2025版高考数学大二轮复习7.4算法初步复数推理与证明学案理

PAGE1-第4讲算法初步、复数、推理与证明eq\a\vs4\al\co1()考点1复数1．复数的除法复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简．2．复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.[例1](1)[2024·全国卷Ⅱ]设z＝－3＋2i，则在复平面内eq\o(z,\s\up10(－))对应的点位于()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限(2)[2024·全国卷Ⅰ]设复数z满意|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1【解析】(1)本题主要考查共轭复数及复数的几何意义，意在考查考生的运算求解实力，考查的核心素养是数学运算．由题意，得eq\o(z,\s\up10(－))＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C.(2)本题主要考查复数的模的概念和复数的几何意义，考查考生的化归与转化实力、数形结合实力、运算求解实力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．通解∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.优解一∵|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.优解二在复平面内，点(1,1)所对应的复数z＝1＋i满意|z－i|＝1，但点(1,1)不在选项A，D的圆上，∴解除A，D；在复平面内，点(0,2)所对应的复数z＝2i满意|z－i|＝1，但点(0,2)不在选项B的圆上，∴解除B.故选C.【答案】(1)C(2)C复数运算问题的解题思路(1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是先变形分别出实部和虚部，把复数的非代数形式化为代数形式，然后再依据条件，列方程(组)求解．(2)与复数z的模|z|和共轭复数有关的问题，一般都要先设出复数z的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，代入条件，用待定系数法解决.『对接训练』1．[2024·河南郑州一测]若复数z满意(3＋4i)z＝25i，其中i为虚数单位，则z的虚部是()A．3iB．－3iC．3D．－3解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝3a－4b＋(3b＋4a)i，由复数相等的充要条件得到3a－4b＝0,3b＋4答案：C2．[2024·吉林长春外国语学校测评]设i为虚数单位，若复数z满意z＝eq\f(1－i2,1＋i)，则z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：由题意，得z＝eq\f(1－i2,1＋i)＝eq\f(－2i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(－2－2i,2)＝－1－i.答案：Deq\a\vs4\al\co1()考点2程序框图算法的三种基本逻辑结构需留意：循环结构分为当型和直到型两种，当型循环在每次执行循环体前对限制循环的条件进行推断，当条件满意时执行循环体，不满意时则停止；直到型循环在执行了一次循环体后，对限制循环的条件进行推断，当条件不满意时执行循环体，满意则停止．两种循环只是实现循环的不同方法，它们是可以相互转化的．[例2](1)[2024·全国卷Ⅰ]如图是求eq\f(1,2＋\f(1,2＋\f(1,2)))的程序框图，图中空白框中应填入()

A．A＝eq\f(1,2＋A)B．A＝2＋eq\f(1,A)C．A＝eq\f(1,1＋2A)D．A＝1＋eq\f(1,2A)(2)[2024·全国卷Ⅲ]执行下边的程序框图，假如输入的ε为0.01，则输出s的值等于()A．2－eq\f(1,24)B．2－eq\f(1,25)C．2－eq\f(1,26)D．2－eq\f(1,27)【解析】(1)本题主要考查含有当型循环结构的程序框图，考查考生的推理论证实力，考查的核心素养是逻辑推理．A＝eq\f(1,2)，k＝1,1≤2成立，执行循环体；A＝eq\f(1,2＋\f(1,2))，k＝2,2≤2成立，执行循环体；A＝eq\f(1,2＋\f(1,2＋\f(1,2)))，k＝3,3≤2不成立，结束循环，输出A.故空白框中应填入A＝eq\f(1,2＋A).故选A.(2)本题主要考查程序框图，考查考生的逻辑推理实力、运算求解实力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．执行程序框图，x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝eq\f(1,2)，不满意x<ε＝eq\f(1,100)，所以s＝1＋eq\f(1,2)＝2－eq\f(1,21)，x＝eq\f(1,4)，不满意x<ε＝eq\f(1,100)，所以s＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝2－eq\f(1,22)，x＝eq\f(1,8)，不满意x<ε＝eq\f(1,100)，所以s＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＝2－eq\f(1,23)，x＝eq\f(1,16)，不满意x<ε＝eq\f(1,100)，所以s＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＝2－eq\f(1,24)，x＝eq\f(1,32)，不满意x<ε＝eq\f(1,100)，所以s＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,32)＝2－eq\f(1,25)，x＝eq\f(1,64)，不满意x<ε＝eq\f(1,100)，所以s＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋…＋eq\f(1,64)＝2－eq\f(1,26)，x＝eq\f(1,128)，满意x<ε＝eq\f(1,100)，输出s＝2－eq\f(1,26)，选C.