2024-2025学年北师版八年级数学下册专项培优讲义+专项练习：含30度角的直角三角形五大题型（解析版）

专题L6含30度角的直角三角形五大题型

【北师大版】

考卷信息：

本套训练卷题量适中，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对含30度角的直角三角形的五大

题型的理解！

【题型1求长度】

1.（2023春・福建宁德•九年级校考期中）如图，已知△ABC中，乙4cB=60。，BC<AB<AC.

（1）在边AC上求作一点P,使得NPBC=30。；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若48=3&,/.A=45°,求4C的长度.

【答案】（1）见解析

（2）4C=6+2V3.

【分析】（1）过点B作于P即可.

（2）利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理求得BP、4P的长，再利用含30度角的直角三角形的性质以

及勾股定理求解即可.

【详解】（1）解：如图，NPBC即为所求；

（2）解：如图，由（1）得N4PB=NBPC=90。,

1

•.Z=45°,

Z.Z.ABP=45°,

：.BP=AP,

在RtAABP中，AP=BP=yf2AB=3V2xV2=6,

在RtABPC中，/.PBC=30°,2PC=BC,

BC2=PB2+PC2,SP(2PC)2=62+PC2,

解得PC=2V3,

：.AC=AP+PC=6+2后

【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰直角二角形的性质，含30度角的直角二角形的性质以及勾股定理等

知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.

2.(2023春・安徽亳州•九年级校考期中)如图是某儿童娱乐休闲广场上的一个滑梯的平面示意图，若将滑

梯的滑道8。水平放置，则刚好与DE的长度相同.已知滑梯的高度为4米，4E的长为1米.其中E,A,

。三点在同一直线上，CE1DE,BA1DE.

(1)求滑梯的滑道8。的长；

(2)若把滑梯的滑道BD改成BF,使NBF4=60。，求OF的长.(精确到0.1米，参考数据：,=1.732)

【答案】⑴葭米

(2)5.2米

【分析】(1)设滑道BD的长为万米，则DE=尤米，即AD=CE-4E=(x—l)米，在RtzXABD中，由勾股

定理得力+4£)2=BQ2,即有42+(%—1)2=%2,解方程即可求解；

(2)先求出乙4BF=30。，可得BF=24F.设4F=a米，贝何尸=2a米，即有2B=A/BF2一折=

V(2a)2-a2=V3a,即可得a=竽，即4F=竽，问题随之得解.

【详解】(1)由题意，得△480是直角三角形，Z.BAD=90°,BD=DE,4B=4米，

设滑道BD的长为x米，贝l|DE=x米，

2

\'AE=1米，

：.AD=DE-AE=（x-1）米，

在RtzkABD中，由勾股定理得ZB2+4£）2=B£）2,

即42+（X—l）2=X2,

解得X=葭.

答：滑梯的滑道8。的长为葭米.

（2）/.BFA=60°,

•••乙4BF=90°-4BFA=90°-60°=30°,

BF=2AF.

设4F=a米,则BF=2a米，

•••AB=7BF2-AF2=7（2a）2-a2=倔1（米）.

4B=4米，

•••V3a=4,

解得a=竽，即4尸=竽（米）.

由（1）可知，4。=DE-4E=BO—4E=”一1=弓（米），

：.DF^AD-AF=--—^5.2（米）.

23

答：DF的长约为5.2米.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，还考查了含30。角的直角三角形的性质，灵活运用勾股定理是解

得本题的关键.

3.（2023春・广东佛山•九年级统考期末）如图，AABC是等边三角形，4B=W,点尸是ABAC的平分线上

一动点，将线段4F绕点A顺时针方向旋转60。得到4E,连接CF、EF.

3

(1)尺规作图：在4尸的上方找点。，使得DELAF且DE=AC；

(2)在(1)的条件下，连接CD、DF.

