点到直线的距离教案-公开课

点到直线的距离教案--公开课一、教学目标1.知识与技能目标理解点到直线距离公式的推导过程，掌握点到直线的距离公式。能运用公式熟练地求出点到直线的距离，并能解决一些简单的相关问题。2.过程与方法目标通过对点到直线距离公式的推导，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法。在公式推导过程中，渗透多种数学思想，如转化思想、数形结合思想，提高学生综合运用数学知识解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过主动探究、合作交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。在解决问题的过程中，体会数学的严谨性和科学性，增强学生学习数学的兴趣和信心。二、教学重难点1.教学重点点到直线距离公式的推导思路及应用。2.教学难点点到直线距离公式推导方法的选择与理解。三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合四、教学过程（一）导入新课（5分钟）1.展示一张城市地图，地图上有一个点代表一个建筑物的位置，一条直线代表一条道路。提问：如何测量这个建筑物到这条道路的最短距离呢？引导学生思考，引出本节课的主题点到直线的距离。2.回顾直线方程的几种形式，如点斜式、斜截式、一般式等，强调本节课重点研究直线方程为一般式\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同时为\(0\)）时，点\(P(x_0,y_0)\)到直线的距离。（二）探究新知（25分钟）1.提出问题已知点\(P(x_0,y_0)\)和直线\(l:Ax+By+C=0\)，如何求点\(P\)到直线\(l\)的距离？让学生先独立思考，尝试自己寻找解决方法。2.引导学生思考特殊情况当直线\(l\)平行于坐标轴时，比如直线\(l\)平行于\(x\)轴，即\(B=0\)，直线方程为\(Ax+C=0\)，此时点\(P(x_0,y_0)\)到直线\(l\)的距离\(d=\vertAx_0+C\vert\div\vertA\vert\)。当直线\(l\)平行于\(y\)轴，即\(A=0\)，直线方程为\(By+C=0\)，此时点\(P(x_0,y_0)\)到直线\(l\)的距离\(d=\vertBy_0+C\vert\div\vertB\vert\)。通过特殊情况的讨论，让学生对问题有初步的认识和理解。3.对于一般情况的推导设\(A\neq0\)，\(B\neq0\)，过点\(P(x_0,y_0)\)作直线\(l\)的垂线，垂足为\(Q(x_1,y_1)\)。先求直线\(PQ\)的方程，因为直线\(PQ\)与直线\(l\)垂直，所以直线\(PQ\)的斜率为\(\frac{B}{A}\)，根据点斜式可得直线\(PQ\)的方程为\(yy_0=\frac{B}{A}(xx_0)\)。联立直线\(l\)与直线\(PQ\)的方程\(\begin{cases}Ax+By+C=0\\yy_0=\frac{B}{A}(xx_0)\end{cases}\)，求解出垂足\(Q\)的坐标。通过求解方程组\(\begin{cases}Ax+By+C=0\\yy_0=\frac{B}{A}(xx_0)\end{cases}\)，由\(yy_0=\frac{B}{A}(xx_0)\)可得\(y=\frac{B}{A}(xx_0)+y_0\)，将其代入\(Ax+By+C=0\)中：\[\begin{align*}Ax+B(\frac{B}{A}(xx_0)+y_0)+C&=0\\Ax+\frac{B^2}{A}x\frac{B^2}{A}x_0+By_0+C&=0\\A^2x+B^2xB^2x_0+ABy_0+AC&=0\\(A^2+B^2)x&=B^2x_0ABy_0AC\\x&=\frac{B^2x_0ABy_0AC}{A^2+B^2}\end{align*}\]再将\(x\)的值代入\(y=\frac{B}{A}(xx_0)+y_0\)求出\(y\)的值：\[\begin{align*}y&=\frac{B}{A}(\frac{B^2x_0ABy_0AC}{A^2+B^2}x_0)+y_0\\&=\frac{B}{A}\times\frac{B^2x_0ABy_0ACA^2x_0(A^2+B^2)}{A^2+B^2}+y_0\\&=\frac{B}{A}\times\frac{B^2x_0ABy_0ACA^2x_0}{A^2+B^2}+y_0\\&=\frac{B(B^2x_0ABy_0ACA^2x_0)}{A(A^2+B^2)}+y_0\\&=\frac{B^3x_0AB^2y_0ABCA^2Bx_0+A(A^2+B^2)y_0}{A(A^2+B^2)}\\&=\frac{B^3x_0AB^2y_0ABCA^2Bx_0+A^3y_0+AB^2y_0}{A(A^2+B^2)}\\&=\frac{B^3x_0A^2Bx_0ABC+A^3y_0}{A(A^2+B^2)}\\&=\frac{A(B^2x_0ABy_0AC)}{A(A^2+B^2)}+y_0\\&=\frac{B^2x_0+ABy_0+AC}{A^2+B^2}+y_0\\&=\frac{B^2x_0+ABy_0+AC+A^2y_0(A^2+B^2)}{A^2+B^2}\\&=\frac{B^2x_0+ABy_0+AC+A^2y_0}{A^2+B^2}\end{align*}\]所以垂足\(Q\)的坐标为\((\frac{B^2x_0ABy_0AC}{A^2+B^2},\frac{A^2x_0+ABy_0BC}{A^2+B^2})\)。根据两点间距离公式\(d=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2}\)，计算点\(P(x_0,y_0)\)到点\(Q(x_1,y_1)\)的距离，即点\(P\)到直线\(l\)的距离\(d\)。