2025年高考数学二轮复习讲义：直线与圆几何问题题型深度剖析与总结（原卷版）

专题16直线与圆几何问题题型深度剖析与总结

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................6

05核心精讲•题型突破............................................................8

题型一：直线的方程8

题型二：圆的方程9

题型三：直线、圆的位置关系10

题型四：圆的动点与距离问题11

题型五：阿氏圆12

题型六：米勒定理与角度问题13

题型七：圆的数形结合14

重难点突破：与距离问题有关的最值15

差情;奏汨•日标旦祐

直线与圆是高考数学的重点内容。考查形式多为选择题、填空题，难度中档。常考求直线（圆）方程、

点到直线距离、判断直线与圆位置关系，以及简单弦长与切线问题。其中，直线方程、圆的方程、两直线

平行与垂直关系等是基础考点，需熟练掌握相关公式和判定方法，注重数形结合解题.

考点要求目标要求考题统计考情分析

掌握直线方程，运2024年北京卷第3题，4分

直线与方程2025年高考数学可能

用数形结合解题2023年I卷第6题，5分

会涉及直线与圆的方程，

包括直线方程的一般形

2024年甲卷（理）第12题，5分

理解位置关系，渗2023年甲卷（理）第8题，5分式、圆方程的标准形式等。

直线与圆的位置关系

透数学思想方法2023年II卷第15题，5分同时，可能会考察直线与

2022年II卷第15题，5分圆的位置关系，如相交、

相切'相离等，以及相关

圆与圆的圆的位置关掌握判定方法及

2022年II卷第14题，5分的计算和应用。

系应用

平面内到定点的距离等于

一j定长的点的集合（轨迹）

'、、叫圆.

圆的标准方程：。-0）2+0"）2=/，

圆心坐标为（。，b）,半径为r（r>0）

圆的一般方程：Y+y,+Dx+B，+尸=0（少+上工4/>0）,

IMI心坐标为（-々，-9），半径r=8+E7F

《圆的四种方程：一2

圆的方程

网的直径式方程：若/（MJi）出口”队），

则以线段45为直径的圆的方程是（.v7rlX.\・.vJ+（广广『）=0

x=a+rcos0

网的参数方程:（9为参数）

j=b+rsin。

点与圆的位置关系

二什）直线与圆相交，有两个公共点二）

直线与圆的位置关系（2）直线与圆相切，只有一个公共点;

J3）直线与圆相离，没有公共点.

直线与圆几何问题判断电线/。圆C的方程组成的方程组是否右解.

题型深度剖析与总如果有解，在线八:i圆C有公共点.

行两组实数解时，百线八J恻c相交；

结

有一组实数解时，江线八JMC相切：

无实数解时，百线/，圆C相离.

直线与圆的位置关系的判定

由圆。的圆心到直线/的距离d与圆的半径r的关系判断:

当*r时，直线/与同C相交；

（I何法

'1d=r时，有线/与圆6相切；

当rf>/•时，直线/与圆C相离.

（1）圆与国相交，有两个公共点；

圆与圆的位置关系（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；

（3）圆与圆相离（内含或外高），没有公共点.

判断两圆的方程组成的方程组厘否有解.

有两组不同的实数解时，两圆相交；

代数法

有一组实数解时，两圆相切；

方程组无解时，两圆相离.

圆与圆的位置关系的判定设0a的半径为小的半径为/•?,两例的阴心距为d.

当公〃〈*/*1+/2时,两国相交;

当r1+r产加寸，两圆外切;

■何法

当，i+r2VMi寸，两圆外离;

当1y』=耐，两圆内切;

当匕-〃>耐,两圆内含.

