《金融工程》 课件 第十章-期权价格的无套利关系

《金融工程》第十讲期权价格的无套利关系12

主要内容第一节期权价格的影响因素第二节期权价值的构成第三节期权价格的上下限第四节看涨期权与看跌期权的平价关系3期权价格的无套利关系期权价格的影响因素期权的内在价值期权的时间价值期权价格的上下限欧式期权的上下限美式期权的上下限看涨看跌期权平价关系美式期权提前执行问题

欧式看涨看跌期权的平价关系美式看涨看跌期权的平价关系期货期权的上下限期权价格的影响因素期货期权的平价关系期权价值的构成期权价格与各影响因素的关系期权内在价值的定义分歧4

知识目标1)期权的六大影响因素与期权价格的关系2)期权的内在价值与时间价值，时间价值与内在价值的关系3)欧式期权、美式期权、期货期权的上下限及平价关系4)至少会使用一种无套利方法对给出的价格关系进行证明5)在不等式关系不成立时，可以构造出套利策略，并计算出套利利润6)美式期权提前执行的判断7)交易摩擦对期权无套利关系的影响5第一节期权价格的影响因素6一、影响期权价值的六个决定因素标的资产的即期价格执行价格距离到期的时间标的资产的波动性——标的资产收益的波动率无风险利率标的资产红利7提问观察Wind期权行情数据，回答：1.相同月份的认购期权，价格与执行价格间的关系2.相同月份的认沽期权，价格与执行价格间的关系3.相同执行价格的认购期权，价格与到期期限的关系4.相同执行价格的认沽期权，价格与到期期限的关系5.期权价格与波动率间的关系8期权价格与执行价格、到期期限的关系89波动率与期权价格910二、期权价格与各影响因素间的关系因素欧式期权美式期权买权卖权买权卖权标的资产价格正负正负执行价格负正负正剩余期限不确定不确定正正标的资产波动率正正正正无风险利率正负正负标的资产红利负正负正11（一）标的资产的价格(S)对于看涨期权而言，标的资产的价格越高，看涨期权的价格就越高。对于看跌期权而言，标的资产的价格越低看跌期权的价格就越高。看涨期权看跌期权12（二）执行价格（X）对于看涨期权而言，执行价格越低，看涨期权的价格就越高。对于看跌期权而言，执行价格越高，看跌期权的价格就越高。看涨期权看跌期权13对于欧式期权而言，由于它只能在期末执行，有效期长的期权就不一定包含有效期短的期权的所有执行机会。这就使欧式期权的有效期与期权价格之间的关系存在不确定性。（三）期权的有效期（T）欧式看涨欧式看跌14（四）

标的资产价格的波动率（σ)波动率是用来衡量标的资产未来价格变动不确定性的指标。由于期权多头的最大亏损额仅限于期权价格，而最大盈利额则取决于执行期权时标的资产市场价格与协议价格的差额，因此波动率越大，对期权多头越有利，期权价格也应越高。看涨期权看跌期权15

（五）无风险利率(r)从比较静态的角度看。无风险利率越高，看跌期权的价值越低；而看涨期权的价值则越高。看涨期权看跌期权16（六）标的资产的红利收益(d)由于标的资产分红付息等将减少标的资产的价格，若协议价格未进行相应调整，则在期权有效期内标的资产产生收益将使看涨期权价格下降，而使看跌期权价格上升。

看涨期权看跌期权汇总：影响期权价值的六个决定因素17当然，影响因素间并不是相互独立的，有时会看到标的资产价格上涨，而看跌期权价格上涨的结果，原因可能是波动率、标的资产价格等多个因素共同变动的结果（七）实际市场中不同因素的交叉影响19第二节期权价值的构成20“内在价值”（IntrinsicValue)：反映了期权持有者马上执行期权可获得的收益。看涨期权内在价值为：max(St-X,0)看跌期权内在价值为：max(X-St,0)期权的“内在价值”可有可无，如平价或溢价的期权合约便没有“内在价值”。一、期权的内在价值21

二.期权的时间价值“时间价值”（timesvalue)=期权费-内在价值期权的时间价值反映了交易商愿意为标的资产价格波动的不确定性所支付的代价。标的资产波动率越高，期权的时间价值越大美式期权的时间价值是非负的！

美式期权价格不低于其内在价值1、期权的时间价值的定义22

例10.2（欧式期权的时间价值）

2.时间价值与期权价值状态的关系当内在价值接近0时，不确定性最大，时间价值也就最高。深度实值看涨期权与深度虚值看涨期权来说，相应的其时间价值较低。X=100，横轴为St243.期权时间价值的衰减特征随着到期日的临近，时间价值会体现出随到期日临近而衰减的特征。而衰减速度和衰减的程度会因为期权的价值状态不同而产生差异。示例S=100，σ=25%,r=3%,q=0到期期限变动区间：[1,360]不同价值状态的期权还会有什么差别呢？三、内在价值定义的分歧《期权，期货及其他衍生产品》：观点一：内在价值为期权立即执行的价值（10.4节）观点二：平值期权为K=F（远期价格）的期权（20.4节）观点三：平值期权为Delta=0.5的期权（20.4节）观点四：不考虑标的资产价格波动情况下，期权条款赋予期权多头的最高价值（《金融工程》郑振龙，陈蓉，2020）2728第三节期权价格的上下限29

