2025高考数学专项复习：导数及其应用、基本不等式（学生版）

第大许导教及其成用、泉中恭等式

一:考情分析

命题解读考向考查统计

2022•新高考I卷,10

2022•新高考I卷,15

导数与切线2022•新高考D卷，14

2024•新高考I卷,13

2024•新高考n卷，16(1)

1.局考对导数的考查，重点考查导数的计算、四则运

2022•新高考I卷,22(1)

算法则的应用和求切线方程；能利用导数研究函数的

导数与函数2023•新高考I卷，19

单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般

单调性、最2024•新高考I卷，18(1)

不超过三次)以及借助函数图象，了解函数在某点取

值及恒成立2022•新高考n卷，14

得极值的必要和充分条件，会用导数求函数的极大

问题2022•新高考II卷，22(1)

值、极小值,会求闭区间上函数的最大值、最小值。

2023•新高考n卷，22(1)

2.高考对基本不等式的考查，应适当关注利用基本不

导数与函数

等式大小判断、求最值和求取值范围的问题。2023•新高考n卷，11

极值、极值

2024.新高考D卷，16(2)

点

导数与比较

2022•新高考I卷,7

大小、基本

2022•新高考n卷，12

不等式

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考I卷考查了导数与切线和函数最值的知识点，II卷也考查到了切线,但是是体现在大题

16题的第一问中，同时也考查到了恒成立问题。切线问题备考时注意含参数和公切线的问题即可，难度

一般都是较易和适中。导数考查应关注:利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式证明等问题。

导数常结合函数的零点、最值等问题综合考查，比如含函数单调性问题、恒成立问题等，理解划归与转化

思想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用。预计2025年高考还是主要考查导数与切线及单调性问

题。

三:试题精讲

一、填空题

【题1】(2024新高考I卷」3)若曲线y=e"+c在点(0,1)处的切线也是曲线y=InQ+1)+a的切线，贝Ia=

二、解答题

【题2】(2024新高考I卷」8)已知函数/Q)=lnxJ+aa;+b(,—l)3

2—x

⑴若6=0,且广(2)>0,求a的最小值；

[题3](2024新高考II卷J6)已知函数/Q)=e。-ac—a3.

(1)当a=1时，求曲线沙=/(2)在点(1,/(1))处的切线方程;

(2)若/(2)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围.

高考真题练

一、单选题

】（2022新高考I卷7）设a=0.1e弋6=[,c=—ln0.9,则（）

9

A.aVbVcB.cVbVaC.cVaVbD.aVcVb

(2023新高考n卷6)已知函数f(c)=ae*—In*在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为().

A.e2B.eC.e-1D.e-2

48

二、多选题

【题6】(2022新高考n卷」2)若2，v满足"/夕=1,则()

A.2+沙41B.x+y^—2C.a:2+y22D.x2+y2>l

[<7](2023新高考II卷41)若函数/(c)=alnx+~+=(aWO)既有极大值也有极小值，则().

xx

A.bc>QB.ab>0C.b2+8ac>0D.ac<0

三、填空题

[题8](2022新高考I卷」5)若曲线沙=Q+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.

【题9】(2022新高考n卷-14)曲线v=ln㈤过坐标原点的两条切线的方程为,

四、解答题

0](2022新高考I卷-22)已知函数/(a?)=e*—ax和g(x)—ax—Inrc有相同的最小值.

(1)求a;

(2023新高考I卷-19)已知函数/(,)=a(e"+a)—2.

(1)讨论/(,)的单调性；

(2)证明:当a>0时,/(c)>21na+

【题12】(2022新高考n卷-22)已知函数/(2)=xeax—ex.

(1)当Q=1时，讨论/(力)的单调性；

【题13】(2023新高考II卷,22)⑴证明：当0V力V1时，/一/vs[nx</；

知识点总结

一、导数的运算

1、求导的基本公式

基本初等函数导函数

/3)=C(C为常数)r(x)=o

/㈤=x\aGQ)[㈤=axa~l

于(x)=ax(a>0,aW1)/(6)=a"lnQ

/(2)=logaM。>0,QW1)/'(/)一

xl1na

f®)=e"r(c)=ex

/(a?)=Ina;rQ)=[

/(x)=sina;rQ)=cosx

f(x)=cosx/'(a;)=—sin/

2、导数的四则运算法则

(1)函数和差求导法则：[/(力)土g(力)了=广(力)土g'Q);

(2)函数积的求导法则:[f(x)g(x)]r=ff(x)g(x)+/Q)g，Q);

⑶函数商的求导法则：g(，)片o,则［卑］=’㈤。叱，⑸。’㈤.

