一元二次方程根的判别式（教学课件）华东师大版数学九年级上册

22.2.4一元二次方程根的判别式学习目标1.理解一元二次方程根的判别式的作用（难点）2.会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根及两个根是否相等（重点）3.能灵活运用一元二次方程根的判别式进行相关的计算与证明（难点）新课导入上一节课，我们学习了用公式法来求解一元二次方程的根，在求解一元二次方程根的过程中，我们一直强调的一个条件是b2-4ac≥0,思考一下为什么要这么要求？仅仅只是为了根号有意义才这么定义的吗？还有没有什么其他的含义呢?这节课我们一起来学习一下，为什么要有大于等于0这个条件.新课学习回忆一下：我们用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到（*）只有当b2-4ac≥0时，才能直接开平方，得如果b2-4ac<0,会怎么样？新课学习也就是说，只有当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的系数a、b、c满足b2-4ac≥0时才有实数根.因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况.分析：观察方程（*），我们发现有如下三种情况：（1）当b2-4ac>0时，方程（*）的右边是一个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根：新课学习（2）当b2-4ac=0时，方程（*）的右边是0，因此方程有两个相等的实数根：（3）当b2-4ac<0时，方程（*）的右边是一个负数，而对于任何实数x，方程左边，因此方程没有实数根.新课学习一元二次方程根的判别这里的b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根.新课学习

例1：不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）3x2=5x-2；

（2）4x2-2x+=0；（3）4(y+1)2-y=0.原方程可变形为3x2-5x+2=0.因为Δ=(-5)2-4×3×2=25-24=1>0，所以方程有两个不相等的实数根.（1）3x2=5x-2新课学习

例1：不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）3x2=5x-2；

（2）4x2-2x+=0；（3）4(y+1)2-y=0.因为Δ=(-2)2-4×4×=4-4=0，所以方程有两个相等的实数根.原方程可变形为4y2+7y+4=0.因为Δ=(7)2-4×4×4=49-64=-15<0，所以方程没有实数根.（2）4x2-2x+=0（3）4(y+1)2-y=0.新课学习一元二次方程的根的情况的判断的步骤1.变形:化已知方程为一般形式;2.定系:用a,b,c写出各项系数;3.计算:确定b2-4ac的符号;4.判断：b2-4ac>0两个不相等的实数根;

b2-4ac=0两个相等的实数根;

b2-4ac<0没有实数根.新课学习练一练：小明告诉同学，他发现了判断一类方程有无实数根的简易方法：若一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)

的系数a、c异号(即两数为一正一负)，那么这个方程一定有两个不相等的实数根，他的说法是否正确？为什么？他的说法正确∵a、c异号，∴

ac＜0∴

－4ac＞0又∵

b²

≥

0，∴b²－4ac＞0∴当系数a、c异号时，方程ax²+bx+c=0(a≠0)一定有两个不相等的实数根.新课学习试一试：已知关于x的方程2x²－(3＋4k)x+2k²+k=0(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？Δ=[-(3＋4k)]²－4×2×(2k²+k)=16k²＋24k＋9－16k－8k=16k＋9∵方程有两个不相等的实数根，∴16k+9>0，解得k>新课学习试一试：已知关于x的方程2x²－(3＋4k)x+2k²+k=0（2）当k取何值时，方程有两个相等的实数根？∵方程有两个相等的实数根，∴16k+9=0，解得k=（3）当k取何值时，方程没有实数根？∵方程没有实数根，∴16k+9<0，解得k<.课堂巩固D课堂巩