解题秘籍03 几何背景下的线段最值问题（6种题型汇-总+专项训练+真题训练）（解析版）-2025年中考数学重难点突破

解题秘籍03几何背景下的线段最值问题（6种题型汇总+专项训练+真题训练）【题型汇总】【考情分析】线段最值问题在中考中常常以选择题和填空题的形式出现，分值较小但难度较高.此类题型多综合考查将军饮马、费马点、胡不归等问题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、勾股定理和二次函数等相关知识，以及数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想.题型01垂线段最短图形条件如图，点P为直线m1上一动点，点Q为直线m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值.如图，点P为直线m1上一动点，点Q为直线m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值.10．（2024·四川凉山·中考真题）如图，⊙M的圆心为M4，0，半径为2，P是直线y=x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则【答案】2【分析】记直线y=x+4与x，y轴分别交于点A，K，连接QM，PM，KM；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得△OAK，△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQ=PM2-QM2，由QM=2，则当PM最小时，【详解】解：记直线y=x+4与x，y轴分别交于点A，K，连接QM，PM当x=0，y=4，当y=0，即x+4=0，解得：x=-4，即K(0,4)，而M4,0∴OA=OK=OM=4，∴△OAK，∴∠AKO=∠MKO=45°，∴∠AKM=90°，∵QP与⊙M相切，∴∠PQM=90°，∴PQ=P∵QM=2，∴当PQ最小时即PM最小，∴当PM⊥AK时，取得最小值，即点P与点K重合，此时PM最小值为KM，在Rt△OKM中，由勾股定理得：KM=∴PQ=32-4∴PQ最小值为27【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键．11．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是对角线BD上的一个动点，CF=BF，则MA+MF的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．2【答案】C【分析】连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函数即可求解．【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵CF=BF∴F是BC的中点，∴AF⊥BC．则AF＝AB•sin60°＝2×3即MA+MF的最小值是3．故选：C【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形以及三角函数，确定AF的长就是MA+MF的最小值是关键．题型02将军饮马问题图形条件如图，点M，N分别为m1，m2上的动点，点P为定点，求PM+PN+MN的最小值.结论做点P关于m1，m2的对称点P',P''，那么当P'，M，N，P''四点共线时，PM+PN+MN取得最小值，最小值为的距离.图形条件如图，A，B为定点，M，N分别为m，n上的动点，MN⊥n，m∥n，且MN为定值，求AM+MN+NB的最小值.如图，A，B为定点，M，N分别为m上的动点，且MN为定值，求AM+MN+NB最小值.结论如图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A'，连接A'B，交n于点N，过点N作MN⊥m，垂足为点M，点M和点N即为所求，当A'，N，B三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B+MN.如图，将点A向右平移MN个单位长度得点A'，作B关于直线m的对称点B’，连接A'B'，交直线m于点N，将点N向左平移MN个单位长度得点M，点M和点N即为所求，当A'，N，B'三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B'+MN.3．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A3,0，B0,2，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的最小值为【答案】5【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线l的对称点A'，连A'O交直线l于点C，连AC，得到AC=A'C，A'A⊥l，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当【详解】解：取点A关于直线l的对称点A'，连A'O交直线l于点C则可知AC=A'C∴PO+PA=PO+PA即当O,P,A'三点共线时，PO+PA的最小值为∵直线l垂直于y轴，∴A'∵A3,0，B∴AO=3,AA∴在Rt△A'故答案为：54．（2023·山东菏泽·二模）如图，直线y1=kx+2与反比例函数y2=3x的图象交于点

(1)若y1>y(2)动点Pn,0在x轴上运动．当n为何值时，PA-PC【答案】(1)x>1(2)当n为-2时，|PA-PC|的值最大，最大值为2【分析】（1）由点A的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点A的坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，即可得出当y1>y（2）由点A的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的函数解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B、C的坐标，再根据三角形的三边关系即可确定当点P与点B重合时，|PA-PC|的值最大，利用两点间的距离公式即可求出此最大值．【详解】（1）解：当y2=3∴点A的坐标为(1,3)，观察函数图象，可知：当x>1时，直线在双曲线上方，∴若y1>y2>0（2）解：将A(1,3)代入y13=k+2，解得：k=1，∴直线AB的解析式为y1当x=0时，y1∴点C的坐标为(0,2)，∴AC=(0-1)当y1=x+2=0时，∴点B的坐标为(-2,0)．当点P与点B重合时，|PA-PC|的值最大，此时n=-2，|PA-PC|=AC=2∴当n为-2时，|PA-PC|的值最大，最大值为2．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的三边关系，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标；（2）利用三角形的三边关系确定点P的位置．5．（2023·陕西咸阳·一模）【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离AC=2，点B到直线l的距离BD=4，A、B两点的水平距离CD=8，点P是直线l上的一个动点，则AP+BP的最小值是________；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1，求GE+CF的最小值；【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形ABCD的空地，管理人员规划修两条小路AC和BD（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在AD和BC上分别选取点M、N，沿PM、PN和MN修建地下水管，为了节约成本，要使得线段PM、PN与MN之和最小．已测出∠ACB=45°，∠ADB=60°，∠CPD=75°，PD=40m，PC=502m

