。的直径，E,尸分别为棱PC,尸8的中点.

(1)证明：平面平面PAC；

(2)若R4=AB=4，AC=2,求二面角E-AB—C的余弦值.

2.（24-25高二上•湖北武汉•期中）如图，在四棱锥尸—ABCD中，PD=PC=CB=BA=-AD=2,AD//CB,

2

NCPD=/ABC=90°,平面PCD_L平面ABCD.

(1)求证：尸。_L平面PC4；

⑵点。在棱以上，C0与平面PDC所成角的正弦值为如，求平面PCD与平面CQQ夹角的余弦值.

3

3.(24-25高二上•湖北省直辖县级单位•期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，

AB1AD,CD1AD,AB^AD=PD^^CD=1,PA=^2,PC=«,点。为棱尸C上一点.