《金融工程》 课件 第五章 金融工程定价原理-

第五章金融工程定价原理《金融工程》主要内容第一节金融产品定价原则第二节

利息的度量第三节

金融工程的定价原理第四节

定价的目的和用途学习要求了解衍生金融产品定价的基本假设、目的与用途；理解连续复利的概念，掌握利率的等价换算；理解金融工程的无套利定价原理和风险中心定价原理的核心思想和应用技巧。5第一节金融产品定价原则一、绝对定价法与相对定价法绝对定价法就是根据金融工具未来现金流的特征，运用恰当的贴现率将这些现金流贴现成现值，该现值就是绝对定价法要求的价格。相对定价法则利用基础产品价格与衍生产品价格之间的内在关系，直接根据基础产品价格求出衍生产品价格。资产的当前价值等于其未来现金流贴现值之和。假设是面值为100元的债券在第k年获得的利息，则n年期的面值为100元的债券的价格为一、绝对定价法与相对定价法二、衍生金融产品定价的基本假设市场不存在摩擦，即没有交易成本、没有保证金、没有卖空限制市场参与者不承担对手风险。即合同没有违约问题市场是完全竞争的市场参与者厌恶风险，且希望财富越多越好市场不存在套利机会。无套利假设是金融衍生工具定价理论生存和发展的最重要的假设所有市场参与者能够以无风险利率进行借贷9第二节利息的度量一、利息的度量利息：利息是指在一个借贷关系中，由借款人为了取得一定数量的资金在一定期限内的使用权，而支付给贷款人的报酬。其实质是一定期限内资金延迟使用的成本。现值：指未来某个时刻的资金折算到当前时刻的价值。终值：指当前时刻的资金在未来某个时刻的价值。一、利息的度量单利(SimpleInterest)：仅以本金计息的方式，利息为本金、利率与时间的乘积。复利(CompoundInterest)：在每期满时，将应得利息加入本金再计息的方式，由计息周期不同而产生差异，如年复利、半年复利、季度复利。贴现因子(DiscountFactor，DF)：指未来某个时刻的资金在当前时刻的价值折算系数累计因子(AccumulationFactor，AF)：指当前时刻的资金在未来某个时刻的价值增长系数假设在银行存入$1,年利率为R，投资n年。如果利息按每一年计一次复利，则上述投资的终值为：如果每年计m次复利，则一年后账户金额为：现年支付频率逐步增加，当m趋于无穷大时，1年后账户余额为：这就是当利率为连续复利（Continuouscompounding）时，一年后能从银行获得的金额。那t年后呢？二、连续复利例5.1：单利、复利、连续复利差距有多大唐朝的一元历经1300年,按年利率5％计算，至今的本息和：单利、复利、连续复利这表明要获得长期稳定收益很困难例5.1：单利、复利、连续复利差距有多大（一）连续复利的本质通过微分的方法来得出复利公式。如果在t时刻查询一下账户，过会，即t+dt时刻再查询一次，会发现金额增加了:…等式的右边就是泰勒级数展开。但是所增加的利息也是与所拥有金额M、利率r、时间段dt成比例的因此：故：在上述求解过程中，若每个时刻的利率都不同，记为r(t)，我们就有：（一）连续复利的本质（二）连续复利的优点通常认为连续复利率与每天计复利等价，连续复合利率的优点：连续复合利率反映了利率的本质特征在衍生工具定价中，采用连续复合利率可以简化表达

三、利率的等价换算例：假设即期利率为8%，连续复利，一个1000面值的债券以面值发行，利息每季度支付一次，试计算1000元面值的债券每次支付的利息。三、利率的等价换算20第三节金融工程的定价原理一、无套利定价原理套利：在某项资产的交易过程中，交易者可以在不需要期初投资支出的条件下，获得无风险利润。如果市场是有效的话，市场价格必然由于套利行为作出相应的调整，重新回到均衡的状态。这就是无套利的定价原则。根据这个原则，在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。

（二）无套利定价方法的主要特征

无套利定价原则首先要求套利活动在无风险的状态下进行。无套利定价的关键技术是所谓“复制”技术，即用一组证券来复制另外一组证券。要点是使复制组合的现金流特征与被复制组合的现金流特征完全一致，复制组合的多头（空头）与被复制组合的空头（多头）互相之间应该完全实现头寸对冲。