【答案】（1）10；（2）32；（3）能实现，最小值为20【分析】（1）作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'交直线l于P，则AP+BP的值最小，且AP+BP的最小值=A'（2）如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，连接EH，G'E，G'H，则G'E=GE，根据平行四边形的性质得到（3）作点P关于AD、BC的对称点E、F，连接PE，PF分别交AD、BC于点O、H，则PE⊥AD，PF⊥BC，连接EF，与AD、BC的交点即为点M、N的位置，连接PM，PN，此时PM=EM，PN=FN，EF的长就是PM+PN+MN的最小值，过点E作EG⊥PF交FP的延长线于点G，根据勾股定理即可得到结论．【详解】.解：（1）如图，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'交直线l于P，则AP+BP的值最小，且AP+BP的最小值=A'B，过A'作A

∴BE=2+4=6，∴A即AP+BP的最小值是10；（2）如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1连接EH，G'E，G'

∵CH=EF=1，CH∥EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴GE+CF=G∵AB=4，BC=AD=2，G为AD的中点，∴DG'=AD+A由勾股定理得G'∴GE+CF≥32，即GE+CF的最小值为：3（3）管理人员的想法能实现，作点P关于AD、BC的对称点E、F，连接PE，PF分别交AD、BC于点O、H，AP⊥AD，PF⊥BC，连接EF，与AD、BC的交点即为点M、N的位置，连接PM，PN，此时PM=EM，PN=FN，EF的长就是PM+PN+MN的最小值，过点E作EG⊥PF交FP的延长线于点G，

∵∠ACB=45°，∠ADB=60°，PE⊥AD，PF⊥BC，∴∠CPH=45°，∠DPO=30°，∵PC=502m，∴PH=PC⋅sin∠BCP=50m∴OP=P∴PE=2OP=403m，∵∠CPH=45°，∠CPD=75°，∠DPO=30°，∴∠EPG=180°-∠CPH-∠CPD-∠DPO=30°，∵EG⊥PG，∴GE=1∴PG=P∴GF=PG+PF=160m在Rt△GEF中，EF=∴PM+PN+MN的最小值为2067【点睛】本题是四边形的综合题，考查了轴对称-最短路线问题及矩形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4a≠0经过点-1,6，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（(1)求抛物线的表达式；(2)点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交AC于点D．点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，点F为线段BC的中点，连接AM，NF．当线段PD长度取得最大值时，求(3)将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD长度取得最大值时的点D，且与直线AC相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QDK=∠ACB时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标．【答案】(1)y=-x(2)AM+MN+NF的最小值为412(3)符合条件的点Q的坐标为-1,-2或-19【分析】（1）利用正切函数求得OB=1，得到B1,0（2）求得A-4,0，利用待定系数法求得直线AC的解析式，设Pp,-p2-3p+4，求得PD最大，点P-2,6，再证明四边形AMNE是平行四边形，得到AM=EN，推出当（3）求得D-2,2，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式y【详解】（1）解：令x=0，则y=4，∴C0,4∴OC=4，∵tan∠CBA=4∴OCOB∴OB=1，∴B1,0将B1,0和-1,6代入y=ax2解得a=-1b=-3∴抛物线的表达式为y=-x（2）解：令y=0，则0=-x解得x=-4或x=1，∴A-4,0设直线AC的解析式为y=mx+4，代入A-4,0，得0=-4m+4解得m=1，∴直线AC的解析式为y=x+4，设Pp,-p2-3p+4（∴PD=-p∵-1<0，∴当p=-2时，PD最大，此时P-2,6∴AE=2，MN=OE=2，E-2,0∴AE=MN，AE∥连接EN，∴四边形AMNE是平行四边形，∴AM=EN，∴AM+MN+NF=EN+MN+NF≥MN+EF，∴当E、N、F共线时，∵点F为线段BC的中点，∴F1∴EF=-2-∴AM+MN+NF的最小值为412（3）解：由（2）得点D的横坐标为-2，代入y=x+4，得y=2，∴D-2,2∴新抛物线由y=-x2-3x+4向左平移2∴y'过点D作DQ1∥BC交抛物线∴∠Q同理求得直线BC的解析式为y=-4x+4，∵DQ∴直线DQ1的解析式为联立得-4x-6=-x解得x1=-1，当x=-1时，y=-2，∴Q1作DQ1关于直线AC的对称线得DQ2交抛物线∴∠Q设DQ1交x轴于点由旋转的性质得到DG=DG过点D作DR∥x轴，作DH⊥x轴于点H，作G'当y=0时，0=-4x-6，解得x=-3∴G∵A-4,0，C∴OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵DR∥∴∠RDA=∠DAH=∠ADH=45°，∴∠G∵∠G'∴△GD∴G'H'∴G'同理直线DQ2的解析式为联立-x解得x=-2或x=-19当x=-194时，∴Q2综上，符合条件的点Q的坐标为-1,-2或-19【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键．7．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3a≠0与x轴交于A-1,0，B3,0两点，与(1)求抛物线的解析式；(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使PA-PD有最大值？若存在，求出PA-PD的最大值；若不存在，请说明理由；(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N．若tan∠MCN=23【答案】(1)y=-(2)PA-PD存在最大值；最大值为10(3)点M的坐标为-1,0或12,154【分析】（1）把A-1,0，B3,0代入抛物线求出a、（2）先求出点C的坐标为0,3，连接PC、PD、PA，根据轴对称的性质得出PC=PD，PA-PC=PA-PD，得出当PA-PC最大时，PA-PD最大，根据当点A、C、P三点在同一直线上时，PA-PC最大，即当点P在点P'时，PA-PD（3）过点M作ED∥y轴，过点C作CD⊥DE于点D，过点N作NE⊥DE于点E，设点M的坐标为：m,-m2+2m+3，得出DM=-m2+2m+3-3=-m2+2m，NE=m-1，证明△CDM∽△MEN【详解】（1）解：把A-1,0，B3,0代入a-b+3=09a+3b+3=0解得：a=-1b=2∴抛物线的解析式为：y=-x（2）解：PA-PD存在最大值；把x=0代入y=-x2+2x+3∴点C的坐标为0,3，∵y=-x∴抛物线的对称轴为直线x=1，连接PC、PD、PA，如图所示：∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上，∴PC=PD，∴PA-PC=PA-PD，∴当PA-PC最大时，PA-PD最大，∴当点A、C、P三点在同一直线上时，PA-PC最大，即当点P在点P'时，PA-PD∴PA-PD最大值为：AC=1（3）解：过点M作ED∥y轴，过点C作CD⊥DE于点D，过点N作NE⊥DE于点∵CM⊥MN，∴∠CMN=90°，∴tan∠MCN=设点M的坐标为：m,-m∴DM=-m2∵∠CMN=∠NEM=∠CDM=90°，∴∠DCM+∠CMD=∠CMD+∠NME=90°，∴∠DCM=∠NME，∴△CDM∽△MEN，∴NEDM∴m-1-∴2-当m≤0时，-m2+2m≤02m解得：m1=-1，此时点M坐标为：-1,0；当0<m≤1时，-m2+2m>0-2m解得：m1=3此时点M坐标为：12当1<m≤2时，-m2+2m≥0-2m解得：m1=3此时点M坐标为：32当m>2时，-m2+2m<02m解得：m1=3，此时点M坐标为：3,0；综上分析可知：点M坐标为：-1,0或12,154或【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论．题型03胡不归问题【模型详解】条件：已知A，B为定点，其中点A在定直线m上，点P在直线m上一动点，求k•PA+PB（k＜1）的最小值.图示：解题步骤：作射线AM使sin∠PAM=k（k＜1），且点M与点B位于直线m的两侧.2）过点P作PC⊥AM于点C，则PC=k•PA，此时k•PA+PB=PC+BP.3）过点B作BD⊥AM于点D，该垂线段长即为所求最小值，计算垂线段的解题大招：即当B，P，C三点共线时，k•PA+PB取最小值，最小值为BD的长度.模型总结：在求形如“k•PA+PB”的式子的最值问题中，关键是构造与k•PA相等的线段，将“k•PA+PB”型问题转化为“PC+PB”型.而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到k•PA的等线段注意：若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可.【模型拓展】对形如a•PA+b•PB(a>b)的式子，可以先将式子变形为，再求出的最小值，此时只需要构造,作垂线即可求出最小值.8．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CP+12BP

