2025届高考数学二轮复习卷：解三角形（含解析）

2025届高考数学二轮复习专题卷解三角形

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

22

1.已知点尸为椭圆C•土+2L=1上第一象限的一点，左、右焦点为耳PE,的平分线与云轴

43'

交于点M过点可作直线PA1的垂线，垂足为包。为坐标原点，若|O”|=g,则△片;38面积为（）

A/B.373C.1D.3

2.如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的

反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线E：,-2=1（。〉°'6〉0）的左、右焦点分别为

4

可,工，从工发出的光线经过图中的A，8两点反射后，分别经过点C和且cosNB4C=-《

ABBD=0,则E的离心率为（）.

D.V5

22

3.已知椭圆C：?+q_=l的左，右焦点分别为耳，工，点P是直线i=2上与点4（2,0）不重合的动

点，则_四J—的最小值为（）

sin/尸鸟耳

A.昱B巫C.2若D.4

32

4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,/RAC=120。，c=2,方=1,史为8c边上一点，且

/氏4。=90°厕448的面积为()

A.GC.3

B至D正

45610

5.已知/(%)=/，71cosx+sinx，则曲线y=/(x)在％=0处的切线与坐标轴围成的三角形的面

积为()

B.7+4&C.l

A7-W1D.2

222

6./\ARC的内角A，B,C的对边分别为a,b,c.已知asinB-GsinA=0，贝1J*》=()

A忑B-2A/3D.2

7.逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出中国路、中国桥等一张张闪

亮的“中国名片”.如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A,B,C三处测的道路一侧

山顶尸的仰角依次为30。，45°,60°其中=BC=b(0<a<3b),则此山的高度为()

12ab(a+b)B113ab(a+b)

A'2V3b-a

23b-a

C115ab(a+b)16ab(a+b)

D-2V3b-a

23b-a

8.在锐角三角形ABC中，内角A,8,C所对的边分别为a,b,c,八ARC的面积为S,且满足

2S^s/3BABC>4"—9ac=0，则sinA-sinC=()

A.土R石C.+巫D.叵

一3366

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另

22

一个焦点上.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆C・二+乙=1，其左、右焦点分别

,169

是瓦，工,直线/与椭圆C相切于点P,且|尸耳|=2,6关于直线I的对称点为耳,,过点P且与直线I垂直

的直线r与椭圆长轴交于点M则下列结论正确的是（）

A.NFiPF?=]B.婷,P,F2三点共线

C.NFJM=NF?PM口.闺凹：区闸=1：3

22

10.已知双曲线—卓=1。〉0）的左，右焦点分别为片（―c,0）,耳（c,0）直线y=—2（x—c）

与双曲线C右支相交于A,8（其中A在一象限），若用=|/阚，则下列说法正确的是（）

A.cos=--B.b-3

C.|A@=竽D（A3耳的面积为15

11.2024年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布

・伯努利用来描述他所发现的曲线.定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点与（-c,0）,g（c,0）距离之

积等于定值c2（c〉o）的点的轨迹称为双纽线,已知点p（%,%）是双纽线C上一点，下列关于双纽线的

说法正确的是（）

FIFAWORLDCUP

Qdt_cir2022

A.|PO|的最大值为6cB.双纽线是中心对称图形

C.--<y0<-D.P到H,月距离之和的最小值为2c

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知a,b,c分别是ZVlBC的三个内角A,B,。所对的边，若a=3,C=120°,△ABC的

面积s=£叵，则。=.

4

13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,asinA+bsinB-csinC-y/3bsinA,则

C=.

14.设△AB。的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=4，sin^A+^=0，△ABC的面

积为6，则。的值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

、n

15.在△ABC中，ZA为钝角，a=7，sin2B=—bcosB-

7

⑴求NA；

⑵若办=3，求ZiABC的面积•

16.已知函数F(x)=4cos[x—Ejsinx—2sin1—冷+2%]—1.

(1)求函数/(x)的单调递增区间；

(2)在△ABC中,。，4c分别是角A、B、C所对的边，记△ABC的面积为S,从下面①②③中选取两个

作为条件,证明另外一个成立.

