2024-2025学年北师大版九年级数学下册专项复习：几何综合（3题型+7类型+解题模板+技巧讲义）（原卷版）

几何综合压轴题

（3题型+7类型+解题模板+技巧精讲）

目录

・题型剖析•精准提分

题型一线段最值问题

①动点路径问题

②‘胡不归”问题

③，将军饮马”问题

④''造桥选址"问题

题型二：面积平分问题

题型三面积最值问题

好题必刷•强化落实

・题型剖析•精准提分

几何综合

题型一线段最值问题题型二面积平分问题

①动点路径问题①三角形

②"胡不归"问题②不规则图形

③"将军饮马"问题

④"造桥选址”问题题型三面积最值问题

题型解读：下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的

考查热度.

几何综合问题在中考中以填空题和解答题

的形式出现，考查难度较大.此类问题在中考中几何综合

多考查面积平分、面积最值和几何变换的综合问;100%

80%

题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似1

60%

三角形、圆、锐角三角函数、勾股定理、图形变

40%

换的性质和二次函数的最值等相关知识，以及分I20%

类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想.此0%

题型一题型二题型三

类题型常涉及以下问题：①几何图形中的线段最

值问题②探究图形面积的分割问题；③探究图形

面积的最值问题.右图为几何综合问题中各题型

的考查热度.

题型一线段最值问题

『芬奥「①茄藕荏问题W/胡布印丁而鹿⑨瓦海军饮耳;,一面蘸p,遹桥还圣;向题

解题模板:

①动点路径问题

【例1】（山东济宁-中考真题）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题.

（1）阅读材料

立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角.

例如，正方体23CD-48'C'Z）'（图1）.因为在平面44'C'C中，CC'〃/H,44'与AB相交于点4所以直

线N8与44'所成的ZBAA就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC所成的角.

解决问题

如图1,已知正方体NBCD-HB'C'D',求既不相交也不平行的两条直线8H与/C所成角的大小.

（2）如图2,M,N是正方体相邻两个面上的点.

①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是」

②在所选正确展开图中，若点M到N2,3C的距离分别是2和5,点N到8。，的距离分别是4和3,

P是48上一动点，求PM+PN的最小值.

【变式IT】(山东日照-中考真题)如图，RtA48C中，NC=90。，以45为边在N8上方作正方形

过点。作。尸1C3,交C3的延长线于点尸，连接BE.

(1)求证：AABC=ABDF；

(2)P,N分别为/C,BE上的动点，连接NN,PN,若DF=5,AC=9,求NN+PN的最小值.

【变式1-2】(江苏连云港-中考真题)如图，四边形N3CD为平行四边形，延长/。到点E,使DE二AD,

且BELOC.

AL---------------3

(1)求证：四边形。BCE为菱形；

(2)若△ZJ8C是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求尸M+PN的

最小值.

【变式「3】(2023-四川自贡-中考真题)如图1,一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M,N分别

是斜边DE,48的中点，DE=2,AB=4.

EB

图1图2

⑴将绕顶点C旋转一周，请直接写出点N距离的最大值和最小值;

(2)将ACDE绕顶点C逆时针旋转120。(如图2),求的长.

②“胡不归”问题

【例2】(2023-江苏泰州-三模)如图，已知RtZ\/8C中，ZC=90°,AC=6,AB=9,E是4B上的一点,

BE=5,点。是线段3c上的一个动点，沿/。折叠ANCD,点C与C'重合，连接3C'.

⑴求证：AAEC's公ac'B；

2

(2)若点尸是3C上一点，且BF=M,求尸C'+18C'的最小值.

【变式2-1](2023-广东广州-二模)如图①，在四边形/BCD中，AB=BC=AD,ZABC=90°,

ABAD=60°.

(1)求//CD的度数;

(2)如图②，尸为线段。。的中点，连接BF,求证：2BF=CD+GAB;

(3)如图③，若。2=1/8=2,线段8c上有一动点连接。“，将A。8M沿。河所在直线翻折至AOPM

的位置，P为3的对应点，连接力，PC,请直接写出4PC+/M的最小值.

【变式2-2](2023-广东广州-二模)如图，菱形"3CD中，44=60。，AB=4,点、E、尸分别为线段C。、

8。上的动点，点G为边4B的中点，连接E尸，FG.

(1)求AD的长；

(2)连接3E,若NCEB=2/DEF,求证：EB=CE+DF■,

(3)若CE=y[3BF,试求EF+6FG的最小值.