\[\begin{align*}d&=\sqrt{(x_0\frac{B^2x_0ABy_0AC}{A^2+B^2})^2+(y_0\frac{A^2x_0+ABy_0BC}{A^2+B^2})^2}\\&=\sqrt{(\frac{A^2x_0+ABy_0+ACB^2x_0}{A^2+B^2})^2+(\frac{A^2x_0ABy_0+BC+A^2y_0}{A^2+B^2})^2}\\&=\sqrt{\frac{(A^2x_0+ABy_0+ACB^2x_0)^2+(A^2x_0ABy_0+BC+A^2y_0)^2}{(A^2+B^2)^2}}\\\end{align*}\]经过化简（详细化简过程略）可得\(d=\frac{\vertAx_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。4.总结点到直线距离公式点\(P(x_0,y_0)\)到直线\(l:Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同时为\(0\)）的距离公式为\(d=\frac{\vertAx_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。（三）公式讲解与应用（20分钟）1.公式讲解强调公式中各个参数的含义，\(A\)、\(B\)、\(C\)是直线方程\(Ax+By+C=0\)的系数，\((x_0,y_0)\)是已知点的坐标。说明公式中绝对值符号的作用，保证距离是非负的。指出分母\(\sqrt{A^2+B^2}\)的意义，它是与直线的位置有关的一个常量。2.例题讲解例1：求点\(P(2,1)\)到直线\(l:2x+y10=0\)的距离。解：直接将点\(P(2,1)\)和直线\(l:2x+y10=0\)的系数代入公式\(d=\frac{\vertAx_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^2+B^2}}\)，可得\(d=\frac{\vert2\times2+1\times110\vert}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{\vert4+110\vert}{\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)。例2：已知直线\(l:3x4y+12=0\)，求直线\(l\)与两坐标轴交点间的距离。解：先求直线\(l\)与\(x\)轴交点，令\(y=0\)，则\(3x+12=0\)，解得\(x=4\)，交点坐标为\((4,0)\)。再求直线\(l\)与\(y\)轴交点，令\(x=0\)，则\(4y+12=0\)，解得\(y=3\)，交点坐标为\((0,3)\)。根据两点间距离公式\(d=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2}\)，可得这两点间的距离为\(\sqrt{(40)^2+(03)^2}=\sqrt{16+9}=5\)。也可以把\((4,0)\)或\((0,3)\)看作点，直线方程看作\(3x4y+12=0\)，利用点到直线距离公式来计算，如把\((0,3)\)代入公式\(d=\frac{\vert3\times04\times3+12\vert}{\sqrt{3^2+(4)^2}}=\frac{\vert12+12\vert}{5}=0\)（这里计算\((0,3)\)到直线距离是为了说明可以用此公式计算直线与坐标轴交点间距离，实际这里距离就是原点到直线的距离为\(0\)，但不影响说明方法），把\((4,0)\)代入公式\(d=\frac{\vert3\times(4)4\times0+12\vert}{\sqrt{3^2+(4)^2}}=\frac{\vert12+12\vert}{5}=0\)（同样这里计算\((4,0)\)到直线距离是为说明方法），然后再利用两点间距离公式计算两交点\((4,0)\)与\((0,3)\)间距离为\(\sqrt{(40)^2+(03)^2}=5\)。例3：已知点\(A(1,3)\)，\(B(3,1)\)，\(C(1,0)\)，求\(\triangleABC\)中\(AB\)边上的高\(h\)。解：先求直线\(AB\)的方程，根据两点式可得直线\(AB\)的方程为\(\frac{y3}{13}=\frac{x1}{31}\)，即\(x+y4=0\)。则\(AB\)边上的高\(h\)就是点\(C\)到直线\(AB\)的距离，根据点到直线距离公式可得\(h=\frac{\vert1+04\vert}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\)。3.课堂练习求点\(M(2,3)\)到直线\(l:3x+4y1=0\)的距离。已知直线\(l:2xy+3=0\)，求直线\(l\)与\(x\)轴交点到直线\(l\)的距离。已知\(\triangleABC\)的三个顶点坐标分别为\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，\(C(2,1)\)，求\(BC\)边上的高。（四）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容点到直线距离公式的推导过程。点到直线距离公式\(d=\frac{\vertAx_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。公式在解决实际问题中的应用，如求点到直线的距离、直线与坐标轴交点间的距离、三角形中某边上的高。2.强调重点知识和易错点重点知识是点到直线距离公式及其应用。易错点是在代入公式计算时要注意各项系数的准确性，以及绝对值符号的处理。（五）布置作业（5分钟）1.书面作业教材课后习题中相关题目，如求点到直线距离、根据点到直线距离求直线方程中的参数等。已知点\(P(3,2)\)，直线\(l:4x+y6=0\)，求点\(P\)关于直线\(l\)的对称点\(P'\)的坐标（提示：利用对称点的性质和点到直线