@f(A)=l-,@S=-ab\®a1=b-+bc-

2

17.已知ZVEC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且理0+吧4―4cosC=0.

sinAsinB

⑴证明：a2+b2=2c2；

(2)若cos3=‘inB,求cosA的值.

sinAsinC

18.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为。力,c,且2acosC-ccosB=bcosC-

(1)求角C；

(2)若C。是NACB的角平分线,CD=4，^，Z\ABC的面积为18班，求。的值.

19.在△ABC中,AB=6，BC=5・

（1）若。=24求$足4的值；

（2）若△ABC为锐角三角形,cosA=2,求△ABC的面积.

一16

参考答案

I.答案：C

解析：如图所示,延长耳N,交尸心的延长线于点N,

因为PH为NF^PF2的平分线,耳N,由三线合一得为等腰三角形,

即闺H=|PN同为耳N的中点，

因为。为4月的中点，所以所为△Nf；g的中位线，

故8N=2OH|=1,设耳尸=加，

由椭圆定义知，耳尸=2a—8尸=4—相，

a

由出尸|=|0M得4—根=加+1,解得m=—^

故四|=|,1卬=:

针「+|凡尸「_因用2

在△PKB中,由余弦定理得cosNE/E,=•

2闺外优P|

-2X5X3一二

22

故sin/EPK=Jl—1|1=g'

1]C5543

故S.PF,=5|乙斗山牛皿/片桃=5><=-X—X—=——■

>252

:

故选：c.

2.答案：C

解析：连接£A,£8,根据题意，片,A,C三点共线,

4

F.,B,£)三点共线.cos/KAB=-cos/R4C=—

^15

-------*--------,,IT,AB\4

且由=O知=5故+——^=-.

£A|5

所嚼V

可设由闿=3/,|/叫=4，，寓⑷=5九

由于4a=2a+2a=（山山―囚A|）+（闺石—火即

=IM+W-（IM+IM）-

=|/^A|+|/^B|—|AB|=5t+3t—4t=4,，故。=%.

从而出H=5〃，闺_8|=3〃,故优A|=3a,I与同二a.

在AAK6中，由余弦定理得，（Ze?=（5ay+（3a）2—2x5ax3ax：,

2

解得c彳=士5，

a22

22

解析:由椭圆c•土+匕=1知，焦点耳（—1,0）,耳（1,0〉

,43

由正弦定理可知一回—=2R,其中R为4PF、F,外接圆的半径,

sin/P&E

因为耳（-1,0），玛（1,0），由圆的性质可知，外接圆圆心在y轴上,如图,

P

M

Pix

x=2

不妨设圆心为M(O,a)，则圆的方程为炉+(,_“)2=R2,

由题意，圆M与直线i=2有公共点2且火=|加？卜

显然当圆M与直线％=2相切时,R=有最小值2,

此时尸为切点，如图,

所以，此时-四11_取最小值2|4月=2x2=4,

sinN尸工411

故选:D

4.答案：D

解析：因为在△ABC中,ABAC=120。，又。为5C边上一点，且ABAD=90°，

所以NC4Z)=々AC—N54Z)=120°—90°=30°，

yv=V-LV

人"ABC-U^ABD丁OACAD'

所以1z?csinN5AC=‘cADsinN5Ar>+'bADsinNDAC，

222

所以工乂1乂2乂立=工*2*4。+，*1X人。乂，，解得AD=^~，

222225

所以寺。嘉

故选:D.

5.答案：A

7171

解析：因为/(%)=尸cosx+sinx,所以f(%)=_/'sinx+cosx，

令x=£得到/弓)=一/］卜吟+cos5，

代入回原函数得到/(x)=(2-石)cosx+sinx,

而/(0)=2—百，故切点为(0,2—百)，

而/'(x)=-(2-G卜inx+cosx'/'(0)=1>

设曲线y=/(x)在x=0处的切线斜率为左，

由导数的几何意义得k=/'(0)=1，

故切线方程为y一(2—=化简得y=x+2—

令x=0，得到y=2—&,所以与y轴交点为(0,2—6)，

令丁=0，得到苫二百一？，所以与x轴交点为(、6—2,0)，

且设三角形面积为S,故s=gx|2—6卜|6—2|=上产-故A正确.

