中考总复习相似三角形教学设计

中考总复习相似三角形教学设计一、教学目标1.知识与技能目标学生能熟练掌握相似三角形的定义、性质和判定定理，能准确运用这些知识进行相关的计算和证明。能够灵活运用相似三角形解决与比例线段、图形相似、位似等相关的实际问题和综合问题。2.过程与方法目标通过对相似三角形知识的系统复习，培养学生归纳总结、梳理知识体系的能力，提高学生逻辑推理和数学思维能力。在解决相似三角形综合问题的过程中，引导学生学会分析问题，寻找解题思路，培养学生的解题策略和创新思维。3.情感态度与价值观目标让学生体会数学知识之间的内在联系，感受数学的严谨性和系统性，激发学生学习数学的兴趣和热情。通过合作学习和交流，培养学生的团队合作精神和勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心。二、教学重难点1.教学重点相似三角形的性质和判定定理的理解与应用。相似三角形与其他几何知识的综合运用，如与圆、函数等知识的结合。2.教学难点相似三角形中复杂图形的分析和解题思路的构建。运用相似三角形解决实际问题时，如何将实际问题转化为数学模型。三、教学方法1.讲授法：系统讲解相似三角形的核心知识，确保学生对基本概念、性质和判定定理有清晰的理解。2.练习法：通过大量有针对性的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。3.讨论法：组织学生讨论相似三角形中的一些疑难问题和综合问题，激发学生的思维，培养学生的合作交流能力。4.案例分析法：选取典型的相似三角形实际问题和综合问题案例，引导学生分析解题思路，掌握解题方法。四、教学过程（一）知识梳理（15分钟）1.相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。强调相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。2.相似三角形的性质相似三角形对应角相等。相似三角形对应边成比例。相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形周长的比等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。通过提问的方式引导学生回顾这些性质，例如："相似三角形的对应角有什么关系？""相似三角形的周长比与相似比有什么联系？"等。3.相似三角形的判定定理平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。三边成比例的两个三角形相似。两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。两角分别相等的两个三角形相似。斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。让学生结合图形，理解每个判定定理的条件和应用方法，教师通过简单的例子进行说明，如：已知一个三角形的三边分别为3、4、5，另一个三角形三边分别为6、8、10，判断这两个三角形是否相似，并说明依据。4.位似位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。位似图形与相似图形的关系：位似图形是相似图形的特殊情况，相似图形不一定是位似图形。通过展示一些位似图形的实例，让学生观察并总结位似图形的特点。（二）典型例题讲解（30分钟）1.相似三角形性质的应用例1：已知△ABC∽△DEF，相似比为2:3，若△ABC的周长为12，则△DEF的周长为多少？分析：根据相似三角形周长的比等于相似比，设△DEF的周长为x，则有12:x=2:3，解得x=18。解答过程：设△DEF的周长为x。因为△ABC∽△DEF，相似比为2:3，且相似三角形周长的比等于相似比。所以12:x=2:3即2x=12×3x=18答：△DEF的周长为18。例2：如图，△ABC∽△ADE，AD=3，AB=5，求S△ADE:S△ABC的值。分析：由相似三角形面积的比等于相似比的平方，先求出相似比，再求面积比。相似比为AD:AB=3:5，所以面积比为(3:5)²=9:25。解答过程：因为△ABC∽△ADE，AD=3，AB=5。所以相似比k=AD:AB=3:5。则S△ADE:S△ABC=k²=(3:5)²=9:25。2.相似三角形判定定理的应用例3：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且∠ADE=∠C，求证：△ADE∽△ACB。分析：已知∠ADE=∠C，且∠A是公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可证明△ADE∽△ACB。解答过程：在△ADE和△ACB中，因为∠ADE=∠C，∠A=∠A。所以△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似）。例4：如图，已知AB=4，AC=6，AD=2，AE=3，求证：△ADE与△ABC相似。分析：分别计算对应边的比例，看是否满足相似三角形的判定条件。AB:AD=4:2=2，AC:AE=6:3=2，即AB:AD=AC:AE，且∠A是公共角，所以△ADE∽△ABC。解答过程：因为AB=4，AD=2，AC=6，AE=3。所以AB:AD=4:2=2，AC:AE=6:3=2。即AB:AD=AC:AE。又因为∠A=∠A。所以△ADE∽△ABC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。3.相似三角形与其他知识的综合应用例5：如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作CD⊥AB于点D，E是弧BC的中点，连接AE交CD于点F，交BC于点G，若AC=6，AB=10，求CF的长。分析：先利用勾股定理求出BC的长。由垂径定理可知弧AC=弧AE，从而得到∠CAE=∠ABC。