①求证：AE+CD>AC-,

②求证：△(?£)?是等边三角形；

③当ADEF是等腰三角形时，求4尸的长度？

【答案】(1)作图见解析

(2)①证明见解析；②证明见解析；③8或1

【分析】(1)由旋转的性质可得2E=4F,^FAE=60°,贝！］△4EF是等边二角形，由DE_LAF可知，。在4尸的

垂直平分线上，如图1,分别以4、尸为圆心，大于之4尸的长为半径画弧，交点为M,连接EM并延长，以E为

圆心，AC长为半径画弧，与EM的交点即为Q,则点。即为所求；

(2)①如图2,连接C。、DF、AD,记DE与4C的交点为N,DF与4C的交点为H,证明△C4F三△DEF(SAS),

则CF=DF,AACF=AEDF,由题意知NDN”=N4NE=180°—NAME-N4EN=60。，^ACF+/.CHF+

^.DFC=180°=Z.EDF+ADHM+/LDNH,贝IJNDFC=NDNH=60。，△CDF是等边三角形，CD=CF,由

AF+CF>AC,可得4E+CD>AC；②由①可证△CD尸是等边三角形；③由题意知，乙DEF=30°,Z.AFE=

60°,当小DEF是等腰三角形时，分DE=DF,DE=EF,DF=EF,三种情况求解：情况一、当DE=DF

时，由乙DFE=Z.DFA+/.AFE>60°>30°=Z.DEF,可知此情况不成立;情况二、当DE=EF^i，AF=EF=

DE=AC=AB=8；情况三、当OF=E尸时，4FDE=乙DEF=30°,如图3,记4F与DE交点为P,贝必F=

2PF,PF=^EF,EP=»E=)C=手，由勾股定理得EP='EF?-PF2=aPF,则bPF=今解得

PF=5进而可求4F的值.

【详解】(1)解：如图1,点。即为所求;

4

(2)①证明：如图2,连接CD、DF、AD,记DE与力C的交点为N,DF与4c的交点为H,

由(1)可知，ACAF=30°,^AEN=^DEF=^AEF=30°,

J./-CAF=乙DEF,

"：AC=DE,ACAF=ADEF,AF=EF,

：.△CAF=ADEF(SAS),

：.CF=DF,乙ACF=£EDF,

由题意知NONH=LANE=180°-乙NAE-/.AEN=60°,

/.ACF+乙CHF+乙DFC=180°=AEDF+/.DHM+乙DNH,

：.2LDFC=乙DNH=60°,

...△CDF是等边三角形，

CD=CF,

"：AF+CF>AC,

：.AE+CD>AC；

②由①可证△CDF是等边三角形；

③解：由题意知，4DEF=30°,乙AFE=60°,当4OEF是等腰三角形时，分DE=DF,DE=EF,DF=EF,

三种情况求解：

情况一、当DE=D9时，

J./-DFE=乙DEF,

,：Z.DFE=Z.DFA+Z.AFE>60°>30°=Z.DEF,

，此情况不成立；

情况二、当DE=EF时，AF^EF=DE=AC=AB=V3,

5

.\XF=V3；

情况三、当。F=EF时，Z.FDE=Z.DEF=30°,如图3,记4F与DE交点为P,

图3

则4F=2PF,PF=\EF,EP=\DE=\AC=^,

由勾股定理得EP=yjEF2-PF2=6PF,

:.gPF=*解得PF=0

：.AF=1；

综上所述，当AOEF是等腰三角形时，4月的值为8或1.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作垂线，垂直平分

线的性质，勾股定理，含30。的直角三角形，等腰三角形的性质等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握

与灵活运用.

4.(2023春•陕西咸阳・九年级咸阳彩虹学校校考期中)综合与实践

问题情境：

在数学课上，老师给出了如下情境：如图1,△ABC是等边三角形，点尸是4C边的中点，点。在直线BF上

运动，连接4D,以4D为边向右侧作等边三角形4DE,连接CE,直线CE与直线BF交于点试探究线段BD

与CE的数量关系及N8MC的大小.

(1)初步探究:

6

如图1,当点。在线段BF上时，请直接写出：

①BD与CE的数量关系」

②LBMC=_°

(2)深入探究：

如图2,当点£＞在线段BF的延长线上时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立,

请说明理由；

(3)拓展延伸：

如图3,当点。在线段FB的延长线上时，若FM=2,BD=|,求出EM的长度.

【答案】(1)①BD=CE,②60

(2)成立，证明见解析

⑶蓝

【分析】(1)由题意易得A&BD三AaCE,然后根据全等三角形的性质可进行求解；

(2)由题意易证三ACAE,则有BD=CE,Z.ABD=/.ACE,然后问题可求解；

(3)由题意易证△BADmAC4E,则有BD=CE=，4ABD=4ACE,然后可得

Z.ABF=^ABC=30%BF1AC,进而问题可求解.