【答案】6【分析】过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，连接AO，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到OA=OB=4，CF⊥AB，然后利用含30°角直角三角形的性质得到OE=12OA=2，进而求出BE=BO+EO=6【详解】如图所示，过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，连接AO

∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC∴∠ABE=∠CBE=∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4∴OA=OB=4，CF⊥AB，∴∠OBA=∠OAB=30°∴∠OAE=∠OAB=∵BE⊥AC∴OE=∴BE=BO+EO=6∵PD⊥AB，∠ABE=30°∴PD=∴CP+∴CP+12BP∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，CF⊥AB∴CF=BE=6∴CP+12BP故答案为：6．【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．9．（22-23九年级上·广东茂名·期末）如图，AB=AC，A0，15，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A-D-C，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为【答案】0,【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．运动时间t=AD4+CD1=AD4+CD，由△AHD∽△AOB【详解】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D'∵运动时间t=AD∵AB=AC，AO⊥BC，∴BO=OC=1，∵A(0,15)，C（1，0），AB=AC，∴AB=AC=O∵∠DAH=∠BAO，∠DHA=∠AOB=90°，∴△AHD∽△AOB，∴ADAB∴DH=1∴14∴当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短，∴1∴CM=15∴AM=A∵AD'=4MD'则有：16∴m=71530∴A∴D0,故答案为0,15【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．10．（2024·四川德阳·二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(1，0)，C(-3，0)两点，与y轴交于点B(0，A．2 B．2 C．22 D．4【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在于把求22BP+AP最小值转化为求PG+AP的最小值；连接BC，AP，过点P作PG⊥BC于点G，连接AG，过点A作AH⊥BC于点H；由B、C的坐标得OB=OC，则有∠OBC=45°，从而PG=2【详解】解：连接BC，AP，过点P作PG⊥BC于点G，连接AG，过点A作AH⊥BC于点∵C(-3，0)∴OC=OB，∴∠OBC=45°，∴PG=2∴22∴22BP+AP∵A(1，0)∴AC=1-(-3)=4，在Rt△ACH∵∠ACH=45°，∴AH=2∴22BP+AP故选：C．11．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为．【答案】42【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝212PA+PB＝12PF+PB＝2【详解】解：如图，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝12∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝12∴PA+2PB＝212PA+PB＝12PF+PB在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB•sin45°＝4×2∴（PA+2PB）最大＝2BF＝42故答案为：42【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线．题型04费马点费马点概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点.结论：1）对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；2)对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点.（注意：通常涉及费马点的试题中三角形的最大顶角小于120°）【解题思路】运用旋转的方法，以∆ABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短，得出最短长度.【进阶】加权费马点模型概述：前面学的PA+PB+PC最小值的费马点问题线段前面系数都是l，如果现在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系数不是1，那么此类题目就叫做“加权费马点”.【模型拓展】类型一单系数类当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，1）一种是旋转特殊角度：对应旋转90°，对应旋转120°求AD+CD+BD的最小值求AD+CD+BD的最小值旋转角度是90°旋转角度是120°2）另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比类型二多系数类其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？我们总结了以下方法：1.将最小系数提到括号外；2.中间大小的系数确定放缩比例；3.最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不为1的两条线段所在的三角形。12．（2024·陕西榆林·二模）如图，在▱ABCD中，AD=6，连接AC，AB=AC=5，以点C为圆心，15CD长为半径画弧，弧分别交BC、AC、CD于点M、H、N，点P是HN上方△ACD内一动点，点Q是HN上一动点，连接AP、DP、PQ，则AP+DP+PQ的最小值为【答案】33+3【分析】如图，把△APD绕D顺时针旋转60°得到△A'P'D，连接PP'，AA'，证明△DPP'为等边三角形，△AA'D为等边三角形，可得PD=PP【详解】解：如图，把△APD绕D顺时针旋转60°得到△A'P'D∴AP=A'P'，∴△DPP'为等边三角形，∴PD=PP'，当C，Q，P，P'，AAP+DP+PQ=PQ+PP∵▱ABCD，AB=AC=5∴AB=CD=AC=5，而A'A=A∴A'C⊥AD，AK=DK=3，∴A'K=6∵CQ=CN=1∴A'∴AP+DP+PQ的最小值为33故答案为：3【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，旋转的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键．13．（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题材料一：数形结合是一种重要的数学思想如a2+b2可看做是图一中AB的长，a+12材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在△ABC中有一点P使得PA+PB+PC的值最小．著名法学家费马给出的证明方法如下：将△ABP绕B点向外旋转60°得到△A1B1C1，并连接PP1易得△PP1B请结合以上两材料求出x2

【答案】19【分析】本题考查坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，将原式转化为x2+y2+1-x2+y2+x2+23-y2，构造直角三角形ABC，∠ACB=90°，AC=23,BC=1，以C为坐标原点构造直角坐标系，设P为x,y，进而得到PC=x【详解】解：原式=x可看做下图中的PA+PB+PC，其中P为x,y则PC=x2+y将△APC绕点C点逆时针旋转60°得到△A1∵∠PCP1=∠ACA1=60°，∠ACD=90∴∠A1CD=30°∴A1D=12又∵BC=1∴DC=4∴A∵PA+PB+PC=AP∴PA+PB+PC=AP∴PA+PB+PC的最小值为19；∴x2+

14．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'为由②可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为④点．(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为△ABC的“费马点

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/km，a元/km，2a元/【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③120°；④A．(2)5(3)2【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；（2）根据（1）的方法将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，即可得出可知当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为A'（3）由总的铺设成本=a(PA+PB+2PC)，通过将△APC绕，点C顺时针旋转90°得到△A'P'C，得到等腰直角△PP'C，得到2PC=PP'，即可得出当B，P【详解】（1）解：∵PC=P∴△PCP∴PP'=PC又P'A'由两点之间线段最短可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC最小值为A'B，此时的P点为该三角形的“费马点∴∠BPC+∠P'PC=180°∴∠BPC=120°，∠A又∵△APC≅△A∴∠APC=∠AP∴∠APB=360°-∠APC-∠BPC=120°，∴∠APC=∠BPC=∠APB=120°；∵∠BAC≥120°，∴BC>AC，BC>AB，∴BC+AB>AC+AB，BC+AC>AB+AC，∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．又∵已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．∴该三角形的“费马点”为点A，故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120°；④A．（2）将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P由（1）可知当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为A

∵∠ACP=∠A∴∠ACP+∠BCP=∠A又∵∠PC∴∠BCA由旋转性质可知：AC=A∴A'∴PA+PB+PC最小值为5，（3）∵总的铺设成本=PA·a+PB·a+PC·∴当PA+PB+2将△APC绕，点C顺时针旋转90°得到△A'P'由旋转性质可知：P'C=PC，∠PCP'=∠AC∴PP∴PA+PB+2当B，P，P'，A在同一条直线上时，P'A'+PB+P

