第11讲 圆与圆的位置关系（七大题型）（解析版）

第11讲圆与圆的位置关系【题型归纳目录】题型一：判断圆与圆的位置关系题型二：求两圆的交点题型三：由圆的位置关系确定参数题型四：求两圆的公共弦方程、公共弦长题型五：圆的公切线条数题型六：圆的公切线方程题型七：圆系问题【知识点梳理】知识点一：圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．2、圆与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解．有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离．（2）几何法：设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为．当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆外离；当时，两圆内切；当时，两圆内含．知识点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法．3、两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．4、两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线．【典例例题】题型一：判断圆与圆的位置关系【例1】（2023·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）圆与圆的位置关系是（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】C【解析】两圆化为标准形式，可得与圆，可知半径，，于是，而，故两圆相交，故选：.【对点训练1】（2023·山东日照·高二校考阶段练习）两圆和的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】B【解析】由化简得，圆心为，，由化简得，圆心为，，两圆心的距离为，明显地，，所以，两圆的位置关系是外切.故选：B.【对点训练2】（2023·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）设圆，圆，则圆，的位置（

）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离【答案】D【解析】圆，化为，圆心为，半径为；圆，化为，圆心为，半径为；两圆心距离为：，，圆与外离，故选：D.题型二：求两圆的交点【例2】（2023·全国·高二专题练习）圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（

）A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0【答案】A【解析】由解得两圆交点为与因为，所以线段的垂直平分线斜率；MN中点P坐标为（1，1）所以垂直平分线为y＝﹣x+2由解得x＝3，y＝﹣1，所以圆心O点坐标为（3，﹣1）所以r所以所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝13即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0故选：A【对点训练3】（2023·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期末）平面直角坐标系xOy中，P为圆C1：上的动点，过点P引圆：的切线，切点为T，则满足的点P有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【解析】设点的坐标为，则①，由已知圆的圆心的坐标为，半径为1，所以，，因为，所以，化简可得②，联立①②可得，或，所以点的坐标为或，故满足的点P有2个，故选：C.题型三：由圆的位置关系确定参数【例3】（2023·高二课时练习）若圆与圆外切，则＝（

）A．21 B．19 C．9 D．【答案】C【解析】依题意可得圆与圆的圆心分别为，，则，又，且两圆外切，则，得到，解得．故选：C.【对点训练4】（2023·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期中）若，，且，则r的取值范围是（

