2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷【江苏专用苏教版选择性必修第二册第6~7章】（全解全析）

2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷

(江苏专用)

(考试时间：120分钟，分值：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：苏教版2019选择性必修第二册第6〜7章。

5.难度系数：0.65o

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.设X/ER,向量〃=(X,1,1),B=(1J,1),C=(2,—4,2),且〃_1瓦3//。，则|a+B］等于()

A.272B.反

C.3D.4

【答案】C

【解析】向量Z=(x,l,l)》=(l),l)1=(2,-4,2),由g/兀，得;=：=；，解得片一2,

由得“•B=x+y+l=0,解得x=1,。+刃=(x+lj+1,2)=(2,—1,2),

所以R+年722+(-1)2+22=3.

故选：C

2.如图，三棱锥O-/8C中，Q4=a>OB=b>OC=c，且两=:厉，CN=^CB,则疝=（）

A.--a+-b+-cB.-a+-b+-c

433433

C.--a+-b+-cD.—a+—b+—c

422422

【答案】C

_____3,ik

【解析】MN=MO+OC+CN=~OM+OC+—CB=--OA+OC+-(OB-OC)

242

=--OA+-OB+-OC=--a+-b+-c.

422422

故选：C.

3.(2x-的展开式中的常数项为()

y/X

A.-60B.-20C.20D.60

【答案】D

【解析】（2x-；y的展开式中的常数项为C：（2尤）2（-；）4=60.

y/x

故选：D

4.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3

节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有（）

A.75种B.144种C.288种D.360种

【答案】C

【解析】先排数学，有A；=3种不同的排法;

再排英语，有A；=4种不同的排法；

最后排剩余课程，有A：=24种不同的排法；

所以不同的排法共有3x4x24=288种.故选：C.

5.如图，二面角々-/-方的棱上有两个点42,线段/C与AD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直

71

于棱/.若48=1,AC-2,BD-3,二面角6的平面角为§,则CZ>=（）

【答案】B

【解析】由条件知至.15=0，ABBD=O,CD=CA+AB+1D，

又二面角a-/-£的平面角为贝M而，就）=；,

所以函2=|C3|2+|2B|2+函2+2CA-AB+2AB-BD+2CA-BD

=22+12+32+2X2X3COSL-J|=8,所以|CO|=2拉.故选：B.

6.如图所示的试验装置中，两个正方形框架NBC2/3E尸的边长都是1,且它们所在的平面互相垂直.长

度为1的金属杆端点N在对角线正上移动，另一个端点M在正方形/BCD内（含边界）移动，且始终

保持1AB,则端点M的轨迹长度为（）

717T

A.-B.6C.1D.-

24

【答案】A

【解析】以8为坐标原点，A4,5E,2c分别为x/,z轴,建立空间直角坐标系,

则4（1,0,0）,3（0,0,0）,设7V（tz,a,0）,Af（x,0,z^,a,x,ze[0,1],

可得A4=(1,0,0),JW=(x-a,-a,z),

因为MN_LAB,即5Z-7W=lx(x—q)=0,可得％=Q,

则两=(O,-X,2),则M=J(_X/+z2=1,整理可得x2+z2=l,

可知端点M的轨迹是以5为圆心，半径r=l的圆的：部分，

1兀

所以端点初的轨迹长度为:X27IX1=£.

42

故选：A.

7.将98个不同的小球全部放入99个不同的盒子中，共有沉种不同的方法，若加=100左+r,其中左eN,

0<r<100,贝什=()

A.99B.88C.12D.1

【答案】D

【解析】将98个不同的小球全部放入99个不同的盒子中，共有加种不同的方法，

则加=99"=(100-10=10()98+C%C0()97.(一1)+C；8c0096.(_]了十…十《卜]])97+(_1)98

989796

且100+c；8-i00•(-1)+C1100•(-1)2+…+C*100.(-1)智能被100整除,

所以，加除1除的余数为BPr=l.

故选：D.