过点A'作A'H⊥BC∵∠ACB=60°，∠ACA∴∠A∴A'∴HC=A∴BH=BC+CH=23∴APA+PB+2PC总的铺设成本=PA·a+PB·a+PC·2故答案为：2【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键．15．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点P是正方形内部一点，求PA+2PB+5【答案】4【分析】延长DC到H，使得CH=2BC=8，则BH=45，在∠CBH的内部作射线BJ，使得∠PBJ=∠CBH，使得BJ=5BP，连接PJ，JH，AH．先证明△JBP∽△HBC，可得PJ=2PB，再证明△PBC∽△JBH，可得：HJ=5PC【详解】解：延长DC到H，使得CH=2BC=8，则BH=45，在∠CBH的内部作射线BJ，使得∠PBJ=∠CBH，使得BJ=5BP，连接PJ，JH∵∠PBJ=∠CBH，BPBJ=∴PBBC∴△JBP∽△HBC，∴∠BPJ=∠BCH=90°，∴PJ=B∵∠PBC=∠JBH，PBBJ∴△PBC∽△JBH，∴PCJH∴HJ=∴PA+2PB+5∵PA+PJ+JH≥AH，∴PA+2PB+5∴PA+2PB+5PC的值最小，最小值为【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正方形的性质，，正确理解费马点问题，利用相似构造2PB与5PC16．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=30°，BC=4，在△ABC内有一点O，连接OA，OB，OC，若2OA+OB+5OC的最小值为45，则AC

【答案】17【分析】本题考查了图形的变换，勾股定理，最短路径的计算方法，掌握图象旋转的性质，勾股定理，最短路径的计算方法是解题的关键．根据题意，将△AOC绕点C逆时针旋转90°并放大2倍，得△CA'O'，连接OO'，根据边的关系可得2OA=O'A'，5OC=O【详解】解：如图所示，将△AOC绕点C逆时针旋转90°并放大2倍，得△CA'O

∴A'O'=2AO，∴在Rt△OCO'∴2OA+OB+5根据两点之间线段最短，∴在△A'OB∵2OA+BO+5OC的最小值为45∴A'在Rt△ACA'中，∴AA∵∠ACA∴∠A延长A'C，作点B作BE⊥A∴∠BCE=60°，且BC=4，在Rt△BCE中，∠CBE=30°∴CE=12BC=2∴A'∴在Rt△A'∴45解得，AC=17故答案为：17-1．题型05阿氏圆问题使用场景已知两个定点A，B，动点P在定圆上，求PA+kPB的最小值类型点A，B均在圆外，r=kOB(k<1)点A，B均在圆内，r=kOB(k>1)图示解题策略第一步:在OB上取点D，使得OD=kr；第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，则PD=kPB,此时PA+kPB=PA+PD;第三步:连接AD，则AD的长即为PA+kPB的最小值.第一步:在OB的延长线上取点D，使得OD=kr;第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，则PD=kPB.此时PA+kPB=PA+PD;第三步:连接AD，则AD的长即为PA+kPB的最小值大招结论AD的长即为PA+kPB的最小值【模型总结】对于阿氏圆而言：当系数k＜1的时候，一般情况下，考虑向内构造.当系数k＞1的时候，一般情况下，考虑向外构造.【注意事项】针对求PA+kPB的最小值问题时，当轨迹为直线时，运用“胡不归模型”求解；当轨迹为圆形时，运用“阿氏圆模型”求解.17．（2024·山东泰安·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=22，AC=9，以C为圆心，3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则1A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键．在CA上截取CM，使得CM=1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MP=13PA，可得1【详解】解：如图，在CA上截取CM，使得CM=1，连接PM，PC，BM．∵PC=3，CM=1，CA=9，∴PC∴PCCA∵∠PCM=∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴PMPA∴MP=1∴13∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∠BCM=90°，CM=1，CB=22∴BM=C∴13∴13AP+BP的最小值为故选：C．18．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=6，E为AD边上一动点，将△ABE沿BE翻折到△FBE的位置，点A与点F重合，连接DF，CF，则DF+1A．92 B．132 C．4 D【答案】D【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关键．在BC上取点G，使BG=32，连接FG，DG，证明△FBG∽△CBF，可得出FG=12CF，则DF+12FC=DF+GF≥DG，当D、F、【详解】解：如图，在BC上取点G，使BG=32，连接FG，∵△ABE沿BE边翻折到△FBE，∴BF=AB=3，又∵BC=6，∴BGBF=1∴BGBF又∠FBG=∠CBF，∴△FBG∽△CBF，∴GFCF∴FG=1∴DF+1当D、F、G三点共线时，DF+1在Rt△CDG中，CD=AB=3CG=BC-BG=4.5，∠BCD=90°，∴DG=C即DF+12FC故选：D．19．