课时2复数乘除运算的三角表示及其几何意义课件-高一下学期数学人教A版

7.3课时2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义1.掌握复数三角形式的乘、除运算.2.理解复数三角形式乘除运算的几何意义.问题1

我们知道，复数可以进行加、减、乘、除运算，复数代数形式加法和乘法运算的法则分别是什么？

=(ac－bd)

+

(bc+ad)

i

类似多项式展开把i2换成－1，合并实部与虚部分子分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母“实数化”分子，分母运用乘法进行化简化为复数的代数形式(a+bi)

(c+di)=ac+bci+adi+bdi2(a,b,c,d∈R,c-di≠0)

1.复数的几何意义复数z＝a＋bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b)

一

一对

应一一对应一一对应平面向量abz=a＋birθ

r(cosθ

+isinθ)

2.复数的三角表示式一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成

r(cosθ

+isinθ)的形式．r是复数z的模；θ

是复数z＝a＋bi的辐角；辐角模结构特征：模非负，角相同，余在前，加号连在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作argz．

问题2如果把复数z1，z2分别写成三角形式

你能计算

并将结果表示成三角形式吗？解：

这就是说，两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,

积的辐角等于各复数的辐角的和.即1.复数乘法运算的三角表示模相乘，辐角相加问题3

我们知道复数的加、减运算具有几何意义，那么复数乘法有没有几何意义呢？由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？两个复数z1，z2相乘时，如图，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2<0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变为原来的r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积z1z2．这是复数乘法的几何意义．旋转运算2.复数乘法运算的几何意义旋转运算问题4

你能解释i2和(－1)2=1的几何意义吗？

(-1)2=1可以写为(-1)·(cosπ+isinπ)=1,其几何意义是“将-1对应的向量绕O按逆时针方向旋转π，得到1对应的向量”.

例3

已知，

，求

z1z2，请把结果化为代数形式，并做出几何解释.解：例4

如图，向量OZ

对应的复数为1+i，把向量OZ绕点O按逆时针方向旋转120°，得到OZ′，求向量OZ′对应的复数（代数形式表示）．

例5

计算：棣莫佛定理：dì解：

ω0=cos0+sin0=1

问题5

复数除法运算是乘法运算的逆运算.根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗？

这就是说，两个复数相除,商的模等于被除数模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.2.复数除法运算：①三角表示模相除，辐角相减追问

你还有其他的推导方法吗？问题6

类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？复数除法运算的几何意义：旋转运算

解：练一练例5

计算

并把结果化为代数形式．

1.计算:2.计算:1.①复数乘法运算的三角表示：2.①复数除法运算的三角表示：模相除，辐角相减②复数除法运算的几何意义②复数乘法运算的几何意义