8-这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有

用的思想方法，叫作“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的

代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范，再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理得

到很多排列和组合恒等式，如由等式(1+x广=(l+x)"(x+l)"可知，其左边的X,项的系数和右边的丁项

的系数相等，得到如下恒等式为()

A.©丫+©)2+©丫+…+(C：)2=Q"

B-AiAT=AN

c.c：q+c©T+c：c/+…+C©=C"

D.〃C=心；

【答案】A

【解析】对于A,在(1+工产展开式中，x”的系数为C：,,

(1+X)”(1+x)”=(C：+C%+C%2+…+C：x”)(《+C：x+C72+…+C：x”)，

其中X"的系数为C：c：+C；C；T+C；C；2+…+c吐=©)2+(C；)2+©)2+…+(C；)2,

©)2+(C：,)2+(C：)2+…+(C：)2=C；“，故A符合题意；

对于B,由“算两次”的定义知，

从〃+1个不同的元素中取出加(加<〃)个元素的所有排列的个数为A：+1,

同时还可以分类考虑：

第一类：取出小个元素不包括元素甲，则所有排列的个数为A；,

第二类：取出机个元素包括元素甲，则先排元素甲，有加个位置，

然后从其余〃个元素中抽出机-1个元素全排列，则所有的排列个数为用,

综上，从〃+1个不同的元素中取出加个元素的所有排列的个数为A：+mA：-1,

.•.A：+〃?A：i=A3,但是该等式不是由所给二项式得到，故B不符合题意；

对于C,对于(1+》产=(1+岁(1+月”，由“算两次”的定义知,

(1+0小展开式中，N的系数为CM，

(i+S,(1+%)m=(c»+c>+cy+-+cx)(c»+C>+C>2+…+,

其中W的系数为C：Q+C：C廿+C：C；2+…+QC：,

•••eg+C；CM+C；C；2+...+C©=C"故C不符合题意；

对于D,由组合数的运算性质知，

nC„k=n——-—,kC；k\=k-------------------------=k———,

k\(n-k)\"(*-l)!(w-l-A-+l)l(A--1)!(„-*)!)

当左=〃时，当％时，故D不符合题意，

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

2024

9.已知(4-2x产*=/+/-+%胃2[-----Ha2024x,则()

A.旬=4皿4

B.=-4O48x42023

204

C.at+a2-\---F々2024=4"

D.展开式中所有项的二项式系数的和为22°24

【答案】ABD

【解析】对于A,令x=0,可得g=42°24,A正确.

对于B,展开式中的第二项为4M3(_2X)=-4048X42MX,--4O48x42023,B正确.

2024a-0-4-0-4

对于C,令x=1,可得2=a0+at+a2-\---+-(?2024,则%+出土---+20i4=2—4,C错误.

对于D,展开式中所有项的二项式系数的和为22024,D正确.

故选：ABD

10.现有4个编号为1,2,3,4的盒子和4个编号为1,2,3,4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结

论正确的有()

A.没有空盒子的方法共有24种

B.有空盒子的方法共有256种

C.恰有1个盒子不放球的方法共有144种

D.没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种

【答案】AC

【解析】对于选项A,把4个小球全部放进盒子中，没有空盒子，相当于4个小球在4个盒子上进行全

排列，故共有A：=24种方法，所以选项A正确，

对于选项B,有空盒子，因为有4个球，每个球各有4种放法，故共有44-24=256-24=232种方法，

所以选项B错误；

对于选项C,恰有1个盒子不放球，说明另外三个盒子都有球，而球共4个，则必有一个盒子放了2个

球，先将四盒中选一个作为空盒，再将4球中选出2球绑在一起，再对三个盒子全排共有C；C；A；=144

种方法，故C正确；

对于选项D,恰有一个小球放入自己编号的盒中，则从四盒四球中选定标号相同的球和盒有C：种，

另外三球三盒不能对应共2种，则共有C；x2=8种方法，故D错误.

故选：AC.

11.如图，矩形3DE尸所在平面与正方形/BCD所在平面互相垂直，AE=BD=4C，P为线段/尸上的动

点（含端点），则（）

A.AELCF

B.平面尸8c与平面4DE可能平行也可能垂直

C.7^2+尸加的取值范围是[32,64]

D.点2到平面CM的距离为迪

3

【答案】ABD

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系.

>

y

因为AE=BD="i，所以AB=/Z)=4,所以。E=4,

则4(4,0,0),8(4,4,0),C(0,4,0),£(0,0,4),尸(4,4,4).

对于A,荏=（-4,0,4）,丽=（4,0,4）,^AECF=-16+16=0,

所以近，而，故A正确；

对于B,当点尸与点尸重合时，平面P8C〃平面4DE,

当点P与点A重合时，平面尸3C_L平面4DE,故B正确；

对于C,根据题意，可设点尸（4,44,42）,其中0481,

222

贝！］PC+PE=42+(42-4)+(4M+不+(例2+

(42-4)2=6422-642+64=64(22-A+1),

13「4-

当时，A2-A+1=(2--)2+~e—J,

所以64(万-彳+1月48,64],即尸不+尸炉的取值范围是[48,64],故C错误;

对于D,3=(0,-4,4),乙无=(0,-4,4),而=(4,0,0),

\m-~CE-0

设平面CE厂的法向量为成=(%)/),则有_,

m-CF=0

f-4y+4z=0

故[4x+4z=0取五=(1,—1,—1),

C5-m44JJ

所以点5到平面CE厂的距离为^^=义=坟，故D正确.