）A．(0，] B．(0，1] C．(0，] D．[0，2]【答案】C【解析】由知，，所以圆与圆内切或内含，且圆为大圆，所以，所以.故选：C.【对点训练5】（2023·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）已知圆与圆有两个交点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意知，圆心与圆心，则圆心距，因为圆与圆有两个交点，则圆与圆相交，则，解得．故选：B.题型四：求两圆的公共弦方程、公共弦长【例4】（2023·福建福州·高二福建省福州高级中学校考期中）圆：与圆：的公共弦长为________.【答案】【解析】由题意可知，两圆方程相减可得公共弦方程为，圆的标准方程为，其圆心，半径；圆心到公共弦的距离所以公共弦长为.故答案为：【对点训练6】（2023·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）圆与圆的公共弦所在直线方程为___________.【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，则，则两圆相交，故将两圆方程相减可得：，即，即圆与圆的公共弦所在直线方程为，故答案为：【对点训练7】（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为________．【答案】【解析】联立两圆的方程得，两式相减并化简，得，所以两圆公共弦所在直线的方程为．故答案为：.【对点训练8】（2023·全国·高二合肥市第六中学校联考开学考试）圆与圆的公共弦长为______．【答案】/【解析】由题意可知，两圆方程相减可得公共弦方程为，圆的标准方程为，其圆心，半径；圆心到公共弦的距离所以公共弦长为.故答案为：题型五：圆的公切线条数【例5】（2023·高二课时练习）已知两圆，，当圆与圆有且仅有两条公切线时，则的取值范围________.【答案】【解析】若圆C1与圆C2有且仅有两条公切线时，则两圆相交，圆心C1，半径R＝2，圆C2，半径r，则，若两圆相交，则满足，即,得，故答案为：【对点训练9】（2023·广东·高二统考期末）已知点，，为平面上的动直线，点A，B到直线的距离分别为1，3，则这样的直线有______条．【答案】4【解析】到点A的距离为1的直线即该直线与以A为圆心，1为半径的圆相切；到点B的距离为3的直线即该直线与以B为圆心，3为半径的圆相切；由于，即两圆相离，如图所示，故公切线的条数为4条，即点A，B到直线的距离分别为1，3的直线有4条，故答案为：4.【对点训练10】（2023·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）平面直角坐标系内，点到直线的距离分别为4和9，则满足条件的直线有__________条.【答案】3【解析】由已知可把直线l看成是以为圆心，4为半径的圆的切线，同时是以为圆心，9为半径的圆的切线，由于两圆圆心距，所以两圆相外切，根据外切的两圆的公切线有3条可知，满足条件的直线有3条．故答案为：3．【对点训练11】（2023·湖北襄阳·高二襄阳四中校考开学考试）圆与圆的公切线共有__________条【答案】4【解析】由，所以该圆的圆心坐标为，半径为2，，所以该圆的圆心坐标为，半径为1，所以该两圆圆心距为4，两圆半径和为3，因为，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.故答案为：4.题型六：圆的公切线方程【例6】（2023·江西南昌·高二校考阶段练习）如图，圆和圆的圆心分别为、，半径都为，写出一条与圆和圆都相切的直线的方程：_________【答案】（或或）(答案不唯一)【解析】如下图所示：因为圆和圆的圆心分别为、，半径都为，且，所以，圆和圆外切，易知这两个圆的切点为，且轴，所以，这两个圆的公切线共条，设这三条切线分别为、、，其中，切线过点，且轴，则直线的方程为，设切线分别切圆、圆于点、，连接、，因为，且，，所以，，故四边形为矩形，故，易知直线的方程为，且直线与直线间的距离为，结合图形可知，直线的方程为，同理可知，直线的方程为.故答案为：（或或）.(答案不唯一)【对点训练12】（2023·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程：__________．【答案】（答案不唯一）【解析】由圆，圆，，可知它们外切，所以两圆的方程作差即可得内公切线的方程为．又直线的方程为，两圆半径相等，故可设外公切线的方程为，因为圆心到外公切线距离为，所以或，即两条外公切线的方程分别为和．故答案为：（答案不唯一）【对点训练13】（2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程__________．【答案】///【解析】因为圆的圆心为，半径圆的圆心为，半径又因为所以圆与圆相离，所以有4条公切线.画图为：易得或是圆和的公切线设另两条公切线方程为：圆到直线的距离为圆到直线的距离为所以所以或或当时所以，切线方程为当时所以所以所以或当时，切线方程为当时，切线方程为故答案为：或或或题型七：圆系问题【例7】过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______．【答案】【解析】设圆的方程为，则，即，所以圆心坐标为，把圆心坐标代入，可得，所以所求圆的方程为．故答案为：．【对点训练14】已知圆与圆相交于A、B两点．（1）求公共弦AB所在直线方程；（2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程．【解析】（1），①，②①-②得即公共弦AB所在直线方程为．（2）设圆的方程为即因为圆过原点，所以，所以圆的方程为【对点训练15】已知圆．求证：对任意不等于的实数，方程是通过两个已知圆交点的圆的方程．【解析】若是圆、圆的交点坐标，则且，所以必在上，又，所以，则在时，方程表示圆，综上，对任意不等于的实数，方程是通过两个已知圆交点的圆的方程．【对点训练16】已知圆和圆．（1）求证：两圆相交；（2）求过点，且过两圆交点的圆的方程．【解析】（1）证明：∵圆，即，表示以为圆心，半径等于2的圆，圆，即，表示以为圆心，半径等于1的圆，所以两圆的圆心距，大于两圆的半径之差且小于两圆的半径之和，故两圆相交．（2）设过两圆交点的圆的方程为．把点代入，求得．故所求圆的方程为，即．【过关测试】一、单选题1．（2023·高二课时练习）若圆与圆有公共点，则满足的条件是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由得，两圆圆心之间的距离为＝.∵两圆有公共点，∴，∴，即，∴，故选：C.2．（2023·江苏盐城·高二统考期末）在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】A【解析】当直线的斜率不存在时，直线满足与点距离为，且与点距离为，以点为圆心，为半径的圆的方程为，以点为圆心，为半径的圆的方程为，因为，则两圆相内切，故两圆的公切线有且仅有条，即，故在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有条.故选：A3．（2023·福建宁德·高二统考期中）圆与圆的位置关系是（

）A．相切 B．相交 C．内含 D．外离【答案】B【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，于是，所以两圆相交.故选：B4．（2023·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题知：，，，，.因为和有公共点，所以，解得.故选：C5．（2023·浙江丽水·高二统考期末）若圆与圆外切，则实数（

）A．－1 B．1 C．1或4 D．4【答案】D【解析】由条件化简得，即两圆圆心为，设其半径分别为，，所以有.故选：D6．（2023·河南洛阳·高二统考期末）已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（

）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】如图所示，由圆，可得圆心，半径为，圆，可得圆心，半径为，可得圆心距，如图，，所以，当共线时，取得最小值，故的最小值为.