（2020·广西·中考真题）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的EF上任意一点，连接BP，CP，则12BP+CP的最小值是【答案】17．【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明△PAT∽△BAP，推出PTPB＝APAB＝12，推出PT＝12PB，推出12PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT【详解】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝4=AT•AB，∴PAAT＝AB∵∠PAT＝∠PAB，∴△PAT∽△BAP，∴PTPB＝APAB＝∴PT＝12PB∴12PB+CP＝CP+PT∵PC+PT≥TC，在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT＝AT2+A∴12PB+PC≥17∴12PB+PC的最小值为17故答案为17．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．20．（2020·江苏常州·一模）如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，点C在OA上，且OC=2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为．【答案】4【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．延长OB到T，使得BT=OB，连接MT，CT．利用相似三角形的性质证明MT=2DM，求CM+2DM的最小值问题转化为求CM+MT的最小值．利用两点之间线段最短得到CM+MT≥CT，利用勾股定理求出CT即可解题．【详解】解：延长OB到T，使得BT=OB，连接MT，CT．∵OA=6，∴OM=OB=6，∵点D是OB的中点，∴OD=DB=3，OT=12，∴OM∴OMOD∵∠MOD=∠TOM，∴△MOD∽∴DMMT∴MT=2DM，∵CM+2DM=CM+MT≥CT，∵OC=2AC，∴OC=4，又∵在Rt△OCT中，∠COT=90°，OT=12∴CT=O∴CM+2DM≥410∴CM+2DM的最小值为410故答案为：41021．（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C的半径为2，(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使CD＝1，则CDCP=CPCB=12．又∠PCD＝∠BCP，所以△PCD∽△BCP(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求13(3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝【答案】(1)37(2)2(3)13【分析】（1）利用勾股定理即可求得本题答案；（2）连接CP，在CA上取点D，使CD=23，则有CDCP=CPCA=13，可证△PCD∽△ACP（3）延长OA到点E，使CE=6，连接PE,OP，可证△OAP∽△OPE，得到EP=2PA，得到2PA+PB=EP+PB，当E,P,B三点共线时，得到最小值．【详解】（1）解：如图连接AD，∵AP+12BP=AP+PD∴当AP+AD最小，当点A,P,D在同一条直线时，AP+AD最小，∴AP+12BP在Rt△ACD中，CD＝1，∴AD=A∴AP+12BP故答案为：37；（2）解：如图连接CP，在CA上取点D，使CD=2∴CDCP∵∠PCD=∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴PD=1∴13∴13AP+BP的最小值为故答案为：237（3）解：如图延长OA到点E，使CE=6，∴OE=OC+CE=12，连接PE,OP，∵OA=3，OB＝∴OAOP∵∠AOP=∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴APEP∴EP=2PA，∴2PA+PB=EP+PB，∴当E,P,B三点共线时，取得最小值：BE=O故答案为：13．【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形判定及性质，最值得确定．22．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC=6，BD=1，P在以B为圆心3为半径的圆上，则AP+6PD的最小值为．【答案】3【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，圆的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．在AB上取点E，连接PE，使BE=32，证△PBE∽△ABP，得PE=12PA，在BD延长线上取BF=9，连接EF,PF，证△PBD∽△FBP，得PF=3PD，即PA+6PD=2【详解】解：在AB上取点E，连接PE，使BE=3∵AB=2BC=6，∴BPAB∵∠PBE=∠ABP，∴△PBE∽△ABP，∴PEPA∴PE=1在BD延长线上取BF=9，连接EF,PF．∵BD=1，则BFPB又∵∠PBD=∠FBP，∴△PBD∽△FBP，∴PFPD∴PF=3PD，∴PA+6PD=21∴当P为EF和圆的交点时PE+PF最小，即PA+6PD最小，且值为2EF，∵EF=B∴PA+6PD的最小值为2EF=337故答案为：33723．（2023·陕西咸阳·三模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OD、OC上的两个动点，且EF=4，P是EF的中点，连接OP、PC、