【答案】(1)A(2)C(1)求输出结果的题目，要认清输出变量是什么，有的是求函数值，有的是求和、差、积、商的运算结果，有的是计数变量等．(2)求循环条件首先看懂每个图形符号的意义和作用，其次“试走几步”循环体，体会循环体的内容和功能，最终利用推断框中的条件确定循环的次数.『对接训练』3．[2024·北京卷]执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A．1B．2C．3D．4解析：本题主要考查程序框图，考查考生的运算求解实力以及分析问题、解决问题的实力，考查的核心素养是数学运算和逻辑推理．执行程序框图，k＝1，s＝eq\f(2×1,3×1－2)＝2；k＝2，s＝eq\f(2×4,3×2－2)＝2；k＝3，s＝eq\f(2×4,3×2－2)＝2，跳出循环．输出的s＝2.故选B.答案：B4．[2024·河北唐山摸底]如图所示的程序框图的功能是()A．求1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,7)＋…－eq\f(1,19)的值B．求1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,19)的值C．求1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,21)的值D．求1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,21)的值解析：输入a＝1，n＝1，S＝0；S＝1，a＝－1，n＝3；S＝1－eq\f(1,3)，a＝1，n＝5；S＝1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)，a＝－1，n＝7；S＝1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,7)，a＝1，n＝9；…；S＝1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,7)＋…－eq\f(1,19)，a＝1，n＝21,21>19，退出循环．输出S＝1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,7)＋…－eq\f(1,19)，故选A.答案：Aeq\a\vs4\al\co1()考点3推理与证明归纳推理是从特别到一般的推理，所以应依据题中所给的图形、数据、结构等着手分析，尽可能多地列举出来，从而找出一般性的规律或结论．演绎推理是从一般性的原理动身，推出某个特别状况下的结论．对于较困难一点的证明题经常要用几个三段论才能完成．[例3](1)[2024·陕西西安中学模拟]由①安梦怡是高三(21)班学生；②安梦怡是独生子女；③高三(21)班的学生都是独生子女．写一个“三段论”形式的推理，则大前提、小前提和结论分别为()A．②①③B．③①②C．①②③D．②③①(2)[2024·湖南岳阳一中质检]视察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满意f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．－g(x)B．f(x)C．－f(x)D．g(x)【解析】(1)因为高三(21)班的学生都是独生子女，而安梦怡是高三(21)班学生，所以安梦怡是独生子女．故选B.(2)在(x2)′＝2x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；(x4)′＝4x3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；(cosx)′＝－sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数．由此我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在R上的函数f(x)满意f(－x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，又g(x)为f(x)的导函数，所以g(x)为奇函数，故g(－x)＋g(x)＝0，即g(－x)＝－g(x)，故选A.【答案】(1)B(2)A合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先依据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理的关键是找规律，类比推理的关键是看共性.『对接训练』5．[2024·黑龙江齐齐哈尔五校联考]不难证明：一个边长为a，面积为S的正三角形的内切圆半径r＝eq\f(2S,3a)，由此类比到空间，若一个正四面体的一个面的面积为S，体积为V，则其内切球的半径为________．解析：由题意得3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ar))＝S，故r＝eq\f(2S,3a).将此方法类比到正四面体，设正四面体内切球的半径为R，则4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)SR))＝V，所以R＝eq\f(3V,4S)，即内切球的半径为eq\f(3V,4S).答案：eq\f(3V,4S)课时作业20算法初步、复数、推理与证明1．[2024·陕西四校联考](－1＋3i)(3－i)＝()A．10B．－10C．10iD．－10i解析：(－1＋3i)(3－i)＝－3＋i＋9i＋3＝10i.故选C.答案：C2．[2024·贵州37校联考]复数z＝eq\f(1＋i,1－i)的共轭复数是()A．1＋iB．1－iC．iD．－i解析：因为z＝eq\f(1＋i,1－i)＝i，故z的共轭复数eq\o(z,\s\up10(－))＝－i，故选D.答案：D3．[2024·广东江门调研]执行如图所示的程序框图，若推断框内为“i≤3”，则输出S＝()A．2B．6C．10D．34解析：因为“i≤3”，所以执行程序框图，第一次执行循环体后，j＝2，S＝2，i＝2≤3；其次次执行循环体后，j＝4，S＝10，i＝3≤3；第三次执行循环体后，j＝8，S＝34，i＝4>3，退出循环．所以输出S＝34.故选D.答案：D4．[2024·四川成都高新区模拟]执行如图所示的程序框图，输出K的值为()A．99B．