【变式2-3】（广东广州-中考真题）如图，在菱形N5CD中，乙BAD=120。,AB=6,连接2。.

⑴求aD的长；

(2)点E为线段8。上一动点(不与点3,。重合)，点尸在边/。上，且BE=eDF,

①当CE_L/5时，求四边形4BE尸的面积；

②当四边形斯的面积取得最小值时，CE+GCF的值是否也最小？如果是，求CE+后CF的最小值；如

果不是，请说明理由.

③“将军饮马”问题

【例3】【变式3-1］（23-24九年级上-黑龙江大庆-期中）如图，以矩形0/8C的顶点。为原点，"所在的

直线为x轴，℃所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知°/=3,℃=2,点E是的中点，在。4

上取一点。，将△瓦M沿瓦）翻折，使点A落在8C边上的点尸处.

（1）直接写出点E、尸的坐标;

（2）连接E尸交8。于点G,求△BGE的面积.

⑶在x轴、V轴上是否分别存在点"、N,使得四边形芯的周长最小？如果存在，求出周长的最小值

和直线血W的函数解析式；如果不存在，请说明理由.

【变式3-21（天津西青-一模）如图①,将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3,0）,

点C的坐标是（0,2）,点。的坐标是（0,0）,点石是4B的中点，在CM上取一点。，将沿2。翻折,

使点A落在8c边上的点尸处.

（2）如图②，若点尸是线段N上的一个动点（点P不与点A重合），过点尸作7WLD8于点”，设O尸

的长为x,的面积为S,请求出S关于x的关系式；

（3）如图③，在x轴、V轴上是否分别存在点"、N,使得四边形MVFE的周长最小？若存在，请求出

四边形ACVFE周长的最小值及此时点M、N的坐标；若不存在，请说明理由

【变式3-3】（陕西宝鸡）问题提出

(1)在图1中作出点3关于直线/C的对称点皮

问题探究

(2)如图2,在“8C中，AB=AC=6,ZBAC=\20°,。为/C的中点，尸为线段8C上一点，求AP+DP

的最小值.

问题解决

(3)如图3,四边形48CD为小区绿化区，DA=DC,ZADC=90°,AB=6+6拒,BC=12,48=30。,

北是以。为圆心，D4为半径的圆弧.现在规划在就，边2c和边NC上分别取一点P,E,F,使得

DP+PE+EF+PF为这一区域小路，求小路长度的最小值.

图1图2图3

④“造桥选址”问题

【例4】(23-全国)有一条以互相平行的直线。，6为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄8,现在要在河上建

一座桥梁九W（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（）

【变式4-1】（湖北黄石）已知，在河的两岸有A,B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离

AB=10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸,

M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为（）

A.25B.1+375C.3+737D.V85

【变式4-2］（23-24全国）如图所示，某条护城河在CC'处角转弯，河宽相同，从A处到达B处，须经过两

座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使A到8的路

程最短，请确定两座桥的位置.

【变式4-3】已知，在河的两岸有8两个村庄，河宽为1千米，/、8两村庄的直线距离/8=10千米,

/、3两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥垂直于两岸，”点为靠近/

村庄的河岸上一点，求/M+5N的最小值.

题型二：面积平分问题

解题模板:

根据条件判献物斤属的面积平分模型

利用曙技巧构造面积平分线

分析几何栩正并根据赃关系列式计算

技巧精讲

1:利用中线平分图形面积的方法

类别问题情境图示作法

二

过△ABC的顶点力作一条直线，平

过点A作AABC的中线4a直线40即为所求直线

分三角形的面积

BIDC

三角形

A

过△48C的AC边上的点F作一条过点A作△ABC的中线AE,连接EF,^AD//EF,

直线，平分三角形的面积连接0F,直线DF即为所求直线

B/DEC

u连接4C,过点。作。E〃AC交BC的延长线于点

过四边形ABCD的顶点A作一条直

E,连接4E,过点4作aABE的中线4P,直线4P即

线，平分四边形的面积

BP\CE为所求直线

“不规则”