故选：B7．（2023·高二课时练习）若两圆和圆相交，则a的取值范围是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】圆与圆相交，两圆的圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，即，所以.解得或.故选：B8．（2023·广西河池·高二统考期末）已知点是圆上的一点，过点作圆的切线，则切线长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】切线长，所以当取得最小值时，切线长取得最小值.当共线且点在之间时，最小，由于,所以min，所以.故选：.

二、多选题9．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）已知圆的方程为，下列结论正确的是（

）A．该圆的面积为 B．点在该圆内C．该圆与圆相离 D．直线与该圆相切【答案】BD【解析】，可知圆心为，半径；对于A：由圆的半径，得该圆的面积为，故A错误；对于B：因为，所以点在该圆内，故B正确；对于C：圆的圆心为，半径为1，因为两圆心距离为，且，所以两圆相交，故C错误；对于D：圆心到直线的距离，所以直线与该圆相切，故D正确，故选：BD．10．（2023·甘肃兰州·高二兰大附中校考阶段练习）已知圆和圆，则下列结论正确的是（

）A．圆与圆外切B．直线与圆相切C．直线被圆所截得的弦长为2D．若分别为圆和圆上一点，则的最大值为10【答案】ACD【解析】圆化为，圆心坐标为，半径为2，圆化为，圆心坐标为，半径为3.因为两个圆的圆心距为，等于两个圆半径的和，所以两个圆外切，正确.圆的圆心到直线的距离为，所以直线与圆不相切，错误.圆的圆心到直线的距离为，直线被圆所截得的弦长为，C正确.若分别为圆和圆上一点，则的最大值为，正确.故选：ACD11．（2023·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）设，圆与圆的位置关系可能是（

）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离【答案】AB【解析】由题意已知两圆圆心距为，半径分别为，，因此，也可能,∴两圆相交或内切或内含，故选：AB．12．（2023·福建福州·高二校联考期末）已知圆，则下列说法正确的是（

）A．圆C的半径为18B．圆C截x轴所得的弦长为C．圆C与圆相外切D．若圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数m的取值范围是【答案】BC【解析】A：将一般式配方可得：，A错；B：圆心到x轴的距离为2，弦长为，B对；C：由题意，，所以圆C与圆外切，C对；D：圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，d表示圆心与直线的距离，，则，解之:，D错；故选：BC.三、填空题13．（2023·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为______.【答案】【解析】圆：的圆心坐标为，因为圆过圆的圆心，所以，所以，所以：，两圆的方程相减可得相交弦方程为.故答案为：.14．（2023·高二课时练习）到点、的距离分别为和的直线有________条．【答案】【解析】到点的距离为3的直线是以为圆心，为半径的圆的切线；同理，到点的距离为的直线是以为圆心，半径为的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距，则，所以圆和圆外离，因此它们的公切线有条，即满足条件的直线有条.故答案为：.15．（2023·四川资阳·高二四川省资阳中学校考期中）已知圆与圆恰有两条公切线，则实数的取值范围________．【答案】【解析】由，即，可知圆的圆心为，半径为；因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交，则，∵，解得：，即的取值范围是.故答案为：.16．（2023·高二单元测试）已知圆和圆的公共弦所在直线恒过定点M，且点M在直线上，则的最小值为_____.【答案】【解析】由圆和圆，两式相减，可得公共弦的方程为，即，联立方程组，解得，即公共弦恒过点，又由点在直线上，可得在上，因为可以看出点到原点的距离，又因为原点到直线的距离为，即的最小值为.故答案为：.四、解答题17．（2023·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知圆C的圆心为，且与直线相切．(1)求圆C的方程；(2)求圆C与圆的公共弦的长．【解析】（1）由题意得圆C的半径为，故圆C的方程为；（2）圆和的圆心距为，而，即两圆相交，将和相减得，圆的圆心到的距离为，故两圆的公共弦长为.18．（2023·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）过点可以作两条直线与圆相切，切点分别为(1)求实数的取值范围.(2)当时，存在直线吗？若存在求出直线方程，若不存在说明理由.【解析】（1）由题意可知，点在圆外，即，解得.又因为圆，即，所以，即或，综上，实数的取值范围是.（2）当时，，即，所以圆心，因为与圆相切，所以四点共圆且以为直径.设过四点的圆上一点，则，即，即所以过过四点的圆的方程为，两圆方程相减得，于是直线的方程为.19．（2023·四川成都·高二校考阶段练习）如图，圆，点为直线上一动点，动点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B．(1)若，求两条切线所在的直线方程；(2)求线段AB的最小值；(3)求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标．【解析】（1）设圆M的过点P的切线方程为，即.数到直线的距离解得或则切线方程为和.（2）（2）连接PM，AB交于点N，设，则，在中，，由，则，有，所以.（3），，