无风险的套利活动从即时现金流看是零投资组合卖空，是套利组合的一个重要特征（三）无套利定价的实施过程（四）无套利定价应用1——远期利率计算

即期利率（spotrate）：指在当前时刻计算的期限为T的利率水平，我们通常所说的零息债券的到期收益率就是即期利率的例子，记为r(t,T)

远期利率（forwardrate）：指在当前时刻确定的，未来某时刻T开始的，距T期限为T’-T的利率水平。一般用F(t，T，T’)表示，t代表当前时刻；利率期限结构：指在其他条件相同的情况下，利率与到期期限之间的关系。利率曲线：利率期限结构的图形表达常见类型：到期收益率曲线，即期利率曲线，远期利率曲线，贴现因子曲线实践应用：中国债券信息网https:///cbweb-mn/yield_main?locale=zh_CN（四）无套利定价应用1——远期利率计算到期收益率曲线：债券价格计算散点图，平滑函数拟合曲线即期利率曲线远期利率曲线债券数据，bootstrap方法+曲线拟合利率建模，用市场数据校正参数：债券数据，利率互换数据等；（四）无套利定价应用1——远期利率计算27（四）无套利定价应用1——远期利率计算衍生品定价的折现因子：折现未来的现金流到未来的时点确定远期利率协议（FRA）的协议利率欧洲美元期货的理论报价利率互换的协议利率确定（四）无套利定价应用1——远期利率计算应用：FRA协议利率的确定--单利计算方式下is,DsiF，DFiL,DL例5.4FRA交易商报价利率确定

远期利率协议的协议利率计算

6.远期利率协议的合约价值计算

解析：

解析（续）：T：远期合约到期时间St：标的资产在t时刻的价格K:远期合约中的交割价格ft：t时刻远期合约的价值F(t,T):资产在t时刻确定的，到期日为T的远期价格r：连续复利下的无风险利率。符号定义：（四）无套利定价应用2——远期价格计算例5.6：考虑一个基于不支付红利的股票的远期合约多头，三个月后到期，设当前股价为$40，三个月期即期无风险利率为5%（连续复利），试求使得该远期合约价值为0的协议价格？（四）无套利定价应用2——远期价格计算例题解析：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-rT的现金；组合B：一单位标的资产。期末价值：A：-K+K+ST=STB：ST资产的远期价格（ForwardPrice）：指当前确定的使得相应到期时间的远期合约价值为零的协议价格。远期价格作用：1）远期合约理论上的协议价格2）任何时刻期货的理论报价3）远期合约价值的计算依据（四）无套利定价应用2——远期价格计算套利策略的设计如何构造套利策略？第一种情况：K=43，协议价格被高估第二种情况：K=39，协议价格被低估K=43，买现卖期——持有成本策略具体套利策略(1单位标的资产为例，期末获益)：初始时刻（0）到期日（T）策略实施净现金流具体套利策略(1单位标的资产为例,期初获益)：K=39，卖现买期——反向持有成本策略初始时刻（0）到期日（T）策略实施1.取出无风险资产投资获益K2.执行远期合约买入资产，支付K3.平仓资产空头净现金流远期价格的作用远期价格，一方面是远期合约理论上的协议价格，一方面也是期货的理论报价远期价格也是远期合约价值的计算依据二、风险中性定价原理在对衍生证券定价时，我们可以假定所有投资者都是风险中性的，此时所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。

风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。

（一）风险中性定价原理使用风险中性方法为远期和期货定价是非常容易的，根据风险中性定价法则：任何产品的未来收益预期都是无风险收益，因此当前价值应该等于未来现金流期望的无风险折现。远期合约到期的价值为：故当前远期合约的价值为：（二）风险中性定价原理的应用若标的资产在有效期内没有产生现金流，则：由于远期合约初始时刻没有价值，即V0=0，故：（二）风险中性定价原理的应用三、无套利定价与风险中性定价的关系风险中性定价原理是在市场无套利下，利用数学理论获得的一种简便的定价技巧，风险中性定价法的基本前提也是市场不存在套利机会和资产可复制，因此风险中性定价和无套利定价是内在一致的。风险中性定价作为一种定价的便捷方法，其在定价方面可以化繁为简，大大简化过程，相对无套利定价具有明显的优势。风险中性定价无法给出价格不合理时如何设计套利策略三、无套利定价与风险中性定价的关系风险中性定价作为一种数学技巧，是严格依赖市场假设的。一旦加入市场摩擦如借贷利率的差异，交