多边形连接PB,PC,过点A作AE//PB交BC的反向延长

过四边形ABCD的AD边上的点P线于点E,过点D作DF"PC交BC的延长线于点

作一条直线，平分四边形的面积F,连接PE,PF,过点P作APEF的中线PM,直线

EB町CF

PM即为所求直线

2.利用对称性平分图形面积的方法

类别问题情境图示作法

过正五边形ABCDE的顶点A作一过点A作正五边形的对称轴4F,直线AF即为所求

轴对称图形

条直线，平分正五边形的面积直线

CIFD

过口ABCD的AD边上的点E作一连接AC,BD,交点为0,连接E。并延长与BC交于

中心对称图形

条直线，平分043CZ）的面积土点3直线£尸即为所求直线

B/FC

AG

延长GF交BD于点C,连接4c,8G,交点为M；连

任意作一条直线，平分组合图形的E

组合图形接CE,DF,交点为N,连接MN,直线MN即为所求

面积严

BCD直线

【例5】（三角形或规则图形）（2023■■湖南益阳-中考真题）如图，在RQ/8C中，AACB=9Q°,AC>BC,

点D在边4c上，将线段绕点。按顺时针方向旋转90。得到DH,线段。H交48于点E,作

于点凡与线段4C交于点G,连接尸CG5.

（1）求证：△4DE附△4DG；

（2）求证：AF-GB=AG-FC；

（3）若/C=8,tan/=g,当4G平分四边形。C8E的面积时，求的长.

【变式5-1］（2023-江苏盐城-二模）（1）【问题探究】如图①，点2,C分别在/N上，4W=12米,

/N=20米，/3=2米，8c=2.6米，/C=1.2米.

①探究"BC与AAMN是否相似并说明理由；

②求MN的长.

(2)【问题解决】如图②，四边形/CBD规划为园林绿化区，对角线将整个四边形分成面积相等的两部

分，已知/2=60米，四边形的面积为2400平方米，为了更好地美化环境，政府计划在2C,/C边上

分别确定点£,F,在N3边上确定点尸，Q,使四边形瓦切。为矩形，在矩形£尸尸0内种植花卉，在四边形

NC5D剩余区域种植草坪，为了方便市民观赏，计划在尸。之间修一条小路，并使得尸。最短，根据设计要

求，求出厂。的最小值，并求出当尸。最小时，花卉种植区域的面积.

图①图②

【变式5-2](2023-陕西西安-二模)【问题探究】

⑴如图1,已知“BC,点。是4c的中点,连接4D,则S,ACD（填“>”“〈”或“=”）

（2）如图2,在梯形23C。中，AD//BC,请过点/作一条直线4P平分梯形230的面积，点P是4尸

与的交点，并说明理由；

【问题解决】

（3）如图3是某公园的一块空地，由和四边形8CDE组成，/B4E=/C=90。,BE//CD,

4

AB=AE=32^i,BC=BE,XanD=~,公园管理人员现准备过点N修一条笔直的小路4M（小路面积忽

略不计），将这块空地分成面积相等的两部分（点〃在CD边上），分别种植两种不同的花卉，请在图中确

定点”的位置，并计算小路的长.（结果保留根号）

【变式5-3］（2023-陕西西安-三模）问题提出:

(1)如图1,AD是“8C的中线，则有SA⑺0S枷B填“<”、""或"=

问题探究：

(2)如图2,点Af是矩形48co内一点，48=6,BC=3,点A与坐标原点。重合，AB、40分别位于X、

3

7轴正半轴，M(-,1),是否存在直线/经过点”且将矩形/BCD分成面积相等的两部分，若存在，请求

出直线/的解析式：如不存在，请说明理由.

问题解决:

(3)如图3,长方形0/8C是西安某学校在疫情期间为学生核酸检测围成的一个工作区域，顶点A,C在坐标

轴上，记。为坐标原点，顶点2(20,12),原有的一个出入口。在边OC上，且CD=4米.为使工作高效

有序，现计划在边N3,0A,上依次再设出入口E,G,H,沿DE,G"拉两道警戒线将工作区域分

成面积相等的四部分.请问，是否存在满足上述条件的点E,H,G,如存在，请求出点E的坐标及GH

的函数表达式，如不存在，请说明理由.

【典例6】(如图，长方形/BCD各顶点的坐标分别为Z。,2)、3(3,4)、C(4,3)、£>(2,1),长方形EFGH

各顶点的坐标分别为£（2,5）、尸（5,8）、G（7,6）、“（4,3）.平移长方形/3CZ）得到长方形/EC。，且点"

的坐标为（7,8）.

（1）画出长方形45'。。'.

（2）如果长方形/8CO沿HfG的方向平移，至/。与尸G重合停止，设平移过程中平移的距离为"，长方形

/BCD与长方形EFG"重叠的面积为S,请直接写出平移过程中S的最大值；此时d的取值范围为

（3）画出一条直线把原图长方形ABCD与长方形EFGH组成的复合图形分成面积相等的两部分.