【详解】(1)解：①ABC和AADE是等边三角形，

：.AB=AC,AD=AE,ABAC=ADAE=60°,

ABAD=乙BAC-/.DAC,/.CAE=/.DAE-Z.DAC,

：./.BAD=Z.CAE,

：.△ABD=△ACE(SAS),

：.BD=CE；

故答案为：BD=CE；

②：点F是AC边的中点，△ABC是等边三角形，

：.AABD=ACBF=30。，乙ACB=60°,

由①可知4ABDACE,

：.AABD=^ACE=30°,

:.乙BCM=90°,

7

A/.BMC=90°-乙CBF=60°；

故答案为60；

(2)解：(1)中的结论还成立，理由如下：

是等边三角形，

：.AB=AC,Z-BAC=60°,

•••△4DE是等边三角形，

：.AD=AE,/-DAE=60°,

：.Z.BAC=ADAE,

：.Z.BAD=/LBAC+Z-DAC,Z.CAE=Z-DAE+乙DAC,

即4=A.CAE,

在△BAD和△C4E中

(AB=AC

\^BAD=/.CAE,

(AD=AE

：.△BAD三△C4E(SAS),

：.BD=CE,乙ABD=/.ACE,

VAABD+乙DBC+乙ACB=120°,

A^ACE+Z.DBC+乙ACB=120°,

AZ.BMC=60°；

(3)解：是等边三角形，

：.AB=AC,Z-BAC=60°,

,**△ADE是等边三角形，

：.AD=AE,Z,DAE=60°,

：.Z-BAC=^DAE,

•"BAD=^DAE-/.BAE,^CAE=^LBAC-乙BAE,

即4BAD=Z.CAE,

在△84。和4G4E中，

(AB=AC

\z-BAD=/.CAE,

(AD=AE

：.△BAD=△C71E(SAS),

8

3

：.BD=CE=-,乙ABD=/.ACE,

2

•••△ZBC是等边三角形，尸是4c的中点

：./LABF=-^ABC=30%BFLAC,

2

Z./.CFM=90°,/.ACM=/.ABF=30°,

CM=2FM=4,

311

：.EM^CE+CM=-+4=—.

22

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌

握等边二角形的性质、含30度直角二角形的性质及全等二角形的性质与判定是解题的关键.

5.（2023秋・福建福州・九年级统考期末）在等边三角形48C中，点D、£分别在边BC、AC上，且=CE,连

接AD、BE交于点F.

（2）过点£作EG，4。于点G.

①如图2,若BF=11,FG=6,求AD的长度；

②如图3,连接8G、CG,若BG=EG,求证：CG1AB.

【答案】（1）见解析

（2）①23,②见解析

【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合已知证明AABOmABCE即可.

（2）①利用A4B034BCE,得证乙GFE=60°,结合已知得到NGEF=30°,得证EF=2FG,根据BF+EF=

BE=AD=BF+2FG计算即可.

②证明BG=4G,利用线段的垂直平分线性质证明CG1AB.

【详解】（1）•.,等边三角形ABC,BD=CE,

：.AB=BC=CA,/.ABD=乙BCE=60°,

9

AB=BC

=乙BCE,

.BD=CE

△ABD=△BCE,

：.AD=BE.

(2)|艮据(1)得△480包BCE,

•"BAD=Z.CBE,AD=BE；

・・,等边三角形ABC,

：.Z.ABEZ.CBE=60°,

：.AABE+ABAD=60°,

■:(ABE+Z-BAD=乙GFE,

C.Z.GFE=60°,

'：EGLAD,

J.Z.GEF=30°,

：.EF=2FG,

：.BF+EF=BE=AD=BF+2FG,

■:BF=11,FG=6,

：.AD=BF+2FG=11+12=23.

A

②I艮据(1)得△480包BCE,

/.BAD=乙CBE,AD=BE；

•・,等边三角形/BC,

AZ-ABE^-Z-CBE=60°,

A/.ABE+/.BAD=60°,

■:乙ABE+/-BAD=乙GFE,

:.乙GFE=60°,

10

TEG14。,

C.Z.GEF=30°,

*；BG=EG,

：.LGBE=乙GEF=30°,

过点G作GM1BG交BE于点H,交BC于点M,则4=90。一4GBF=60。,

设4EBC=a,则ZJBZO=乙EBC=a,Z.GAE=60°-a

:•乙GBM=30。+a,乙GMB=乙GHB一乙EBM=60°-a,

在Rt△4GE中，^GEA=90°-匕GAE=90°-(60°-a)=30°+a,

/.Z.AEF=60°+a,

在^AGEAMGB中，

A.GAE=Z.GMB

乙AEG=Z.GBM,

GE=GB

：.^AGE三△MGB(AAS),

：.BM=AE,AG=MG,

连接ZM,如图，

•・,乙4GM=180°-乙FGH=120°

：.Z.GAM=AGMA=30°

又,.,。4=CB,

11

ACM=CE,

在△BE&ZkZMC中，

AC=BC

乙ACM=乙BCE

CM=CE

：.△BEC三△AMC（SAS）

Z-CAM=Z.EBC=a,

：.^MAG=60-2a=30°,

a=15°,

：.^GAE=60°-a=45°,

•••△/GE是等腰直角三角形，

：.AG=GE,

：.BG=AG,

9：CA=CB,

・・・CG是线段/B垂直平分线，

：.CG1AB.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质,三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形

的性质，等边三角形的性质是解题的关键.