【答案】1452/【分析】在OD上取一点G，使得OG=12,连接PG、CG．根据菱形的性质可知OC=6,OD=8，则OGOP=OPOD=14，结合∠GOP=∠POD，可得【详解】解：如图，在OD上取一点G，使得OG=12，连接

∵四边形ABCD为菱形，AC=12,BD=16，∴OC=12AC=6∵EF=4，P是EF的中点，∴OP=1∴OGOP又∵∠GOP=∠POD，∴△POG∽△DOP，∴GPPD=1∵PC+PG≥CG，∴当点G、P、C在同一直线上时，PC+1此时PC+14故答案为：1452【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握“胡不归”问题模型，正确画出辅助线，构造相似三角形，根据相似三角形的性质和勾股定理求解．24．如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE=4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+14【答案】145【分析】如图，在CB上取一点F，使得CF=12，连接PF，AF，利用相似三角形的性质证明PF=14PB【详解】解：如图，在CB上取一点F，使得CF=12，连接PF，∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE，∴PC=1∵CFCP=1∴CFCP∵∠PCF=∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴PFPB∴PF=1∴PA+1∵PA+PF≥AF，AF=C∴PA+1∴PA+14PB故答案为1452【点睛】本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．题型06瓜豆模型【模型一】点在直线上条件;如图，点O是定点，点A、B是动点，∠AOB=α（α≠0）且OBOA图示：结论：B点的运动轨迹也是直线，OBOA=OB’OA’=k，【模型二】点在圆上条件;如图，点O是定点，点A、B是动点，∠AOB=α且OBOA=k，A点图示：结论：1)当α=0，①B点的运动轨迹是圆，②A,B,O始终是一条直线，③主动圆与从动圆的半径之比为OBOA2)当α≠0，①B点的运动轨迹是圆，②主动圆与从动圆的半径之比为OBOA③主从动圆的圆心与定点连线构成的夹角为α（定值）.【总结】1）在线段最值问题中，有时可先利用“瓜豆”模型确定动点的轨迹，再根据点线最值，点圆最值来求线段最值；2）部分求动点轨迹长的问题中，只要确定属于"瓜豆“模型，就可以利用路经之比等于相似比，根据主动点的轨迹长直接求得25．（2022·安徽合肥·三模）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在BC，AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（