【变式6-1】【问题提出】

（1）如图①，点。为。BC的边/C的中点，连接8。，若△48。的面积为3,则“BC的面积为

【问题探究】

（2）如图②，在平面直角坐标系中，点/在第一象限，连接作481x轴于点8,若AB=2OB,

。/=2右，过点3的直线/将分成面积相等的两部分，求直线/的函数表达式；

【问题解决】

（3）如图③，在平面直角坐标系中，四边形CM8C是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中。

为坐标原点，4（24,7）,B（28,4）,C（25,0）,为了方便驻区单位，计划过点。修一条笔直的道路4（路宽不

计），并且使直线4将四边形分成面积相等的两部分，记直线4与N8所在直线的交点为。，再过点/

修一条笔直的道路4（路宽不计），并且使直线4将△3。分成面积相等的两部分，你认为直线4和4是否

存在？若存在，请求出直线4和人的函数表达式；若不存在，请说明理由.

【变式6-2］如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴上、V轴上，CB〃OA,OA=10,若点3的

坐标为(加，")，且(加-6)2+y/n-6=0.

(1)求点A、B、C的坐标；

(2)若动点尸从原点。出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，设点P运动的时间为/秒，求f

为何值时，直线PC把四边形。/3C分成面积为3：5的两部分；

(3)在⑵的条件下，当直线PC把四边形0/2C分成面积相等的两部分时，在y轴上找一点。，连接尸。，使

三角形"0的面积与四边形OABC的面积相等，求点Q的坐标.

题型三面积最值问题

解题模板:

根据条件判断该题所属的面积最值求解类型

判断类型

利用面积最值求解方法构造相关辅助线

分析几何特征并根据数量关系列式计算

列式计算

【例7】（2023.山东潍坊-中考真题）工匠师傅准备从六边形的铁皮”BCD斯中，裁出一块矩形铁皮制作工

件，如图所示.经测量，AB//DE,与。E之间的距离为2米，北=3米，AF=BC=\^z,

N4=NB=90°,ZC=ZF=135°.MH,H3,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当Affl■的长度为多少时,

矩形铁皮"NG〃的面积最大，最大面积是多少？

【变式7-1］（2023-山东滨州-中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形CM8C的一边OC在x轴正半轴

上，顶点A的坐标为（2,26），点。是边0c上的动点，过点。作DE_L03交边0/于点E,作。P〃02交

边3c于点尸，连接EF.设。。=的面积为S.

(1)求s关于X的函数解析式；

(2)当x取何值时，S的值最大？请求出最大值.

【变式7-2](2023-辽宁阜新-中考真题)如图，在正方形/BCD中，线段绕点C逆时针旋转到C£处,

旋转角为点尸在直线DE上，且4尸，连接8尸.

ADAD

(1)如图1,当0。<。<90。时，

①求NA477的大小(用含二的式子表示).

②求证：EF=y/2BF.

(2)如图2,取线段E方的中点G,连接4G,已知48=2,请直接写出在线段CE旋转过程中

(00<c^<3600)△4DG面积的最大值.

【变式7-3](2023-湖北武汉-模拟预测)问题提出如图(1),在。中，AD1BC,CEJAB,连接DE,

DE

探九就•

问题探究

DF

(1)先将问题特殊化.如图(2),当40=8。时,求隼的值.

AC

DF

(2)再探究一般情形.如图(1),当=“2。时，求答的值;

ACx

问题拓展

如图（3）,在△/£＞（7中，ADLCD,ND=CD=2,尸是△/£）（?内一点，DP=\,CE交AD于F,当KDE

的面积最大时，求沁的值.

好题必刷•强化落实

一、解答题

1.在矩形48CD中，AB=2,4)=26，点E在边BC上，将射线/E绕点A逆时针旋转90。，交CD延长

线于点G,以线段NE,4G为邻边作矩形月EFG.

图1图2图3

求aSC的度数和咎的值;

(1)如图1,连接3。,

BE

(2)如图2,当点尸在射线8。上时，求线段BE的长;

(3)如图3,当E4=EC时，在平面内有一动点尸，满足尸E=E尸，连接尸区,PC,求P2+PC的最小值.

2.如图，在RtA/8C中，/C=8C=3及，点。在边上，连接CD,将。绕点C逆时针旋转90。得到

CE,连接BE,DE.

c

E

(1)求证：ACADACBE；

⑵若4D=2时，求CE的长；

(3)点。在4B上运动时，试探究ACP+BA?的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在,

请说明理由.