6.（2023春•江西吉安•九年级校联考期中）将一副三角板ABC和DEF如图（1）放置,其中乙4BC=乙EDF=90°,

乙4=30。，Z,E=45°,与。F共线，将△DEF沿C8方向平移，当EF经过AC的中点。时，直线E尸交于点

G［如图（2）］,若BC=3,则此时线段。G的长度为.

【答案】当

【分析】过。作。H14G于"，Z.ABC=乙EDF=90°,乙4=30°,乙E=45°,得出乙0G4=45°,根据30。

12

所对直角边等于斜边的一半得出/C=2BC=6,由点。是/C的中点，得出4。=3,再根据勾股定理即可得

0G；

【详解】^Z-ABC=90°,

・••Z.FBG=90。，

•・・乙F=(FGB=45。,

Z.OGA=45。，

•・•44=30°,BC=3,

•••AC-2BC=6,

•・•点。是/C的中点，

・•.AO=3,

过。作。H14G于H,

・•・^AHO=乙OHG=90。，

13

OH=-AO=―,

22

•••OG=V2OH=

故答案为：手

【点睛】该题主要考查了直角三角形30。所对直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点，解答的关键是掌

握这些知识点并能够熟练运用

【题型2求最值】

1.（2023秋.福建龙岩.九年级龙岩二中校考期中）如图，在△ABC中，乙4cB=90。，^ABC=30°,WAABC

绕顶点C顺时针旋转，旋转角为8（0。<8<180。），得到AMNC,P,。分别是AC、MN的中点，AC=2t,

连接PQ,则旋转时PQ长度的最大值是（）

13

M

A.2V6tB.2y/StC.V6tD.3t

【答案】D

【分析】当尸、。、Q二点共线时，PQ最长，根据图形求出此时的旋转角即可求出PQ的长.

【详解】解：如图，当旋转到尸、C、。三点共线时，PQ最长,

VAN=Z.ABC=30°,Z.MCN=/-ACB=90°,Q是MN的中点,

.・.CQ=MQ=CM,

・•.△CMQ是等边三角形，

・•・乙M=乙MCQ=Z-MCQ=60°,

•・•P、C、。三点共线，

・•.e=乙ACM=180°-乙MCQ=180°-60°=120°,

vAC=23

1

・・.CP=-AC=t,AB=MN=2AC=4t,

2

,••4。中点为P,MN中点为Q,^MCN=90°,

・•・CQ=-MN=23CP=-AC=t,

x22

PQ=CP+CQ=2t+t=3t,

故选：D.

14

【点睛】本题考查了等边三角形的判定，旋转的性质的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直

角三角形30。角所对的边是斜边的一半，熟练运用旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋

转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键.

2.（2023春・江苏常州•九年级校考期中）阅读：如果两个动点到一个定点的距离的比为定值，且这两个动

点与定点连线所成角的度数也为定值，那么这两动点的运动路径相同.

应用：如图，点。是长方形4BCD的对角线AC的中点，BC=3,以。为直角顶点的Rt△OPQ的顶点P在

边4D上，Z.BAC=^Q=60°,当P在4。上运动时，DQ的最大值为（）

A.1B.V3C.2D.2V3

【答案】C

【分析】根据题意，确定出点Q的轨迹为一条线段，确定出点P在4、D两点时，点Q的位置，即可求解.

【详解】解：由题意可得：点Q的轨迹为一条线段，NQ=60。，APOQ=90°

：.AOPQ=30°

又.."aD=90。，ABAC=60°

：.^CAD=30°

RtAABC中，BC=3,ZC4D=30°

设AB=%,贝！MC=2x,由勾股定理可得：/+33=4/

解得x=V3

：.AB=V3,AC=2V3,

：.AO=V3

当P与力重合时，过点。作OF交4。于点F如下图：

'：^CAD=30°,^.OPQ=30°

在线段4D上，AAFO=60°

15

，点Q与点尸重合

由勾股定理可得：0Q=1,PQ=2

当P与。重合时，过点。作0E1。。交BC于点E,连接DE,EF,如下图：

D(P)

C

由题意可得：0D=0C,乙OCD=60°

.♦.△ODC为等边三角形，即OC=CD=OC=b，AODC=60°

"/.BCD=Z.EOD=90°,OD=CD,DE=DE

：.△ODEC£)E(HL)

Z.ZODF=|z.ODC=30°,此时，点Q在射线DE上

J.Z.OED=60°,则点Q与点E重合，

点Q的轨迹为线段EF

由此可得，当P与。重合时，OQ最大，为OE的长度

在RtAOE。中，OD=遮,Z.ODE=30°,

可得：OE=1,DE=2

即。Q最大为2,

故选：C

【点睛】此题考查了长方形的性质，勾股定理，含30。直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题

的关键是熟练掌握相关基础性质，确定出点Q的轨迹.