98C．100D．101解析：执行程序框图，得K＝1，S＝0；S＝0＋lgeq\f(1＋1,1)＝lg2，K＝2；S＝lg2＋lgeq\f(2＋1,2)＝lg3，K＝3；S＝lg3＋lgeq\f(3＋1,3)＝lg4，K＝4；S＝lg4＋lgeq\f(4＋1,4)＝lg5，K＝5；…；S＝lg98＋lgeq\f(98＋1,98)＝lg99，K＝99；S＝lg99＋lgeq\f(99＋1,99)＝lg100＝2，退出循环．所以输出K＝99，故选A.答案：A5．[2024·湖北孝感协作体联考]设a，b∈R，现给出下列五个条件：①a＋b＝2；②a＋b>2；③a＋b>－2；④ab>1；⑤logab<0(a>0，且a≠1)．其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件为()A．②③④B．②③④⑤C．①②③⑤D．②⑤解析：a＝b＝1时，a＋b＝2，所以推不出a，b中至少有一个大于1，①不符合；当a＝b＝0时，a＋b>－2，推不出a，b中至少有一个大于1，③不符合；当a＝b＝－2时，ab>1，推不出a，b中至少有一个大于1，④不符合；对于②，假设a，b都不大于1，即a≤1，b≤1，则a＋b≤2，与a＋b>2冲突，所以②能推出a，b中至少有一个大于1；对于⑤，假设a，b都不大于1，则logab≥loga1＝0，与logab<0冲突，故⑤能推出a，b中至少有一个大于1.综上，选D.答案：D6．[2024·湖南株洲质检]已知复数z满意(1－i)z＝|2i|，i为虚数单位，则z等于()A．1－iB．1＋iC.eq\f(1,2)－eq\f(1,2)iD.eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i解析：由(1－i)z＝|2i|，可得z＝eq\f(2,1－i)＝eq\f(21＋i,2)＝1＋i，故选B.答案：B7．[2024·重庆调研]执行如图所示的程序框图，当输出的值为1时，输入的x值是()A．±1B．1或eq\r(3)C．－eq\r(3)或1D．－1或eq\r(3)解析：因为输出的值为1，所以依据程序框图可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,2－x2＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2－2＝1，))得x＝1或x＝－eq\r(3)，故选C.答案：C8．[2024·陕西其次次质检]一布袋中装有n个小球，甲、乙两个同学轮番抓球，且不放回，每次最少抓一个球，最多抓三个球．规定：由乙先抓，且谁抓到最终一个球谁赢，那么以下推断中正确的是()A．若n＝9，则乙有必赢的策略B．若n＝7，则甲有必赢的策略C．若n＝6，则甲有必赢的策略D．若n＝4，则乙有必赢的策略解析：若n＝9，则乙有必赢的策略．(1)若乙抓1个球，甲抓1个球时，乙再抓3个球，此时剩余4个球，无论甲抓1～3的哪种状况，乙都能保证抓最终一个球；(2)若乙抓1个球，甲抓2个球时，乙再抓2个球，此时剩余4个球，无论甲抓1～3的哪种状况，乙都能保证抓最终一个球；(3)若乙抓1个球，甲抓3个球时，乙再抓1个球，此时剩余4个球，无论甲抓1～3的哪种状况，乙都能保证抓最终一个球．所以若n＝9，则乙有必赢的策略，故选A.答案：A9．[2024·浙江金丽衢十二校联考]复数z1＝2－i，z2＝3＋i，则|z1·z2|＝()A．5B．6C．7D．5eq\r(2)解析：解法一因为z1·z2＝(2－i)(3＋i)＝7－i，所以|z1·z2|＝eq\r(72＋－12)＝5eq\r(2)，故选D.解法二因为|z1|＝|2－i|＝eq\r(5)，|z2|＝|3＋i|＝eq\r(10)，所以|z1·z2|＝|z1|·|z2|＝eq\r(5)×eq\r(10)＝5eq\r(2)，故选D.答案：D10．[2024·河南洛阳质检]执行如图所示的程序框图，若输出的S＝eq\f(25,24)，则推断框内填入的条件不行以是()A．k≤7B．k<7C．k≤8D．k<8解析：模拟执行程序框图，可得S＝0，k＝0；k＝2，S＝eq\f(1,2)；k＝4，S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)；k＝6，S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)；k＝8，S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,8)＝eq\f(25,24).由题意，此时应不满意条件，退出循环，输出S的值为eq\f(25,24).结合选项可得推断框内填入的条件不行以是“k≤8”．故选C.答案：C11．[2024·重庆云阳联考]甲、乙两人均知道丙从集合A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}中取出了一个数对，设其为P点坐标，丙告知了甲P点的横坐标，告知了乙P点的纵坐标，然后甲先说：“我无法确定点P的坐标”，乙听后接着说：“我原来也无法确定点P的坐标，但我现在可以确定了”，那么，点P的坐标为()A．(3,4)B．(3,5)C．(5,2)D．(5,5)解析：∵横坐标为1或2或4的点唯一，甲知道横坐标但不能确定点P，∴横坐标不是1或2或4.乙得知甲不能确定点P，乙可确定点P横坐标不是1或2或4，若乙知道点P纵坐标为3或4或5，则它们分别对应两个坐标，无法确定P点坐标，只有乙知道P点纵坐标为2时，才能确定P点坐标为(5,2)，故选C.答案：C12．[2024·东北三省四校一模]执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为4，其次次输入的x的值为5，记第一次输出的a的值为a1，其次次输出的a的值为a2，则a1－a2＝()A．2B．1C．0D．－1解析：当输入x的值为4时，不满意b2>x，但是满意x能被b整除，输出a＝0＝a1；当输入x的值为5时，不满意b2>x，也不满意x能被b整除，故b＝3；满意b2>x，故输出a＝1＝a2.则a1－a2＝－1，故选D.答案：D13．[2024·广西南宁摸底]用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被11整除，那么a，b中至少有一个能被11整除．”那么反设的内容是________．解析：用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被11整除