符号表示符号含义符号含义欧式看涨期权t时刻的价格X期权执行价格欧式看跌期权t时刻的价格T期权到期日美式看涨期权t时刻的价格t计算价值特征的时刻美式看跌期权t时刻的价格r无风险利率，假设为连续复利常数标的资产在t时刻的即期价格期权有效期内标的资产现金红利的现值t时刻的期货价格或者t时刻计算的远期价格q标的资产的红利率，假设为连续复利表10.5

符号表示30

美式期权与欧式期权的关系31一、欧式期权上下限不低于到期日内在价值折现值，不高于去除红利的资产现值无收益现金收益有红利率(一)看涨期权32

（一）看跌期权卖权：不低于到期日内在价值折现值，不高于执行价格现值无收益现金收益有红利率33

（二）欧式看涨期权价格上下限的证明

34在T时刻，组合A的价值为：在T时刻，组合B的价值为ST。由于因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B，即:由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为：

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“下限”不满足的套利策略t时刻：卖空1单位标的资产，买入1单位看涨期权CE,剩余收入投资到无风险资产。到期日：ST>X,执行看涨期权，以X买入1单位资产，平仓标的资产空头,获益：ST<=X,从市场上买入1单位标的资产，平仓标的空头，获益：36

例.套利策略设计Drescotts公司股票价格目前为50美元，无红利支付。一份期限为一年、执行价格为40美元的该股票的欧式买入期权，期权价格为10美元。假定连续复利利率为每年10%。做如下计算。请四舍五入保留小数点后2位数字。到期日的股票价格表示为S(1)。问题：是否存在套利机会？

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解答

382、欧式看涨期权的上下限—有现金收益“下限”证明（提示）组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金组合B：一单位标的资产+现值为It的负债392、欧式看涨期权的上下限—有现金收益“上限”证明（提示）组合A：一单位欧式看涨期权组合B：一单位标的资产+现值为It的负债403、欧式看涨期权的上下限—有红利率

“下限”证明（提示）组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金组合B：单位标的资产,考虑红利再投资413、欧式看涨期权的上下限—有红利率“上限”证明（提示）组合A：一份欧式看涨期权组合B：标的资产,考虑红利再投资42

1.欧式看跌期权上下限—无收益“下限”证明（提示）组合A：一份欧式看跌期权加上1单位标的资产组合B：的现金（三）欧式看跌期权价格上下限的证明434.“下限”不满足的套利策略t时刻：借钱买入1单位标的资产和1单位看跌期权PE到期日：ST>X,卖出标的资产，还清借款，获益：ST<=X,执行看跌期权卖出标的资产，还清借款，获益：44

4.欧式看跌期权上下限—无收益“上限”证明（提示）组合A：一份欧式看跌期权组合B：的现金45

5.欧式看跌期权上下限—有现金收益“下限”证明（提示）组合A：一份欧式看跌期权+1单位标的资产+It单位负债组合B：的现金46

6.欧式看跌期权上下限—有红利率“下限”证明（提示）组合A：一份欧式看跌期权+单位标的资产，考虑红利再投资组合B：的现金47

二、美式期权上下限买权：不低于内在价值和欧式买权下限，不高于资产现值无收益有收益（一）看涨期权48（一）看跌期权卖权：不低于内在价值和欧式看跌下限，不高于执行价格49

欧式卖权与美式卖权的价值比较价值Xe-r(T-t)XS(t)Xe-r(T-t)X50

1.美式看涨期权价格的上下限证明“下限”证明（反证法，且只能反证法）假设市场无套利情况下，St-X>Cus;t时刻构造套利策略：卖空1单位标的资产，买入美式看涨期权，立即执行期权，用X买入资产，平仓资产空头，获益：St-Cus-X“上限”证明，反证法，与欧式看涨期权类似（二）美式期权的上下限512.美式看涨期权价格的上下限证明

——无收益情况标的资产无收益时52

3.美式看跌期权价格的上下限证明同样可使用反证法53

1.美式看涨期权由于现金会产生收益，而提前执行看涨期权得到的标的资产无收益，再加上美式期权的时间价值总是为非负的，因此我们可以直观地判断

提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。（一）提前执行无收益资产美式期权的合理性三、美式期权提前执行问题54证明：考虑如下两个组合：组合A：一份美式看涨期权加上金额为的现金组合B：一单位标的资产55