3.(2023春•陕西安康•九年级校考期中)如图，在平行四边形ABCD中，点E,F分别在边AB,AD±,折叠

△2EF使得点4落在CD上，若乙48c=120。，AD=4A/3,AB=8,贝I]BE长度的最大值为.

【答案】2

【分析】由折叠的性质可知4E=GE,当GE14B时，GE的长度取最小值，则4E的长度取最小值，此时BE的

16

长度取最大值，过点。作于点“，则D”=GE=4E,由含30度角直角三角形的性质以及勾股定理

可得DH=AE=GE=6,从而即可得到答案.

【详解】解：由折叠的性质可知AE=GE,当GE14B时，GE的长度取最小值，则4E的长度取最小值，此时

BE的长度取最大值，

•••四边形48co是平行四边形，

•••ADWBC,

•••Z.DAB+/.ABC=180°,

•••^DAB=180°-4ABC=180°-120°=60°,

如图，过点。作CH_L4B于点儿贝!]DH=GE=4E,

在RtAADH中，ADAH=60°,

乙ADH=90°-ADAH=30°,

：.AH=^AD=2V3,

：.DH=>JAD2-AH2=6,

AE■和GE长度的最小值为6,

故BE长度的最大值为4B-AE=8-6=2,

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理、折叠的性质，熟练

掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键.

4.（2023秋・天津和平・九年级校考期中）如图，在△ABC中，AC=2+2V3,ABAC=45°,乙4cB=30。,

将△ABC绕点8按逆时针方向旋转，得到△&BC「点E为线段4B中点，点尸是线段4C上的动点，将AABC

绕点2按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P「

17

（1）如图，线段AB=；

（2）则线段EPi的最大值为—，最小值为一.

【答案】2企4+V22-V2

【分析】（1）过点B作BD14C于点D,根据直角三角形的性质和勾股定理即可得；

（2）当P在4c上运动至垂足点D,AABC绕点B旋转,点P的对应点心在线段48上时，EP1最小；当匕,瓦8三

点共线，点P运动到点C时，EPI最大.

【详解】解：（1）如图，过点B作BO12C于点。，连接

•••Z.BAC=45°,Z.ACB=30°,

是等腰直角三角形，BC=2BD,

AD=BD,

设/。=BD=%(%>0),则=2%,

•••CD=yjBC2-BD2=1，

•••AC=AD+CD=2+2V3,

x+V3x—2+2A/3,

解得x=2,

AB=<AD2+BD2=缶=2&,

故答案为：2金；

(2)•.•点E为线段ZB中点，

BE=^AB=V2,

由旋转的性质得：BP=BP、,

EP1>BP1—BE=BP—BE,

则当％,E,B三点共线，且P在4c上运动至垂足点D时，EPi的值最小，最小值为BP-BE=BD—BE=2-

V2,

又EP1<BP]+BE=BP+BE,BC=2BD=4,

.•.当Pi，E,B三点共线，且P运动到点C时，EPi的值最大，最大值为BP+BE=BC+BE=4+或，

18

故答案为：4+V2,2-V2.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形

的性质、三角形三边关系的应用等等，熟知相关知识是解题的关键.

5.（2023春•江苏•九年级统考期末）如图，在近△ABC中，乙4cB=90。，乙48c=30。，AC=2,点P是边

AB上的一动点，将AABC绕点C按逆时针方向旋转一周得到△点E是边4c的中点，则在旋转过程中

PE长度的最大值为.

【答案】2g+1

【分析】先根据含有30。角的直角三角形的性质可得48=4,由勾股定理可得BC=2次，由旋转的性质可得

A'C=AC=2,由点E是边AC的中点可得4E=CE=1,当点P与点B重合，点P、C、E、4在同一直线上

时，PE最大，由PE=BC+CE,即可得到答案.