故选：A

6.答案：A

解析：由正弦定理―--=—-—，得QsinB=Z?sinA，

sinAsinB

所以asinB-yfisinA=bsinA—V3sinA=0，

又人£(0,兀)，所以sinA>0,所以

故选：A.

7.答案：D

解析：如图，设点P在地面上的正投影为点O,

则/B4O=30。，/尸50=45。，/尸CO=60。

设山高尸。=力，则AO=G/Z,BO=h,C0=J

3

在△AOC中，cosABO=-cos/CBO,

22

a2+h2-3/12b+h--

由余弦定理即有：~—________3_

2ah2bh

整理…『

所以人口、但蛆叫

23b-a

故选：D.

8.答案：C

即，所以，

解析：因为2s=白丽•前，2><Lacsin3=J§accos3tanBuJ^

2

因为Be0,]，所以3=巴

3

根据正弦定理可得4sin?B=9sinAsinC=3，所以sinAsinC=」，

3

22

由余弦定理得^=a+c-ac=—^所以/+02=,

44

所以由正弦定理得sin2A+sin2C=—sinAsinC=—>

412

(sinA-sinC)2=sin2A+sin2C-2sinAsinC=---=—

v712312

所以sinA-sinC=±芈.

故选：C.

9.答案：BCD

解析：由题意可知：0=42=3，0=后二^=々，即闺月|=2行，

•.•|班|+|?周=8,则|%|=6,

阀尸用2闺用2

/.cosZFPF==g,且/耳尸耳e(O,兀卜则NRPF2=1八错误;

1221P用归耳|

根据PM±/结合光线反射可知：NRPM=NF2PM,C正确;

设片，与n/=N，根据对称可知：NRPN=NF：PN，

公产2=/耳'尸耳+/耳尸笈=2(/F]PN+/FiPM)=2ZNPM=兀，故片']，B三点共线，B正

确；

在△£PM中，由正弦定理一怛网一区多则闺sinN^PM

5

sinZ^PMsinZ^MP'\F{P\smZ^MP

同理在中得理4=sinN£PM

sinZF2MP

•.•NF2Mp=TI—NRMP,则sinZF2MP=sin（7i-ZF{MP）=sinZFXMP,

\EM\\F,M\\FM\IFPII.,,,…

：・^^=^^厕，则NR4』=二］=一，即A片"：EM=I：3，D正确;

111121

|而\F2P\\F2M\\F2P\3

故选：BCD.

10.答案：ACD

解析：根据直线AB的斜率左=—2,可得tan2,

故/耳心3为钝角，故sin/耳心5=竽，cosNRRB：—与A正确,

由于=

故忸闾|.|=|A用一h阊=2a=2«,

又忸耳|-怛周=2a=2石,

故忸耳|=4。=4石，后周=2c,

△百83中，由余弦定理可得(4&『=(2c『+(26『一2x2cx26xt-fl

解得。=3(负值舍去)，故bug-a2=2,故B错误,

设|A剧=x,|A^|=2〃+%=2行+%

在△耳耳A中,

由余弦定理可得(26+x『=6?+x2—2x6xx与

解得x=*，故|A5|=2a+x=竽，故C正确,

将X换成一X，把y换成_y得J(r+c)2+(_y)2卜…)?+(-»=c2>

即J(x+c)+y2.J(x_c1+y2=。2，故双纽线关于原点中心对称，B正确；

C选项，S△尸6%=g阀“PE|sinN不迅=g闺4阅淇中闺闾=2c，

又2(七,%)在双纽线上，故|所|・忸8|=。2，

2

故csinZFlPF2—2c•闻，所以=；csinNGP£<-^c,

当且仅当“产2=3时，等号成立，所以—]<为<,C正确；

D选项,|产国+归耳,2胆而呵=2c,当且仅当|F%|=|F闾时，等号成立,

故D正确;

A选项，当2。重合时,归0|=0，

当2。不重合时，而=J_所+时，

2122

2

两边平方得PO=|西2+:需+g|两,方用cos耳Pg,

在△助月中,由余弦定理得闺阊2=归片「+归闾2_2归片“尸闾cos片Pg①,

2

^\PF}f+\PF2f-2\PF,\-\PF2\COSF}PF2=4C②，

2222

式子①②联立得,~po=c+|Pf；|-|P^|cosZF{PF2=C+CCOSZF{PF2<2c,

当尸落在彳轴上（除原点）时，等号成立，

故|可上J5c,归0|的最大值为⑪「A错误.