）A．5 B．3 C．52 D．【答案】A【分析】连接BF交ED于点0，设EF与AC交于点G．根据菱形的性质可得点F在∠ABC的平分线上运动，从而得到当AF⊥BF时，AF的长最小．再证明△BEO∽△BAF，可得BE=12AB=AE，再证明△AGE∽△ACB，EG=1【详解】解：如图，连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G．∵四边形BEFD是菱形，∴BF平分∠ABC，∴点F在∠ABC的平分线上运动，∴当AF⊥BF时，AF的长最小．在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF∥BC，∴EO∥AF，∴△BEO∽△BAF，∴BEAB∴BE=1在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴BE=AE=2.5，∵AF⊥BF，∴EF=2.5，∵EF∥BC，∴△AGE∽△ACB，∴EGBC∴EG=1∴GF=EF-EG=1，∵∠AGF=∠AGE=90°，∴AF=A故选：A【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，准确得到点F在∠ABC的平分线上运动是解题的关键．26．（2023·广东广州·二模）如图，正方形ABCD的边长为42，E为BC上一点，且BE=2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为

【答案】522【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．【详解】将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，

∴BE=HE，∠BEH=60°∴△EBH为等边三角形，∠BEH=60°，BE=HE=2则有点G在垂直于HE的直线HN上，过C作CM⊥HN，当G与点M重合时即CM即为CG的最小值，如图，过E作EP⊥CM，易得四边形HEPM为矩形，∴∠HEP=∠EPG=∠EPC=90°，HE=MP=2∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=42∴CE=BC-BE=42∴∠CEP=30°，∴CP=12∴CM=MP+CP=HE+1故答案为：52【点睛】此题考查了旋转的性质，线段最值问题，解题的关键是分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是最值问题中比较典型的类型．27．（2024·安徽淮北·三模）如图，线段AB=4，点M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是（

）A．3 B．4 C．22 D．【答案】D【分析】以AB为斜边向上作等腰直角△AJB，连接CJ，BC．利用相似三角形的性质证明JC=2，推出点C的运动轨迹是以J为圆心，2为半径的圆，根据AC≤AJ+JC=3【详解】解：以AB为斜边向上作等腰直角△AJB，连接CJ，BC．∵AM=BM，∴JM=AM=MB，∴△JMB是等腰直角三角形，△PBC是等腰直角三角形，∴∠MBJ=∠PBC=45°∴BJ=BMcos45°∴∠MBP=∠JBC，JBMB∴△JBC∽△MBP，∴JCPM∵PM=1，∴JC=2∴点C的运动轨迹是以J为圆心，2为半径的圆，∵AJ=2∴AC≤AJ+JC=32故线段AC长度的最大值为32故选：D．【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，点与圆的位置关系，三角形三边关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．28．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=12，点D是AB的中点，P是以A为圆心，以AD为半径的圆上的动点，连接PB、A．103 B．31010 C．13【答案】D【分析】此题考查了解直角三角形，根据阿氏圆的定义，分别固定BP，分别确定A点的运动轨迹为阿氏圆O，C点的运动轨迹为阿氏圆O'，，由此可知，当PC最最小时，PBPC【详解】解：固定BP，则BAAP∴A点的运动轨迹为阿氏圆O，设OP=a，则AO=2a，BO=4a，则PB=BO-OP=3a，∵∠ABC=90°，ABBC∴C点的运动轨迹为阿氏圆O'∴∠OBO∴O'∴当PC最小时，PBPCPO∴PBPC故选：D．【专项训练】【将军饮马】1．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C3，0，顶点A、B6，

(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；(2)在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=6x(2)在x轴上存在一点P5,0，使△ABP周长的值最小,最小值是2【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点D，证明△ACE≌△CBDAAS，则CD=AE=3,BD=EC=m，由OE=3-m得到点A的坐标是3-m,3，由A、B6，m恰好落在反比例函数y=kx第一象限的图象上得到33-m=6m，解得m=1，得到点（2）延长AE至点A'，使得EA'=AE，连接A'B交x轴于点P，连接AP，利用轴对称的性质得到AP=A'P，A'2,-3，则AP+PB=A'【详解】（1）解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点D，则∠AEC=∠CDB=90°，

∵点C3，0∴OC=3,OD=6,BD=m，∴CD=OD-OC=3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=90°,AC=BC，∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，∴∠ACE=∠CBD，∴△ACE≌△CBDAAS∴CD=AE=3,BD=EC=m，∴OE=OC-EC=3-m，∴点A的坐标是3-m,3，∵A、B6，m恰好落在反比例函数y=∴33-m解得m=1，∴点A的坐标是2,3，点B的坐标是6,1，∴k=6m=6，∴反比例函数的解析式是y=6设直线AB所对应的一次函数的表达式为y=px+q，把点A和点B的坐标代入得，2p+q=36p+q=1，解得p=-∴直线AB所对应的一次函数的表达式为y=-1（2）延长AE至点A'，使得EA'=AE，连接A'B交