【详解】解：•••乙iCB=90°,4ABC=30°,AC=2,

AAB=2AC=2x2=4,

BC=y/AB2-AC2=V42-22=2墓,

由旋转的性质可得：A'C=AC=2,

•.•点E是边AC的中点，

11

A'ECE=-A'C=-x21,

22

如图所示，当点P与点B重合，点P、C、E、4在同一直线上时，PE最大，

此时PE=BC+CE=2V3+1,

故答案为：2V5+1.

【点睛】本题主要考查了含有30。角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握含有30。角的直

角三角形的性质，旋转的性质，是解题的关键.

6.（2023春・陕西西安•九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，AACB=90°,zB=30°,AC=4,D,E是

AB边上的两个动点，满足AD=BE,连接CD、CE,求CD+CE的最小值____.

19

【答案】8

【分析】过点4B分别作AC的垂线和BC的垂线交于点M,连接MC,ME,先证△4CB»MBC,得AB=MC,

再证ACAD=△MBE,得CD=ME,进而得出CD+CE=ME+CE,当C,E,M三点不共线时，ME+CE>

MC-,当C,E,M三点共线时，ME+CE=MC,然后根据直角三角形中，30。的角所对的直角边等于斜边的

一半求出4B的值，从而得出结果.

【详解】过点4B分别作4C的垂线和BC的垂线交于点M,连接MC,ME,

/.ACB=90°,MA1AC,

•••AMWCB,

•••MB1BC

•••ACWMB,AC=MB,

・♦・乙CAB=/.MBA,

vBC=CB,乙ACB=乙MBC=90°,

・•.△ACB=△MBC,

・•.AB=MC,

vAD=BE,

・•.△CAD=△MBE,

・•.CD=ME,

・•.CD+CE=ME+CE,

当C,E,M三点不共线时，ME+CE>MC；

当C,E,M三点共线时，ME+CE=MC,

・•.CD+CE的最小值是MC的长，

20

•・•乙B=30°,Z-ACB=90°,

AB=ZAC,

•・•AC=4,

AB=8,

MC=AB=8,

•.CD+CE的最小值是8.

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，直角三角形的性质，正确作出辅助线

找出恰当的全等二角形是解本题的关键.

【题型3求面积】

1.（2023春•湖南衡阳•九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点4、&、&…/在X轴上，

%、83...371在直线'=?%上，若4（1,0）,且△42B2&…都是等边三角形，从左到

SI52S2023

右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为、、S3...Sn.则可表示为.

【分析】直线y=fx与x轴的成角=30°,可得4。%々=30°,^OBnAn=30°,/.OBrA2=90°,

^OBnAn+1=90°；根据等腰三角形的性质可知A/i=1,B2A2=OA2=2,B3A3=4,BnAn=2^；

rt1

根据勾股定理可得Bi%=A/3,B2B3=2A/3,BnBn+1=2-V3,再由面积公式即可求解.

【详解】解：•••―仆△4殳43储I"1都是等边三角形,

114B2

•••A^WAMA^W-n小瓦甸山甸。411…||B"4t+i，

•.•直线y=4刀与x轴的成角NB1O4=30°,/.OA1B1=120°,

・••Z-OB1A1=30°,

・•・OAr=A1B1,

•・4(L0)，

21

A1B1=1,

同理2082/2=30°,/-OBnAn=30°,

n1

:.B2A2=OA2=2,B3/3=4,…，BnAn=2~,

vZ-ABrO=30°,Z.A1B1A2=60°,

•••Z.OBrA2=90°=Z-A2BrB2,

同理2082/3=90°,^OBnAn+1=90°,

n-1

・••B]B2=V3,B2B3=2V3,…,BnBn+1=2V3,

71n_12n-3

=IX1xV3=y,S2=Ix2x2V3=2V3,Sn=|x2Tx2V3=2V3；

故答案是：泮-3聒

【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三

角形，并求出每边长、应用相似三角形规律求解是解题的关键.

2.(2023春・福建龙岩•九年级校考期中)如图，在△ABC中，乙48c=60。，AB=6,BC=10,则△ABC面

积是;若以4C为边向外作等边AACD,连BD,则8D长为.

【答案】15V314

【分析】过点4作4MLBC于M,由直角三角形的性质求出=3,由勾股定理求出AM的长，由三角形面

积公式可得出答案；以4B为边作等边三角形48E,连接EC,过点E作EF1BC,交CB的延长线于F,证明

AEAC=AB71£)(SAS),得出BO=EC,由勾股定理求出CE的长，则可得出答案.