葡3

知过临孑里・方法拈工弓

1、直线与圆的位置关系

（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）

圆心（a力）到直线Ax+By+C=O的距离，则d=12班+。：

VA2+B2

d<ro直线与圆相交，交于两点尸,Q,\PQ\=.

d=ro直线与圆相切；

d>ro直线与圆相离

（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

fAx-\-By+C=0

由［（x-a）2+（y-bp=r2，

消元得到一元二次方程px2+qx+1=0，px2+qx+t=o判别式为八，贝h

A>0o直线与圆相交；

A=0o直线与圆相切；

A<0o直线与圆相离.

2、圆与圆的位置关系

用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆a，q的半径分别是我,厂，（不妨设尺>厂），且两圆的圆心距为d,贝的

d<R+r=两圆相交；

d=R+r=两圆外切；.

302

R-r<d<R+r。两圆相离

d=R-r=两圆内切；

0<4<7?-厂=两圆内含（d=0时两圆为同心圆）

设两个圆的半径分别为R,r,R>r,圆心距为d,则两圆的位置关系可用下表来表示:

位置关系相离外切相交内切内含

几何特征d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd-R-rd<R-r

代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解

公切线条数43210

3、关于圆的切线的几个重要结论

(1)过圆/+>2=/上—*点尸(%,%)的圆的切线方程为xQx+yQy

(2)过圆(x—.产+(y—初2=/上一点尸(%,为)的圆的切线方程为

(%o-a)(x-a)+(%-b)(y-b)=r2

(3)过圆+y2+6+石,+产=0上一点尸(%,%)的圆的切线方程为

/光+为y+o•——

+“.亨+1

(4)求过圆一+丫2=/外一点尸(灰,%)的圆的切线方程时，应注意理解:

①所求切线一定有两条；

②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为y-%=代工-％),利用圆

心到切线的距离等于半径，列出关于女的方程，求出k值.若求出的A值有两个，则说明斜率不存在的情形

不符合题意；若求出的k值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意.

0

心真题砒标•精御皿\\

1.（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线6+勿-"+26=0与圆C：/+/+4、-1=0交于48两

点，贝U|AB|的最小值为（）

A.2B.3C.4D.6

2.（2024年北京高考数学真题）圆/+/一2%+6丫=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为（）

A.72B.2C.3D.3&

3.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已矢口。是me的等差中项，直线。尤+勿+c=0与圆尤2+/+4、-1=0

交于A,8两点，则|A卸的最小值为（）

A.1B.2C.4D.2若

4.（2024年天津高考数学真题）已知圆（x-l）2+V=25的圆心与抛物线V=2px的焦点产重合，且两曲线

在第一象限的交点为A,则原点到直线AF的距离为.

5.（2023年新课标全国II卷数学真题）已知直线/：尤一⑺+1=0与1C:（X—1）2+/=4交于A,8两点，写

Q

出满足“VABC面积为丁的m的一个值____.

6.（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数尤,V满足/+/-4x-2y-4=0,则x—，的最大值是

（）

A.1+乎B.4C.1+3忘D.7

7.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设。为平面坐标系的坐标原点，在区域｛（无，^心/+^4^内

TT

随机取一点，记该点为4则直线的倾斜角不大于:的概率为（）

4

A.—B.—C.—D.—

8642

8.（2023年新课标全国I卷数学真题）过点（0,-2）与圆炉+/一4%—1=0相切的两条直线的夹角为。，则

sina=（）

A.1B.姮C.典D.逅

444

9.（2022年新高考天津数学高考真题）若直线x-y+m=0（根＞0）被圆（x-lY+（y-1）2=3截得的弦长为"?,

则加的值为.

10.(2022年新高考全国n卷数学真题)设点A(-2,3),B(0⑷，若直线A8关于丫=。对称的直线与圆

(x+3)2+(y+2>=1有公共点，则a的取值范围是.

11.(2022年高考全国甲卷数学(文)真题)设点M在直线2x+y-l=0上，点(3,0)和(0,1)均在“上,

则，"的方程为.

12.(2022年高考全国乙卷数学(理)真题)过四点(。,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程

为.