\m\也3

故选：ABD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知｛痴,可是空间的一组基底，其中方=2@-3在，AC=a-c>AD=2b+Ac-若48,C,D四点共

面，贝!12=.

4

【答案】

【解析】由43,C,。四点共面，得而=x而+y就，尤jeR,

而向量次=2。一3很，AC=a-c>AD=2b+Ac，

则2b+Ac-x(2a—3b)+y(a—c)-(2x+y)a-3xb—yc，又口Ri不共面，

2x+y=0

244

因止匕＜—3x=2,解得x=一1,y==一§,

A=—y

4

所以4=—].

4

故答案为：-]

13.若"=2024,则5"+5"七：+5”2优+...+5(27除以7的余数是,

【答案】0

【解析】•.・"=2024,

5"+5"一C；+5飞；+…+SC/=5"+5“TC；+5,!-2《+••・+5C^1+q-1=(5+1)"-1=(7-l)H-1,

(7-D--1=(7-产-=C£7曲-C£72%c基严一一C第7+C歌-1

_p072024_「1720230272022__「20237

=L2024/—^2024/十^2024'^2024'，

故展开式中的每一项都能被7整除，故余数为0.

故答案为：0

14.如图，在三棱锥S-/3C中，平面S/3_L平面/8C,NS/8=120。，AC=4B=BC=SA=2,点£在棱/C

上，且CE=3/E,侧面“8内一动点P满足CP=2PE,则点P的轨迹长度为,；直线C尸与直

线AB所成角的余弦值的取值范围为

2〃04

【答案】y,

【解析】由CP=2P£得，点夕轨迹是以/为球心，1为半径的球面，又•・•点。在平面”3内，点夕

在以/为圆心，1为半径，行为圆心角的圆弧上，因此点夕的轨迹长度为丁.

建系如图，设尸(cos。,。,sin。)0e0,y,则方=(2,0,0),。=(cose—l,—JJ,sinO).

AB-CF||2(cos0-l)||cos0-l|

cos<AB.CP>|

AB\ICf\(cos0-1)2+3+sin20V5-2cos0

5-1

令/=V5-2cos9,tG[V3,V6],COS0二

2

|3I

.[cos〈丽丽〉卜?：2=亚.

0,

4

故直线CP与直线AB所成角的余弦值的取值范围为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知［2/+一］的二项展开式共有13项，完成以下问题：

(1)求展开式中二项式系数之和；

(2)展开式中是否存在常数项，若有，请求出常数项；若没有，请说明理由；

(3)求展开式中的系数最大的项.

(注：结果用数字作答)

【解析】(1)根据题意(21的二项展开式共有13项，可知”=12,.........................................2分

所以12/+£|的展开式中二项式系数之和为C*+C［+…+C：；=212=4096.....................................4分

(2)展开式中存在常数项，常数项为7920

的通项为C"(2x2产，(与=/2-铲0,0<r<12,rGN,.............6分

X

令24-3/=0,得厂=8,

所以展开式中存在常数项，此时通项变为C：?24=7920............................................................................9分

(3)|2X2+-|的二项展开式中通项为C；2(2/产，(9=弓2"室"3’,

展开式中通项的系数为C；2212T,0<r<12,reN-

VC]?2-r

<解得¥以＜*当r=4时系数C^e最大,

Cr212-厂>^r+1r^\.\—r，

则展开式中的系数最大的项为C：22R2=126720X»13分

TT

16.（15分）在平行六面体/BCD-44G2中，AB=AD^l,AAt=2,ABAD=ABAAX=ZDAAt=-,M

是cq的中点.

⑴求3,的长；

(2)求西•瓦法.