【详解】解：过点4作4W1BC于M,

BM

22

•・•/,ABC=60°,BA=6,

・•・4BAM=30°,

・・・BM=3,

・•.AM=7AB2-BM2=3V3,

・•・S»ABC=泗•=(x10x375=15V3；

以/B为边作等边三角形4BE,连接EC,过点E作EF1BC,交CB的延长线于凡

•・•△ABE与八都为等边三角形，

・・・Z,EAB=乙DAC=60°,AE=AB,

・•・/.EAB+/-BAC=/-DAC+/-BAC,即4E4C=4BAD,

在△EZC和△BAD中，

(AE=AB

\A.EAC=乙BAD,

(AD=AC

EAC三△BAD(SAS),

・•.BD=EC,

v/-EBA=60°,Z.ABC=60°,

・・・(EBC=120°,

・•・乙EBF=60°,乙FEB=30°,

在△EBC中，BC=10,EB=6,

•••EF=3V3,FB=3,FC=10+3=13,

•••EC2=FC2+EF2=196,

•••BD=EC=14.

故答案为：15百，14.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌

23

握直角三角形的性质是解题的关键.

3.（2023春•陕西西安・九年级高新一中校考期末）如图，平行四边形ZBCO中，ZB=6O°,AB1AC,AB=3,

对角线/C绕着对称中心。按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交4）、BC于点、E、F,若BF=2CF,

则图中阴影部分的面积是.

【答案】言

【分析】根据平行四边形的性质及全等三角形的判定可知△ZOE=ACOF（ASA）,再根据直角三角形的性质及

勾股定理即可解答.

【详解】解：过点。作垂足为H,

・・・四边形/BCD是平行四边形，

：.0A=OC,ABWCD,

J.^CAD=乙ACB,

V/-AOE=Z.COF,

•••△/OEwzXCOF(ASA),

•・SMOE=S^COF，4E=CF,

*：ABLAC,

・"B/C=90。，

VZ5=60°,AB=3,

：.^ACB=30°,

：.BC=6,

：.AC=y/BC2-AB2=3V3,

:.oc=—2,

•：0H1BC,

・"OHC=9。。,

•:乙ACB=30°,

24

/.OH,

4

\'BF=2CF,

：.BC=BF+CF=3CF,

YBC=6,

11

ACF=-BC=-x6=2,

33

:.SRCOFCF-OH=-X2X—^—,

△3卜2244

/.阴影部分的面积为2x乎=等，

4z

的面积，掌握平行四边形的性质是解题的关键.

4.(2023春•陕西咸阳・九年级统考期中)【问题背景】

如图1,在等腰直角AaBC中，AB=AC,AC=90°,贝！］边BC与边4B的数量关系为BC=

(1)如图2,在等腰△ABC中，AB=4C/B4C=120。，作4D1BC于点。，则得到边BC与边4B的数量关

系为

【迁移应用】

(2)如图3,AABC和△ADE都是等腰三角形，Z.BAC=^DAE=120°,D、E、C三点共线，连接BD,

①求证：AADB^^AEC；

②求AD、BD、CD之间的数量关系；

【拓展延伸】

(3)如图4,AABC与AADE都是等腰直角三角形，^BAC=^DAE=90°,连接BD并延长，交4C于点R

连接EF、CE.若BF=6,ZCBF=15°,^BAD=30°,求AAEF的面积.

25

A

图4

【答案】(1)BC=V3AB(2)①见解析②DC=BD+(3)9

【分析】(1)根据等腰三角形三线合一，含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可；

(2)①利用SAS进行证明即可；②由全等三角形的性质可得BD=EC,由(1)可知：DE=^3AD,即可得

结论；

(3)过点E作EH14C于X,连接EF,由含30度角的直角三角形的性质先求出的长，再由三角形的

面积公式进行求解即可.

【详解】解：(1)8C=百45,理由如下：

'：AB=AC,/.BAC=120°,AD1BC,

：

.ZB=NC=30°,BD=CD=-2BC,

：.AB=2AD,BD=<AB2-AD2=WAD,

：.BC=2也AD,

:.BC=6AB；

(2)©VzBXC=Z.DAE=120°,

：.^DAB=ACAE=120°-4BAE,

在AADB和AaEC中，

26

DA=EA

Z-DAB=Z.EAC,

.AB=AC

：.△ADB三△AEC(SAS)；

②DC=BD+遮AD,理由如下：

V△ADB=^AEC,

：.BD=EC,

由(i)可知：DE=WAD,

'：DC=DE+EC,

：.DC=BD+V3AD；

(3)如图4,过点E作EH1ZC于H,连接EF,

•••△ZBC是等腰直角三角形，

•\AB=AC=6vZ-ABC—Z-ACB=45。,

■:乙CBF=15°,

A/-ABD=30°,

/-BAD=30°,

・"ABD=2LBAD,Z.DAF=Z.AFD=60°,

：.AD=BD,△4DF是等边三角形，

••AD=BD=DF=AF

•；UBD=30°fZ.BAC=90°,

：.BA=y[3AF=6后

>>AF=6=AD=BD=DF,

U

：^DAE=90。,40=AEf

：.AE=6/FAE=30°,

27

'：EH1AC,

：.EH=AE=3,

•••SAAEF=次.EH=卜6x3=9.