复合函数求导数

复合函数g=/［gQ)］的导数和函数9=/(“)，u=g^x)的导数间关系为y1=yLu」：

3、切线问题

⑴在点的切线方程

切线方程g—/(g)=7(g)(力一g)的计算：函数g=f(x)在点A(g,/(g))处的切线方程为0一/(g)=ff

(g)Q—3),抓住关键依7巴

［k=f\x0)

(2)过点的切线方程

设切点为P(g,%),则斜率A；=r(3),过切点的切线方程为：y-yo=f'(Xg)(x—x0),

又因为切线方程过点A(m,九)，所以八一yo—f'(xo)(m—g)然后解出x0的值.(g有几个值，就有几条切

线)

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.

二、单调性基础问题

4、函数的单调性

函数单调性的判定方法:设函数夕=/(⑼在某个区间内可导，如果>0,则g=/(0为增函数;如果广

(x)<0,则夕=f(x)为减函数.

5、已知函数的单调性问题

①若/(，)在某个区间上单调递增，则在该区间上有r3)>o恒成立(但不恒等于o)；反之，要满足/'(2)>o,

才能得出/(rc)在某个区间上单调递增；

②若/㈤在某个区间上单调递减，则在该区间上有r(，)wo恒成立(但不恒等于。)；反之,要满足/'3)<0,

才能得出了(0在某个区间上单调递减.

三、讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

⑴求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解;定义域需要注意是否是连续的区间)；

(2)变号保留定号去(变号部分:导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒负，无

需单独讨论的部分)；

⑶求根作图得结论(如能直接求出导函数等于0的根,并能做出导函数与2轴位置关系图，则导函数正负区

间段已知，可直接得出结论)；

(4)未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；

(5)正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；

(6)一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导);

求二阶导往往需要构造新函数,令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导.

(7)借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；

类型二:含参数单调性讨论

(1)求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解,定义域需要注意是否是一个连续的

区间)；

(2)变号保留定号去(变号部分:导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒负，无

需单独讨论的部分)；

(3)恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；

(4)根的分布来定参(此处需要从两方面考虑:根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；

(5)导数图像定区间；

四、极值与最值

1、函数的极值

函数/Q)在点g附近有定义,如果对g附近的所有点都有/Q)</(g),则称/(g)是函数的一个极大值，记

作"极大值=/(g)如果对XO附近的所有点都有/(c)>/(g),则称/(g)是函数的一个极小值,记作沙极小值=

/(g).极大值与极小值统称为极值，称g为极值点.

求可导函数/Q)极值的一般步骤

⑴先确定函数/(⑼的定义域；

⑵求导数r(c)；

⑶求方程广(0=0的根；

⑷检验八①)在方程/，(2)=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函

数g=f(x)在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数g=，(x)在这个

根处取得极小值.

注:①可导函数/(①)在点x0处取得极值的充要条件是：3是导函数的变号零点，即/(g)=0,且在须,左侧与

右侧，广(力的符号导号.

②/'(2。)—。是g为极值点的既不充分也不必要条件，如/(,)=",/'(0)=0,但g=0不是极值点•另外,

极值点也可以是不可导的，如函数/(2)=团，在极小值点g=0是不可导的，于是有如下结论：g为可导函

数f(x)的极值点(须))=0；但/'(g)=O^xo为f(x)的极值点.

、函数的最值

函数y=f(x)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数/(①)最小值为极小值与靠近极大值

的端点之间的最小者.

2

导函数为f(a:)—ax+bx+c—a(x—的)(a;—g)(机<.x1<x2<.n)

(1)当a>0时，最大值是/Qi)与/(n)中的最大者;最小值是/(电)与/(m)中的最小者.

(2)当aV0时，最大值是/(g)与f(m)中的最大者;最小值是/(g)与f(n)中的最小者.

一般地，设y=/(2)是定义在［m,n］上的函数，y=f(x)在(m,n)内有导数，求函数夕=/(a;)在［m,n］上

的最大值与最小值可分为两步进行：

(1)求9=/(2)在(m,n)内的极值(极大值或极小值)；

(2)将夕=/(,)的各极值与y(m)和/(")比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

【导数及其应用常用结论】

2、恒成立和有解问题

(1)若函数/(2)在区间。上存在最小值/(c)min和最大值/(，)max,则

不等式/(力)>a在区间。上恒成立O/QOmin〉a；

不等式/(c)>a在区间。上恒成立=/(2)min>a；

不等式/(c)在区间。上恒成立0/3)111ax<6；

不等式/(2)W6在区间。上恒成立O/(c)max<b；

(2)若函数/(c)在区间。上不存在最大(小)值，且值域为(山,n)，则

不等式/(c)>a(或/(a;)>a)在区间。上恒成立

不等式/(c)<b(或f(x)&b)在区间。上恒成立=m&b.