㈤5

孩心精说，题型突破

题型一：直线的方程

【典例1-1】已知43,1),B(-l,2),若NACB的平分线方程为y=x+l,则AC所在直线的一般方程为一.

【典例1-2]光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射

率.如图，一个折射率为&的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以45。的入射角从空气中射入

点4(-2,0),该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为.

1、已知直线4：Ax+4y+G=0,直线£\x+B2y+C2=0,贝！I/"《=4旦一人g=0,且30

(或4G—B2clw0),Z]_Ll2<=>A4+B[B?=0.

2、点到直线/：Ajc+By+C=0(A,B不同时为零)的距离d=.

A/A'+B2

..._|C,-Cd

3、两条平行直线4：A%+4y+G=。，，2：+不丁+。2=o(A，b不同时为零)间的距离d=—.='.

VA2+B2

【变式1-1】已知过原点的直线/与圆U(X-1)2+V=4相交于A,B两点，若[4川=¥，则直线/的方程

为.

【变式1-2】一条光线经过点A(2,3)射到直线x+y+l=。上，被反射后经过点3(1,1),则入射光线所在直线

的方程为.

I命题预测飞

1.过定点A的直线/：or+y-2a+4=0与圆G：/+y2=4交于8C两点，点8恰好为AC的中点，写出满

足条件的一条直线的方程.

题型二：圆的方程

【典例2-1］如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为4米,

门在地面处的宽度为4米.现将其截面图放置在直角坐标系xQy中，以地面所在的直线为x轴，过圆心的竖

直直线为＞轴，则门的轮廓所在圆的方程为()

【典例2-2】过点尸(％,0)引圆C：Y+y2-4x=o的两条切线，切点分别为A,B.若cos/APB=；,则过

P,A,3三点的圆的方程为()

A.(X-3)2+/=4B.x2+y2=4

C.(%—4)2+9=4或V+尸=4D.x2+(y-3)2=4+/=4

1、圆的方程

(1)圆的定义

在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆

(2)圆的标准方程

设圆心的坐标C(a,3，半径为r,则圆的标准方程为：(x-a)2+(y-»2=/

（3）圆的一般方程

圆方程为1+/+瓜+&+尸=0,圆心坐标：（-y,-1）,半径：r=^D2+E2-4F

【变式2-1】已知直线/与抛物线G：V=4x交于A,8两点（B在第一象限），C是抛物线G的准线与直线/

的交点，/是抛物线G的焦点，若AC=-2AF，则以AB为直径的圆的方程为（）

【变式2-2]“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的

fv21

交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆.若椭圆C：，+2=1（。＞0）的离心率为：，

a+1a3

则椭圆C的蒙日圆的方程为（）

A.x2+y2=19B.x2+y2=17C.x2+y2=15D.x2+y2=14

命题预测T

1.已知圆C：（x-l）2+（y-l）2=4,P为直线/:2x+y+2=。上的动点，过点尸作圆C的切线B4,切点为A,

当jR4c的面积最小时，B4C的外接圆的方程为（）

5

A.

4

5

C.

4

题型三：直线、圆的位置关系

【典例3-1】若直线/：'=履+3-左与曲线c：y=d=7恰有两个交点，则实数%的取值范围是（）

43

A.B.

352

无2Iy2_2尤V1

【典例3-2】在平面直角坐标系宜刀中，满足不等式组）+2：二］的点（工》）表示的区域面积为（）

B.兀C.71-1D.兀一2

1、直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.

2、圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.