故答案为：9.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，

等边三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

【题型4含30度角的直角三角形在坐标系中的运用】

1.（2023春.河北保定.九年级校考期中）将AOBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中N0B4=90。,

乙4=30。，顶点A的坐标为（百,3）,将绕原点逆时针旋转，每次旋转60。，则第2023次旋转结束时,

点A对应点的坐标为（）

A.（-2V3,0）B.（2V3,0）C.（-V3,-3）D.（-V3,3）

【答案】D

【分析】根据旋转性质，可知6次旋转为1个循环，故先需要求出前6次循环对应的A点坐标即可，利用全

等三角形性质求出第一次旋转对应的A点坐标，之后第2次旋转，根据图形位置以及。4长，即可求出，第

3、4、5次分别利用关于原点中心对称，即可求出，最后一次和A点重合，再判断第2023次属于循环中的

第1次，最后即可得出答案.

【详解】解：由题意可知：6次旋转为1个循环，故只需要求出前6次循环对应的A点坐标即可

第一次旋转时：过点4作x轴的垂线，垂足为C,如下图所示：

28

由A的坐标为（遮,3）可知：OB=®AB=3,

•••乙4=30°

•••BOB=90°-zX=60°,OA=2OB=2百

由旋转性质可知：4AOB幺A'OB',

：.^A'OB'=AAOB=60°,OA'=OA,

：.NAOC=180°-Z.A'OB'-4AOB=60°,

在AAOC与AAOB中：

'/.A'OC=4AOB=60°

/.A'CO=Z.ABO=90°

OA'=OA

：.△A'OC三△AOB（AAS）,

oc=OB=V3,A'C^AB=3,

此时点4对应坐标为（-四,3）,

当第二次旋转时，如下图所示：

此时4'点对应点的坐标为（-2旧,0）.

当第3次旋转时，第3次的点A对应点与A点中心对称，故坐标为（一百,-3）

当第4次旋转时，第4次的点A对应点与第1次旋转的4点对应点中心对称，故坐标为（百,-3）

29

当第5次旋转时，第5次的点A对应点与第2次旋转的&'点对应点中心对称，故坐标为（2b,0）.

第6次旋转时，与A点重合.

故前6次旋转，点4对应点的坐标分别为：（-b,3）、（-2四0）、（-低-3）、（倔-3）、（2日,0）、（声,3）.

由于2023+6=337……1,

故第2023次旋转时，A点的对应点为（-B,3）.

故选：D.

【点睛】本题主要是考查了旋转性质、中心对称求点坐标、三角形全等以及点的坐标特征，熟练利用条件证

明全等三角形，通过旋转和中心对称求解对应点坐标，是求解该题的关键.

2.（2023春•四川成都•九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线OP与x轴的夹

角为30。，点Bi在x轴上，且OBi=2,过点Bi作JA】，OP交OP于点A「以A】Bi为边在A$i右侧作等边三

角形A]B]Ci；过点。作0P的垂线分别交x轴、0P干点B2、A2,以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形

A2B2C2,过点C2作OP的垂线分别交X轴、0P于点B3、A3,以A3,B3为边在A3B3的右侧作等边三角形

A3B3C3,....按此规律进行下去，则点A3的纵坐标为，点A2021的纵坐标为.

【答案】手/誓

【分析】根据特殊直角三角形的性质，求出0A2,0A3,可得点A2,&的纵坐标，从而得An的

纵坐标，即可求出答案.

【详解】解：•••Bi&lOP,

=90°,

=30°,0Bi=2,

22

的边长=10B1=1,。&=V2-l=V3,

，点儿的纵坐标为《。冬=子,

•.•等边三角形Ci，

30

=241cl=1,4当41cl=60°,

=60°,

Z.B1A1C1=Z-OBrAr,

・・4]C]II%*由，

/.Z-A2A1C1=乙POB4=30°,

•・"&42cl=90。，

、AC1..y/3

・・42。1=2f=F

••。人2=。/1+^41^2=V3+，=

••点4的纵坐标为1%=，22c2=鼻2殳=~%=

同理得：=,，

OA3=OA2+A2A3=乎+(=苧，

•••点4的纵坐标为：。