证明△ACF∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例求出CF的长。解答过程：因为AB是⊙O的直径，AB=10，AC=6，所以在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=√(AB²AC²)=√(10²6²)=8。因为CD⊥AB，AB是直径，所以弧AC=弧AE，所以∠CAE=∠ABC。又因为∠ACF=∠ACB=90°，所以△ACF∽△ABC。则CF:BC=AC:AB，即CF:8=6:10，解得CF=4.8。例6：如图，在平面直角坐标系中，已知点A(4,0)，B(0,3)，点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动；点Q从点B出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动。P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t秒。当t为何值时，△OPQ与△OAB相似？求当t为何值时，四边形ABQP的面积最小，并求出最小值。分析：对于相似问题，分两种情况讨论：当△OPQ∽△OAB时，OP:OA=OQ:OB，分别表示出OP、OQ的长度，代入比例式求解。当△OQP∽△OAB时，OQ:OA=OP:OB，再代入求解。对于四边形面积问题，先求出四边形ABQP的面积表达式，再根据二次函数的性质求最小值。解答过程：（1）由题意得，OP=4t，OQ=3t。①当△OPQ∽△OAB时，OP:OA=OQ:OB，即(4t):4=(3t):3，3(4t)=4(3t)，123t=124t，t=0（舍去）。②当△OQP∽△OAB时，OQ:OA=OP:OB，即(3t):4=(4t):3，3(3t)=4(4t)，93t=164t，t=7（舍去，因为t最大为3）。或(3t):4=t:3，93t=4t，7t=9，t=9/7。所以当t=9/7时，△OPQ与△OAB相似。（2）S△OAB=1/2×4×3=6。S△OPQ=1/2×(4t)(3t)=1/2(t²7t+12)。则S四边形ABQP=S△OABS△OPQ=61/2(t²7t+12)=1/2t²+7/2t。对于二次函数y=1/2t²+7/2t，a=1/2＜0，对称轴为t=b/2a=7/2÷(1)=7/2。因为t的取值范围是0＜t≤3，所以当t=3时，S四边形ABQP取得最小值，最小值为1/2×3²+7/2×3=6。（三）课堂练习（20分钟）1.已知△ABC∽△DEF，相似比为1:2，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（）A.2B.4C.8D.162.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，则△ADE与△ABC的面积比为（）A.2:3B.2:5C.4:9D.4:253.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD的长为（）A.3B.4C.5D.64.如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AO=2，DO=4，BO=3，则BC的长为（）A.6B.9C.12D.155.如图，在平面直角坐标系中，A(2,0)，B(0,4)，以点A为位似中心，将△ABO缩小为原来的1/2，得到△AB'O'，则点B'的坐标为（）A.(1,2)B.(1,2)或(1,2)C.(1,2)D.(2,1)或(2,1)6.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在BC、AC上，且∠ADE=∠B，求证：△ABD∽△DCE。7.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧AC上，AF与CD相交于点G，求证：△AEG∽△AFD。8.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处，当△CEB'为直角三角形时，求BE的长。（四）课堂小结（10分钟）1.教师引导学生回顾本节课复习的主要内容：相似三角形的定义、性质、判定定理以及位似的相关知识。2.总结相似三角形在解题中的关键要点：准确识别相似三角形，根据已知条件选择合适的判定定理证明三角形相似。灵活运用相似三角形的性质进行相关计算，如求边长、周长、面积等。对于综合问题，要善于分析图形，找出各知识点之间的联系，构建解题思路。3.强调解题过程中的注意事项：书写规范，推理严谨，每一步都要有依据。注意相似三角形的对应关系，避免出现对应边或对应角错误。在解决实际问题时，要正确将实际问题转化为数学模型，合理运用相似三角形知识求解。（五）作业布置（5分钟）1.必做题：完成课本上相关的练习题，巩固相似三角形的知识。已知△ABC∽△DEF，相似比为3:5，且△ABC的周长为24，求△DEF的周长。如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AC边上一点，BE交AD于点F，且∠BFD=∠BAC，求证：△BDF∽△BAC。2.选做题：如图，在平面直角坐标系中，已知A(1,0)，B(0,2)，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线l：y=kx2k2与正方形ABCD有公共点，求k的取值范围。如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D在边BC上，且BD=4，以点D为顶点作∠EDF=∠B，分别交边AB于点E，交AC于点F，当△AEF为等腰三角形时，求BE的长。五、教学反思通过本节课的复习，学生对相似三角形的知识有了更系统、深入的理解，大部分学生能够熟练掌握相似三角形的性质和判定定理，并能运用这些知识解决一些基础问题和综合问题。在教学过程中，采用