∴点A与点A'关于x∴AP=A'P∵AP+PB=A∴AP+PB的最小值是A'∵AB=2-62+∴此时△ABP的周长为AP+PB+AB=AB+A设直线A'B的解析式是则2n+t=-36n+t=1解得n=1t=-5∴直线A'B的解析式是当y=0时，0=x-5，解得x=5，即点P的坐标是5,0，此时AP+PB+AB=AB+A综上可知，在x轴上存在一点P5,0，使△ABP周长的值最小，最小值是2【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．2.（2025·湖南娄底·一模）如图，点A是坐标原点，点B在x轴的正半轴上，点C在第一象限．AB=4，∠CAB=30°，∠CBA=120°．(1)求点C的坐标；(2)点P是y轴上的一个动点，当点P处于何位置时，PB+PC的值最小？【答案】(1)6,2(2)当点P运动到0,435【分析】（1）过点C作CE⊥x轴交x轴于点E，证明∠BAC=∠ACB，得出BC=AB=4，解直角三角形得出BE=BC·cos60°=4×12=2，（2）作点B关于y轴的对称点为D，则D-4，0，连接CD，CD与y轴交于点P，连接PB，根据两点之间线段最短，得出此时点P即为所求作的点，先求出直线y=3【详解】（1）解：过点C作CE⊥x轴交x轴于点E，如图所示：∵∠CAB=30°，∠CBA=120°，∴∠ACB=180°-30°-120°=30°，∠CBE=180°-120°=60°，∴∠BAC=∠ACB，∴BC=AB=4，∴BE=BC·cos60°=4×CE=BC·sin∴AE=AB+BE=4+2=6，∴点C的坐标为6,23（2）解：如图，作点B关于y轴的对称点为D，则D-4，0，连接CD，CD与y轴交于点P根据轴对称可知：PB=PD，∴PB+PC=PD+PC，∴当PD+PC最小时，PB+PC最小，∵两点之间线段最短，∴此时点P即为所求作的点，设直线CD的解析式为：y=kx+b，则-4k+b=06k+b=23解得：k=∴y=3当x=0时，y=∴当点P运动到0,435【点睛】本题主要考查了一次函数的几何综合，解直角三角形的相关计算，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握待定系数法，作出辅助线．【费马点】1．（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题材料一：数形结合是一种重要的数学思想如a2+b2可看做是图一中AB的长，a+12材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在△ABC中有一点P使得PA+PB+PC的值最小．著名法学家费马给出的证明方法如下：将△ABP绕B点向外旋转60°得到△A1B1C1，并连接PP1易得△PP1B请结合以上两材料求出x2

【答案】19【分析】本题考查坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，将原式转化为x2+y2+1-x2+y2+x2+23-y2，构造直角三角形ABC，∠ACB=90°，AC=23,BC=1，以C为坐标原点构造直角坐标系，设P为x,y，进而得到PC=x【详解】解：原式=x可看做下图中的PA+PB+PC，其中P为x,y则PC=x2+y将△APC绕点C点逆时针旋转60°得到△A1∵∠PCP1=∠ACA1=60°，∠ACD=90∴∠A1CD=30°∴A1D=12又∵BC=1∴DC=4∴A∵PA+PB+PC=AP∴PA+PB+PC=AP∴PA+PB+PC的最小值为19；∴x2+

【胡不归】1．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，AB=2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点

(1)求证：EN=CN；(2)求2EN+BN的最小值．【答案】(1)见详解(2)2【分析】（1）根据菱形的性质证明△ABN≌△CBN，再结合MN是AE的垂直平分线，即可证明EN=CN；（2）过点N作NF⊥BC于点F，连接NF,AF，∠DBC=30°，则NF=12BN，故2EN+BN=2EN+1【详解】（1）证明：连接AN，

∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°∵BN=BN，∴△ABN≌△CBN，∴AN=CN，∵MN是AE的垂直平分线，∴AN=NE，∴EN=CN；（2）解：过点N作NF⊥BC于点F，连接NF,AF，

∵∠DBC=30°，∴NF=1∵AN=EN，∴2EN+BN=2EN+当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：

即AF⊥BC，∴在Rt△ABF中，AF=AB⋅∴2EN+BN的最小值为23【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解直角三角形，正确添加辅助线是解决本题的关键．【阿氏圆】1．（2024·浙江·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,，D，E为BC，AC上的动点，且DE=4，P(1)若DE∥AB，求(2)在线段DE的运动过程中，CD的长由2到23，求这一变化过程中，点P(3)连结PA，PB，求【答案】(1)16(2)1(3)145【分析】（1）先利用勾股定理求出AB=10，根据DE∥AB，证明（2）连接CP，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出CP=2，再根据当CD=2时，△DCP为等边三角形，∠DCP=60°；当CD=23时，∠DCP=30°，得到弧的圆心角为30°（3）在CB上取一点F，使得CF=12，连接PF，AF，利用相似三角形的性质证明PF=14PB【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,BC=8∴AB=A∵DE∥AB∴△CDE∽∴CDBC=DE∴CD=16（2）解：连接CP，∵∠C=90°，P为DE的中点，DE=4，∴CP=1∴点P运动的路线是以C为圆心，2为半径的一段圆弧，当CD=2时，△DCP为等边三角形，∠DCP=60°；当CD=23时，∠DCP=30°，得到弧的圆心角为30°则P运动的路程即为圆心角为30°的弧的长度，即为30×2π（3）解：如图，在CB上取一点F，使得CF=12，连接PF，∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE，∴PC=1∵CFCP=1∴CFCP∵∠PCF=∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴PFPB∴PF=1∴PA+1∵PA+PF≥AF，AF=C∴PA+1∴PA+14PB【点睛】本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．2．（2021·四川宜宾·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，2为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋12EP【答案】（1）y=-12x2+2x+6；（2）直角三角形，见解析；（3【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；（2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；（3）在CE上截取CF=22（即CF