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2.美式看跌期权

同样的道理，由于提前执行看跌期权可以获得现金，而现金可以产生无风险收益，因此直观上看，美式看跌期权可能提前执行。57

证明：我们考察如下两种组合：组合A：一份美式看跌期权加上一单位标的资产组合B：金额为的现金58

59（二）提前执行有收益资产美式期权的合理性1.看涨期权由于提前执行有收益资产的美式期权可较早获得标的资产，从而获得现金收益，而现金收益可以派生利息，因此在一定条件下，提前执行有收益资产的美式看涨期权有可能是合理的。

我们假设在期权到期前，标的资产有n个除权日，t1，t2……，tn为除权前的瞬时时刻，在这些时刻的现金红利分别为D1，D2，……，Dn，在这些时刻的标的资产价格分别为S1，S2，……Sn(发放红利前的瞬时）。

60由于在无收益的情况下，不应提前执行美式看涨期权，我们可以据此得到一个推论：在有收益情况下，只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权才有可能是最优的。因此我们只需推导在每个除权日前提前执行的可能性。我们先来考察在最后一个除权日（tn）提前执行的条件。如果在tn时刻提前执行期权，则期权多头方获得Sn-X的收益。61在tn时刻期权的价值（Cn）:因此，如果：即：,则在tn提前执行是不明智的。相反，如果

,则在tn提前执行有可能是合理的。除此以外，还需要tn时刻标的资产价格足够大时，提前执行美式看涨期权才是合理的。62

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小结

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2.美式看跌期权提前行权问题

四、期货期权的上下限65期货可以看成支付连续红利的标的资产，其红利率等于无风险利率！期货期权的上下限66欧式期货期权美式期货期权:期货期权上下限证明欧式看涨：下限：A：1单位欧式看涨+的现金

B:1单位期货多头+的现金上限：A：1单位欧式看涨期权

B:1单位期货多头+的现金欧式看跌：下限：A：1单位欧式看跌+1单位期货多头+的现金

B:的现金上限：A：1单位欧式看跌期权

B:的现金美式期权：反证法6768

五、上下限的推导思路1.组合构造小结：看涨期权：看涨期权+现金VS标的资产看跌期权：看跌期权+标的资产VS现金2.套利策略构造小结：看涨下限：卖空资产，买入看涨期权看涨上限：卖出看涨期权，买入资产看跌下限：借入现金，买入看跌和资产看跌上限:

卖出期权，投资无风险资产69三、上下限证明思路应用

--拓展为考虑交易成本时例：设买入单位资产的成本率为Cb，卖空单位资产的成本率为Cs，买入和卖出单位期权的成本率为Coption，借款利率为rb,贷款利率为rL,试求看涨期权价格无套利的上下限。确定下限的策略：卖空单位资产，买入单位看涨期权，剩余收入存入银行。无套利的要求：期权价格使得策略不存在无风险利润。70

考虑交易成本的下限71

三、上下限证明思路的应用

--拓展为禁止卖空时不考虑交易成本，但不允许卖空标的资产，则：看涨期权的无套利下限变为0；不考虑交易成本，但不允许卖空标的资产和期权：（如我国股改时期的权证）看涨期权无上限和下限；看跌期权无上限；现实中存在低于下限的情况73第四节

看涨看跌平价关系74

一、欧式买权与卖权平价关系无收益资产有收益资产有红利率资产75

看涨看跌期权平价关系的应用考虑定价模型时，只需考虑欧式买权定价；买权和卖权隐含的波动率应该相等；平价关系不成立，可构造套利策略有看涨、看跌期权的价值可以倒推隐含无风险利率；看涨期权和看跌期权可以相互复制，因此可以用流动性高的期权复制流动性差的期权。76套利策略1：看跌期权被高估了，卖出右边组合，买入左边资产组合。即：卖出看跌期权，卖空标的资产，买入看涨期权，将执行价格的现值投资到无风险债券77套利策略2：看涨期权被高估了，卖出左边非现金资产，买入右边资产组合。即：卖出看涨期权，借入执行价格的现值，买入看跌期权和标的资产。78例10.7(欧式看涨看跌平价关系不成立的套利策略)假设某不支付红利的股票当前价格为50元，以该股票为标的，6个月到期，执行价格为40元的欧式看涨期权的价格为12元，欧式看跌期权的价格为5元，无风险连续复利为10%，试问不考虑交易摩擦的情况，是否存在套利机会，如果有，如何套利？79

解答

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解答表10.11看跌期权被高估的平价关系套利策略实施过程

初始时刻（t）到期时刻(T)策略操作1.卖出1单位标的资产的看跌期权，获益5元2.卖空1单位标的资产，获益50元3.买入1单位标的资产的看涨期权，支付12元4.将剩余收入43元投资无风险资产净现金流81

解答

82例10.9

假设某日，6个月到期的沪深300股指期货报价为3000点，同样剩余6个月到期，执