故选：BCD.

12.答案：7

解析：由三角形面积公式可得5=1。66垣。=身叵，

24

因为a=3,C=120°,所以工x3x6xsinl20°="且，解得b=5,

24

由余弦定理可得c?="+廿—2。力cosC=9+25+15=49,

解得c=7.

故答案为：7.

5兀

13.答案：—

6

解析：由正弦边角关系，可得/+〃=/—疯方，

_ci2+b2—c2_A/3rrc\\

又vcosCr------------------------,Cw(0,71)，

2ab2

5兀

所以c=3.

6

故答案为：一

6

14.答案：^21

一7T兀4兀

解析：・.・A£（0,兀），「.A+—£

又sin]A+5）=0，所以A+三二兀，故V

-1-«r\

则△ABC的面积S4”=—Z?csinA=—x4xcsin—=A/3，所以c=l，

△AABC223

由余弦定理得〃2=Z?2+c2-2Z?ccosA=16+1-2x4x1x=21,

故〃=^21,

故答案为：yj2\,

15.答案：(1)A=臼;

3

e15g

4

解析：（1）由题意得2sinBcosB="bcosB，因为NA为钝角，

7

得cos3w0，则2sinB=——/?’

7

b2aq

由正弦定理一-一=一-一得sin56sinAsinA»

sinAsinB万

解得sinA=K3,因为NA为钝角，则4=".

23

⑵当b=3时，由余弦定理/=/+/一2bccos

得49=9+。2—6ccos——，即/+3(?-40=0，解得c=5,

3

nni1,.1〈。百1573

KJcZ?csin4A=X5x3><-

^ABC=22T^^'

16.答案：（1）kn-^,kn+^,(&:eZ)

(2)证明见解析

解析：⑴由函数/(x)=4cos|x--^-jsinx-2sin(—|-+2x1-1,

可得/(x)=2\/3cosxsinx+2sin2x+2cos2x-l，

化简得：/(x)=V3sin2x+cos2x=2sin［2x+—1,

因为即+r2E+多

所以E-gwxW左兀+彳(左eZ),

所以函数/(x)的单调递增区间为E—，(左ez).

⑵若①③

11JT

由S=—次?=—obsinC,所以sinC=1，所以C=—，

222

由/(A)=1,知2sin(2A+t1=1,因为C=］，所以Ae,

所以24+95子，所以吟

，匚I、Ir-»7C7L7L

加以B—71-------二一

236

由余弦定理：/=加+/—2bccosA=b2+c2—be，

将a?=c2-b2代入得:2b~-be=0，c=2/?，a=6b，

所以/=02一人2=3^2="2+2)2=及+bc，

若由①③n②,由由/(A)=L知2si“2A+f|=l,

由Ae(O,7i),2A+四e［四，史］，所以24+色=型，A='

I，6(66J663

由余弦定理:々2=>2+。2—2)ccosA结合a2—b2+bc，

jr

所以H=2bc，c=2b，a=y/3b，所以4+〃=/,c=万，

所以S=工absinC='a/?.

22

若由②③=>①，由5=工次2=工。加也。，所以5足。=1，所以。=巴，

222

所以〃2=/一人2,〃2=匕2+A，所以02一匕2=方2+历，

再由S=!〃。$1113二工次7得：/?=（?$1115，

22

所以/=2c之sin2B+c2sin5，所以2sin?B+sinB-l=O»

所以sinB《灰，。必号即右兀一方4、

所以/（A）=1-

17.答案：（1）证明见解析

⑵？V3

0

解析：（1）证明：由正弦定理及条件可得幺+色―4cosc=0,

ab

由余弦定理可得之士d-4.后+匕/=0,

ablab

化简得4+k=2/.

,曰a2+c2-b1£

（2）由co