(3)若函数/(,)在区间。上存在最小值和最大值/(2)max，即/(。)©［m,九］，则对不等式有解问题有

以下结论：

不等式aV/(t)在区间。上有解OaV/lMmax；

不等式aW/(t)在区间。上有解OaW/(t)max；

不等式a>/(rc)在区间。上有解Qa>/(c)min；

不等式a>/(c)在区间。上有解=a>/(,)mM；

(4)若函数/(c)在区间。上不存在最大(小)值，如值域为(a,九)，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式a</(a;)(或a4/(c))在区间O上有解oa<n

不等式b>/(c)(或b>/Q))在区间。上有解=b>馆

(5)对于任意的XtE[a,6],总存在x2G[m,n]，使得/(g)<c?(x2)of⑹爪4箕(①2)*；

⑹对于任意的Xie[a,b],总存在工2C[m,n]，使得/(的)>93)。/(㈤由〉。。)*；

⑺若存在gG[a,b],对于任意的x2E[m,汨，使得/(g)<g(x2)=/(①i)mm&9(g)min；

(8)若存在的C[a,6],对于任意的X2E[m■，汨，使得/(为)>g(22)O/01)max'g(±2)max；

①)；

(9)对于任意的xre[a,b],x2C[m,n]使得/(g)<g(rc2)o/(g)max&g(2m"n

(10)对于任意的ge[a,b],x2£[m,n]使得/⑶)>9(g)o/Oi)min>g(g)max；

(11)若存在[a,b],总存在22」[馆,汨，使得/Ql)&g(g)Of(Cl)min&g(啊)max

(12)若存在的e[a,b],总存在gC[m,汨，使得/(曲)>9(工2)o/(g)皿。/(电温.

名校模拟练

一、单选题

【题14】(2024•河北保定•三模)曲线/(，)=e。3工在点(0,/(0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面

积为()

【题15】(2024•陕西西安•三模)已知函数/⑺=5、则/⑺在点(5,/(5))处的切线方程

为()

A.4/一g-28=0B.4/+g—12=0C.力一4g—12=0D.力+4g—22=0

【题16】(2024•河北保定•三模)已知二次函数g=a6Q—b)(bWO且bWl)的图象与曲线g=ln/交于点P,

与n轴交于点4(异于点O),若曲线"=Inc在点P处的切线为，，且/与AP垂直，则Q的值为()

A.」B.-1C.一6D.-2

e

【题17】(2024•贵州六盘水•三模)已知曲线g=62—31n0的一条切线方程为g=—c+zn,则实数m=

()

A.-2B.-1C.1D.2

o1

【题18】(2024•湖南长沙•二模)已知m>0,0,直线y=—x+m与曲线y=21nx—n+4相切，贝U—十

工的最小值是()

n

A.4B.3C.2D.1

广（2024•贵州黔东南•二模）已知正实数m5满足62。-2+66=62-2。+6-，则（1—击的最大值为（）

A.0B.C.1D.日

【题20】（2024•福建泉州•二模）在等比数列｛册｝中，SQ是函数/（£）="—1。C+疝1（3，）的两个极值点，若

a2a4—2^2Q3—2，则土的值为（）

A.-4B.—5C.4D.5

（2024•天津和平・三模）已知函数/（R）=A/^sin&xrcosctxr—1-sin（2tz）2：-G/且。＞0）,xER,

若函数/（c）在区间（0,2元）上恰有3个极大值点，则。的取值范围为（）

（2024・辽宁・二模）已知正实数a,b,记上仁max14a,b,J亍卜则”的最小值为（）

A.V2B.2C.1D.V3

，：：(2024•新疆喀什•三模)已知a=ln(sinl.O2),b=上粤2,c=lnl.O2,则()

01

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<a<c

【题24】（2024•安徽合肥・三模）已知函数/㈤在致上可导，其导函数为/㈤，若/（c）满足:

（①一1）[尸（劣）一/⑺]＞0,/（2—①）=f（。）"一为,则下列判断正确的是（）

A.7（l）＞e/（0）B./（2）＞e2/（0）C./（3）＞e3/（0）D./（4）＜e4/（0）

二、多选题

；（2024•河北衡水•三模）已知函数/（①）=x3-mx2,2=2是函数/（2）的一个极值点，则下列说法正确

的是（）

A.m=3

B.函数/0）在区间（一1,2）上单调递减

C.过点（1,—2）能作两条不同直线与g=/（/）相切

D.函数g=/[/（0]+2有5个零点

【题26】（2024・重庆•三模）若函数/（力）=alnx-2x2+bx既有极小值又有极大值，则（）

A.ab<0B.a<0C.b2+16a>0D.|a—fe|<4

.（2024•山西太原•三模）已知名1是函数/（力）=63+^/+九71Vo）的极值点，若/但）=

/2）,则下列结论正确的是（）

A./（力）的对称中心为（0,九）B./（—

C.2劣1+/2=0D.的+g>0

28】（2024・河北・三模）已知函数/（⑼及其导函数/（a;）的定义域均为R,记g（c）=/（>）,若/（3+2c）为

偶函数，g（l+c）为奇函数,则下列结论正确的是（