3.某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程:

;口

问题提出：如图，正方形N3CZ)中，AB=8,P为对角线/C上的一个动点,以尸为直角顶点，向右作等腰

直角4DPM.

(1)操作发现：的最小值为_______,最大值为_______;

(2)数学思考：求证：点”在射线8c上；

(3)拓展应用：当CP=CA/时，求CM的长.

4.如图，正方形/BCD是边长为4米的一块板材.

操作一：现需从中裁出一个等腰直角△。尸0模具，点P在边2C上，。在正方形/BCD的内部或边上.

(1)如图，若"PQ=90。，3尸=3米，是否能裁出符合条件的SP。？若能，确定。的位置；若不能，请

说明理由.

(2)如图，连接/C,在对角线/C上取点。，连接。。，过点。作交边8C于尸，连接。。，得到

△。尸。.请证明ADP。符合裁剪要求.

操作二：经探究，操作一的模具大小至多为正方形面积的一半，现修改模具形状为四边形，并按面积要求

进行裁剪.即在正方形N8CD中重新裁出的一个四边形模具，点尸、。分别在边BC、4B上.

(3)如图，若需裁出的四边形。尸8。面积为10平方米，请探究模具四边形。尸2。周长的最小值.

5.问题提出

(1)如图1,已知点C为线段8。上一动点，分别过点8,。作/8，区0,ED_L8。，连接/C,EC.若4B=4,

DE=2,BD=U,则/C+CE的最小值为二

问题解决

(2)如图2,某公园规划修建一块形如四边形48。的牡丹园，其中/O〃5C,乙4=90。,ZC=60°,

/0=300m,BC=CD,△5CD的内心。处修建一个圆形喷水池，公园的入口E是AD的中点，BE是一条

观赏小道，其余部分种植牡丹，现需要在工8边上取点尸，3E上找点修建道路ERFM,OM.为了

节省成本，需要使修建的道路最短，即跳'+尸M+的值最小，是否存在这样的点尸，M,使得

++的值最小？若存在，请求出其最小值；若不存在，请说明理由.

6.如图，在“8C中，是8c边上的中线，点£是4D的中点.过点/作月尸〃8c交BE的延长线于点

F,连接CF.

(1)求证："EFaDEB；

(2)若/A4c=90。，试判断四边形/OCF的形状，并证明你的结论；

⑶在(2)的情况下，如果/。=2,N4DC=90。，点M在/C线段上移动，当MB+MD有最小值时，求/〃

的长度.

7.如图1,已知。8C和均为等腰直角三角形，AC=BC,CD=CE,NACB=NDCE=90。，点、D

在线段/C上，点尸为48中点，点〃为BE中点，点N为4D中点.

⑴如图1,ZFMN=,和MN之间的数量关系是；

⑵如图2,ADCE绕点C顺时针旋转，点G为DE中点，求证：四边形FA/GN为正方形；

(3)如图3,若AB=4亚,CE=2,在将AOCE绕点C顺时针旋转360。过程中，直线3。，AE交于点、H,

直接写出面积的最小值.

8.综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动.

(1)操作判断

操作：如图1,点£是边长为12的正方形纸片43CD的边所在的射线上一动点，将正方形沿着CE折叠,

点。落在点尸处，把纸片展平，射线交射线AB于点尸.

判断：根据以上操作，图1中/尸与£尸的数量关系：.

(2)迁移探究

在(1)条件下，若点£是/。的中点，如图2,延长CF交于点。，点0的位置是否确定？如果确定,

求出线段8。的长度，如果不确定，说明理由；

(3)拓展应用

在(1)条件下，如图3,CE,DF交于点、G,取CG的中点"连接8〃，求8H的最小值.

9.问题背景

(1)如图1,四边形/BCD中，AC,BD交于点E,其中A/BESAQCE,求证：A4DEs^BCE.

(2)尝试应用：如图2,“8C中，AC=BC,//C2=90。，点。是血的中点，点E,尸是上两点，AE

3EF

交。少于点G,若NEG尸=45°,tana=-,求——的值.

5BE

(3)迁移拓展：如图3,03c中，BC=M，N8/C=45。，点。是/C上一点，AB=®CD，直接写出线

段长度的最小值.

10.已知抛物线G：y=ax1-2ax+a+\[a^Q),且过点14,-：

（1）求抛物线G的函数表达式及其顶点坐标/；

⑵若抛物线G上两点〃■&,/）,N（%,%）满足：对于+七23时，均有必2%成立，求出f的取

值范围；

⑶直线/：>=Gx+l经过8（