方.15=®|McosNBAD=lxlxcosm=；,

而京=西网/"4=lx2xcosg=l,

方.戴=画防ABAAX=1x2xC0Sy=1,............................................................................................5分

BD1—BD+DD]=BA+BC+DD1——AB+AD+AA^,

BDX=\-AB+AD+AAA=AB+AD+AAX-2AB-AD+2AD-AAX-2AB-AAX

=|Z8|2+|Zo|2+|Z^|2-2x1+2xl-2xl=l+l+4-l+2-2=5,

：.\BD\=J^=45,即8。的长为6....................................................................................................9分

（2）AM=AC+CM=AB+AD+-CC.=AB+AD+-AA.,..............................................................10分

2121

.•.西.而=卜刀+而+闻

---»2---*21----*21---►-----3---------►

=—AB+AD+-AA+-AB-AA+-ADAA

212121

=一|可+|珂+；M+；xl+|xl

一1c213

=-l+l+—x2+—+—=4yl............................................................................................................................15分

222

17.（15分）如图，长方体/BCD-48GA中，AB=BB、=2,8c=4,点.在线段BG上，且用0=1.

7A

囱乙储NT；

--------------------------1

⑴求证：/A/_L平面

（2）求点G到平面8D4的距离；

（3）求平面BDAX和平面QD4夹角的余弦值.

【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

70'

*

/您--------------

山二一一一.

4c

一（0,0,0）,以2,0,0）,°（0,4,0），4（0,0,2）4（2,1,2）,..............................................................................2分

设平面8Z>4的法向量为丽=（x,%2）,

AM=（2,1,2）,SD=（-2,4,0）,A1D=（0,4,-2）,

m•BD=-2x+4y=0/、

则有.................................................................................................4分

in-AXD=4y-2z=0

显然礼=而，因此平面BDAX...................................................................................................6分

（2）由。［2,4,2）0至=（0,-4,一2）,.......................................................................................................7分

设点G到平面BDAX的距离为d,

则有kos〈G民应〉卜

|1X(-4)+2X(-2)|_8

Us?-10分

（3）平面力斗的法向量为拓=（%，必，4），

布=（-2,0,-2）,丽=（0,4,-2）,

nC{D=一2再一24=0

则有«nn=(-2,1,2),...........................................................................................12分

n-AXD=4y1-2z1=0

设平面BDAX和平面qn4t夹角为

\m-n\|-4+l+4|]_

则有cose=kOS(流砌=

网同722+12+2^^(-2)2+12+22915分

18.（17分）莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉（南宋数学家）三角数阵（如图2所示）

相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之

和.现记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为q,第2行的第2个数字为%，…，第”行的第2个数字为

第0行1

第1行11

第2行

第3行

第4行1

图1

（1）求4+电+。3■*的值；

1

⑵将杨辉三角中的每一个数c：都换成（〃+]）u就得到了莱布尼茨三角•我们知道杨辉三角的最基本的

性质C3=c：+c丁也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨

三角的性质，并证明你的结论.

【解析】(1)由图1可知：^1=-5^2=79^3=7T5^4=TT'..................................................................2分

261220

由每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和，可得!+%=:，

65

11_1

故生同理。6=~~................................................................................................5分

5-63067~42

5111111

jWQi++QR+...+恁=--1------1--------1--------1--------1------

12362612203042

1111

=---+----+----+...+----

1x22x33x46x7

6

..9分

77

111/〜*y,,\

⑵莱布尼茨三角的性质：='）

11分

1।1

1+

证明：(H+1)C：-(«+1)C：

1+1尸!(〃一尸)!

〃+1n\n+1n\

-+l-r+r)

(〃+1)加n\

(r-l)!x(尸-3！1

故结论正确..........................................................................17分

19.（17分）在直四棱柱43CD-4与。12中，底面45CD是菱形，NDAB=60。,&AAl=AB=2fM为

力。的中点，动点P满足丽=%瓯+歹而，且x/w[04].

DiCi

4

C

A

（1）若x+y=\■时，求证：APLBDl；

(2)若》=了，E为4M•上一动点，且EP〃平面N8CO,求EP的最小值；

(3)若y=2x(x#0),点。为三棱锥外接球的球心，求。尸的取值范围.

【解析】(1)在底面菱形/BCD中，连接NC,记4。口即=。'，取用A的中点为。，连接。。，

在菱形48CD中，AC1BD,在直四棱柱/88-4耳4。|中，易知。。'，平面/BCD,

因为/C,8£>u平面/BCD,所以0'Q_L/C,OQ_LAD,所以。4。'民。。两两垂直，........3分

以。'为坐标原点，分别以。'4。2。'。所在直线为》//轴，建立空间直角坐标系，如下图：

可得5（0,1,0）典（0,1,2）,£>（0,-1,0）,4（石,0,0）,A（0,-1,2）,

则函=（0,0,2）,彷=（0,-2