【变式3・1】设圆C:（x-2『+（y-球=36和不过第三象限的直线/：4%+3丁-。=0,若圆。上恰有三点到直

线/的距离均为2,则实数4=（）

A.-9B.1C.21D.31

【变式3-2］已知圆M:—+,2一6y=。与圆N：（%—COS6）2+（y—sin6）2=1（0«6<2兀）交于A、3两点，贝|

ABM（A/为圆M的圆心）面积的最大值为（）

99

A.y/2B.—C.2y/2D.—

命题预测

L设有一组圆G：（x-竟+（1左）2=公化>0）,若圆Ck上恰有两点到原点的距离为I,则上的取值范围是（）

A.（0,1）B.（A/2-1,^+1）C.（0,72+1）D.（五-1,血+2）

题型四：圆的动点与距离问题

【典例川若实数工，满足条件xf-，则"的范围是（）

A.7，+8B.-oo,-C.-00,-D.

4JI4I2

【典例4-2】已知点4（-1,0）,5（1,0）,若圆（x-a『+（y—24=1上存在点尸满足尸4尸8=3,则实数0的

取值的范围是.

巧

解决与圆相关的长度或距离的最值问题，通常的策略是根据所涉及的长度或距离的几何定义，借助圆

的几何特性，通过数形结合的方法来寻找解答。

【变式4-1】已知点尸(X,y)是圆+y2一26了+2=0上一点，贝U卜+若y+1|的范围是—.

【变式4-2】已知点尸(血,力在圆C:(x-2)2+(y-2)2=9上运动，则(%+2)2+(〃+1)2的最大值为____,最

小值为,Vm2+n2的范围为•

命题预测I

992x+y

1.已知实数无，y满足(尤一l)-+(y-2)2=l,则z=&②行的最小值为

题型五：阿氏圆

【典例5-1］古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为

常数左(左>0且左N1)的点的轨迹是圆后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.

已知点M是圆O：/+y2=i上任一点，点Q(_3,o),则;MQ|+M目的最小值为()

451—

A.1B.-C.—D.J17

33

【典例5-2】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值彳

(X>O"W1)的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知

在平面直角坐标系xOy中，A(T,1),B(T,4),若点尸是满足%总=彳的阿氏圆上的任意一点，点。为抛

物线C：V=i6x上的动点，。在直线x=Y上的射影为R,则|PB|+2|PQ|+2|QR|的最小值为.

一般地，平面内到两个定点距离之比为常数42>0,2.1)的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯

圆”.特殊地，当九=1时，点P的轨迹是线段AB的中垂线.

【变式5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A,B的距离之比为常数2(2>0,

4"),则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知

A(-1,O),B(O,1),M是平面内一动点，且制=应，则点M的轨迹方程为.若点P在圆

C:(X-2)2+/=36上，则2|刑+|冏的最小值是.

【变式5-2]已知实数十，丫满足V+V=4,则2而一1)2+7+次+(y-以的最小值为—.

I命题预测T

1.阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发现：“平面

内到两个定点48的距离之比为定值"221)的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏

圆.已知在平面直角坐标系中，A(-3,l),8(-3,5),点尸是满足|PB|=3|PA|的阿氏圆上的任意一点，则

该阿氏圆的方程为;若。为抛物线匚产=4彳上的动点，。在y轴上的射影为则

IPB|+3(|PQ\+\QM\)的最小值为.

题型六：米勒定理与角度问题

【典例6-1](多选题)已知点P在圆C：(x-4『+(y-5)2=5上，点A(4,0),3(0,2),则下列说法中正确

的是()

A.点尸到直线A3的距离小于6B.点尸到直线的距离大于2

47T

C.cosNAPB的最大值为二D.ZAPS的最大值为彳

【典例6-2】德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”(也称“米勒定理”)：若点是NMON的加

边上的两个定点,C是。V边上的一个动点，当且仅当VABC的外接圆与边ON相切于点C时，/ACB最大.在

平面直角坐标系中，己知点。(2,0),E(4,0),点尸是y轴负半轴的一个动点，当NDEE最大时，DE尸的

外接圆的方程是().

A.(x-3『+(y+2@2=9B.(x-3)2+(y-2V2)2=9

C.(X+2V2)2+(^-3)2=8